李明睿，李瑞山，袁曉銘，陳卓識(shí)

（中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所地震工程與工程振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；地震災(zāi)害防治應(yīng)急管理部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江哈爾濱 150080）

引言

基本周期是表征場(chǎng)地動(dòng)力特性的最基本指標(biāo)，也是研究巖土地震工程中很多問(wèn)題的基礎(chǔ)。歷次震害調(diào)查研究表明：局部場(chǎng)地條件對(duì)地震動(dòng)特性以及震害嚴(yán)重程度有重要影響［1-2］。當(dāng)建筑物的自振周期與場(chǎng)地的基本周期相等或相近時(shí)，會(huì)引發(fā)強(qiáng)烈的共振作用，從而顯著增加建筑物的震動(dòng)響應(yīng)和破壞程度。為了避免這類震害發(fā)生，應(yīng)使建筑物的自振周期盡可能避開場(chǎng)地的基本周期［3］，因此，選擇可靠的方法對(duì)場(chǎng)地的基本周期進(jìn)行合理地估計(jì)便顯得十分重要。隨著巖土地震工程領(lǐng)域的學(xué)者們對(duì)場(chǎng)地放大效應(yīng)的研究越來(lái)越深入，發(fā)現(xiàn)地表30 m內(nèi)的等效剪切波速Vs30只能反映場(chǎng)地剛度的影響，而場(chǎng)地周期既能反映場(chǎng)地剛度的影響，還能考慮場(chǎng)地的覆蓋土層厚度的影響［4-5］，并且采用場(chǎng)地周期的單參數(shù)指標(biāo)相比Vs30而言能更好得表征場(chǎng)地的放大作用［6-7］。

從工程波動(dòng)理論來(lái)講，地震波從基巖向地表傳播的過(guò)程中，會(huì)在地層分界面存在不同程度的反射和透射現(xiàn)象，因此土層順序結(jié)構(gòu)的不同必然會(huì)導(dǎo)致場(chǎng)地動(dòng)力特性的差異。從這個(gè)角度來(lái)講，可靠的場(chǎng)地周期估算方法應(yīng)該具備考慮土層順序結(jié)構(gòu)差異性的能力。本文將選取四種場(chǎng)地周期估算方法來(lái)檢驗(yàn)其在我國(guó)實(shí)際工程場(chǎng)地中的適用性。由于成層場(chǎng)地的基本周期往往很難給出解析表達(dá)，所以在研究中通常采用數(shù)值掃頻的方法來(lái)獲得，并以此作為檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。不同頻率荷載輸入下，場(chǎng)地效應(yīng)傳遞函數(shù)表達(dá)式為［8］：

式中：ω為頻率；ω0和ξ分別為場(chǎng)地基頻（與基本周期對(duì)應(yīng)的圓頻率）和阻尼比。圖1給出了式（1）典型的頻響曲線，從圖中可以明顯看出：基頻附近的放大作用最強(qiáng)烈，頻響曲線的最高點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的荷載頻率即為場(chǎng)地基頻，相應(yīng)周期即為場(chǎng)地基本周期。

圖1 典型成層場(chǎng)地頻響曲線Fig.1 Typical frequency response curve of layered soil site

本文以傳遞函數(shù)法結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，選取了子層周期求和法、子層周期貢獻(xiàn)系數(shù)法、簡(jiǎn)化Rayleigh法以及逐層單自由度法，以我國(guó)605個(gè)實(shí)際工程鉆孔為標(biāo)本，對(duì)這四種方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比檢驗(yàn)，就不同方法的偏差進(jìn)行了深入分析，給出了其統(tǒng)計(jì)結(jié)果，并剖析了各方法應(yīng)用于實(shí)際工程場(chǎng)地的適宜性，為工程建設(shè)和后續(xù)的相關(guān)研究提供參考。

1 場(chǎng)地基本周期的計(jì)算方法

場(chǎng)地基本周期的計(jì)算方法較多，大致可以分為以下四類［9］：解析法、數(shù)值法、直接測(cè)定法以及簡(jiǎn)化算法。解析法是根據(jù)波動(dòng)方程推導(dǎo)出場(chǎng)地周期的理論解，目前只針對(duì)一些比較簡(jiǎn)單的理想場(chǎng)地模型，難以在實(shí)際工程場(chǎng)地中使用。數(shù)值法通常是采用差分法或有限元法來(lái)計(jì)算場(chǎng)地的基本周期，雖然從理論上講這種方法可適用于各種場(chǎng)地，但對(duì)于絕大多數(shù)實(shí)際工程而言由于其繁冗復(fù)雜并不具備實(shí)際可操作性。直接測(cè)定法無(wú)需鉆孔的測(cè)試資料，通過(guò)分析觀測(cè)的地脈動(dòng)等記錄來(lái)得到場(chǎng)地周期，但依賴觀測(cè)儀器的精準(zhǔn)性以及技術(shù)的可靠性，很難在實(shí)際當(dāng)中全面推廣。目前工程上一般采用基于土層剪切波速剖面的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。

本文選取的第一種方法是國(guó)內(nèi)外廣泛應(yīng)用的子層周期求和法，其具體表達(dá)見式（2）。從式中可以看出：該簡(jiǎn)化算法通過(guò)將各子層周期簡(jiǎn)單代數(shù)相加來(lái)獲得場(chǎng)地的基本周期，其無(wú)法考慮波速結(jié)構(gòu)對(duì)場(chǎng)地動(dòng)力特性的影響，計(jì)算所得的場(chǎng)地周期不隨土層順序的改變而變化。

式中：T為場(chǎng)地基本周期；hi和vi分別為第i層土的厚度和剪切波速；N為場(chǎng)地土層層數(shù)。

事實(shí)上，土層順序結(jié)構(gòu)的改變會(huì)直接導(dǎo)致土層界面性質(zhì)發(fā)生變化，進(jìn)而會(huì)對(duì)場(chǎng)地整體的動(dòng)力特性產(chǎn)生影響［10］。為此，李瑞山等［11］從波動(dòng)問(wèn)題物理本質(zhì)出發(fā)，提取了阻抗比和周期比作為反映不同土層條件下場(chǎng)地周期變化規(guī)律的基本特征量，并闡述了其完備性。在此基礎(chǔ)上提出了子層周期貢獻(xiàn)系數(shù)的概念，建立了其與阻抗比和周期比之間的一般關(guān)系式，采用子層周期加權(quán)累加的方式形成了一套具有明確物理意義的成層場(chǎng)地基本周期估算新方法，本文稱為子層周期貢獻(xiàn)系數(shù)法，其初始條件和遞推公式表達(dá)分別為式（3）和式（4），最終形成的計(jì)算公式如式（5）：

式中：Ti和Ti-1分別為考慮全部i層土和全部i-1層土后場(chǎng)地的基本周期；Ti為第i子層按單層精確解公式計(jì)算得到的周期；χi為第i子層對(duì)場(chǎng)地基本周期貢獻(xiàn)系數(shù)，代表第i子層周期的真實(shí)參與比例。

此外，齊文浩等［12］基于單自由度體系振動(dòng)理論，也提出了一種成層場(chǎng)地基本周期估算方法。該方法通過(guò)把水平成層場(chǎng)地逐層單自由度化，采用以深厚比加權(quán)的子層周期平方和開平方的形式，給出了如式（6）所表達(dá)的場(chǎng)地周期計(jì)算公式，本文稱為逐層單自由度法，其相較于規(guī)范法一個(gè)明顯的改進(jìn)是能夠考慮土層埋深的影響。

Rayleigh法適用于求解分布質(zhì)量的廣義單自由度體系或多自由度體系的任何一階自振頻率［13］，其計(jì)算公式如下：

式中：ρ和V分別代表場(chǎng)地各土層的密度和剪切波速；H為土層的總厚度；X是振型函數(shù)，當(dāng)求解場(chǎng)地基頻時(shí)，X為基本振型函數(shù)。

在實(shí)際操作時(shí)，首先需要假定其振型函數(shù)X（1），然后根據(jù)式（8）所給的公式不斷迭代，直到獲得滿足精度要求的結(jié)果。

Rayleigh法不僅具有較高的計(jì)算精度，其另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是收斂速度非?？臁ＭǔＴ诩俣ɑ菊裥秃?，經(jīng)過(guò)一次迭代便可獲得較高精度的計(jì)算結(jié)果。如果假定土層的基本振型X（1）=1，將其按式（8）計(jì)算后的X（2）帶入式（7），便可得到有較高精度的場(chǎng)地基頻估算值，此方法稱為簡(jiǎn)化Rayleigh法［14］。如果不考慮土層密度隨深度的變化，當(dāng)X（1）=1時(shí)，式（8）所給的迭代公式可以簡(jiǎn)化為：

對(duì)成層場(chǎng)地，第i層土的上邊界處（z=ziu）的振型函數(shù)值Xiu和下邊界處（z=zil）的振型函數(shù)值Xil之間的關(guān)系為：

式中：zmi是第i層土層中點(diǎn)的坐標(biāo)值，即zmi=（ziu+zil）/2；Hi是第i層的厚度，即Hi=ziu-zil。

當(dāng)用各層土中點(diǎn)的振型函數(shù)值代表該層土的振型時(shí)，自振頻率計(jì)算公式（7）可以簡(jiǎn)化為公式（11）。由此可見：簡(jiǎn)化Rayleigh法巧妙地假定X（1）=1，并忽略了土層重度隨深度的變化，在大幅降低計(jì)算復(fù)雜性的基礎(chǔ)上，保持了較高的計(jì)算精度。

2 工程場(chǎng)地剖面資料

為了使研究結(jié)果具有代表性，本文廣泛收集整理了我國(guó)實(shí)際工程場(chǎng)地地震安全性評(píng)價(jià)工作中的工程地質(zhì)鉆孔資料，共涉及到27個(gè)?。ㄗ灾螀^(qū)和直轄市），圖2中給出了鉆孔的分布情況。由于單一均勻覆蓋土層場(chǎng)地的基本周期存在解析解T=4h/vs，故本文不將這類場(chǎng)地納入對(duì)比研究的范疇，最終共篩選出了605組鉆孔深度達(dá)到工程基巖（剪切波速不小于500 m/s）的剪切波速剖面資料，依據(jù)我國(guó)現(xiàn)行的《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011-2010）［15］的場(chǎng)地類別劃分標(biāo)準(zhǔn)，其中：Ⅰ類場(chǎng)地10個(gè)；Ⅱ類場(chǎng)地300個(gè)；Ⅲ類場(chǎng)地249個(gè)；Ⅳ類場(chǎng)地46個(gè)。從篩選結(jié)果來(lái)看Ⅱ類和Ⅲ類場(chǎng)地的鉆孔數(shù)量占絕大多數(shù)，這與我國(guó)場(chǎng)地類別劃分標(biāo)準(zhǔn)中Ⅱ類和Ⅲ類場(chǎng)地分布最為廣泛的情況相一致。結(jié)合圖3中所給出的鉆孔覆蓋土層厚度和等效剪切波速的分布情況，可以看出本文所選場(chǎng)地樣本空間具有典型性和代表性。

圖2 鉆孔位置分布Fig.2 Map of borehole locations

圖3 鉆孔場(chǎng)地基本信息Fig.3 Basic information of the borehole sites

3 四種方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比檢驗(yàn)

基于篩選出來(lái)的場(chǎng)地鉆孔，利用傳遞函數(shù)法計(jì)算了場(chǎng)地的基本周期，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖4所示：Ⅰ類場(chǎng)地的分布范圍為0.016～0.054 s，Ⅱ類場(chǎng)地的分布范圍為0.031～0.842 s，Ⅲ類場(chǎng)地的分布范圍為0.414～1.603 s，Ⅳ類場(chǎng)地的分布范圍為0.845～2.646 s。從圖4可以看出：相鄰兩類別場(chǎng)地的周期分布范圍有重疊的區(qū)間，Ⅲ類場(chǎng)地和Ⅳ類場(chǎng)地之間的重疊現(xiàn)象尤為嚴(yán)重，本文所篩選出的46個(gè)Ⅳ類場(chǎng)地其中有45個(gè)的基本周期都落在Ⅲ類場(chǎng)地的周期分布范圍內(nèi)。場(chǎng)地周期作為反映場(chǎng)地動(dòng)力特性的重要指標(biāo)，不同類別場(chǎng)地周期分布范圍重疊嚴(yán)重的現(xiàn)象說(shuō)明現(xiàn)有的場(chǎng)地類別劃分方法區(qū)分度略顯不足，尚有研究改進(jìn)的余地。

圖4 四種類別場(chǎng)地基本周期分布范圍Fig.4 Distribution range of fundamental periods of four typesofsites

該次研究分別采用子層周期求和法、子層周期貢獻(xiàn)系數(shù)法、簡(jiǎn)化Rayleigh法以及逐層單自由度法對(duì)篩選出的605個(gè)場(chǎng)地鉆孔進(jìn)行了場(chǎng)地周期的計(jì)算。需要說(shuō)明的是：四種方法均統(tǒng)一直接采用鉆孔資料中所給出的場(chǎng)地土層劃分，在計(jì)算時(shí)不再對(duì)土層進(jìn)行進(jìn)一步剖分，且都不考慮土層重度沿深度的變化。Ⅱ類和Ⅲ類場(chǎng)地的鉆孔數(shù)量分別占到鉆孔總數(shù)的50%和41%，本文以Ⅱ類和Ⅲ類場(chǎng)地為例，繪制出四種方法計(jì)算所得的場(chǎng)地基本周期的散點(diǎn)分布，如圖5所示，其中虛線代表計(jì)算值與標(biāo)準(zhǔn)值相等（簡(jiǎn)稱“45°線”）。從圖中可以看出：（1）子層周期求和法的計(jì)算結(jié)果普遍存在顯著偏差。（2）在Ⅲ類場(chǎng)地上，子層周期求和法的偏差要明顯大于其在Ⅱ類場(chǎng)地上的偏差。（3）子層周期貢獻(xiàn)系數(shù)法和逐層單自由度法的計(jì)算結(jié)果集中地分布在“45°線”的兩側(cè)，說(shuō)明這兩種方法與傳遞函數(shù)法結(jié)果相對(duì)比較接近。（4）簡(jiǎn)化Rayleigh法在場(chǎng)地周期較小時(shí)與傳遞函數(shù)法結(jié)果比較接近，在場(chǎng)地周期較大時(shí)，存在一定程度的偏差。

圖5 不同方法計(jì)算所得場(chǎng)地基本周期分布Fig.5 Distribution of site fundamental periods calculated through the different methods

結(jié)合前面對(duì)四種方法的計(jì)算原理介紹，可以得出以下推論：子層周期求和法存在上述偏差分布特征的最主要因素是其無(wú)法考慮土層順序結(jié)構(gòu)的影響。Ⅲ類場(chǎng)地相較于Ⅱ類場(chǎng)地，覆蓋土層普遍更厚，波速結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，因此其偏差也就更大，這在后文圖7中體現(xiàn)的更加清楚。

圖6中分別給出了四種方法計(jì)算得到的場(chǎng)地基本周期相對(duì)偏差的分布情況。本文采用的相對(duì)偏差計(jì)算公式如式（12）。從圖中可以看出：（1）子層周期求和法的偏差明顯最大，在某些情況下其偏差甚至可以達(dá)到50%。（2）在絕大多數(shù)情況下，子層周期貢獻(xiàn)系數(shù)法和逐層單自由度法的計(jì)算結(jié)果大于標(biāo)準(zhǔn)值（偏差為正），簡(jiǎn)化Rayleigh法得到的結(jié)果小于標(biāo)準(zhǔn)值（偏差為負(fù)）。

圖6 不同方法計(jì)算所得場(chǎng)地基本周期偏差分布Fig.6 Distribution of relative deviations calculated through the different methods

式中：Test和Tstd分別代表基本周期的計(jì)算值和標(biāo)準(zhǔn)值。

表1中給出了四種方法計(jì)算所得場(chǎng)地基本周期偏差統(tǒng)計(jì)結(jié)果，需要說(shuō)明的是：該結(jié)果只考慮偏差的絕對(duì)大小，不再區(qū)分其偏大或是偏小。從表中可以看出：（1）子層周期求和法計(jì)算結(jié)果的相對(duì)偏差的平均值約為20%，最大偏差接近50%，在本文所選的四種方法當(dāng)中偏差最為顯著，計(jì)算精度最低。（2）子層周期貢獻(xiàn)系數(shù)法計(jì)算精度在本文所選的四種方法當(dāng)中明顯最高，其偏差平均值不超過(guò)3%且最大偏差不超過(guò)10%，偏差在5%以內(nèi)的工況占比達(dá)到85%。（3）簡(jiǎn)化Rayleigh法和逐層單自由度法的計(jì)算精度都要明顯高于子層周期求和法，二者偏差在5%以內(nèi)的工況占比分別達(dá)到80%和70%以上，但是簡(jiǎn)化Rayleigh法在個(gè)別情況下最大偏差會(huì)接近20%，當(dāng)某一層土的厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其它層的時(shí)候偏差尤為明顯，而逐層單自由度法的最大偏差一般只略大于10%。（4）子層周期求和法偏差的標(biāo)準(zhǔn)差要明顯大于其他三種方法，說(shuō)明其計(jì)算結(jié)果受場(chǎng)地波速結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度的影響最為明顯，這與其無(wú)法考慮土層順序結(jié)構(gòu)的特征是相一致的。

表1 四種方法計(jì)算所得場(chǎng)地周期相對(duì)偏差統(tǒng)計(jì)：（單位：%）Table 1 Statistics on relative deviation of site fundamental period calculated by four different methods（unit：%）

表2中給出了各方法在不同類別場(chǎng)地上的偏差均值。從中可以看出：子層周期求和法、子層周期貢獻(xiàn)系數(shù)法和逐層單自由度法的偏差均值在Ⅱ類和Ⅲ類場(chǎng)地上基本相當(dāng)，而在Ⅳ類場(chǎng)地上明顯更大；簡(jiǎn)化Rayleigh法的偏差均值在Ⅱ類場(chǎng)地上最大，在Ⅲ類和Ⅳ類場(chǎng)地上基本相當(dāng)。

表2 各方法在不同類別場(chǎng)地計(jì)算所得偏差均值：（單位：%）Table 2 Statistics on deviation mean of site fundamental period calculated by four different methods（unit：%）

圖7中給出了不同方法的相對(duì)偏差隨覆蓋層厚度變化的分布情況，其中虛線代表按線性擬合的變化趨勢(shì)線，從圖中可以看出：（1）子層周期求和法的相對(duì)偏差隨覆蓋層厚度的增加而明顯變大。（2）子層周期貢獻(xiàn)系數(shù)法、逐層單自由度法以及簡(jiǎn)化Rayleigh法的偏差結(jié)果受覆蓋層厚度變化的影響較小。這種變化規(guī)律更進(jìn)一步地印證了前面的推論，即子層周期求和法無(wú)法考慮土層順序結(jié)構(gòu)的影響，隨著覆蓋層厚度的增大，場(chǎng)地波速結(jié)構(gòu)總體上變得更復(fù)雜，由于其能力缺陷所導(dǎo)致的計(jì)算偏差也必然會(huì)更大，而另外三種方法能夠體現(xiàn)波速結(jié)構(gòu)差異對(duì)場(chǎng)地動(dòng)力特性的影響，其計(jì)算偏差受覆蓋土層厚度的微弱影響基本可以歸因于誤差累積。

圖7 不同方法相對(duì)偏差隨覆蓋層厚度變化Fig.7 Relative deviations of the different methods varies with the thickness of the cover layer

4 結(jié)論

本文收集整理并篩選出了國(guó)內(nèi)605組鉆孔深度達(dá)到工程基巖的剪切波速剖面資料，以傳遞函數(shù)法結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)四種計(jì)算場(chǎng)地基本周期的方法進(jìn)行了對(duì)比檢驗(yàn)，就不同方法的偏差進(jìn)行了深入分析，給出了其統(tǒng)計(jì)結(jié)果，并剖析了各方法應(yīng)用于實(shí)際工程場(chǎng)地的適宜性。從現(xiàn)有的資料看，得到具有統(tǒng)計(jì)意義的主要結(jié)果如下：

（1）我國(guó)規(guī)范所采用的子層周期求和法將各子層的周期簡(jiǎn)單代數(shù)相加來(lái)估計(jì)場(chǎng)地基本周期，雖然在工程中方便使用，但由于無(wú)法考慮土層順序結(jié)構(gòu)的影響，導(dǎo)致其計(jì)算結(jié)果普遍存在顯著偏差，偏差的平均值大于20%，最大偏差甚至接近50%，且偏差隨覆蓋層厚度的增大而明顯增大。

（2）簡(jiǎn)化Rayleigh法和逐層單自由度法相較于規(guī)范法計(jì)算精度均有大幅提高，二者偏差在5%以內(nèi)的工況占比分別達(dá)到80%和70%以上，但是簡(jiǎn)化Rayleigh法在個(gè)別情況下最大偏差會(huì)接近20%，而逐層單自由度法的最大偏差一般只略大于10%。

（3）子層周期貢獻(xiàn)系數(shù)法充分考慮了波速結(jié)構(gòu)對(duì)場(chǎng)地動(dòng)力特性的影響，采用了加權(quán)累加的計(jì)算方式，繼承了規(guī)范法便于操作的優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算精度是本文所選四種方法當(dāng)中最高的，其偏差平均值不超過(guò)3%且最大偏差不超過(guò)10%，偏差在5%以內(nèi)的工況占比達(dá)到85%，建議在實(shí)際工程中推廣應(yīng)用。

致謝：

在本文研究過(guò)程中，中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所李山有研究員給予了重要的幫助，在此表示感謝。