朱晗歸 馮存前 馮為可 劉成梁

（中國(guó)人民解放軍空軍工程大學(xué)，防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西西安 710051）

1 引言

波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）估計(jì)技術(shù)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、電子偵察、無(wú)線電通信等領(lǐng)域，是陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要研究方向［1］。典型的DOA 估計(jì)方法包括：Capon 空間譜估計(jì)方法［2］、特征子空間類多重信號(hào)分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）方法［3］和基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法（Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique，ESPRIT）［4］等。這些方法可以獲得較高的角度分辨率，實(shí)際應(yīng)用廣泛，但需要利用多快拍接收數(shù)據(jù)對(duì)信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行估計(jì)，且無(wú)法對(duì)相干信號(hào)源進(jìn)行有效處理。為解決這些問(wèn)題，學(xué)者們提出了空間平滑和矩陣重構(gòu)等改進(jìn)方法［5-6］進(jìn)行解相干處理，利用單快拍接收數(shù)據(jù)估計(jì)信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行DOA 估計(jì)。然而，這些方法往往具有角度分辨率降低、計(jì)算復(fù)雜度升高等問(wèn)題。

近年來(lái)，稀疏恢復(fù)（Sparse Recovery，SR）理論的發(fā)展［7-11］為DOA 估計(jì)提供了新的思路。通過(guò)對(duì)角度空間或空間頻率進(jìn)行網(wǎng)格劃分，構(gòu)建導(dǎo)向矢量字典，使得陣列接收數(shù)據(jù)呈現(xiàn)稀疏特性，可以將DOA估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為稀疏信號(hào)的恢復(fù)問(wèn)題，從而利用單快拍數(shù)據(jù)對(duì)相干信號(hào)源進(jìn)行高分辨DOA 估計(jì)。目前，用于求解SR-DOA 模型的算法主要包括L1 范數(shù)最小化算法、正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法和平滑L0（Smoothed L0，SL0）算法［12-14］等。其中，L1范數(shù)最小化算法將SR問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解，具有較高的精度，但運(yùn)算比較復(fù)雜；OMP 算法計(jì)算成本低、估計(jì)誤差較小，但往往需要信號(hào)稀疏度等先驗(yàn)信息；SL0算法估計(jì)精度高、無(wú)需先驗(yàn)信息、運(yùn)算復(fù)雜度低，但通常需要對(duì)其參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，限制了其在實(shí)際中的應(yīng)用。

隨著深度學(xué)習(xí)（Deep Learning，DL）技術(shù)的發(fā)展［15］，相關(guān)學(xué)者將深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Deep Neural Networks，DNN）技術(shù)應(yīng)用到DOA 估計(jì)之中。例如，文獻(xiàn)［16］首先基于自編碼器進(jìn)行空間濾波，然后通過(guò)多層感知器進(jìn)行信號(hào)擬合，實(shí)現(xiàn)了兩源DOA 估計(jì)；文獻(xiàn)［17］將DOA 估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多分類問(wèn)題，利用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Convolutional Neural Network，CNN）實(shí)現(xiàn)了不同信號(hào)源條件下的DOA 估計(jì)；文獻(xiàn)［18］提出了Deep-MUSIC 方法，利用多個(gè)CNN 學(xué)習(xí)接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣與MUSIC 空間譜之間的非線性關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了多源DOA 估計(jì)。但是，上述方法實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)的理論性和可解釋性不強(qiáng)，且均需多快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行協(xié)方差矩陣估計(jì)，作為DNN的輸入。

為利用DNN 的優(yōu)點(diǎn)，并保持SR 的可解釋性，Gregor 等提出了深度展開(kāi)（Deep Unfolding，DU）方法［19］。DU 方法的本質(zhì)是將特定的迭代SR 算法展開(kāi)為一個(gè)DNN，網(wǎng)絡(luò)層數(shù)代表SR 算法的迭代次數(shù)，網(wǎng)絡(luò)各層的參數(shù)代表SR 算法的迭代參數(shù)。利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)該DNN 進(jìn)行訓(xùn)練，可以獲得所對(duì)應(yīng)SR 算法的最優(yōu)參數(shù)，從而提高稀疏恢復(fù)性能。受DU 方法的啟發(fā)，為解決現(xiàn)有SR-DOA 方法存在的參數(shù)設(shè)置困難、精度有待提高等問(wèn)題，本文結(jié)合模型驅(qū)動(dòng)的SL0 算法和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的DL 方法，提出SL0 網(wǎng)絡(luò)（SL0-Net），用于求解SR-DOA 模型，獲得高分辨DOA 估計(jì)。首先，建立了SR-DOA 模型，對(duì)SL0算法進(jìn)行了介紹，并分析了其數(shù)據(jù)流圖。其次，將SL0算法展開(kāi)為一個(gè)多層DNN，構(gòu)建了SL0-Net，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)主要包括更新層和投影層，網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為SL0 算法的逼近參數(shù)和迭代步長(zhǎng)。最后，通過(guò)定義網(wǎng)絡(luò)損失函數(shù)、構(gòu)建數(shù)據(jù)集，對(duì)SL0-Net 進(jìn)行訓(xùn)練，得到最優(yōu)參數(shù)進(jìn)行DOA 估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比SL0 算法，本文所提出的SL0-Net 能夠在運(yùn)算復(fù)雜度較低的條件下提高DOA 估計(jì)性能；相比于L1 算法和OMP 算法，SL0-Net 能夠在信號(hào)源數(shù)目未知的情況下快速獲得高分辨DOA估計(jì)結(jié)果。

2 信號(hào)模型

2.1 SR-DOA模型

假設(shè)有Z個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到由M個(gè)陣元構(gòu)成的一維均勻線陣（Uniform Linear Array，ULA），則第ti(i=1，2，…，I) 時(shí)刻陣列接收的信號(hào)可表示為：

式中sz(ti)為第z個(gè)信號(hào)的復(fù)幅度，z=1，2，…，Z，n(ti)為零均值高斯白噪聲，a(fz)為第z個(gè)信號(hào)的導(dǎo)向矢量，表示為：

式中fz=2dsinθz/λ為第z個(gè)信號(hào)所對(duì)應(yīng)的空間頻率，d為陣元間距，λ為信號(hào)波長(zhǎng)，θz為第z個(gè)信號(hào)與陣列之間的夾角，[·]T表示轉(zhuǎn)置。

式（1）可改寫(xiě)為矢量形式，表示為：

式中AZ=[a(f1)，a(f2)，…，a(fZ)]∈CM×Z為信號(hào)導(dǎo)向矢量矩陣，sZ(ti)=[s1(ti)，s2(ti)，…，sZ(ti)]∈CZ×1為信號(hào)幅度矢量。

DOA 估計(jì)的目的在于基于式（3）得到不同入射信號(hào)的空間頻率f1，f2，…，fZ，從而得到信號(hào)角度θ1，θ2，…，θZ。若I=1，則對(duì)應(yīng)單快拍DOA 估計(jì)模型；若I＞1，則對(duì)應(yīng)多快拍DOA 估計(jì)模型。本文僅考慮單快拍下的DOA 估計(jì)，因此在后續(xù)推導(dǎo)中將忽略時(shí)間變量ti。

為基于SR-DOA 模型進(jìn)行DOA 估計(jì)，可將整個(gè)空間頻率范圍平均劃分為N個(gè)網(wǎng)格，基于不同的空間頻率f1，f2，…，fN構(gòu)造導(dǎo)向矢量字典A，表示為：

在此基礎(chǔ)上，假設(shè)Z個(gè)入射信號(hào)的空間頻率均位于所劃分的網(wǎng)格上，則陣列接收信號(hào)矢量可表征為：

式中s∈CN×1為N個(gè)空間頻率所對(duì)應(yīng)的復(fù)幅度矢量。由于信號(hào)源個(gè)數(shù)Z一般遠(yuǎn)小于網(wǎng)格數(shù)N，因此s中僅包含少量非零元素，即s為稀疏的?；诖?，可以將DOA 估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下所示的稀疏恢復(fù)問(wèn)題：

式中ε表示噪聲電平分別表示向量的L0范數(shù)和L2范數(shù)。

2.2 SL0算法

由于L0范數(shù)是向量的不連續(xù)函數(shù)，因此需要利用組合搜索的方法對(duì)式（6）進(jìn)行求解，這種方法運(yùn)算復(fù)雜度高，無(wú)法在實(shí)際中進(jìn)行應(yīng)用。為解決這個(gè)問(wèn)題，SL0 算法通過(guò)構(gòu)造一簇高斯函數(shù)逼近L0 范數(shù)，從而將離散函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，并結(jié)合最速下降法和梯度投影法最小化平滑函數(shù)所構(gòu)成的代價(jià)函數(shù)，對(duì)式（6）進(jìn)行求解。具體而言，考慮如下函數(shù)：

其滿足：

因此，假設(shè)sn為s的第n個(gè)元素，定義如下代價(jià)函數(shù)：

則式（6）可以轉(zhuǎn)化為下式進(jìn)行求解

逼近參數(shù)σ決定了Fσ(s)逼近L0范數(shù)的程度和平滑性：σ越小，則Fσ(s)越接近于L0 范數(shù)，但越不光滑，造成式（10）越難以求解。為了能夠盡可能得到式（6）的最優(yōu)解，SL0 算法采用一個(gè)σ的遞減序列對(duì)式（10）進(jìn)行求解，其具體過(guò)程如表1所示。

表1 SL0算法Tab.1 SL0 algorithm

對(duì)于SL0 算法，σ序列和μ序列均提前給定，一般情況下可令σ1=2max|s(0)|，σk=cσk-1，c=0.5～1，μ1=…=μK=μ＞0。然而，固定的σ和μ并不能保證SL0 算法獲得最好的收斂結(jié)果，不恰當(dāng)?shù)脑O(shè)置將會(huì)導(dǎo)致SL0算法估計(jì)精度下降、收斂速度變慢。

2.3 SL0數(shù)據(jù)流圖

為了方便構(gòu)建本文SL0-Net，如圖1所示，將SL0算法的主要迭代步驟映射為一個(gè)數(shù)據(jù)流圖，其主要由SL0算法所對(duì)應(yīng)的不同節(jié)點(diǎn)和不同節(jié)點(diǎn)之間表示數(shù)據(jù)流動(dòng)的有向邊組成。數(shù)據(jù)流圖的第k層表示SL0算法的第k次外層迭代，其包括2L個(gè)子層，即更新層和投影層?？梢钥闯觯琒L0算法的K× 2L次迭代可以映射為一個(gè)K層的數(shù)據(jù)流圖，輸入的陣列接收數(shù)據(jù)將沿著此數(shù)據(jù)流圖進(jìn)行傳遞，獲得DOA估計(jì)結(jié)果。

圖1 SL0算法的數(shù)據(jù)流圖Fig.1 The data flow graph of SL0 algorithm

3 基于SL0-Net的DOA估計(jì)

實(shí)際上，對(duì)于式（6）所示的SR 問(wèn)題，當(dāng)導(dǎo)向矢量字典A固定，且向量s服從一定的稀疏分布時(shí)，接收數(shù)據(jù)y也會(huì)服從一定的分布。此時(shí)，可假設(shè)存在一組最優(yōu)的σ序列和μ序列，使得對(duì)于所有服從一定分布的數(shù)據(jù)，SL0算法均能夠進(jìn)行高效稀疏恢復(fù)。因此，為了解決SL0算法所存在的參數(shù)設(shè)置問(wèn)題，結(jié)合模型驅(qū)動(dòng)算法的可解釋性和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)深度學(xué)習(xí)方法的非線性擬合能力，本節(jié)基于SL0 算法的迭代步驟和數(shù)據(jù)流圖，構(gòu)建SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)，將其用于求解SR-DOA 模型。SL0-Net 主要包括更新層和投影層，網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為逼近參數(shù)σ和迭代步長(zhǎng)μ。基于服從一定分布的訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)SL0-Net 進(jìn)行訓(xùn)練，能夠獲得最優(yōu)的σ序列和μ序列，提高DOA估計(jì)的性能。

下面，對(duì)SL0-Net 的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)集構(gòu)建、參數(shù)學(xué)習(xí)策略、初始化與訓(xùn)練方法四部分內(nèi)容進(jìn)行具體描述。

3.1 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

根據(jù)表1 所示的算法步驟和圖1 所示的數(shù)據(jù)流圖，可以將SL0 算法等效為一個(gè)如圖2 所示的K層網(wǎng)絡(luò)，即SL0-Net，其輸入為y、A和s(0)，參數(shù)為{σ1，…，σK}和{μ1，…，μK}，非線性激活函數(shù)為PL(·)，輸出為s(K)。其中，SL0-Net 的第k（k=1，2，…，K）層運(yùn)算可表示為：

圖2 SL0-Net網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.2 The network structure of SL0-Net

非線性激活函數(shù)PL(·)即為SL0 算法的內(nèi)部循環(huán)（即表1中的步驟3），可以表示為一個(gè)L層的子網(wǎng)絡(luò)，其輸入為和μk，輸出為第l層（l=1，2，…，L）的結(jié)構(gòu)如圖3所示，其主要包括更新層（藍(lán)色框）和投影層（橙色框），具體描述如下。

圖3 子網(wǎng)絡(luò)P（L·）的第l層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.3 The structure of the l-th layer of sub-network P（L·）

3.2 數(shù)據(jù)集構(gòu)建

本文所構(gòu)建的SL0-Net 是一種“模型+數(shù)據(jù)”聯(lián)合驅(qū)動(dòng)的稀疏恢復(fù)方法，合理構(gòu)建具有泛化能力的數(shù)據(jù)集是決定其有效性的關(guān)鍵。只有構(gòu)建充足完備的數(shù)據(jù)集，SL0-Net 在訓(xùn)練過(guò)程中才不容易出現(xiàn)過(guò)擬合現(xiàn)象，從而獲得較好的稀疏恢復(fù)性能。為了使得信號(hào)源的數(shù)量、DOA 和幅度以及陣列接收數(shù)據(jù)均具有一定的分布，本文按照“固定導(dǎo)向矢量字典A、隨機(jī)產(chǎn)生具有一定分布的稀疏向量s、生成對(duì)應(yīng)的陣列接收數(shù)據(jù)y”的方式構(gòu)建數(shù)據(jù)集。具體而言：

1）給定陣元數(shù)M、陣元間隔d、波長(zhǎng)λ、空間頻率范圍[fmin，fmax]和網(wǎng)格數(shù)N，根據(jù)式（4）構(gòu)建導(dǎo)向矢量字典A；

2）產(chǎn)生Q個(gè)稀疏向量s作為訓(xùn)練標(biāo)簽集（即、O個(gè)稀疏向量s作為測(cè)試標(biāo)簽集（即，其中每個(gè)s的各個(gè)元素相互獨(dú)立，服從伯努利分布，以概率P具有非零值，且非零元素的幅度服從復(fù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；

需要說(shuō)明的是，由于在實(shí)際應(yīng)用中噪聲電平一般是未知的，因此本文在訓(xùn)練SL0-Net 的過(guò)程中，僅利用不含噪聲的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，在測(cè)試時(shí)則在數(shù)據(jù)中加入噪聲以驗(yàn)證SL0-Net在不同SNR條件下的性能。

3.3 參數(shù)學(xué)習(xí)策略

所構(gòu)建SL0-Net 的參數(shù)包括{σ1，…，σK}和{μ1，…，μK}，為對(duì)它們進(jìn)行優(yōu)化，本文考慮兩種網(wǎng)絡(luò)參數(shù)學(xué)習(xí)策略，分別對(duì)應(yīng)SL0-Net1和SL0-Net2。

（1）SL0-Net1

參考SL0 算法的參數(shù)設(shè)置，SL0-Net1令σk=cσk-1、μ1=…=μk，其中c為衰減因子。因此，該網(wǎng)絡(luò)將僅對(duì)σ1、c和μ1三個(gè)參數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，以獲得較好的{σ1，…，σK}和{μ1，…，μK}。這種方式的優(yōu)勢(shì)在于網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)參數(shù)較少，因此訓(xùn)練時(shí)間較短、陷入局部最優(yōu)的概率較小，缺點(diǎn)在于網(wǎng)絡(luò)的非線性擬合能力不足。

（2）SL0-Net2

SL0-Net2不再受限于σk=cσk-1和μ1=…=μk，而是對(duì)于每一層的σk和μk均進(jìn)行學(xué)習(xí)，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)參數(shù)個(gè)數(shù)為2K。這種學(xué)習(xí)策略的優(yōu)勢(shì)在于靈活性高，網(wǎng)絡(luò)具有較高的非線性擬合能力，缺點(diǎn)在于網(wǎng)絡(luò)容易陷入局部最優(yōu)、訓(xùn)練時(shí)間較長(zhǎng)。需要強(qiáng)調(diào)的是，由于包含的運(yùn)算相同，因此在相同層數(shù)的條件下，經(jīng)過(guò)訓(xùn)練的SL0-Net1 和SL0-Net2 在應(yīng)用時(shí)將具有相同的運(yùn)算復(fù)雜度。

3.4 初始化和訓(xùn)練方法

網(wǎng)絡(luò)的初始化和訓(xùn)練方法對(duì)于SL0-Net 的性能具有一定的影響：較好的初始化和訓(xùn)練方法能夠使得網(wǎng)絡(luò)更容易達(dá)到收斂，在一定程度上避免陷入局部最優(yōu)。

（1）初始化

為了使所提出的SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)適用于具有一定分布的所有陣列接收數(shù)據(jù)和稀疏向量，而不是僅對(duì)單一數(shù)據(jù)對(duì)有效，我們令網(wǎng)絡(luò)的輸入s(0)=0，且根據(jù)SL0 算法的典型參數(shù)設(shè)置，在SL0-Net1 中，按照的方式進(jìn)行初始化，其中在SL0-Net2 中，按照的方式進(jìn)行初始化。需要強(qiáng)調(diào)的是，與SL0 算法相比，SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)在初始化時(shí)避免了計(jì)算y=As的最小二乘范數(shù)解。因此，在迭代次數(shù)相同的情況下，SL0-Net網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算復(fù)雜度較低。

（2）訓(xùn)練方法

給定網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K和訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，定義歸一化均方誤差（Normalized Mean Square Error，NMSE）為網(wǎng)絡(luò)損失函數(shù)，表示為：

對(duì)于SL0-Net2，為了避免陷入局部最優(yōu)，可利用逐層訓(xùn)練的方法對(duì)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)。具體而言，在對(duì)網(wǎng)絡(luò)前k層進(jìn)行訓(xùn)練獲得的前提下，分兩步對(duì)網(wǎng)絡(luò)的前k+1層參數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練。首先，保持不變，利用后向傳播算法求解如式（16）所示的優(yōu)化問(wèn)題學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)的第k+1層參數(shù)Θk+1：

利用逐層訓(xùn)練的方法，從第1 層開(kāi)始一直到第K層，即可學(xué)習(xí)得到SL0-Net2 的最優(yōu)參數(shù)Θ*=

在對(duì)其網(wǎng)絡(luò)參數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)優(yōu)化后，即可將SL0-Net 應(yīng)用于實(shí)際的DOA 估計(jì)之中。具體而言，對(duì)于新的陣列接收數(shù)據(jù)，可利用下式獲得DOA估計(jì)結(jié)果：

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)所提SL0-Net的DOA 估計(jì)性能進(jìn)行驗(yàn)證，并與SL0 算法、OMP 算法和L1 范數(shù)最小化算法進(jìn)行對(duì)比分析。其中，在不同仿真中均設(shè)陣元間隔d=λ/2、空間頻率范圍為[-1，1]、SL0 算法內(nèi)部循環(huán)的次數(shù)和SL0-Net 子網(wǎng)絡(luò)PL(·)的層數(shù)均為L(zhǎng)=3。本文根據(jù)式（14）定義的NMSE 指標(biāo)衡量不同算法的DOA 估計(jì)性能，所有仿真均基于MATLAB 2021a實(shí)現(xiàn)，平臺(tái)為聯(lián)想P920圖形工作站，算法運(yùn)行時(shí)間基于MATLAB的TIC和TOC命令獲得。

4.1 DOA估計(jì)性能

首先，給定陣元數(shù)M=40、網(wǎng)格數(shù)N=161、稀疏概率P=0.01，驗(yàn)證SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)的DOA 估計(jì)性能及其相比其他算法的優(yōu)勢(shì)。

將SL0-Net 的網(wǎng)絡(luò)層數(shù)設(shè)為K=10，根據(jù)3.2 節(jié)所述方法構(gòu)建Q=10000 的不含噪聲的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，利用Adam 算法（迭代次數(shù)為4000）對(duì)SL0-Net1和SL0-Net2 分別進(jìn)行訓(xùn)練，可獲得如表2 和表3 所示的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果?？梢钥闯?，兩種參數(shù)學(xué)習(xí)策略得到的{σ1，…，σK}和{μ1，…，μK}均與SL0 算法的典型設(shè)置不同。特別是SL0-Net2，學(xué)習(xí)得到的參數(shù)不受σk=cσk-1和μ1=…=μk限制，具有更高的靈活性。在對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練后，構(gòu)建O=1000 的不含噪聲的測(cè)試數(shù)據(jù)集，分析比較SL0、SL0-Net1 和SL0-Net2 的DOA 估計(jì)性能。其中，SL0 算法的參數(shù)為：迭代次數(shù)K=10，對(duì)于每一測(cè)試數(shù)據(jù)。圖4給出了SL0、SL0-Net1 和SL0-Net2 對(duì)四個(gè)測(cè)試樣本進(jìn)行處理所得到的DOA 估計(jì)結(jié)果。可以看出，在不同信號(hào)源數(shù)目的條件下，本文所提SL0-Net，特別是SL0-Net2，均能夠獲得相比SL0 算法更優(yōu)的DOA 估計(jì)結(jié)果，SL0-Net的估計(jì)精度更高、旁瓣水平更低。

圖4 SL0算法、SL0-Net1和SL0-Net2的DOA估計(jì)結(jié)果Fig.4 DOA estimation results obtained by SL0，SL0-Net1，and SL0-Net2

表2 SL0-Net1參數(shù)訓(xùn)練結(jié)果Tab.2 Parameter optimization results of SL0-Net1

表3 SL0-Net2參數(shù)訓(xùn)練結(jié)果Tab.3 Parameter optimization results of SL0-Net2

圖5給出了利用L1范數(shù)最小化算法、OMP 算法和所提SL0-Net2 對(duì)四個(gè)不同測(cè)試樣本進(jìn)行處理所得到的DOA 估計(jì)結(jié)果。由圖5（a）和圖5（c）可以看出，當(dāng)信號(hào)源角度間隔較大且信號(hào)源個(gè)數(shù)已知時(shí)，L1 算法和OMP 算法相比所提方法性能較優(yōu)。由圖5（b）可以看出，當(dāng)信號(hào)源角度間隔較小時(shí)，所提SL0-Net2 能夠更容易分辨出不同的信號(hào)源，相比L1算法和OMP 算法具有更高的角度分辨率。由圖5（d）可以看出，當(dāng)信號(hào)源個(gè)數(shù)未知時(shí)，OMP 算法容易丟失信號(hào)源（該樣本所包含的信號(hào)源個(gè)數(shù)為4，OMP 算法的迭代次數(shù)設(shè)為3）。進(jìn)一步的，表4 給出了利用不同算法對(duì)所有測(cè)試樣本（O=1000）進(jìn)行處理所需要的運(yùn)行時(shí)間和所得到的DOA 估計(jì)誤差，其中OMP 算法的迭代次數(shù)按照不同測(cè)試樣本所包含的信號(hào)源個(gè)數(shù)進(jìn)行設(shè)置。可以看出，所提SL0-Net的DOA 估計(jì)性能僅次于L1 算法，運(yùn)行時(shí)間僅次于OMP 算法。因此，相比于L1 算法、OMP 算法和SL0算法，SL0-Net 更適于實(shí)際環(huán)境中信號(hào)源個(gè)數(shù)未知條件下的快速高分辨DOA估計(jì)。

表4 不同算法DOA估計(jì)的運(yùn)行時(shí)間和歸一化均方根誤差Tab.4 Running time and NMSEs of different algorithms

圖5 L1算法、OMP算法和SL0-Net2的DOA估計(jì)結(jié)果Fig.5 DOA estimation results obtained by L1，OMP，and SL0-Net2

4.2 SL0-Net分析

本小節(jié)對(duì)SL0-Net的DOA 估計(jì)性能與網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K、稀疏概率P、網(wǎng)格數(shù)N、信噪比SNR 的關(guān)系進(jìn)行分析。由于SL0-Net2 相比SL0-Net1 具有更優(yōu)的性能，下面僅對(duì)SL0-Net2進(jìn)行分析。

傳統(tǒng)蒽環(huán)類藥物目前依然廣泛地用于治療各種惡性腫瘤，但其骨髓抑制和心臟毒性等不良反應(yīng)嚴(yán)重限制了臨床應(yīng)用。脂質(zhì)體阿霉素的心臟毒性、骨髓抑制、脫發(fā)等不良反應(yīng)較傳統(tǒng)蒽環(huán)類藥物顯著降低，能否取代傳統(tǒng)蒽環(huán)類藥物有待進(jìn)行更多、更大規(guī)模的臨床研究加以驗(yàn)證。

首先，給定陣元數(shù)M=20/30/40、網(wǎng)格數(shù)N=161、稀疏概率P=0.01，生成不含噪聲的測(cè)試數(shù)據(jù)，驗(yàn)證SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)性能與網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K之間的關(guān)系，所得結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯?，隨著網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的增加，SL0-Net 的NMSE 逐漸減少，DOA 估計(jì)性能不斷提高，且均優(yōu)于SL0 算法。由于SL0 算法的參數(shù)固定，過(guò)多的迭代次數(shù)并不能顯著提高其DOA 估計(jì)性能。相比之下，所提SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)的可學(xué)習(xí)參數(shù)隨著網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的增加而增多，通過(guò)訓(xùn)練優(yōu)化，可以獲得更優(yōu)的性能。此外，隨著陣元數(shù)的增加，SL0算法和SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)的DOA 估計(jì)性能也相應(yīng)提高。相比SL0 算法，為獲得相近的DOA 估計(jì)性能，所提SL0-Net所需要的網(wǎng)絡(luò)層數(shù)和陣元數(shù)更少。

圖6 NMSE與網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K的關(guān)系Fig.6 NMSE versus the network layer number K

接著，給定陣元數(shù)M=20/30/40、網(wǎng)格數(shù)N=161、網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K=10，生成不含噪聲的測(cè)試數(shù)據(jù)，驗(yàn)證SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)性能與稀疏概率P之間的關(guān)系，所得結(jié)果如圖7 所示?？梢钥闯?，在不同稀疏概率的情況下，所提SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)的DOA 估計(jì)性能均優(yōu)于SL0 算法。因此，相比SL0 算法，在其他條件相同的情況下，所提SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)Ω嘈盘?hào)源進(jìn)行DOA 估計(jì)。但是，隨著稀疏概率的增加，兩種算法的NMSE 均逐漸增加，DOA 估計(jì)性能變差。這是因?yàn)樵陉囋獢?shù)一定的情況下，信號(hào)源個(gè)數(shù)越少，稀疏恢復(fù)的性能越優(yōu)，反之則越差。

圖7 NMSE與稀疏概率P的關(guān)系Fig.7 NMSE versus the sparse probability P

然后，給定陣元數(shù)M=20/30/40、稀疏概率P=0.01、網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K=10，生成不含噪聲的測(cè)試數(shù)據(jù)，驗(yàn)證SL0-Net網(wǎng)絡(luò)的性能與網(wǎng)格數(shù)N（對(duì)應(yīng)角度分辨率）之間的關(guān)系，所得結(jié)果如圖8 所示?？梢钥闯觯诓煌W(wǎng)絡(luò)數(shù)的情況下，所提SL0-Net 的DOA 估計(jì)性能均優(yōu)于SL0 算法。因此，相比SL0 算法，在其他條件相同的情況下，所提SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)能夠獲得更高的角度分辨率。但是，隨著網(wǎng)格數(shù)的增加（即可能的信號(hào)源角度間隔減?。?，兩種算法的NMSE均逐漸增加，DOA 估計(jì)性能變差。這是因?yàn)樵陉囋獢?shù)一定的情況下，多個(gè)信號(hào)源之間的角度越接近，稀疏恢復(fù)的性能越差，反之則越優(yōu)。

圖8 NMSE與網(wǎng)格數(shù)N的關(guān)系Fig.8 NMSE versus the grid number N

最后，給定陣元數(shù)M=20/30/40、網(wǎng)格數(shù)N=161、稀疏概率P=0.01、網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K=10，生成具有不同SNR 的測(cè)試數(shù)據(jù)，驗(yàn)證SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)的性能與陣列接收數(shù)據(jù)信噪比之間的關(guān)系，所得結(jié)果如圖9所示?？梢钥闯?，雖然SL0 和SL0-Net 在SNR 小于10 dB 時(shí)性能均較差，但當(dāng)SNR 大于10 dB 后，SL0-Net 的DOA 估計(jì)性能均優(yōu)于SL0 算法。因此，在其他條件相同的條件下，SL0-Net 具有更高的噪聲魯棒性。此外，當(dāng)SNR ＞20 dB，SL0-Net 的DOA 估計(jì)NMSE 趨于穩(wěn)定，且接近于無(wú)噪聲情況下獲得的結(jié)果。這意味著，即使利用無(wú)噪聲數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，SL0-Net 依然能夠獲得較好的參數(shù)結(jié)果，能夠?qū)肼暤膶?shí)際陣列接收數(shù)據(jù)進(jìn)行DOA估計(jì)。

圖9 NMSE與信噪比的關(guān)系Fig.9 NMSE versus SNR

5 結(jié)論

針對(duì)單快拍DOA 估計(jì)問(wèn)題，本文在建立信號(hào)模型和對(duì)SL0 算法進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出了模型和數(shù)據(jù)聯(lián)合驅(qū)動(dòng)的SL0-Net 方法，對(duì)其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)集構(gòu)建、參數(shù)學(xué)習(xí)策略、初始化與訓(xùn)練方法等內(nèi)容進(jìn)行了詳細(xì)介紹，并通過(guò)不同的仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)其性能進(jìn)行了驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，所提SL0-Net相比SL0算法具有更高的DOA 估計(jì)性能，且具有更低的運(yùn)算復(fù)雜度。在其他條件相同的條件下，相比SL0算法，SL0-Net 所需的迭代次數(shù)和陣元數(shù)更少，能夠?qū)Ω嗟男盘?hào)源進(jìn)行DOA 估計(jì)，且具有更高的分辨率和噪聲魯棒性。與L1 范數(shù)最小化算法和OMP 算法相比，SL0-Net 在信號(hào)源數(shù)目未知的條件下，能夠快速獲得高分辨DOA 估計(jì)結(jié)果。考慮到實(shí)際應(yīng)用中不可避免地存在陣列誤差，因此下一步將對(duì)誤差條件下SL0-Net 的改進(jìn)方法進(jìn)行深入研究，并將其應(yīng)用于實(shí)際數(shù)據(jù)的處理之中。