方竹 張?zhí)祢U 汪銳 王雪怡

（重慶郵電大學通信與信息工程學院，重慶 400065）

1 引言

全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)（GNSS，Global Navigation Satellite System）是當前發(fā)展速度最快、應用廣泛的信息技術之一。無論是導航、測量、軍事、還是城市管理都離不開GNSS 系統(tǒng)。如何在有限的頻譜內實現(xiàn)精確的捕獲成為GNSS 的研究熱點。接收信號往往在兩萬公里以外，而且信號在穿過建筑物、隧道等障礙物時，甚至在遇到下雨天氣時都會衰減。實際的通信環(huán)境又非常復雜，飛行器速度非常快、甚至有加速度和加加速度的產生，所以接收到的信號往往具有大多普勒頻偏甚至一階多普勒變化率。因此，接收機接收到的大多數是含噪聲的動態(tài)信號。

目前，對于二進制偏移載波調制信號（BOC，Binary offset carrier）大多數捕獲算法都是在沒有多普勒頻率變化率的前提下使用，不能對高動態(tài)運動引起的一階多普勒變化率進行有效補償。為了捕獲到高動態(tài)環(huán)境下的BOC 信號，文獻［1-3］提出了使用部分匹配濾波器結合快速傅里葉變換（PMFFFT，Partially Matched Filter -Fast Fourier transform）的捕獲算法，提高了多普勒頻偏的分辨率，但仍無法補償多普勒變化率。文獻［4］使用離散多項式變換（DPT，Discrete polynomial transformation）對高階信號進行降階，再結合PMF-FFT 的方法進行捕獲，但是該方法在降階時會引入更多的噪聲，在信噪比較低時效果較差。文獻［5-7］提出部分匹配濾波器和分數階傅里葉變換（FRFT，F(xiàn)ractional Fourier transform）相結合的方法。通過FRFT實現(xiàn)了一階多普勒變化率的補償，但是傳統(tǒng)的FRFT 是通過對一個二維函數進行最大值搜索，如果想要獲得參數精度為0.001 的量級，需要在［0-2］內以變換階數為自變量，以分數階頻譜峰值為檢測因子，在時頻面上進行峰值搜索，進行2001次FRFT，這存在運算量較大的問題。且文獻［8］指出，隨著多普勒變化率的增大，其捕獲效率在相同信噪比條件下會隨之降低。對于低信噪比條件下信號的捕獲，文獻［9-12］皆采用相干非相干累積的方法提升信噪比。文獻［13］通過引入最大似然法來估計碼相位、多普勒頻偏，但是同樣的，也會引起巨大的運算量，難以滿足結構簡單、實時性強的接收機。因此，高動態(tài)環(huán)境下信號的精確捕獲受到了研究者的廣泛關注。

針對存在一階多普勒變化率的高動態(tài)BOC 信號捕獲速度慢，捕獲精度低的問題，本文提出基于分級PMF-FRFT結合功率譜累積的捕獲算法。該算法通過PMF 實現(xiàn)了分段處理，減少后續(xù)FRFT 的運算復雜度，利用分級分數階傅里葉變換結合功率譜累積快速搜索最佳階數，通過功率譜累積平均抑制噪聲，提升信號強度，然后在最優(yōu)階數下利用FRFT和功率譜累積完成對存在一階多普勒變化率的高動態(tài)信號精確捕獲。

2 高動態(tài)BOC 調制信號模型

高動態(tài)環(huán)境下，BOC 信號的接收模型可以表示為：

r(t)=Ad(t)s(t)exp[j2πφ(t) +φ0]+N(t) （1）

其中A表示信號幅度，d(t)表示導航電文，s(t)=c(t)sc(t)表示基帶信號，c(t)表示偽碼信號，sc(t)=sgn{sin[2πfsc(t)]｝或sc(t)=sgn{cos[2πfsc(t)]｝表示副載波信號，fsc是副載波頻率，φ0表示初始相位。N(t)表示均值為0，方差為σ2的加性高斯白噪聲信號。載波信號φ(t)可以表示為：

其中，fi和fd分別表示中頻頻率和多普勒頻偏，kd表示由加速度引起的一階多普勒變化率，φ是隨機相位。經下變頻、ADC 及離散采樣后，BOC 信號可以表示為：

其中φ(n)=2π[(fi+fd)nTs+kd(nTs)2+φ]，N(n)為噪聲，Ts表示采樣間隔。

3 基于分級PMF-FRFT 結合功率譜累積的捕獲算法原理

3.1 PMF過程

在存在一階多普勒變化率的高動態(tài)直接序列擴頻系統(tǒng)中，通常采用PMF-FRFT 算法。利用匹配濾波器實現(xiàn)接收信號和偽碼的快速相關，利用FRFT 對多普勒變化率進行補償，最終實現(xiàn)偽碼相位和多普勒頻偏的二維搜索。PMF 的具體過程如圖1所示。

圖1 PMF捕獲結構圖Fig.1 PMF capture structure diagram

匹配濾波器分別從接收信號和本地偽碼數據各取V個進行相關運算，并作相加處理，得到第一個PMF 的輸出，共取K段，得到K個PMF 的輸出。這樣就將長度為L的數據變?yōu)镵點數據，從而減少后續(xù)的FRFT點數，加快捕獲速度。

3.2 FRFT算法

一維時域信號x（t）到分數域的p階分數階傅里葉變換的定義為：

其中Fp是分數階傅里葉變換算子。核函數Kp(t，u)可以表達為：

圖2 線性調頻信號的FRFT域表示Fig.2 FRFT domain representation of linear frequency modulation signals

其中，Xp(u)表示信號在對應階次(p)下的分數階傅里葉變換幅度頻譜表達式。FRFT 作為一種新興的時頻分析工具，與傳統(tǒng)的傅里葉變換方式不同，F(xiàn)RFT 是將變換階次作為自變量，在最優(yōu)階數下，使線性調頻信號能量表現(xiàn)出沖激特性。當信號偽碼和本地偽碼對齊時，PMF-FRFT 算法中第i個PMF輸出可以表示為：

因而，存在一階多普勒變化率的信號部分相關結果可化為：

其中，R(·)表示相關函數，T表示相干積分時間，fd表示多普勒頻偏，kd表示多普勒變化率，v表示匹配濾波器的長度，X表示分段數，c(n+n′)為本地偽碼，N(n)為噪聲，Δτ表示碼相位延時誤差。Δτ表示為：

這里fr表示導航信號的射頻頻率。所以，存在一階多普勒變化率的信號部分相關的結果可以看作線性調頻信號。這個帶噪線性調頻信號S(n)在分數階傅里葉域的輸出可以表示為：

其中N表示樣本數，Δt是分數域的采樣間隔，?=UΔt。所以，S(n)的離散FRFT輸出為：

其能量的輸出峰值所在位置表示為：

從而能夠估計出多普勒頻率fd以及多普勒變化率kd。

其中表示為FRFT 域旋轉角度的估計值，表示FRFT 域最優(yōu)階數的估計值。因此PMF-FRFT 實現(xiàn)多普勒頻偏估計的前提是精確獲取最優(yōu)階數，在最優(yōu)階數下分析FRFT 的分數階頻譜。由文獻［14］得知，在搜索最優(yōu)階數時當搜索步長達到0.001 精度量級，估計誤差將不會再減小，達到CRLB 下界，此時運算量較大。于是，本文先進行參數的粗估計，然后在粗估計的小范圍內再進行參數的精細估計，重復進行，采取分級迭代［15-16］的方法來降低計算量，進而達到最優(yōu)階數的快速搜索。具體流程為：

a）首先選取p的初始范圍[0，2]，第一級選取搜索步長為0.1，以分數階頻譜峰值為檢測因子，在FRFT 域內搜索峰值點，假設第一級搜索的階數為a1(0 ＜a1＜2)。

b）以a1為中心，確定第二級最優(yōu)階數的搜索范圍[a1-0.1，a1+0.1]，然后再取第二級搜索步長0.01，確定第二級階數a2。

c）同理，進一步縮小最優(yōu)階數的范圍[a2-0.01，a2+0.01]，以0.001 為搜索步長，尋找FRFT域內分數階頻譜最大值進而達到高精度最優(yōu)階數的搜索。

3.3 分數階功率譜累積

通常情況下，PMF-FRFT 算法在尋找最優(yōu)階數和進行多普勒頻偏估計時都是用周期圖法來進行功率譜估計，但在周期圖法估計的過程中，由于噪聲和信號均表現(xiàn)出較強的隨機性，其結果存在偏差。而功率譜累積平均實現(xiàn)了對噪聲頻譜的平滑處理，在降低譜估計方差的同時，也達到了精確估計的目的。

該方法描述如下：

a）匹配濾波器的輸出序列做N1點FRFT 運算，則FRFT的輸出分數階功率譜向量可表示為：

P(r)表示FRFT 輸出的第r點分數階功率譜。(0 ≤r≤N1-1)

b）在接收端再順序取接收信號和本地偽碼順序延時做部分相關處理，得到N1個部分相關值，然后重復步驟a）Q次，于是就得到了Q個功率譜的輸出。

Pi(r)表示第i次第r點的分數階功率譜。

c）將這Q個功率譜進行累積處理，累積量為，通過功率譜累積平滑噪聲，從而突出信號在頻譜中的精度。最后選取其中的最大值進行后續(xù)處理。

基于分級PMF-FRFT結合功率譜累積算法的捕獲流程圖及步驟為：

本文所提的捕獲算法結構如圖3所示。

圖3 捕獲算法流程圖Fig.3 Flow chart of capture algorithm

步驟1接收到的BOC 信號經下變頻、模數轉換及離散采樣后，被切分成K段，其中每段為V點；

步驟2將每一段信號相對應的偽隨機碼也做同樣的處理，然后與接收信號做相關運算，接著對其加窗，做N1點分級FRFT 結合功率譜累積確定信號的最優(yōu)階數；

步驟3在最優(yōu)階數下做FRFT 運算再取模平方，然后做分數階功率譜累積平均，提升捕獲精度；

步驟4將累積后結果中最大值與預設門限進行比較，如果超過設定閾值，則說明接收信號與本地偽隨機碼相位對齊，捕獲成功，進入跟蹤階段；

步驟5如果最大值沒有超過設定閾值，則說明接收信號與本地偽隨機碼相位沒有對齊，然后根據式（12）獲得的動態(tài)參數進行多普勒頻偏補償，并滑動本地組合偽隨機碼，重復步驟2～4，直到捕獲成功為止。

4 仿真實驗分析

利用PMF-FRFT對含一階多普勒變化率的BOC信號進行仿真分析。動態(tài)環(huán)境下含一階多普勒變化率的BOC信號模型為：

本文采用2 階的BOC 信號，其中碼速率為1.023 MHz，偽碼周期長度為1023，采樣頻率為16.368 MHz。無特別說明，后續(xù)實驗中fd=0.15，kd=0.2/N2，N2=16368 表示擴頻碼的采樣點數。n0(t)是均值為零，方差為σ2的高斯白噪聲。實驗中匹配濾波器長度和分段數分別為1023 和16，使用Monte Carlo方法進行仿真。

實驗1不同算法獲取最優(yōu)階數

PMF-FRFT 算法捕獲含一階多普勒變化率的BOC 信號的過程中，精準的求出相關信號的最優(yōu)階數直接決定捕獲的精度。為驗證分級算法獲取信號最優(yōu)階數的正確性，實驗在SNR=-8 dB 時比較了分級和不分級算法對最優(yōu)階數的搜索，結果如圖4所示。

圖4 不同算法對最優(yōu)階數獲取精度的比較Fig.4 Comparison of optimal order acquisition accuracy between different algorithms

由實驗結果可以看出，在最優(yōu)階數精度為0.001 時，兩種算法均能尋找到最優(yōu)階數（p=1.504），并且都表現(xiàn)出明顯的譜峰值。但FRFT 算法經過了2001 次運算，而分級算法只需要63 次，大大減少了運算次數，縮短了搜索時間。

實驗2功率譜累積對最優(yōu)階數精度的影響

由3.2節(jié)可知，線性調頻信號在FRFT域的最優(yōu)匹配階數下表現(xiàn)出沖激特性。實驗比較了FRFT 算法功率譜累積前后信號的分數階頻譜。此時SNR=-30 dB，實驗結果如圖5所示。

通過圖5可知，在信噪比較低時FRFT算法搜索最優(yōu)階數受噪聲影響較大，譜線被噪聲淹沒。而通過功率譜累積Q（Q=10）次可準確突出峰值，獲取最優(yōu)階數(p=1.504)。因為功率譜累積對噪聲頻譜進行平滑處理，降低了噪聲譜的隨機性，進而準確的定位最優(yōu)階數。

圖5 不同算法對最優(yōu)階數精度的比較Fig.5 Comparison of obtaining accuracy of optimal order by different algorithms

實驗3輸出峰值比較

實驗在SNR=-25 dB 時比較了PMF-FRFT 分級與不分級算法、累積算法對捕獲峰值的影響。結果如圖6所示。

由圖6（a）、（b）比較可得，在相同信噪比條件下，分級捕獲算法中由于噪聲影響，沒有明確峰值，而PMF-FRFT 算法峰值較明顯。與PMF-FRFT 算法相比，分級算法會損失一定的捕獲精度。比較（b）、（c）、（d）可看出，功率譜累積平均算法峰值更明顯，且加窗可以突出峰值。可見，功率譜累積平均可以明顯提高捕獲精確性。

圖6 不同算法輸出峰值比較Fig.6 Output peaks of different algorithms

實驗4不同算法在不同信噪比下的捕獲概率

捕獲速度是接收機性能的一個重要參數，分級FRFT 可大幅度降低運算復雜度，提高搜索速度，然而，在提升速度的同時，對捕獲精度的研究非常有必要。實驗在多普勒變化率為kd=0.2/N2，不同信噪比條件下，對分級和不分級的PMF-FRFT 算法的檢測概率進行比較，經過1000 次Monte Carlo 仿真，結果如圖7所示。

由圖7可知，PMF-FRFT算法在信噪比為-17 dB左右實現(xiàn)對信號的捕獲，而分級算法性能下降。這是由于分級迭代算法中最優(yōu)階數搜索精度下降。所以，分級FRFT 算法提升運算速度的同時捕獲精度有所下降。

圖7 分級算法在不同信噪比下的捕獲概率Fig.7 Capture probability of graded at different SNR

實驗5窗函數對捕獲性能的影響

由于FRFT 中也會存在頻譜泄露，通過加窗，可以在一定程度上減少頻譜泄露。實驗比較了hanning 窗、kaiser 窗、不加窗在不同信噪比條件下對檢測性能的影響。經過2000 次Monte Carlo 仿真，結果如圖8所示。

圖8 窗函數對捕獲性能的影響Fig.8 Impact of window functions on capture performance

由圖8可知，在一定信噪比條件下，加窗可以提高檢測概率。其中kaiser 窗的效果要優(yōu)于hanning窗，加kaiser窗比不加窗的捕獲概率提高1 dB左右。

實驗6累加次數對捕獲性能的影響

功率譜累積平均可以提高檢測性能，實驗比較了不同累積次數下的捕獲概率。由分級PMF-FRFT累積算法經過1000次Monte Carlo仿真。結果如圖9所示。

圖9 不同累加次數隨信噪比變化的捕獲概率Fig.9 Acquisition probability with SNR variation under different accumulation times

通過理論分析和實驗仿真可知，隨著功率譜累積次數的增加，信號的捕獲靈敏度和準確度也越來越高。當累加次數為20次時，可以捕獲到-22 dB左右的信號，與圖7中未累加時相比，捕獲概率大約有13 dB 的提升，相比于PMF-FRFT 算法也有5 dB 左右提升。但是隨著累加次數的增加，運算量會提升。在實際情況中應合理選擇累加次數。

由文獻［17］可知，經典的PMF-FFT 算法中PMF復雜度與FFT 操作相比可忽略不計，因此PMF-FFT同步捕獲算法計算復雜度主要由FFT 操作決定。所以本文算法計算復雜度主要由FRFT 操作決定。表1 給出了不同算法之間搜索最優(yōu)階數時FRFT 運算次數的比較。

表1 不同算法搜索最優(yōu)階數時FRFT運算次數比較Tab.1 Comparison of FRFT operation times of different algorithms searching for optimal order

從搜索最優(yōu)階數時FRFT 運算次數的角度分析，在允許相同的階次誤差范圍內，分級FRFT 的運算量相對于FRFT 的搜索次數大幅度降低，具有實時檢測的性能。通過功率譜累積來提升搜索的精度，相同誤差搜索精度下，相比于FRFT，分級FRFT功率譜累積20 次，F(xiàn)RFT 的運算次數也少于前者。所以綜合來說本文的捕獲算法可以實現(xiàn)較低信噪比下動態(tài)信號的快速、精確捕獲。

5 結論

本文提出了高動態(tài)環(huán)境下BOC 信號的精確捕獲算法，該算法首先利用PMF 實現(xiàn)接收信號和本地偽碼快速相關，通過分級FRFT 結合功率譜累積快速搜索信號的最優(yōu)階數，減少了運算量，縮短了捕獲時間。在最優(yōu)階數下利用FRFT 結合分數階功率譜累積平均平滑了噪聲，實現(xiàn)了含一階多普勒變化率的動態(tài)BOC 信號的精確捕獲。實驗比較了分級PMF-FRFT 與PMF-FRFT 的算法，不同累加次數情況下分級PMF-FRFT算法對捕獲精度的影響。仿真結果表明，相比于原始的PMF-FRFT捕獲算法，本文所提方法可通過調節(jié)累積次數來適應不同噪聲環(huán)境下的捕獲，對于存在一階多普勒變化率的BOC 信號，在FRFT 點數為1023 時，利用功率譜累積20 次，在SNR=-22 dB 條件下仍能實現(xiàn)對信號的捕獲。因此，本文所提方法是一種更實用，更精確，應用范圍更廣的捕獲方法。