201200 上海市五三中學(xué) 戴嘯天

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)最基本的活動(dòng)之一，貫穿整個(gè)義務(wù)教育階段，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，主要是指“能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力”，“培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題”[1].有理數(shù)運(yùn)算作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起始，不僅是對(duì)小學(xué)運(yùn)算能力的提升和擴(kuò)展，更是后續(xù)學(xué)習(xí)整式運(yùn)算及方程的基石.

筆者以滬教版六年級(jí)數(shù)學(xué)教材第五章“有理數(shù)”章節(jié)為案例，遵從課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)及素質(zhì)教育要求，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，為學(xué)生搭建錯(cuò)題展示教學(xué)情境，采取解決問題的模式激發(fā)學(xué)生主動(dòng)尋找解題錯(cuò)因，并進(jìn)行錯(cuò)誤原因分析[2]，綜合運(yùn)用錯(cuò)題資源構(gòu)建合理的教學(xué)策略，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生有理數(shù)的運(yùn)算能力、加深對(duì)數(shù)學(xué)算理的理解以及對(duì)知識(shí)的探索、研究意識(shí)，在這一過程中完成對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

一、 案例背景

義務(wù)教育中的不同階段對(duì)運(yùn)算能力提出了各不相同的具體要求.小學(xué)階段的相關(guān)學(xué)習(xí)作為有理數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和入門，初中階段則比較完整和系統(tǒng)地學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律，此部分內(nèi)容奠定了初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基調(diào)，并影響著后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果.(如表1所示)

表1

滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)教材第五章設(shè)置了“有理數(shù)”章節(jié)，與小學(xué)階段相比，該知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)過程是更加系統(tǒng)和螺旋式上升的.

根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)混合運(yùn)算時(shí)通常會(huì)遇到以下困難.

一是符號(hào)辨別不清.中學(xué)階段引入了負(fù)數(shù)的概念，一些學(xué)生對(duì)符號(hào)的理解不深入，運(yùn)算基礎(chǔ)薄弱，運(yùn)算過程中常常會(huì)出現(xiàn)符號(hào)辨識(shí)不清、符號(hào)意識(shí)不強(qiáng)的問題.

二是對(duì)有理數(shù)運(yùn)算法則、運(yùn)算律的概念理解不深入、不全面.學(xué)生在運(yùn)算過程中會(huì)出現(xiàn)概念混淆、記憶不清楚和法則錯(cuò)誤使用等情況，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.

三是基礎(chǔ)不牢導(dǎo)致綜合運(yùn)算能力不強(qiáng).在初中有理數(shù)運(yùn)算中，為了鍛煉學(xué)生的綜合運(yùn)算能力，有些題目中會(huì)綜合引入多種運(yùn)算，以此來檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的掌握情況和概念的理解程度.運(yùn)算基礎(chǔ)薄弱、綜合運(yùn)算能力不強(qiáng)的學(xué)生會(huì)產(chǎn)生運(yùn)算順序混淆的現(xiàn)象，學(xué)生需正確理解概念和使用正確的運(yùn)算法則，這樣才能保證計(jì)算結(jié)果的正確性.

四是如何根據(jù)所求算式結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題.

在此次錯(cuò)題教學(xué)中，筆者針對(duì)以上問題設(shè)計(jì)了預(yù)設(shè)實(shí)踐策略.課前，學(xué)生分組繪制有理數(shù)數(shù)學(xué)小報(bào)，梳理知識(shí)結(jié)構(gòu).課上，交流反思日記，明確法則符號(hào)；自糾錯(cuò)誤，合作歸納錯(cuò)因.利用學(xué)生的錯(cuò)題開展教學(xué)直觀而有效，既調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，又加深了對(duì)問題、易錯(cuò)點(diǎn)的理解，提升了教學(xué)效果，培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力.

二、 教學(xué)過程

第一模塊：通過設(shè)計(jì)小報(bào)梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)

1．學(xué)生整理作業(yè)展示：有理數(shù)數(shù)學(xué)小報(bào).

2．復(fù)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算的法則及運(yùn)算律，師生共同完成思維導(dǎo)圖.

第二模塊：反思日記，明確法則符號(hào)

學(xué)生活動(dòng)以2人小組競賽的方式進(jìn)行簡單計(jì)算，強(qiáng)調(diào)有理數(shù)運(yùn)算要關(guān)注符號(hào).

第三模塊：錯(cuò)題情境搭建，小組合作探討、歸納錯(cuò)因

學(xué)生錯(cuò)誤1

=-210-70-10

=-290

錯(cuò)因分析：學(xué)生在利用乘法分配律時(shí)，應(yīng)先確定符號(hào)再運(yùn)算.因此，將-210與后面三個(gè)數(shù)相乘時(shí)，可以直接確定符號(hào).

學(xué)生錯(cuò)誤2

分析錯(cuò)因：除法不具有分配律，不能按照乘法分配律的方法進(jìn)行求解.

學(xué)生錯(cuò)誤3

錯(cuò)因分析：學(xué)生容易忽略或不注意運(yùn)算順序.同級(jí)運(yùn)算應(yīng)按照從左到右的順序依次計(jì)算.

針對(duì)練習(xí)4下列計(jì)算有沒有錯(cuò)誤？錯(cuò)在哪里？應(yīng)如何改正？

步驟1首先讓學(xué)生獨(dú)立思考，用紅筆找出錯(cuò)誤之處，并提供依據(jù)改正錯(cuò)誤，尋找發(fā)生錯(cuò)誤的原因.

步驟2學(xué)生在小組內(nèi)交流錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，組長匯總記錄，并進(jìn)行組外交流.

步驟3結(jié)合針對(duì)練習(xí)1到針對(duì)練習(xí)4的解題經(jīng)驗(yàn)，提出自己的運(yùn)算建議.

錯(cuò)因分析：(1)混合運(yùn)算按順序進(jìn)行.(2)弄清運(yùn)算對(duì)象，未辨明底數(shù)；除法中應(yīng)算出除數(shù)，不能用分配律.

第四模塊：編題練習(xí)準(zhǔn)確靈活計(jì)算

各小組組長抽取課前編制的題目，之后各小組進(jìn)行競賽，出題組長巡視并批改．

三、 實(shí)踐反思

(一)教學(xué)結(jié)構(gòu)層次分明，環(huán)環(huán)相扣

1.設(shè)計(jì)小報(bào)、思維導(dǎo)圖完成對(duì)知識(shí)的梳理

在學(xué)生對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)、理解中，需要通過不斷復(fù)習(xí)、重復(fù)練習(xí)來加深理解和加強(qiáng)記憶，在進(jìn)入錯(cuò)題情境之前，教師先讓學(xué)生以設(shè)計(jì)小報(bào)的方式復(fù)習(xí)、梳理有理數(shù)計(jì)算規(guī)則和各種運(yùn)算律，之后教師引導(dǎo)學(xué)生一起完成思維導(dǎo)圖，讓知識(shí)在頭腦中進(jìn)行系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化總結(jié)，形成知識(shí)的整體結(jié)構(gòu).(如圖1所示)

這是對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算的繼承與發(fā)展，也是初中代數(shù)運(yùn)算的鋪墊與準(zhǔn)備，更是大單元視角下打通小學(xué)、初中對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的統(tǒng)一認(rèn)識(shí).

2.合理運(yùn)用錯(cuò)題資源，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解

錯(cuò)題是非常有用的教學(xué)資源，通過對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行分析，學(xué)生不僅可以發(fā)現(xiàn)自己產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，也能幫助教師進(jìn)行及時(shí)的教學(xué)改進(jìn).教學(xué)過程中，充分有效地使用錯(cuò)題資源可以幫助學(xué)生更好地理解、獲取知識(shí)，大幅降低解題錯(cuò)誤的概率.(如圖2所示)

通過在三位學(xué)生的錯(cuò)題案例中改變、添加括號(hào)，使其轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌?、難度更高的題目，學(xué)生對(duì)比每道錯(cuò)題改編前后的解題，自己發(fā)現(xiàn)解題錯(cuò)誤原因，加深對(duì)有理數(shù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律的應(yīng)用實(shí)踐，加深對(duì)數(shù)學(xué)算法的理解，讓更多學(xué)生不再犯同樣的錯(cuò)誤.

(二)教學(xué)情境中的教師過程引導(dǎo)與過程評(píng)價(jià)

1.過程引導(dǎo)

數(shù)學(xué)錯(cuò)題情境教學(xué)中，學(xué)生作為學(xué)習(xí)主體，教師作為教學(xué)情境的搭建者和教學(xué)過程的引導(dǎo)者，要起到在把握整體教學(xué)基礎(chǔ)上適當(dāng)引導(dǎo)的作用[3]，如為培養(yǎng)學(xué)生思維的多向性和靈活性，教師在學(xué)生完成對(duì)一道題的解答后，可適當(dāng)通過“同學(xué)們還有別的解法嗎？”“這一步是否還有更好的解法？”“你覺得這種解法是最直接的嗎？”“誰還有更簡單的解題方法？”等問題來啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表不同的見解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.教師對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)與激勵(lì)、學(xué)生自我評(píng)價(jià)都基于教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，真正關(guān)注學(xué)生“學(xué)會(huì)了什么”.

另外，教師利用錯(cuò)題資源創(chuàng)設(shè)特定教學(xué)情境，讓學(xué)生去尋找錯(cuò)誤、認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤并改正錯(cuò)誤，學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體主動(dòng)完成對(duì)知識(shí)的“知錯(cuò)、認(rèn)錯(cuò)以及改錯(cuò)”過程，這是對(duì)知識(shí)的一種創(chuàng)造性學(xué)習(xí)和獲取，這一過程培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和記憶.

2.過程評(píng)價(jià)

學(xué)生在教學(xué)情境中自主探索知識(shí)時(shí)，可能會(huì)感到暫時(shí)的迷茫和沒有方向，教師要在過程中及時(shí)關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解進(jìn)展，并在學(xué)生取得階段性小成果后及時(shí)給予正面評(píng)價(jià).教師適時(shí)給予的恰當(dāng)評(píng)價(jià)不僅是對(duì)學(xué)生已完成任務(wù)的認(rèn)可，更可以增強(qiáng)學(xué)生的自信心，使學(xué)生信心滿滿地投入到下一步的知識(shí)探索進(jìn)程中.

(三)反思

有理數(shù)運(yùn)算的復(fù)習(xí)旨在讓學(xué)生真正理解算理，這是教師需要研究的問題.學(xué)生運(yùn)算中最大的障礙依舊是“符號(hào)”和“括號(hào)”的問題.這雖然是老生常談的問題，但如何將相關(guān)錯(cuò)誤降到最低是教師所要研究的.單純總結(jié)學(xué)生易錯(cuò)的原因還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，教師應(yīng)提煉出更為核心的內(nèi)容.即便學(xué)生順利完成了計(jì)算題，建議教師還要追問“為什么這樣算”“還可以怎么算”等，讓學(xué)生真正理解算理，檢查運(yùn)算的正確性，

體會(huì)優(yōu)算.在錯(cuò)題資源利用方面，學(xué)生嘗試通過修改題目，將運(yùn)算的錯(cuò)誤結(jié)果改為正確的，這凸顯了運(yùn)算順序及括號(hào)的重要性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的進(jìn)一步理解，提升學(xué)生反思的能力，解題思路也更開闊靈活，大大提升了課堂教學(xué)的趣味性.

四、 教學(xué)總結(jié)

從家庭作業(yè)的反饋結(jié)果來看，經(jīng)過錯(cuò)題情境教學(xué)后，學(xué)生計(jì)算題的正確率大大提高了，特別是課堂上被舉例的典型錯(cuò)題類型，基本沒有再出錯(cuò)的情況.雖然目前仍有個(gè)別學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確率較低，但與開展本節(jié)課教學(xué)之前相比，也有了一定程度的提高.結(jié)果顯示，錯(cuò)題情境教學(xué)課堂效果良好.

本次教學(xué)活動(dòng)實(shí)現(xiàn)了三個(gè)價(jià)值.第一，有理數(shù)一章是初中學(xué)習(xí)的起始.有理數(shù)運(yùn)算作為核心能力起到了承上啟下的作用，也是重要的數(shù)學(xué)能力之一.第二，基于課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于有理數(shù)運(yùn)算的診斷結(jié)果缺乏理想的評(píng)價(jià)，學(xué)生給出的評(píng)價(jià)大多為“馬虎了”，或是過度關(guān)注正確與否.第三，在“雙減”背景下，探究學(xué)生如何通過診斷評(píng)價(jià)學(xué)會(huì)正確評(píng)價(jià)自己，樹立自信心，激發(fā)內(nèi)驅(qū)力.

利用錯(cuò)題解析幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解是一種逆向思維教學(xué)方式，即通過對(duì)錯(cuò)題的分析和探討更好加深學(xué)生對(duì)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)的理解和應(yīng)用[4]，并能夠大幅度降低解題的出錯(cuò)率.唐春雨在文獻(xiàn)中提出了培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的“知錯(cuò)、認(rèn)錯(cuò)、改錯(cuò)”三步驟[5].所謂“知錯(cuò)”就是學(xué)生通過自查能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的點(diǎn)在哪里；“認(rèn)錯(cuò)”指的是分析錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，是對(duì)概念理解不到位還是混淆概念等；“改錯(cuò)”是去弄清楚錯(cuò)誤怎么改正.學(xué)生對(duì)知識(shí)的獲取是一個(gè)循環(huán)往復(fù)、螺旋式上升的過程，過程中對(duì)知識(shí)的理解從膚淺到深刻，對(duì)知識(shí)的應(yīng)用從機(jī)械到靈活，其中都存在出錯(cuò)環(huán)節(jié)，找到錯(cuò)誤并且能改正錯(cuò)誤就完成了對(duì)知識(shí)的獲取，也就是對(duì)知識(shí)進(jìn)行自我再創(chuàng)造的過程，是學(xué)習(xí)的必經(jīng)環(huán)節(jié).筆者以錯(cuò)題為案例搭建教學(xué)情境，與唐春雨提出的“知錯(cuò)、認(rèn)錯(cuò)、改錯(cuò)”良好學(xué)習(xí)習(xí)慣不謀而合，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展規(guī)律.

另外，錯(cuò)題情境教學(xué)或培養(yǎng)“知錯(cuò)、認(rèn)錯(cuò)、改錯(cuò)”良好習(xí)慣能充分發(fā)揮學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，體現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用[6]，在獲取知識(shí)的過程中培養(yǎng)了學(xué)生分析解決問題的能力，促進(jìn)了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科價(jià)值.通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，學(xué)生形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求學(xué)的科學(xué)精神，彰顯了數(shù)學(xué)運(yùn)算的教育價(jià)值.