方竹 張?zhí)祢U 汪銳 王雪怡

（重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065）

1 引言

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（GNSS，Global Navigation Satellite System）是當(dāng)前發(fā)展速度最快、應(yīng)用廣泛的信息技術(shù)之一。無(wú)論是導(dǎo)航、測(cè)量、軍事、還是城市管理都離不開(kāi)GNSS 系統(tǒng)。如何在有限的頻譜內(nèi)實(shí)現(xiàn)精確的捕獲成為GNSS 的研究熱點(diǎn)。接收信號(hào)往往在兩萬(wàn)公里以外，而且信號(hào)在穿過(guò)建筑物、隧道等障礙物時(shí)，甚至在遇到下雨天氣時(shí)都會(huì)衰減。實(shí)際的通信環(huán)境又非常復(fù)雜，飛行器速度非常快、甚至有加速度和加加速度的產(chǎn)生，所以接收到的信號(hào)往往具有大多普勒頻偏甚至一階多普勒變化率。因此，接收機(jī)接收到的大多數(shù)是含噪聲的動(dòng)態(tài)信號(hào)。

目前，對(duì)于二進(jìn)制偏移載波調(diào)制信號(hào)（BOC，Binary offset carrier）大多數(shù)捕獲算法都是在沒(méi)有多普勒頻率變化率的前提下使用，不能對(duì)高動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)引起的一階多普勒變化率進(jìn)行有效補(bǔ)償。為了捕獲到高動(dòng)態(tài)環(huán)境下的BOC 信號(hào)，文獻(xiàn)［1-3］提出了使用部分匹配濾波器結(jié)合快速傅里葉變換（PMFFFT，Partially Matched Filter -Fast Fourier transform）的捕獲算法，提高了多普勒頻偏的分辨率，但仍無(wú)法補(bǔ)償多普勒變化率。文獻(xiàn)［4］使用離散多項(xiàng)式變換（DPT，Discrete polynomial transformation）對(duì)高階信號(hào)進(jìn)行降階，再結(jié)合PMF-FFT 的方法進(jìn)行捕獲，但是該方法在降階時(shí)會(huì)引入更多的噪聲，在信噪比較低時(shí)效果較差。文獻(xiàn)［5-7］提出部分匹配濾波器和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（FRFT，F(xiàn)ractional Fourier transform）相結(jié)合的方法。通過(guò)FRFT實(shí)現(xiàn)了一階多普勒變化率的補(bǔ)償，但是傳統(tǒng)的FRFT 是通過(guò)對(duì)一個(gè)二維函數(shù)進(jìn)行最大值搜索，如果想要獲得參數(shù)精度為0.001 的量級(jí)，需要在［0-2］內(nèi)以變換階數(shù)為自變量，以分?jǐn)?shù)階頻譜峰值為檢測(cè)因子，在時(shí)頻面上進(jìn)行峰值搜索，進(jìn)行2001次FRFT，這存在運(yùn)算量較大的問(wèn)題。且文獻(xiàn)［8］指出，隨著多普勒變化率的增大，其捕獲效率在相同信噪比條件下會(huì)隨之降低。對(duì)于低信噪比條件下信號(hào)的捕獲，文獻(xiàn)［9-12］皆采用相干非相干累積的方法提升信噪比。文獻(xiàn)［13］通過(guò)引入最大似然法來(lái)估計(jì)碼相位、多普勒頻偏，但是同樣的，也會(huì)引起巨大的運(yùn)算量，難以滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、實(shí)時(shí)性強(qiáng)的接收機(jī)。因此，高動(dòng)態(tài)環(huán)境下信號(hào)的精確捕獲受到了研究者的廣泛關(guān)注。

針對(duì)存在一階多普勒變化率的高動(dòng)態(tài)BOC 信號(hào)捕獲速度慢，捕獲精度低的問(wèn)題，本文提出基于分級(jí)PMF-FRFT結(jié)合功率譜累積的捕獲算法。該算法通過(guò)PMF 實(shí)現(xiàn)了分段處理，減少后續(xù)FRFT 的運(yùn)算復(fù)雜度，利用分級(jí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換結(jié)合功率譜累積快速搜索最佳階數(shù)，通過(guò)功率譜累積平均抑制噪聲，提升信號(hào)強(qiáng)度，然后在最優(yōu)階數(shù)下利用FRFT和功率譜累積完成對(duì)存在一階多普勒變化率的高動(dòng)態(tài)信號(hào)精確捕獲。

2 高動(dòng)態(tài)BOC 調(diào)制信號(hào)模型

高動(dòng)態(tài)環(huán)境下，BOC 信號(hào)的接收模型可以表示為：

r(t)=Ad(t)s(t)exp[j2πφ(t) +φ0]+N(t) （1）

其中A表示信號(hào)幅度，d(t)表示導(dǎo)航電文，s(t)=c(t)sc(t)表示基帶信號(hào)，c(t)表示偽碼信號(hào)，sc(t)=sgn{sin[2πfsc(t)]｝或sc(t)=sgn{cos[2πfsc(t)]｝表示副載波信號(hào)，fsc是副載波頻率，φ0表示初始相位。N(t)表示均值為0，方差為σ2的加性高斯白噪聲信號(hào)。載波信號(hào)φ(t)可以表示為：

其中，fi和fd分別表示中頻頻率和多普勒頻偏，kd表示由加速度引起的一階多普勒變化率，φ是隨機(jī)相位。經(jīng)下變頻、ADC 及離散采樣后，BOC 信號(hào)可以表示為：

其中φ(n)=2π[(fi+fd)nTs+kd(nTs)2+φ]，N(n)為噪聲，Ts表示采樣間隔。

3 基于分級(jí)PMF-FRFT 結(jié)合功率譜累積的捕獲算法原理

3.1 PMF過(guò)程

在存在一階多普勒變化率的高動(dòng)態(tài)直接序列擴(kuò)頻系統(tǒng)中，通常采用PMF-FRFT 算法。利用匹配濾波器實(shí)現(xiàn)接收信號(hào)和偽碼的快速相關(guān)，利用FRFT 對(duì)多普勒變化率進(jìn)行補(bǔ)償，最終實(shí)現(xiàn)偽碼相位和多普勒頻偏的二維搜索。PMF 的具體過(guò)程如圖1所示。

圖1 PMF捕獲結(jié)構(gòu)圖Fig.1 PMF capture structure diagram

匹配濾波器分別從接收信號(hào)和本地偽碼數(shù)據(jù)各取V個(gè)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，并作相加處理，得到第一個(gè)PMF 的輸出，共取K段，得到K個(gè)PMF 的輸出。這樣就將長(zhǎng)度為L(zhǎng)的數(shù)據(jù)變?yōu)镵點(diǎn)數(shù)據(jù)，從而減少后續(xù)的FRFT點(diǎn)數(shù)，加快捕獲速度。

3.2 FRFT算法

一維時(shí)域信號(hào)x（t）到分?jǐn)?shù)域的p階分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的定義為：

其中Fp是分?jǐn)?shù)階傅里葉變換算子。核函數(shù)Kp(t，u)可以表達(dá)為：

圖2 線性調(diào)頻信號(hào)的FRFT域表示Fig.2 FRFT domain representation of linear frequency modulation signals

其中，Xp(u)表示信號(hào)在對(duì)應(yīng)階次(p)下的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換幅度頻譜表達(dá)式。FRFT 作為一種新興的時(shí)頻分析工具，與傳統(tǒng)的傅里葉變換方式不同，F(xiàn)RFT 是將變換階次作為自變量，在最優(yōu)階數(shù)下，使線性調(diào)頻信號(hào)能量表現(xiàn)出沖激特性。當(dāng)信號(hào)偽碼和本地偽碼對(duì)齊時(shí)，PMF-FRFT 算法中第i個(gè)PMF輸出可以表示為：

因而，存在一階多普勒變化率的信號(hào)部分相關(guān)結(jié)果可化為：

其中，R(·)表示相關(guān)函數(shù)，T表示相干積分時(shí)間，fd表示多普勒頻偏，kd表示多普勒變化率，v表示匹配濾波器的長(zhǎng)度，X表示分段數(shù)，c(n+n′)為本地偽碼，N(n)為噪聲，Δτ表示碼相位延時(shí)誤差。Δτ表示為：

這里fr表示導(dǎo)航信號(hào)的射頻頻率。所以，存在一階多普勒變化率的信號(hào)部分相關(guān)的結(jié)果可以看作線性調(diào)頻信號(hào)。這個(gè)帶噪線性調(diào)頻信號(hào)S(n)在分?jǐn)?shù)階傅里葉域的輸出可以表示為：

其中N表示樣本數(shù)，Δt是分?jǐn)?shù)域的采樣間隔，?=UΔt。所以，S(n)的離散FRFT輸出為：

其能量的輸出峰值所在位置表示為：

從而能夠估計(jì)出多普勒頻率fd以及多普勒變化率kd。

其中表示為FRFT 域旋轉(zhuǎn)角度的估計(jì)值，表示FRFT 域最優(yōu)階數(shù)的估計(jì)值。因此PMF-FRFT 實(shí)現(xiàn)多普勒頻偏估計(jì)的前提是精確獲取最優(yōu)階數(shù)，在最優(yōu)階數(shù)下分析FRFT 的分?jǐn)?shù)階頻譜。由文獻(xiàn)［14］得知，在搜索最優(yōu)階數(shù)時(shí)當(dāng)搜索步長(zhǎng)達(dá)到0.001 精度量級(jí)，估計(jì)誤差將不會(huì)再減小，達(dá)到CRLB 下界，此時(shí)運(yùn)算量較大。于是，本文先進(jìn)行參數(shù)的粗估計(jì)，然后在粗估計(jì)的小范圍內(nèi)再進(jìn)行參數(shù)的精細(xì)估計(jì)，重復(fù)進(jìn)行，采取分級(jí)迭代［15-16］的方法來(lái)降低計(jì)算量，進(jìn)而達(dá)到最優(yōu)階數(shù)的快速搜索。具體流程為：

a）首先選取p的初始范圍[0，2]，第一級(jí)選取搜索步長(zhǎng)為0.1，以分?jǐn)?shù)階頻譜峰值為檢測(cè)因子，在FRFT 域內(nèi)搜索峰值點(diǎn)，假設(shè)第一級(jí)搜索的階數(shù)為a1(0 ＜a1＜2)。

b）以a1為中心，確定第二級(jí)最優(yōu)階數(shù)的搜索范圍[a1-0.1，a1+0.1]，然后再取第二級(jí)搜索步長(zhǎng)0.01，確定第二級(jí)階數(shù)a2。

c）同理，進(jìn)一步縮小最優(yōu)階數(shù)的范圍[a2-0.01，a2+0.01]，以0.001 為搜索步長(zhǎng)，尋找FRFT域內(nèi)分?jǐn)?shù)階頻譜最大值進(jìn)而達(dá)到高精度最優(yōu)階數(shù)的搜索。

3.3 分?jǐn)?shù)階功率譜累積

通常情況下，PMF-FRFT 算法在尋找最優(yōu)階數(shù)和進(jìn)行多普勒頻偏估計(jì)時(shí)都是用周期圖法來(lái)進(jìn)行功率譜估計(jì)，但在周期圖法估計(jì)的過(guò)程中，由于噪聲和信號(hào)均表現(xiàn)出較強(qiáng)的隨機(jī)性，其結(jié)果存在偏差。而功率譜累積平均實(shí)現(xiàn)了對(duì)噪聲頻譜的平滑處理，在降低譜估計(jì)方差的同時(shí)，也達(dá)到了精確估計(jì)的目的。

該方法描述如下：

a）匹配濾波器的輸出序列做N1點(diǎn)FRFT 運(yùn)算，則FRFT的輸出分?jǐn)?shù)階功率譜向量可表示為：

P(r)表示FRFT 輸出的第r點(diǎn)分?jǐn)?shù)階功率譜。(0 ≤r≤N1-1)

b）在接收端再順序取接收信號(hào)和本地偽碼順序延時(shí)做部分相關(guān)處理，得到N1個(gè)部分相關(guān)值，然后重復(fù)步驟a）Q次，于是就得到了Q個(gè)功率譜的輸出。

Pi(r)表示第i次第r點(diǎn)的分?jǐn)?shù)階功率譜。

c）將這Q個(gè)功率譜進(jìn)行累積處理，累積量為，通過(guò)功率譜累積平滑噪聲，從而突出信號(hào)在頻譜中的精度。最后選取其中的最大值進(jìn)行后續(xù)處理。

基于分級(jí)PMF-FRFT結(jié)合功率譜累積算法的捕獲流程圖及步驟為：

本文所提的捕獲算法結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 捕獲算法流程圖Fig.3 Flow chart of capture algorithm

步驟1接收到的BOC 信號(hào)經(jīng)下變頻、模數(shù)轉(zhuǎn)換及離散采樣后，被切分成K段，其中每段為V點(diǎn)；

步驟2將每一段信號(hào)相對(duì)應(yīng)的偽隨機(jī)碼也做同樣的處理，然后與接收信號(hào)做相關(guān)運(yùn)算，接著對(duì)其加窗，做N1點(diǎn)分級(jí)FRFT 結(jié)合功率譜累積確定信號(hào)的最優(yōu)階數(shù)；

步驟3在最優(yōu)階數(shù)下做FRFT 運(yùn)算再取模平方，然后做分?jǐn)?shù)階功率譜累積平均，提升捕獲精度；

步驟4將累積后結(jié)果中最大值與預(yù)設(shè)門(mén)限進(jìn)行比較，如果超過(guò)設(shè)定閾值，則說(shuō)明接收信號(hào)與本地偽隨機(jī)碼相位對(duì)齊，捕獲成功，進(jìn)入跟蹤階段；

步驟5如果最大值沒(méi)有超過(guò)設(shè)定閾值，則說(shuō)明接收信號(hào)與本地偽隨機(jī)碼相位沒(méi)有對(duì)齊，然后根據(jù)式（12）獲得的動(dòng)態(tài)參數(shù)進(jìn)行多普勒頻偏補(bǔ)償，并滑動(dòng)本地組合偽隨機(jī)碼，重復(fù)步驟2～4，直到捕獲成功為止。

4 仿真實(shí)驗(yàn)分析

利用PMF-FRFT對(duì)含一階多普勒變化率的BOC信號(hào)進(jìn)行仿真分析。動(dòng)態(tài)環(huán)境下含一階多普勒變化率的BOC信號(hào)模型為：

本文采用2 階的BOC 信號(hào)，其中碼速率為1.023 MHz，偽碼周期長(zhǎng)度為1023，采樣頻率為16.368 MHz。無(wú)特別說(shuō)明，后續(xù)實(shí)驗(yàn)中fd=0.15，kd=0.2/N2，N2=16368 表示擴(kuò)頻碼的采樣點(diǎn)數(shù)。n0(t)是均值為零，方差為σ2的高斯白噪聲。實(shí)驗(yàn)中匹配濾波器長(zhǎng)度和分段數(shù)分別為1023 和16，使用Monte Carlo方法進(jìn)行仿真。

實(shí)驗(yàn)1不同算法獲取最優(yōu)階數(shù)

PMF-FRFT 算法捕獲含一階多普勒變化率的BOC 信號(hào)的過(guò)程中，精準(zhǔn)的求出相關(guān)信號(hào)的最優(yōu)階數(shù)直接決定捕獲的精度。為驗(yàn)證分級(jí)算法獲取信號(hào)最優(yōu)階數(shù)的正確性，實(shí)驗(yàn)在SNR=-8 dB 時(shí)比較了分級(jí)和不分級(jí)算法對(duì)最優(yōu)階數(shù)的搜索，結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同算法對(duì)最優(yōu)階數(shù)獲取精度的比較Fig.4 Comparison of optimal order acquisition accuracy between different algorithms

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在最優(yōu)階數(shù)精度為0.001 時(shí)，兩種算法均能尋找到最優(yōu)階數(shù)（p=1.504），并且都表現(xiàn)出明顯的譜峰值。但FRFT 算法經(jīng)過(guò)了2001 次運(yùn)算，而分級(jí)算法只需要63 次，大大減少了運(yùn)算次數(shù)，縮短了搜索時(shí)間。

實(shí)驗(yàn)2功率譜累積對(duì)最優(yōu)階數(shù)精度的影響

由3.2節(jié)可知，線性調(diào)頻信號(hào)在FRFT域的最優(yōu)匹配階數(shù)下表現(xiàn)出沖激特性。實(shí)驗(yàn)比較了FRFT 算法功率譜累積前后信號(hào)的分?jǐn)?shù)階頻譜。此時(shí)SNR=-30 dB，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

通過(guò)圖5可知，在信噪比較低時(shí)FRFT算法搜索最優(yōu)階數(shù)受噪聲影響較大，譜線被噪聲淹沒(méi)。而通過(guò)功率譜累積Q（Q=10）次可準(zhǔn)確突出峰值，獲取最優(yōu)階數(shù)(p=1.504)。因?yàn)楣β首V累積對(duì)噪聲頻譜進(jìn)行平滑處理，降低了噪聲譜的隨機(jī)性，進(jìn)而準(zhǔn)確的定位最優(yōu)階數(shù)。

圖5 不同算法對(duì)最優(yōu)階數(shù)精度的比較Fig.5 Comparison of obtaining accuracy of optimal order by different algorithms

實(shí)驗(yàn)3輸出峰值比較

實(shí)驗(yàn)在SNR=-25 dB 時(shí)比較了PMF-FRFT 分級(jí)與不分級(jí)算法、累積算法對(duì)捕獲峰值的影響。結(jié)果如圖6所示。

由圖6（a）、（b）比較可得，在相同信噪比條件下，分級(jí)捕獲算法中由于噪聲影響，沒(méi)有明確峰值，而PMF-FRFT 算法峰值較明顯。與PMF-FRFT 算法相比，分級(jí)算法會(huì)損失一定的捕獲精度。比較（b）、（c）、（d）可看出，功率譜累積平均算法峰值更明顯，且加窗可以突出峰值?？梢?jiàn)，功率譜累積平均可以明顯提高捕獲精確性。

圖6 不同算法輸出峰值比較Fig.6 Output peaks of different algorithms

實(shí)驗(yàn)4不同算法在不同信噪比下的捕獲概率

捕獲速度是接收機(jī)性能的一個(gè)重要參數(shù)，分級(jí)FRFT 可大幅度降低運(yùn)算復(fù)雜度，提高搜索速度，然而，在提升速度的同時(shí)，對(duì)捕獲精度的研究非常有必要。實(shí)驗(yàn)在多普勒變化率為kd=0.2/N2，不同信噪比條件下，對(duì)分級(jí)和不分級(jí)的PMF-FRFT 算法的檢測(cè)概率進(jìn)行比較，經(jīng)過(guò)1000 次Monte Carlo 仿真，結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知，PMF-FRFT算法在信噪比為-17 dB左右實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的捕獲，而分級(jí)算法性能下降。這是由于分級(jí)迭代算法中最優(yōu)階數(shù)搜索精度下降。所以，分級(jí)FRFT 算法提升運(yùn)算速度的同時(shí)捕獲精度有所下降。

圖7 分級(jí)算法在不同信噪比下的捕獲概率Fig.7 Capture probability of graded at different SNR

實(shí)驗(yàn)5窗函數(shù)對(duì)捕獲性能的影響

由于FRFT 中也會(huì)存在頻譜泄露，通過(guò)加窗，可以在一定程度上減少頻譜泄露。實(shí)驗(yàn)比較了hanning 窗、kaiser 窗、不加窗在不同信噪比條件下對(duì)檢測(cè)性能的影響。經(jīng)過(guò)2000 次Monte Carlo 仿真，結(jié)果如圖8所示。

圖8 窗函數(shù)對(duì)捕獲性能的影響Fig.8 Impact of window functions on capture performance

由圖8可知，在一定信噪比條件下，加窗可以提高檢測(cè)概率。其中kaiser 窗的效果要優(yōu)于hanning窗，加kaiser窗比不加窗的捕獲概率提高1 dB左右。

實(shí)驗(yàn)6累加次數(shù)對(duì)捕獲性能的影響

功率譜累積平均可以提高檢測(cè)性能，實(shí)驗(yàn)比較了不同累積次數(shù)下的捕獲概率。由分級(jí)PMF-FRFT累積算法經(jīng)過(guò)1000次Monte Carlo仿真。結(jié)果如圖9所示。

圖9 不同累加次數(shù)隨信噪比變化的捕獲概率Fig.9 Acquisition probability with SNR variation under different accumulation times

通過(guò)理論分析和實(shí)驗(yàn)仿真可知，隨著功率譜累積次數(shù)的增加，信號(hào)的捕獲靈敏度和準(zhǔn)確度也越來(lái)越高。當(dāng)累加次數(shù)為20次時(shí)，可以捕獲到-22 dB左右的信號(hào)，與圖7中未累加時(shí)相比，捕獲概率大約有13 dB 的提升，相比于PMF-FRFT 算法也有5 dB 左右提升。但是隨著累加次數(shù)的增加，運(yùn)算量會(huì)提升。在實(shí)際情況中應(yīng)合理選擇累加次數(shù)。

由文獻(xiàn)［17］可知，經(jīng)典的PMF-FFT 算法中PMF復(fù)雜度與FFT 操作相比可忽略不計(jì)，因此PMF-FFT同步捕獲算法計(jì)算復(fù)雜度主要由FFT 操作決定。所以本文算法計(jì)算復(fù)雜度主要由FRFT 操作決定。表1 給出了不同算法之間搜索最優(yōu)階數(shù)時(shí)FRFT 運(yùn)算次數(shù)的比較。

表1 不同算法搜索最優(yōu)階數(shù)時(shí)FRFT運(yùn)算次數(shù)比較Tab.1 Comparison of FRFT operation times of different algorithms searching for optimal order

從搜索最優(yōu)階數(shù)時(shí)FRFT 運(yùn)算次數(shù)的角度分析，在允許相同的階次誤差范圍內(nèi)，分級(jí)FRFT 的運(yùn)算量相對(duì)于FRFT 的搜索次數(shù)大幅度降低，具有實(shí)時(shí)檢測(cè)的性能。通過(guò)功率譜累積來(lái)提升搜索的精度，相同誤差搜索精度下，相比于FRFT，分級(jí)FRFT功率譜累積20 次，F(xiàn)RFT 的運(yùn)算次數(shù)也少于前者。所以綜合來(lái)說(shuō)本文的捕獲算法可以實(shí)現(xiàn)較低信噪比下動(dòng)態(tài)信號(hào)的快速、精確捕獲。

5 結(jié)論

本文提出了高動(dòng)態(tài)環(huán)境下BOC 信號(hào)的精確捕獲算法，該算法首先利用PMF 實(shí)現(xiàn)接收信號(hào)和本地偽碼快速相關(guān)，通過(guò)分級(jí)FRFT 結(jié)合功率譜累積快速搜索信號(hào)的最優(yōu)階數(shù)，減少了運(yùn)算量，縮短了捕獲時(shí)間。在最優(yōu)階數(shù)下利用FRFT 結(jié)合分?jǐn)?shù)階功率譜累積平均平滑了噪聲，實(shí)現(xiàn)了含一階多普勒變化率的動(dòng)態(tài)BOC 信號(hào)的精確捕獲。實(shí)驗(yàn)比較了分級(jí)PMF-FRFT 與PMF-FRFT 的算法，不同累加次數(shù)情況下分級(jí)PMF-FRFT算法對(duì)捕獲精度的影響。仿真結(jié)果表明，相比于原始的PMF-FRFT捕獲算法，本文所提方法可通過(guò)調(diào)節(jié)累積次數(shù)來(lái)適應(yīng)不同噪聲環(huán)境下的捕獲，對(duì)于存在一階多普勒變化率的BOC 信號(hào)，在FRFT 點(diǎn)數(shù)為1023 時(shí)，利用功率譜累積20 次，在SNR=-22 dB 條件下仍能實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的捕獲。因此，本文所提方法是一種更實(shí)用，更精確，應(yīng)用范圍更廣的捕獲方法。