[摘要]從馬克思主義政治經(jīng)濟學歷史演進與學科發(fā)展看，數(shù)理化實踐是一直存在的，但存在“缺位”。本文以馬克思主義政治經(jīng)濟學數(shù)理化為視角切入，梳理了自馬克思價值轉(zhuǎn)形理論的提出到21世紀以來馬克思價值轉(zhuǎn)形理論的新進展及其數(shù)理爭論的百年演進脈絡，對數(shù)學在馬克思主義政治經(jīng)濟學研究中邊界進行了探討。研究表明，數(shù)理化實踐在認識論、方法論、實踐論三個層面蘊含著推動馬克思主義政治經(jīng)濟學研究取得新進展的重要價值。

[關鍵詞]價值轉(zhuǎn)形理論；數(shù)理爭論；當代價值

[中圖分類號]F091.91? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標識碼]A? [文章編號]1009—0274（2022）04—0101—09

[作者簡介]邱聯(lián)鴻，男，中共廣東省委黨校馬克思主義學院副教授，經(jīng)濟學博士，研究方向：馬克思主義政治經(jīng)濟學。

一、研究反思與新視角

近年來，習近平總書記指出要重視對馬克思主義政治經(jīng)濟學的學習、研究與運用，不斷開拓當代中國馬克思主義政治經(jīng)濟學新境界。學好用好政治經(jīng)濟學，既是推進當代中國馬克思主義政治經(jīng)濟學的創(chuàng)新和發(fā)展的必然要求，也直接關系到其能否對中國取得的重要成就提供必要且充分的學理支撐。數(shù)學作為一種邏輯性和嚴謹性都非常強的語言，被運用到經(jīng)濟學領域中，推動了現(xiàn)代經(jīng)濟學發(fā)展。在這一過程中，出現(xiàn)了一個明顯且值得思考的現(xiàn)象，數(shù)學在西方經(jīng)濟學中的“越位”與在馬克思主義政治經(jīng)濟學的“缺位”。前者招致了一些經(jīng)濟學研究“數(shù)學濫用”的批評[1]，后者則導致了馬克思主義政治經(jīng)濟學數(shù)理化進程的緩慢。因此，重新思考數(shù)學在馬克思主義政治經(jīng)濟學中的運用與邊界，是推動21世紀馬克思主義政治經(jīng)濟學學科發(fā)展的必然要求。

關于數(shù)學在馬克思主義政治經(jīng)濟學中的“缺位”，首先一個不能回避的問題是馬克思主義政治經(jīng)濟能否進行數(shù)理化。對此，學者們持有不同的觀點，并從不同的角度進行了爭論。

持反對意見的學者從馬克思主義經(jīng)濟學的主要基本思想、研究方法、研究對象等方面，對馬克思主義政治經(jīng)濟數(shù)理化進行了批判。弗利特伍德從批判實在論視角出發(fā)，將理論分為演繹主義和因果解釋兩種模式，反對將勞動價值論進行數(shù)學化。弗利特伍德認為演繹主義理論模式推動的勞動價值論數(shù)學化模型存在缺陷，即其本身就內(nèi)含有因果聯(lián)系，因而不必進行數(shù)學化[2]。張文喜從方法論的視角出發(fā)，批判了分析馬克思主義的代表人物羅默倡導的對馬克思主義經(jīng)濟學數(shù)學化進行實踐的觀點，認為馬克思主義政治經(jīng)濟學的系統(tǒng)闡釋不是通過數(shù)學模型化來表述的，而是從歷史唯物主義和辯證唯物主義的角度展開的，這也是馬克思主義政治經(jīng)濟學區(qū)別西方經(jīng)濟學的重要方面[3]。朱富強對一些學者借鑒和模仿現(xiàn)代主流經(jīng)濟學的分析范式，進而推動馬克思主義政治經(jīng)濟學數(shù)學化的取向進行了批評，認為馬克思主義政治經(jīng)濟學的研究對象主要集中于社會生活領域且難以模型化，而經(jīng)濟學數(shù)量化基礎的理性選擇理論本身就存在問題，其實質(zhì)否定了馬克思強調(diào)的人類行為意向性[4]。

一些學者認為馬克思主義政治經(jīng)濟可以進行數(shù)理化。丁曉欽和余斌指出任何一種思想，無論是正確的還是錯誤的，科學的還是荒唐的，都可以用某種數(shù)學形式來表現(xiàn)[5]。從指導原則這一層面，部分學者也認識到，馬克思主義政治經(jīng)濟學運用數(shù)學要合乎歷史現(xiàn)實邏輯，要符合歷史唯物主義和唯物辯證法。喬曉楠和何自力認為馬克思主義政治經(jīng)濟學并不排斥數(shù)學方法，但是對其進行數(shù)學化建模的過程必須以堅持歷史唯物主義的研究方法作為基本原則，即抓住生產(chǎn)力與生產(chǎn)關系這對矛盾及其運動來對經(jīng)濟社會的運行規(guī)律進行分析[6]。

上述這些爭論表明，馬克思主義政治經(jīng)濟學能否進行數(shù)理化，關鍵在于能否抓住馬克思主義政治經(jīng)濟學的本質(zhì)，能不能正確反映或揭示經(jīng)濟社會發(fā)展與運行的規(guī)律。這也就意味著從學科屬性和經(jīng)濟學本質(zhì)上而言，馬克思主義政治經(jīng)濟學同樣是可以數(shù)理化的。

事實上，從政治經(jīng)濟學的歷史演進與學科發(fā)展看，運用數(shù)學的實踐是一直就存在的。從魁奈的《經(jīng)濟表》到馬克思的《資本論》，都運用了數(shù)學分析方法。在《經(jīng)濟表》中，魁奈用圖表的形式從數(shù)量上分析了商品和勞務在生產(chǎn)階級、土地所有者階級和不生產(chǎn)階級中的流通情況，這也啟發(fā)了馬克思創(chuàng)建兩大部類表用以研究社會生產(chǎn)情況。在《資本論》及其手稿中，數(shù)學方法被大量使用，既有平均分析和比例分析這些常量數(shù)學方法，還有邊際分析、彈性分析和比較靜態(tài)分析這些變量數(shù)學方法，甚至在反映經(jīng)濟關系質(zhì)的方面運用了一套符號化表達[7]。盡管馬克思認識到了數(shù)學在經(jīng)濟分析的重要性，也有著學習微積分的經(jīng)歷，但是在《資本論》及其手稿中的數(shù)學方法的使用還是比較簡單。在馬克思之后，數(shù)學也逐漸被馬克思所批判的庸俗經(jīng)濟學所接受，高等數(shù)學和現(xiàn)代計量方法被引入經(jīng)濟學分析之中，成為現(xiàn)代主流經(jīng)濟學的重要特點。與此同時，一些馬克思經(jīng)濟學者和對馬克思主義政治經(jīng)濟學有研究興趣的學者也并未放棄繼續(xù)使用數(shù)學的努力。例如，日本數(shù)理馬克思經(jīng)濟學派的興起，使用抽象空間和矩陣代數(shù)等方法，進行了馬克思主義經(jīng)濟學系統(tǒng)數(shù)理化的嘗試[8]。由此可見，學術(shù)界運用數(shù)學的實踐，對于思考馬克思主義政治經(jīng)濟學數(shù)理化、實現(xiàn)數(shù)學與馬克思主義政治經(jīng)濟學的有機結(jié)合提供了一個視角。

而回顧馬克思主義政治經(jīng)濟學數(shù)理化的歷史進程，真正引發(fā)較大爭議且持續(xù)發(fā)酵的是價值向生產(chǎn)價格轉(zhuǎn)化的問題。1907年，鮑特凱維茨首先用代數(shù)表達式表示了轉(zhuǎn)形問題，為解決轉(zhuǎn)形問題開創(chuàng)了新思路。但是，關于生產(chǎn)價格與價值、利潤與剩余價值之間的邏輯一致性的爭議問題始終沒有得到解決。在持續(xù)發(fā)酵的“轉(zhuǎn)形問題”的爭論中，線性代數(shù)、高等數(shù)學等方法也被廣泛采用。在長達百年的馬克思價值轉(zhuǎn)形問題爭論中，形成了一個獨特的視角，即價值轉(zhuǎn)形問題數(shù)理化的視角，使我們能夠站在一個更縱深的歷史視野，厘定和考察數(shù)學在馬克思主義政治經(jīng)濟學研究中的邊界與價值。鑒于此，本文以馬克思主義政治經(jīng)濟學數(shù)理化為研究切入點，以轉(zhuǎn)形問題數(shù)理化為研究視角，以百年來轉(zhuǎn)形問題的數(shù)理爭論為脈絡，重新審視數(shù)學在馬克思主義政治經(jīng)濟學研究中的邊界與價值，以更好地推動當代中國馬克思主義政治經(jīng)濟學創(chuàng)新與發(fā)展。

二、價值轉(zhuǎn)形理論的百年數(shù)理爭論梳理

1894年出版的《資本論》第3卷系統(tǒng)闡述了價值轉(zhuǎn)化成生產(chǎn)價格的理論，結(jié)合五部門數(shù)例圖表，指出價值轉(zhuǎn)化成生產(chǎn)價格后，各部門價值總和等于各部門生產(chǎn)價格總和、各部門平均利潤總和等于各部門剩余價值總和，即兩個總量相等的命題成立。但是在馬克思的論述中，成本價格（即[C+V]）是按照價值計算的，并沒有發(fā)生轉(zhuǎn)形。因此，馬克思價值轉(zhuǎn)形理論并不完全，即使在成本價格完成轉(zhuǎn)形后，兩個總量相等命題能否成立也有待驗證。馬克思本人也指出：“我們原先假定，一個商品的成本價格，等于該商品生產(chǎn)時所消費的各種商品的價值。但一個商品的生產(chǎn)價格，對它的買者來說，就是成本價格，并且可以作為成本價格加入另一個商品的價格形成。因為生產(chǎn)價格可以偏離商品的價值，所以，一個商品的包含另一個商品的這個生產(chǎn)價格在內(nèi)的成本價格，可以高于或低于它的總價值中由加到它里面的生產(chǎn)資料的價值構(gòu)成部分。必須記住成本價格這個修改了的意義，因此，必須記住，如果在一個特殊生產(chǎn)部門把商品的成本價格看作和生產(chǎn)該商品時所消費的生產(chǎn)資料的價值相等，那就總可能有誤差[9]?！边@個“誤差”就引起了一些學者的質(zhì)疑，由此引發(fā)了持續(xù)百年的爭論。而在長期的爭論中，學者們各抒己見，形成了大量關于價值轉(zhuǎn)形問題的研究成果。聚焦本文的切入點和研究視角，選擇了重點涉及使用數(shù)理模型作為解決方法的研究成果，并根據(jù)時間維度進行了梳理。

20世紀初，鮑特凱維茨首先用一組方程式取代馬克思的數(shù)例圖表試圖來修改馬克思的理論來論證價值轉(zhuǎn)形理論。在他發(fā)表的兩篇論文中提出了一種解法，將簡單社會再生產(chǎn)分為生產(chǎn)資料生產(chǎn)、生活資料生產(chǎn)和專供資本家消費的奢侈品三個部分，價值方程式表示為：

[C1+V1+M1=C1+C2+C3 C2+V2+M2=V1+V2+V3? ?C3+V3+M3=M1+M2+M3] （1）

然后，式子（1）中價值轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)價格后，得到生產(chǎn)價格方程式

[（1+π）（C1x+V1y）=（C1+C2+C3）x? （1+π）（C1x+V1y）=（V1+V2+V3）y? （1+π）（C1x+V1y）=（M1+M2+M3）z] （2）

其中，[C]、 [V]和[M]分別代表不變資本、可變資本和剩余價值；[x]、[y]和[z]分別代表各自偏離率；[π]是平均利潤率。

可以發(fā)現(xiàn)，式子（2）中有三個方程式，但未知數(shù)有四個（[x]、[y]、[z]和[π]），無解。鑒于此，鮑特凱維茨假設黃金由第三部門生產(chǎn)，即[Z=1]，此方程有唯一解，實現(xiàn)價值轉(zhuǎn)形。在帶入實際數(shù)字計算后，他發(fā)現(xiàn)兩個總量相等命題之一的各部門平均利潤總和等于各部門剩余價值總和不能成立。

鮑特凱維茨未能成功解決轉(zhuǎn)形問題，之后斯威齊[10]、溫特尼茨[11]、塞頓[12]和米克[13]等沿著鮑特凱維茨的思路，在重新設定假設前提的情況下提出了自己的解決方法。值得注意的是，塞頓（1957）認為可將三個部門推廣到[n]個部門，擺脫不必要的限制性假定，將轉(zhuǎn)形問題一般化，并建立了多部門的平均利潤率模型。式子為：

[k11p1+k12p2+…+k1npn=ρa1p1k21p1+k22p2+…+k2npn=ρa2p2…kn1p1+kn2p2+…+knnpn=ρanpn] （3）

其中，[ρ=1-π]表示投入費用率，[kij]表示生產(chǎn)1單位產(chǎn)品[i]所消耗[j]部門的產(chǎn)品量，[a]表示每個部門的產(chǎn)品投入量。為了說明解的存在性，塞頓的模型與Perron-Frobenius定理密切相關[14]。盡管如此，塞頓并未突破鮑特凱維茨的分析框架，兩個總量相等命題在一般情況下仍不能同時成立。薩繆爾森在1957年和1970年發(fā)表了關于轉(zhuǎn)形問題論文，給出的解法也使用了非負矩陣的Perron-Frobenius定理，但結(jié)論認為價值體系和生產(chǎn)體系是獨立決定的，價值轉(zhuǎn)形是一個不必要的迂回。

置鹽信雄在一個實物體系下建立了勞動價值體系[15]，在假定工人的消費商品由外生因素決定的情況下，將公式寫為：

[pi=（1+π）（j=1npjaij+wliw=i=1npjbi? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?] （4）

其中，[p]是生產(chǎn)價格由物質(zhì)資料投入和工資決定，[l]是活勞動，[w]是工資率由[b]（工資消費）和[p]決定。[aij]組成的系數(shù)矩陣需要滿足霍金斯－西蒙條件。置鹽信雄仍未擺脫鮑特凱維茨傳統(tǒng)，其轉(zhuǎn)形問題只有在特定條件下，即各部門資本有機構(gòu)成相等的情況下才能夠解決。

可以發(fā)現(xiàn)，以上對馬克思價值轉(zhuǎn)形問題的研究還止步于從靜態(tài)角度計算價值向生產(chǎn)價格的轉(zhuǎn)換率問題。

1978年森島通夫和凱蒂福雷斯在合著的《價值、剝削與增長》一書中，提出了用迭代法解決轉(zhuǎn)形問題，馬克思論述中其實暗含了一種迭代法，能夠解決兩個總量相等的問題。謝赫也認同使用迭代法解決轉(zhuǎn)形問題，給出了生產(chǎn)價格求解方法，并認為要按馬克思的原意去理解問題，而不是尋找一套數(shù)學程序[16]。

進入20世紀80年代后，弗利[17]和杜梅尼爾[18]提出了一種“新解釋”。他們認為先前的研究是在一個技術(shù)體系或物質(zhì)體系下建立了一個價值體系和一個生產(chǎn)價格體系，因而是一個雙體系。轉(zhuǎn)形過程就是在兩個體系進行系數(shù)變換的求解過程，這自然會導致兩個總等命題不能同時成立。因此，他們提出了一種基于勞動時間的貨幣表示的單體系，用公式可以表示為：

[p=（1+π）（PA+wpL）wp=wλ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? py=λy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ] （5）

其中，式子（5）被用矩陣來表示，第一個等式是生產(chǎn)價格體系，第二個等式表示兩個體系的工資率相等，第三個等式表示馬克思第一個總量相等條件。由此可以發(fā)現(xiàn)，在這種情況下雙體系被消解，并且等式有解。與雙體系不同的是，在單體系的解釋中，馬克思第一個總量相等命題被理解成了凈產(chǎn)品的生產(chǎn)價格總量等于價值總量。

到了20世紀80年代后期和90年代，出現(xiàn)了單一分期體系學派。該學派通過“分期體系”將投入品和產(chǎn)出品的價格看成是分期決定的。因此，引入差分方程將公式、價格和價值表示為：

[λt+1=ptA+L? ? ? ? Pt+1=ptA+L+gt]? （6）

其中，[λ、p、A和L]分別表示價值量矩陣、價格矩陣、投入技術(shù)系數(shù)和勞動投入量，[g]表示價值與生產(chǎn)價格的差額。該學派認為本期的價值與價格取決于上一期的生產(chǎn)價格，因而在動態(tài)上兩個總量相等的命題是同時成立的。丁堡駿在研究價值轉(zhuǎn)形問題中提出的擴大的馬克思價值轉(zhuǎn)化模型也符合這種思想[19]。但是，該學派修改了價值的定義，錯誤地認為轉(zhuǎn)形問題解決的是價格與價值的關系，而不是生產(chǎn)價格和價值的關系[20]。

新世紀以來，國內(nèi)學者深耕價值轉(zhuǎn)形問題，思想碰撞的同時推動研究取得新的進展。張忠任在假定轉(zhuǎn)形過程中平均利潤率不變，即在價值體系和價格體系內(nèi)相同的情況下，兩個總量相等命題同時成立，解決了轉(zhuǎn)形問題[21]。丁堡駿反駁了張忠任的證明，認為他曲解了轉(zhuǎn)形問題的性質(zhì)，并且模型唯一正數(shù)解的證明不夠嚴密[22]。馮金華認為生產(chǎn)價格總是等于價值的，因而所謂轉(zhuǎn)形問題是一個偽命題[23，24，25]。裴宏認為馮金華忽視了價格和生產(chǎn)價格范疇不同的規(guī)定性，造成了結(jié)論的錯誤[26]。余斌則認為馮金華不能把平均利潤率變?yōu)橐话憷麧櫬?，所以他的模型存在錯誤[27]。馬艷等[28]和嚴金強等[29，30]提出了動態(tài)轉(zhuǎn)形模型，認為馬克思的轉(zhuǎn)形理論是一個特例，并從多種角度對此進行了拓展，開辟了一個解決轉(zhuǎn)形問題的新思路。榮兆梓和陳旸回顧了百年來轉(zhuǎn)形問題的爭論[31]，重新界定了A體系和B體系1，認為兩者的區(qū)別在于是否堅持外生給定的實物工資向量，B體系的思路更符合馬克思的原意。榮兆梓等引入了迭代法[32]，在假定總剩余價值率不變和生產(chǎn)價格總量等于價值總量的前提下，建立了C體系：

[p=（1+π）（PA+wpL）pyλy=wpwλ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?px=λx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?]? ?（7）

榮兆梓進一步討論了C體系的特點，認為理解該體系重點在于認識到轉(zhuǎn)形過程的多輪次疊加和轉(zhuǎn)形過程的兩階段，并討論C體系迭代模型和收斂[33]。

由此，圍繞數(shù)理模型與方法，梳理了自馬克思價值轉(zhuǎn)形理論的提出到鮑特凱維茨首次引入代數(shù)方法再到不同的學者構(gòu)建不同數(shù)理模型從而提出的解決辦法以及21世紀以來馬克思價值轉(zhuǎn)形理論新進展及其爭論的百年演進脈絡。

三、價值轉(zhuǎn)形理論數(shù)理爭論的邊界探討

從數(shù)理爭論的百年演變中，可以看出，自鮑特凱維茨將代數(shù)方程引入之后，國內(nèi)外學者基于不同的假設，不斷吸收有關的數(shù)學方法，擴展數(shù)學在價值轉(zhuǎn)形問題研究中的邊界，以實現(xiàn)更好地解決馬克思主義政治經(jīng)濟學中關于價值向生產(chǎn)價格轉(zhuǎn)化的問題。由此，自然地引發(fā)了兩個問題。其一，數(shù)理模型是解決轉(zhuǎn)形問題的最佳路徑嗎？其二，數(shù)學之于馬克思主義政治經(jīng)濟學研究，邊界何在？以問題為導向，從馬克思價值轉(zhuǎn)形問題構(gòu)建數(shù)理模型的假設前提、方法選擇、模型結(jié)論三個方面展開探討，并對數(shù)學在馬克思主義政治經(jīng)濟學研究中邊界進行商榷和厘定。

（一）數(shù)理模型的假設前提

假設前提是構(gòu)建數(shù)理模型的起點。而不同的假設前提，決定了模型的不同。從百年爭論的梳理中可以看出，學者們在使用和構(gòu)建數(shù)學模型解決轉(zhuǎn)形問題所建立的邏輯起點已經(jīng)存在差異。不同的學者們基于對馬克思價值轉(zhuǎn)形理論的理解，抽象出了不同的假設前提，進而構(gòu)建了符合其假設條件的數(shù)理模型。

作為首個將代數(shù)方程引入價值轉(zhuǎn)形問題的鮑特凱維茨認為成本價格并未得到轉(zhuǎn)形，于是提出了簡單社會再生產(chǎn)的前提條件并將其分為三個部門，進而建立了價值體系，引入偏離系數(shù)建立生產(chǎn)價格體系。而為使模型有解，又假定奢侈品部門的偏離系數(shù)為1，從而通過模型化將轉(zhuǎn)形問題解決。就鮑特凱維茨構(gòu)建和使用的數(shù)學模型解決方法而言，其為使方程有解，假定了奢侈品部門不發(fā)生偏離，進而得到了方程解以及兩個總等相等命題不能同時成立的結(jié)論。但在這一過程中，奢侈品部門為何不發(fā)生偏離，這需要進一步的經(jīng)濟學解釋。同時，鮑特凱維茨將社會再生產(chǎn)引入到馬克思價值轉(zhuǎn)形理論的分析，也不符合馬克思的原意。原因在于馬克思主義政治經(jīng)濟學中的社會再生產(chǎn)更多的是強調(diào)年度之間的平衡，而轉(zhuǎn)形理論是一個時間點上的轉(zhuǎn)換。

而鮑特凱維茨之后的一些學者，沿著鮑特凱維茨的總體分析框架，或推翻某個條件、或建立新的假設。如斯威齊將奢侈品部門的產(chǎn)品看作貨幣商品，溫特尼茨剔除了簡單社會再生產(chǎn)和奢侈品部門的假設，塞頓則將三部門推廣到多部門。但總的說來，仍未突破鮑特凱維茨的框架，其分析仍是建立在工人的工資是事先已知的前提之下[34]。

相比之下，新解釋學派在價值轉(zhuǎn)形問題的研究上突破了鮑特凱維茨的研究框架，重新建立了假設條件，進而將價值和生產(chǎn)價格雙體系，變成了單體系，推動研究取得了新進展。但必須指出的是，新解釋學派的假設條件同樣存在一些問題，即在假定前后工資率不變這一前提下進行數(shù)理模型構(gòu)建，但論證的結(jié)論變成了凈產(chǎn)品價值等于凈產(chǎn)品生產(chǎn)價格。這就改變了馬克思“兩個總量相等”的命題原意。

從某種意義上而言，通過不斷地修改假設條件、調(diào)整數(shù)理模型，確實推動了價值轉(zhuǎn)形問題在數(shù)學層面上的解決。相比于馬克思的數(shù)例圖示，將代數(shù)方程引入對價值轉(zhuǎn)形理論的分析，使得價值向生產(chǎn)價格轉(zhuǎn)化的過程更加一般化和清晰。但同時，只要給定假設條件，就能建立相應的方程；只要給定合適的假設條件，就能得出相應的方程解。這樣的數(shù)理模型實現(xiàn)的解決方法實際上是對馬克思主義政治經(jīng)濟學研究的背離，即引入數(shù)理模型分析以及為了數(shù)理模型所設立的前提條件的出發(fā)點是為了更好地闡釋馬克思價值轉(zhuǎn)形理論。

回到對假設前提的討論，可以發(fā)現(xiàn)，不同的假設前提既為馬克思轉(zhuǎn)形理論不斷取得進展提供了重要動力，同時也是引起爭論的主要原因。進一步而言，正是不同的學者，對不同假設前提的否定和批判，才讓轉(zhuǎn)形問題得到進一步的發(fā)展和解釋；但是，一旦假設前提被確定，事實上隱含著結(jié)論的確定，而不正確的假設條件將直接危及結(jié)論。

因此，建立一個符合馬克思原意和理論邏輯的假設前提并在此基礎上構(gòu)建數(shù)學模型是正確解決馬克思價值轉(zhuǎn)形問題的基礎。具體而言，在選擇和使用數(shù)學模型化對馬克思主義政治經(jīng)濟學的相關理論和命題進行闡釋和演繹時，首要的是考慮假設前提的經(jīng)濟學含義，以及是否符合馬克思的本意。既不能被數(shù)學模型所牽引，也不能因可以存在完美的解，就假定一些不符合原意的條件。就延伸性而言，在馬克思其他理論可以數(shù)學模型化的建立之中，也應特別考慮這一點，對假設條件的選擇要慎之又慎；而對已經(jīng)數(shù)學模型化的評判要首先從基本假設開始，回到最初假設是檢驗模型化正確的快捷途徑，不能被數(shù)學本身的推理過程所迷惑。

（二）數(shù)學方法的選擇運用

選擇與運用合適的數(shù)學方法是準確闡釋馬克思主義政治經(jīng)濟學的重要支撐。數(shù)學語言表達的一個重要優(yōu)點是能夠使理論演繹更加簡明和富有邏輯。但如何將這一優(yōu)點充分發(fā)揮出來，使其在能夠與具有豐富內(nèi)涵與強邏輯性的馬克思經(jīng)濟理論有機契合，是值得進一步探討的。

在《資本論》第3卷中，馬克思使用了五部門圖表模型，首先給出了價值轉(zhuǎn)形問題的一個數(shù)學描述，但其數(shù)學表述是個特例，即成本價格的轉(zhuǎn)形沒有完成，也未將五部門推廣到多部門，沒有使其一般化，完全實現(xiàn)價值轉(zhuǎn)形。馬克思之后的學者試圖解決這個問題，逐步使用了現(xiàn)代的數(shù)學方法進行表達。從總體上看，轉(zhuǎn)形問題所涉及的數(shù)學方法包括了數(shù)例圖示、線性方程組、線性方程組的矩陣表達、馬爾科夫矩陣的迭代法、差分方程等，但線性代數(shù)和矩陣的運用是更加廣泛的。不同學者通過對線性代數(shù)和矩陣的使用并在此基礎上結(jié)合一些其他數(shù)學方法實現(xiàn)了描述價值向生產(chǎn)價格進行轉(zhuǎn)形過程的研究目的。而在這些數(shù)學方法的選擇和使用的過程中，既存在可取之處，也具有局限性。

一方面，數(shù)學方法的引入和使用對解決價值轉(zhuǎn)形問題具有重要推動作用。這可以從兩個層面的進步來理解。第一是在認識層面。數(shù)學的作用在于通過降維使得提出的問題更加簡單明了，復雜問題變?yōu)楹唵螁栴}，更有利于掌握、理解。如果從式子（4）（5）（7）的表達形式來看，轉(zhuǎn)形問題可以看作是對方程的求解問題，N個方程存在N+2個未知數(shù)，再添加方程滿足方程組消除自由度使得有解即可。這也就使得對價值轉(zhuǎn)形問題的理解變得簡單和明了。第二是方法層面的進步。鮑特凱維茨引入線性代數(shù)表達了三部門的轉(zhuǎn)形問題，塞頓將三部門推廣到多部門并使其一般化，這是一個重要進步。另一個具有重要意義的突破是迭代法的引入和使用，這使得價值轉(zhuǎn)形問題從靜態(tài)解釋變成了動態(tài)解釋，進而發(fā)展了馬克思的轉(zhuǎn)形理論。而現(xiàn)代的C體系即式子（7）在線性矩陣的基礎上引入了迭代法，也為解決轉(zhuǎn)形問題提供了一個創(chuàng)新思路。此外，其他數(shù)學方法如差分方程的使用也發(fā)揮了較好的作用。單一分期體系學派，將投入品和產(chǎn)出品的價格看成是分期決定的，而使用差分方程準確地描述了這一假定。丁堡駿基于五部門數(shù)例圖表描述的擴大的馬克思價值轉(zhuǎn)化模型是其中的一個例子[19]。

另一方面，數(shù)學方法的使用也存在一定的局限性。這種局限可以從數(shù)理本身與數(shù)學發(fā)展具有的特點來理解。一是數(shù)學定理本身的性質(zhì)規(guī)定與約束。比如塞頓等人使用線性矩陣這與Perron-Frobenius定理滿足有正解的性質(zhì)有關，這滿足了對轉(zhuǎn)換系數(shù)存在正解的要求相合。而面對單一分期體系學派對轉(zhuǎn)形的問題“分期體系”的假設，差分方程自然可以滿足這種描述。二是數(shù)學的對稱性。這一點在薩繆爾森對轉(zhuǎn)形問題的分析中體現(xiàn)得尤為明顯。薩繆爾森使用的數(shù)學形式表明價值體系和生產(chǎn)價格體系相互獨立，隱含了一種對稱性，使用轉(zhuǎn)換系數(shù)使價值向生產(chǎn)價格轉(zhuǎn)形，相反也成立。這種結(jié)果的出現(xiàn)依賴于價值體系和生產(chǎn)價格體系“雙體系”的存在。換言之，只要存在這種雙體系，就難以擺脫這種結(jié)論。之后雙體系變?yōu)閱误w系，這種結(jié)論自然也就不復存在。三是經(jīng)濟學數(shù)學仍處于一個不斷發(fā)展的階段?，F(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展進程是快于經(jīng)濟學的，但沒有形成像物理學那樣，為了解決牛頓力學的計算創(chuàng)建了微積分。即便是被稱為主流的現(xiàn)代經(jīng)濟學數(shù)學的應用，也處在一個初級階段。這種階段性特征還意味著，在某種意義上提出一種假設，就存在可以用不同的數(shù)學形式進行表達的可能，但同時這種數(shù)學表達本身及其具有的闡釋力都是值得進一步商榷的。

因此，將馬克思經(jīng)濟理論用合適的數(shù)學形式表達出來，可以使理論更加簡明和富有邏輯，這是數(shù)學的重要優(yōu)點。但同時也要認識到數(shù)學方法的局限性，不能本末倒置，即數(shù)學語言的引入是為了更好地激活與釋放馬克思經(jīng)濟理論的生命力，而不是給馬克思經(jīng)濟理論套上一層“枷鎖”。在基于理解馬克思經(jīng)濟理論意義的基礎上，選擇一個合適的數(shù)學方法，來準確地闡釋馬克思經(jīng)濟理論，是實現(xiàn)數(shù)學與馬克思主義政治經(jīng)濟學研究有機結(jié)合的關鍵。

（三）模型結(jié)論的分析考察

模型結(jié)論是以一種確定性的方式對前提假設和研究問題進行的準確回應。對模型結(jié)論展開進一步的分析考察有助于推動研究回應最初的邏輯起點和研究目的，從而加深對問題的思考。這包括理論和實踐兩個層面的考證。

從理論層面而言，百年來，對價值轉(zhuǎn)形問題數(shù)理模型分析，重點在于是否正確回答了兩個總量相等命題，即各部門價值總和等于各部門生產(chǎn)價格總和、各部門平均利潤總和等于各部門剩余價值總和，這兩個命題能否同時成立。

鮑特凱維茨、塞頓、薩繆爾森等人為代表的A體系的結(jié)論證明兩個總量相等的命題不能同時成立，因此對馬克思價值轉(zhuǎn)形理論提出了質(zhì)疑，認為轉(zhuǎn)形理論存在錯誤。這導致了學者對模型結(jié)論展開了進一步的分析考察，進而反思鮑特凱維茨等人的數(shù)理模型，認為鮑特凱維茨等人曲解了馬克思的本意。因為假定實物工資的外生必然會帶來總量相等命題不能同時成立的結(jié)論。而面對A體系的局限性，一方面，B-2體系剔除了實物工資的假定，提出了一種基于勞動時間的貨幣表示的單體系。但從符合馬克思原意的邏輯視角看，B-2體系將兩個總量相等的命題之一被修改為凈產(chǎn)品的生產(chǎn)價格總量等于凈價值總量，仍舊沒有完全實現(xiàn)兩個命題的證明，實現(xiàn)對馬克思價值轉(zhuǎn)形理論的復原。另一方面，B-1體系通過建立“平均利潤率不變”的假設以及榮兆梓等人通過建立“總剩余價值率不變”的假設，實現(xiàn)了兩個總量相等命題同時成立的證明。從這一過程來看，對結(jié)論是否符合馬克思經(jīng)濟理論原意的分析考察，本質(zhì)上是對轉(zhuǎn)形問題是否得到真正有效解決的追問。這也為數(shù)學模型化在馬克思主義政治經(jīng)濟學研究中的作用考察提供了一個重要視角，即注重結(jié)論的確定性和準確性。只有以一種確定性的方式對研究問題進行的準確回應，才能有利于真正推動實現(xiàn)研究的新境界。

從實踐層面而言，數(shù)理模型結(jié)論的正確性只是證明了轉(zhuǎn)形理論在數(shù)理表達和邏輯上的成功，但究竟是否正確仍要經(jīng)歷實踐的檢驗。無論是A體系或是B-1體系、B-2體系，都提供了一個確定且似乎恰當?shù)淖C明。但這種證明就一定具有準確性嗎？很顯然，上述分析在某種意義已經(jīng)表明并不如此。僅從已實現(xiàn)“兩個總量相等命題”證明的張忠任和榮兆梓等人的研究而言，其結(jié)論仍有待來自不同視角、不同層面的檢驗。結(jié)論的合理性不僅應該包括在數(shù)學形式層面證實，還要從不同角度用實際數(shù)據(jù)檢驗結(jié)論。這也是考察整個數(shù)學模型以及從數(shù)學模型中推導出來的結(jié)論是否具有經(jīng)濟學意義和能夠發(fā)揮其價值的核心所在，即能否經(jīng)得住對實踐的有力解釋和考察，從而真正實現(xiàn)理論與實踐的交相輝映。

四、馬克思價值轉(zhuǎn)形理論數(shù)理爭論的當代價值

通過以馬克思價值轉(zhuǎn)形理論的百年數(shù)理爭論為探索進路，梳理了轉(zhuǎn)形問題在不同時期的數(shù)理模型表達，并從假設前提的建立、數(shù)學方法的選擇和模型結(jié)論的考察三個方面對轉(zhuǎn)形問題的數(shù)理模型化進行了討論。從價值轉(zhuǎn)形問題的數(shù)理爭論中也進一步明確了數(shù)學在馬克思主義政治經(jīng)濟學的研究邊界。從梳理與探討中，進一步明確了，數(shù)理化實踐在認識論、方法論、實踐論三個層面蘊含著“推動馬克思主義政治經(jīng)濟學研究取得新進展”的重要價值。

首先，對轉(zhuǎn)形問題的討論表明，假設前提條件是實現(xiàn)數(shù)學模型化的重要基礎，也是引起長期爭論的主要原因。因此，要發(fā)揮數(shù)學在當代中國馬克思主義政治經(jīng)濟學研究的價值，前提是建立符合馬克思原意的假設前提。即在認識論層面而言，要立足原著、參悟原著，抽象出符合馬克思主義政治經(jīng)濟學內(nèi)容的假設前提。

第一，要求堅持歷史唯物主義和辯證法。針對經(jīng)濟問題要采取歷史的視角去理解它，使用辯證的角度去分析它，抽象出正確的假設前提。事實上，也只有堅持與運用同馬克思看待問題、分析問題同樣的根本方法，才能抽象符合馬克思原意的假設前提。第二，要求抓住經(jīng)濟問題的主要矛盾的主要方面。這是對辯證法的具體應用。轉(zhuǎn)形問題的主要矛盾就是實現(xiàn)兩個總量相等命題在轉(zhuǎn)形后成立。學者們抓住了這一點，從而推動對轉(zhuǎn)形問題研究的不斷深入。第三，要求全面地看待問題，不要拘泥于問題本身。轉(zhuǎn)形理論作為勞動價值理論的一部分，對其的認識與理解應從整個勞動價值論的角度，甚至整個馬克思主義政治經(jīng)濟學的高度去認識和理解。同樣地，馬克思主義政治經(jīng)濟學的數(shù)學模型化的假設前提不是隨意設置的，而是對整個理論理解的結(jié)果。第四，假設前提要是馬克思主義政治經(jīng)濟學含義的正確表達。這就要求背后有著充實的理論根基，沒有一個經(jīng)濟學意義的假設前提，就會造成整個數(shù)理表達的錯誤。

其次，一個合適的數(shù)學表達方法，能夠?qū)崿F(xiàn)經(jīng)濟問題表達的標準化、規(guī)范化和更具有邏輯性。而轉(zhuǎn)形問題的模型化表達在使用線性矩陣的基礎上，同時結(jié)合其他現(xiàn)代數(shù)學方法，不斷地調(diào)整模型化的表達，使其更準確地描述轉(zhuǎn)形問題，推動了轉(zhuǎn)形理論的發(fā)展。因此，要發(fā)揮數(shù)學在當代中國馬克思主義政治經(jīng)濟學研究的價值，重點是選擇和運用契合經(jīng)濟學意義的數(shù)學模型。即在方法論層面而言，要選擇和使用契合經(jīng)濟學意義的數(shù)學表達方法，防止過度使用數(shù)學。

具體而言，應遵循以下進路：一是識別。通過識別馬克思經(jīng)濟學中的理論是否能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學模型化表達，對于政治經(jīng)濟學中有些理論與內(nèi)容不具有數(shù)學表達的可能就不能采用數(shù)學方法強行表達。二是選擇。在馬克思主義政治經(jīng)濟學的模型化過程中要盡可能地使用現(xiàn)代數(shù)學成果?，F(xiàn)代數(shù)學已經(jīng)取得了很大的進展，具有標準性和規(guī)范性的特性，使用現(xiàn)代數(shù)學能夠?qū)崿F(xiàn)馬克思主義政治經(jīng)濟學的模型表達系統(tǒng)化，形成一個嚴密的邏輯表達體系。三是簡約化。數(shù)學模型化要遵循簡約化原則。數(shù)學模型的使用是清晰明了簡單地把復雜的經(jīng)濟問題表達出來。數(shù)學具有使復雜變?yōu)楹唵蔚慕稻S特性，不能把問題模型化后反而變得復雜。四是避免“濫用”?，F(xiàn)代主流經(jīng)濟學因為過度使用數(shù)學已經(jīng)受到了廣泛批評，馬克思主義經(jīng)濟學模型化同樣應該吸取這方面的教訓。漂亮的數(shù)學模型、完美的數(shù)學表達可能在經(jīng)濟學含義上并不符合實際，這就需要切實的分析，通過使用經(jīng)濟學的含義去檢驗數(shù)學模型，使其符合文字理論的表達。

最后，一個理論是否正確，最終要在實踐中檢驗。這種正確性包括兩個方面的內(nèi)涵：一是一個理論實現(xiàn)數(shù)理模型化的成功，二是在此基礎上使用現(xiàn)實的經(jīng)濟數(shù)據(jù)進行檢驗的成功。即在實踐論層面，要回歸實際，用實踐來檢驗結(jié)論。這取決于兩個關鍵因素。一是現(xiàn)實經(jīng)濟數(shù)據(jù)獲取的可靠性?，F(xiàn)在所使用的統(tǒng)計規(guī)則和數(shù)據(jù)是依靠新古典經(jīng)濟學理論構(gòu)建的，尤其是宏觀數(shù)據(jù)。就轉(zhuǎn)形理論的檢驗而言，主要依靠投入產(chǎn)出表，盡管投入產(chǎn)出表與馬克思的社會生產(chǎn)二大部類有很深的淵源，但在實際使用中還需要根據(jù)一定的原則進行調(diào)整。因此，在對馬克思主義政治經(jīng)濟學研究結(jié)論的檢驗中，首先是確保數(shù)據(jù)的可靠性，才能從源頭上保證后續(xù)檢驗的正確性。二是對證偽結(jié)論的判斷。一次檢驗能否否定結(jié)論，這需要從結(jié)論出發(fā)，重新系統(tǒng)性地梳理理論。通過堅持馬克思主義的立場、觀點和方法，從現(xiàn)實經(jīng)濟的表現(xiàn)中，從與其他理論闡釋的比較中，慎重地進行判斷，并依據(jù)判斷不斷地改進模型，通過模型進一步深化對理論機制的認識，最終形成對結(jié)論的理性判斷。

五、結(jié)語

百年來，數(shù)學在經(jīng)濟學研究中的不當使用招致了一些批判，但仍然不能忽視數(shù)學在經(jīng)濟學研究中的價值，尤其是不能忽視數(shù)學在當代馬克思主義政治經(jīng)濟學研究中的價值。當前，隨著現(xiàn)代數(shù)學的不斷發(fā)展和進步，推動實現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學方法與馬克思主義政治經(jīng)濟學研究的有機結(jié)合，不僅有利于在研究方法層面推動實現(xiàn)馬克思主義政治經(jīng)濟學的創(chuàng)新發(fā)展，更重要的是通過數(shù)學這一本身就富含邏輯、清晰簡潔的語言，更好地對馬克思主義經(jīng)濟理論進行有力闡釋，激活和釋放理論生命力，不斷推動21世紀馬克思主義政治經(jīng)濟學研究開辟新境界。

參考文獻：

[1]陸蓉，鄧鳴茂.經(jīng)濟學研究中“數(shù)學濫用”現(xiàn)象及反思[J].管理世界，2017（11）：10-21.

[2]Steve Fleetwood. What Kind of Theory is Marx's Labour Theory of Value？ A Critical Realist Inquiry. 2001， 25（1）：41-77.

[3]張文喜.對數(shù)學化的馬克思主義經(jīng)濟學的批判[J].學習論壇，2009（1）：51-54.

[4]朱富強.謹防馬克思經(jīng)濟學數(shù)理化過程中的庸俗化[J].經(jīng)濟學動態(tài)，2012（6）：58-67.

[5]丁曉欽，余斌.馬克思主義經(jīng)濟學研究中的數(shù)學應用問題[J].學習與探索，2008（3）：122-125.

[6]喬曉楠，何自力.唯物史觀、動態(tài)優(yōu)化與經(jīng)濟增長——兼評馬克思主義政治經(jīng)濟學的數(shù)學化[J].經(jīng)濟研究，2017（8）：17-32.

[7]張銜，駱楨，李亞偉.馬克思經(jīng)濟學的數(shù)理分析[M].四川大學出版社，2019：1-2.

[8]江永基.日本學者對數(shù)理馬克思經(jīng)濟學的主要貢獻[J].經(jīng)濟學動態(tài)，2010（2）：88-92.

[9]資本論：第3卷 [M]. 北京：人民出版社，2004：184-185.

[10]Sweezy P M . The Theory of Capitalist Development. Principles of Marxian Political Economy[J]. The Canadian Journal of Economics and Political Science，1943，9（4）：598-602.

[11]Winternitz J.Values and Prices： A Solution of the So-called Transformation Problem[J].The economic journal，1948，58（230）：276-280.

[12]Seton F.The "Transformation Problem"[J].The Review of Economic Studies，1957（3）.149-160.

[13]米克.勞動價值學說的研究[M].陳彪如，譯.北京：商務印書館，1979.

[14]張忠任.轉(zhuǎn)形問題的最終解決[J].數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究，2001（2）：91-94.

[15]Nobuo Okisio.A Mathematical Note on Marxian Theorems[J].Weltwirtschaftliches Archiv，1963（91）：287-299.

[16]Shaikh， A.Marxs theory of value and the transformation problem[M]. in The Subtle Anatomy of Capitalism. ed. J. Schwartz， and Santa Monica： Goodyear. 1977.

[17]Foley D.The value of money，the value of labor power and the Marxian transformation problem[J]．Review of Radical Political Economics，Summer，1982（2）.

[18]Dumenil G.Beyond the transformation riddle：a labor theory of value[J].Science and Society.1983-1984（4）.

[19]丁堡駿.轉(zhuǎn)形問題研究[J].中國社會科學，1999（5）：21-34+204-205.

[20]朱奎，馮金華.TSS學派單一分期體系與價值轉(zhuǎn)形問題再研究[J].求索，2008（2）：7-9+28.

[21]張忠任.轉(zhuǎn)形問題的最終解決[J].數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究，2001（2）：91-94.

[22]丁堡駿，黎貴才.轉(zhuǎn)形問題真的“最終解決”了嗎？——評張忠任先生關于轉(zhuǎn)形問題的解法[J].當代經(jīng)濟研究，2005（7）：3-8+73.

[23]馮金華.價值轉(zhuǎn)形：一個偽問題[J].經(jīng)濟評論，2008（3）：83-89.

[24]馮金華.不必要的生產(chǎn)價格——再論價值轉(zhuǎn)形是一個偽問題[J].經(jīng)濟評論，2009（4）：128-131.

[25]馮金華.生產(chǎn)價格會偏離價值嗎？——三論價值轉(zhuǎn)形是偽問題、兼評幾種偏離系數(shù)轉(zhuǎn)形模型[J].經(jīng)濟評論，2010（3）：19-23.

[26]裴宏.價值轉(zhuǎn)形是偽命題嗎？——與馮金華教授商榷以及一點評論[J].經(jīng)濟評論，2011（1）：31-38+50.

[27]余斌.價值轉(zhuǎn)形究竟是不是偽問題？[J].福建論壇（人文社會科學版），2013（4）：5-10.

[28]馬艷，嚴金強.轉(zhuǎn)形問題的理論分析及動態(tài)價值轉(zhuǎn)形模型的探討[J].馬克思主義研究，2010（9）：22-30+159.

[29]嚴金強，蔡民強.壟斷條件下的動態(tài)轉(zhuǎn)形理論模型與模擬演示[J].海派經(jīng)濟學，2016（4）：84-97.

[30]嚴金強，馬艷，蔡民強.動態(tài)價值轉(zhuǎn)形理論：模型與模擬演示[J].世界經(jīng)濟，2016（12）：3-21.

[31]榮兆梓，陳旸.轉(zhuǎn)形問題B體系：模型與計算[J].經(jīng)濟研究，2014（9）：149-161.

[32]榮兆梓，李幫喜，陳旸.馬克思主義廣義轉(zhuǎn)形理論及模型新探[J].馬克思主義研究，2016（2）：66-78.

[33]榮兆梓.成本價格轉(zhuǎn)形與轉(zhuǎn)形問題C體系的特點[J].世界經(jīng)濟，2020（6）：3-27.

[34]榮兆梓，陳旸.轉(zhuǎn)形問題B體系：模型與計算[J].經(jīng)濟研究，2014（9）：149-161.

責任編輯：彭銀春