黃雪林

(吳江盛澤中學(xué)，江蘇蘇州，215000)

常常聽到高三學(xué)生抱怨：“高考結(jié)束以后，我再也不學(xué)數(shù)學(xué)了！”可見孩子在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中感受到的只有痛苦.作為一名高中數(shù)學(xué)教師每每聽到這樣的抱怨都有深深的刺痛感，為什么原本生動(dòng)有趣的數(shù)學(xué)學(xué)科在學(xué)生的眼里是如洪水猛獸一樣的災(zāi)難形象？數(shù)學(xué)學(xué)科本該是和物理、化學(xué)、生物這些學(xué)科一樣活潑、靈動(dòng)有趣.然而現(xiàn)實(shí)中充斥著“唯解題”式的課堂教學(xué)，把數(shù)學(xué)這樣一個(gè)天生麗質(zhì)的美人給裝扮成了一個(gè)令人害怕的怪獸，學(xué)生茫然地在數(shù)學(xué)的“題海”里浮沉，不知道從哪里來(lái)要往哪里去，這樣的課堂誰(shuí)又不恐懼呢？

如果每一堂數(shù)學(xué)課都是一段愉悅的旅程，在每一段旅程中教師都能夠引領(lǐng)學(xué)生探究世界和思考世界，體悟到數(shù)學(xué)的魅力，從而快樂(lè)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，相信每一位學(xué)生都能夠?qū)W好數(shù)學(xué)，自然在數(shù)學(xué)考試中也能夠獲取較好的成績(jī).然而什么樣的課堂教學(xué)才能夠?qū)崿F(xiàn)獲取心靈的愉悅呢？溫暖的課堂氛圍下，學(xué)生自由的思考世界、自如的探究世界本質(zhì)、自然的生成數(shù)學(xué)概念、公理、定理，在課堂中獲得心靈的愉悅.筆者就自己在構(gòu)建高中數(shù)學(xué)現(xiàn)象教學(xué)課堂過(guò)程中的點(diǎn)滴做法與諸位分享，不足之處，敬請(qǐng)指正.

1 觀察表象世界，感受數(shù)學(xué)源于生活

我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“希望能給學(xué)生帶來(lái)愉悅感并喜歡上數(shù)學(xué)”.基于對(duì)現(xiàn)象探究的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣觀察表象世界，探尋現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中自然生成數(shù)學(xué)概念.這樣的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)能夠幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，促使學(xué)生自主地去探尋現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì).真正體悟到“興趣是最好的老師”，在學(xué)習(xí)過(guò)程中哪怕遇到困難仍然愿意迎難而上，甚至能夠做到再苦再累也心甘情愿.

我們的課堂教學(xué)總是花費(fèi)太多的時(shí)間去思考課堂引入要靠什么去激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公理定理的興趣.如果過(guò)于依賴數(shù)學(xué)以外的材料并不能有效地幫助學(xué)生獲得成功的愉悅，我們應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)自身的美、自身的魅力.這樣的課堂教學(xué)才能幫助學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、真正學(xué)好數(shù)學(xué)、學(xué)到真正的數(shù)學(xué).

以講授2019人教A版教材必修二第八章“二面角”的概念為例，教材中以“開門”這樣生活中最為常見的事情來(lái)理解二面角，“把門開大一些”是指哪個(gè)角大一些？來(lái)引導(dǎo)學(xué)生思考如何去剝離表象世界，探尋本質(zhì)世界.門和墻面我們都可以抽象為平面來(lái)理解，都是規(guī)則的矩形，這是特殊的形狀學(xué)生很快就能夠理解并找到二面角，這個(gè)處理很好.但是對(duì)“二面角”概念的探究不能到這里就戛然止步，然后按部就班的給出來(lái)概念的表述、開始例題講解、習(xí)題訓(xùn)練.二面角的概念此時(shí)還并沒(méi)有在學(xué)生腦子里形成，所有的表述都還是老師自己的理解，我們要繼續(xù)引領(lǐng)學(xué)生去探尋世界.

“開門”“打開書本”“打開筆記本電腦”這些都屬于同一個(gè)情境，都屬于矩形抽象為平面，三角形能不能抽象為平面？梯形能不能抽象為平面？不規(guī)則的平面圖形，像一片葉子，隨手扯的一張紙能不能抽象為一個(gè)平面？答案是肯定的，隨手撕一張不規(guī)則的紙片，折成兩個(gè)半平面能不能使得這兩個(gè)半平面的二面角為30°、45°、°60°、90°?你如何能說(shuō)明這個(gè)二面角是30°、45°、°60°、90°？

學(xué)生做了非常好的演示：我把三角板45°的兩條邊直直的插在兩個(gè)半平面的交線處，就得到了兩個(gè)半平面的二面角為45°.要想得到兩個(gè)半平面的二面角為30°、°60°，也按照同樣的方法去做就可以了.(如圖1)

圖1 “二面角”演示

師：直直的插在兩個(gè)半平面的交線處，能不能用數(shù)學(xué)化的語(yǔ)言描述？

生：使得三角板ABO的兩條邊BO、AO都垂直于兩個(gè)半平面的交線.

圖2 “二面角”的平面角的求法

師：三角板ABO的兩條邊BO、AO都垂直于兩個(gè)半平面的交線，和“開門”“打開書本”“打開筆記本電腦”使得兩個(gè)半平面的二面角為45°有什么區(qū)別與聯(lián)系嗎？

生：要讓“開門”“打開書本”“打開筆記本電腦”這樣兩個(gè)半平面的二面角為45°，也可以把三角板ABO的兩條邊BO、AO都垂直于兩個(gè)半平面的交線.這個(gè)過(guò)程是一樣的，沒(méi)有區(qū)別.

師：如果沒(méi)有三角板，比如我想得到這張不規(guī)則的紙片，折成兩個(gè)半平面的二面角為15°？你們能得到嗎？

生：那我可不能保證，但是我可以像插入三角板一樣用線段畫出這個(gè)角來(lái)求這兩個(gè)半平面所成二面角.在兩個(gè)半平面的交線上取一個(gè)點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面α、β內(nèi)引垂線AO、BO都與兩個(gè)半平面的交線垂直，∠AOB如果是15°這兩個(gè)半平面所成二面角就是15°.

師：非常好，這就是兩個(gè)半平面所成二面角平面角.這個(gè)不規(guī)則紙片折成的兩個(gè)半平面可以代表任何情況下的兩個(gè)半平面，所以在兩個(gè)半平面的交線l上任取一個(gè)點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面α、β內(nèi)引垂線AO、BO都與兩個(gè)半平面的交線l垂直，∠AOB就是這兩個(gè)半平面所成二面角的平面角.

觀察表象世界的過(guò)程不應(yīng)該淺嘗輒止，我們的課堂教學(xué)不要舍不得花時(shí)間引領(lǐng)學(xué)生去探尋以現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì).一定要帶領(lǐng)學(xué)生親歷從特殊到一般的探尋過(guò)程，真正做到對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解.讓每個(gè)學(xué)生都能真切感受到數(shù)學(xué)是源于生活的學(xué)科.

就像理解“夏天”不是在池塘邊觸摸一下荷葉就是夏天，我們還要感受蛙叫蟬鳴、烈日清風(fēng)甚至蚊叮蟲咬才能夠認(rèn)識(shí)真實(shí)的“夏天”.高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)也是這樣，我們不要害怕學(xué)生探究不到理想的答案，重要的是體悟世界的過(guò)程.

2 思考本質(zhì)世界，親歷數(shù)學(xué)公理定理的發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)定理的證明過(guò)程蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)家們當(dāng)初面對(duì)這一數(shù)學(xué)現(xiàn)象時(shí)的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中我們要結(jié)合現(xiàn)象還原數(shù)學(xué)史，引領(lǐng)學(xué)生了解數(shù)學(xué)定理的來(lái)龍去脈以促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，感悟數(shù)學(xué)家們的探索和創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)定理是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)定理的教學(xué)應(yīng)該立足于揭示定理本身的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、分析定理豐富的文化價(jià)值.尊重邏輯推理和定理的演變進(jìn)程體悟數(shù)學(xué)推理的理性美、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔美.

2019人教A版教材必修二第六章“正弦定理”是解斜三角形的重要工具之一，將初中所學(xué)的直角三角形的邊角關(guān)系延伸到斜三角形.教材中正弦定理的證明采用的“向量方法”是基于1748年數(shù)學(xué)家歐拉在其著作《無(wú)窮分析引論》中給出利用“三角形的高為輔助線”的結(jié)合第六章平面向量挖掘的證明方法，在證明的過(guò)程中能夠幫助學(xué)生很好地感知平面向量是溝通幾何與代數(shù)的工具性功能.

圖3 歐拉的證明

美國(guó)數(shù)學(xué)教育家M.克萊因(M.Kline, 1908—1992)認(rèn)為：“歷史發(fā)展的順序可以為數(shù)學(xué)教學(xué)指明方向，我們沒(méi)有必要完完全全仿照知識(shí)的歷史發(fā)展，但是如果大數(shù)學(xué)家們?cè)谔岢瞿承└拍罨蛘叨ɡ頃r(shí)遇到困難，我們學(xué)生也是會(huì)遇到的.教師在建構(gòu)性地教授數(shù)學(xué)時(shí)，運(yùn)用發(fā)生原理是極為有益的.”

圖4 正弦的定義

基于正弦的定義源于圓，十八世紀(jì)前，數(shù)學(xué)家們思考正弦定理的證明基本上都是通過(guò)構(gòu)造圓的弦來(lái)實(shí)現(xiàn)的.如圖5，作△ABC的外接圓O，從外接圓的外心O向AB、BC和CA作垂線，垂足分別為D、E和F.

圖5 韋達(dá)的證明

則∠BAC=∠BOD,∠ABC=∠AOE,∠ACB=∠AOF.

這是法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)(F.Viete,1540—1603)在著作《數(shù)學(xué)法則》中證明了正弦定理的方法，與教材中的“向量證明法”和歐拉的“三角形高的證明方法”比較，這個(gè)證明方法完整的呈現(xiàn)出了正弦定理的幾何意義.為今后在立體幾何中理解外接球等相關(guān)問(wèn)題做了較好的思維鋪墊.

在教學(xué)過(guò)程中，教師可以請(qǐng)同學(xué)們思考能夠思考出其他的證明方法？下面展示兩種同學(xué)們思考的證明方法：

方法1：向量投影法——基于“歐拉的證明”結(jié)合向量的思考

圖6 向量投影證明

點(diǎn)評(píng)：巧妙地利用了向量投影的概念，可以說(shuō)是歐拉證明方法的向量版本.與教材中提供的向量法證明比較，更為充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美！較好地體現(xiàn)了孩子們學(xué)以致用的學(xué)習(xí)精神！

方法2：三角函數(shù)定義法

圖7 三角函數(shù)定義證明

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)非常妙的證明！二次建系巧妙地運(yùn)用了正弦的定義，真正認(rèn)識(shí)到坐標(biāo)系是溝通代數(shù)和幾何的重要橋梁！為今后學(xué)習(xí)解析幾何打下了思維基礎(chǔ)，時(shí)代的進(jìn)步賦予了當(dāng)代中學(xué)生可以輕松地獲取更多的知識(shí)，然而人類認(rèn)識(shí)世界的方法自古以來(lái)幾乎是一致的.只有不斷地探索和思考，才能夠迸發(fā)出創(chuàng)新思維的火花！

3 應(yīng)用真實(shí)世界，做數(shù)學(xué)題的設(shè)計(jì)者

例題和習(xí)題是課堂教學(xué)的重要組成部分，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定理等重要知識(shí)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的重要素材，也是學(xué)生感悟數(shù)學(xué)魅力的重要.“快樂(lè)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)”同樣需要例題和習(xí)題，教材中的例題和習(xí)題都是編撰者結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維發(fā)展規(guī)律精心設(shè)計(jì)的.在課堂教學(xué)中我們要用好這些例題和習(xí)題，同時(shí)也可以大膽地讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)例題和習(xí)題.

在課堂教學(xué)的過(guò)程中有意識(shí)地鼓勵(lì)學(xué)生嘗試扮演命題人的角色，從命題人的視角改編、創(chuàng)作出全新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有利于培養(yǎng)學(xué)生思考如何將數(shù)學(xué)概念、公理定理應(yīng)用于真實(shí)的世界.有利于問(wèn)題意識(shí)的萌發(fā)、創(chuàng)新思維的促進(jìn)、合作能力的提升等各方面能力的培養(yǎng).

師：要判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)應(yīng)該從哪些方面考慮？

生：定義域、值域和解析式要一致.

師：你能否列舉兩個(gè)函數(shù)定義域和值域一致，但是解析式不同的函數(shù)？

生1：y=2x和y=2x+1，所有的一次函數(shù)定義域和值域都一致，所有的反比例函數(shù)定義域和值域也一致，所有的二次函數(shù)定義域和值域也一致.

師：你能否列舉兩個(gè)函數(shù)解析式和值域一致，但是定義域不同的函數(shù)？

生2：y=1和y=x0？(表現(xiàn)略顯遲疑，不是很肯定.)

生4：y=1和y=x0是值域和解析式相同，定義域不同的函數(shù).滿足值域和解析式相同，定義域不同的函數(shù)有很多，比如二次函數(shù)y=x2，x∈(-∞,0)和y=x2，x∈(0,+∞)；y=2x2+1，x∈{1，2}和y=2x2+1，x∈{-2，-1，2}……這樣的例子有很多.

師：你能否列舉兩個(gè)函數(shù)定義域和解析式一致，但是值域不同的函數(shù)？

生：如果兩個(gè)函數(shù)定義域和解析式都一致，值域不會(huì)不同，就是同一個(gè)函數(shù)了.

師：所以要判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，我們只需要從兩個(gè)函數(shù)的定義域和解析式去判斷.你能不能命制一道關(guān)于函數(shù)三要素這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考察的例題并進(jìn)行講解？

課堂上收獲了很多關(guān)于判斷函數(shù)是否為同一函數(shù)的習(xí)題，有一位同學(xué)命制了這樣一道題：已知函數(shù)解析式為y=5-x2，值域?yàn)閧1，4}的函數(shù)一共有多少個(gè)？講解得也非常細(xì)致，獲得了所有同學(xué)的掌聲.這道題較好的引發(fā)了學(xué)生的思考，也從模仿走向了創(chuàng)新！在命制習(xí)題的過(guò)程中，每個(gè)學(xué)生都躍躍欲試，命制一道習(xí)題就如同在數(shù)學(xué)的版圖中攻城掠地、開疆拓土般的快樂(lè).切換為習(xí)題設(shè)計(jì)者幫助學(xué)生建立起自己是數(shù)學(xué)題的設(shè)計(jì)師掌控人的愉悅感，取代了一直是練習(xí)題的操控者的被奴役的痛苦.

4 結(jié)束語(yǔ)

基于現(xiàn)實(shí)世界的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)堅(jiān)持幫助學(xué)生觀察以現(xiàn)象呈現(xiàn)的表象世界，分析思考本質(zhì)世界的數(shù)學(xué)屬性，應(yīng)用本質(zhì)世界的數(shù)學(xué)屬性去解決真實(shí)世界的實(shí)際問(wèn)題.當(dāng)學(xué)生親眼看見數(shù)學(xué)知識(shí)是如何從他們身邊活潑的世界中產(chǎn)生并解決他們的困惑，自然就能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力，從而激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.深度思考和深度學(xué)習(xí)幫助他們建立起對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的熱愛，實(shí)現(xiàn)“愿意終生與數(shù)學(xué)交朋友”的目標(biāo).

在平時(shí)的教研活動(dòng)中，我們要潛心研讀教材，結(jié)合數(shù)學(xué)史的背景回溯數(shù)學(xué)概念、定理的源流，在課堂教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生親歷概念、定理的演變進(jìn)程，幫助學(xué)生感同身受數(shù)學(xué)家們的困惑、思考和問(wèn)題解決帶來(lái)的快樂(lè)！盡可能地給學(xué)生機(jī)會(huì)命制習(xí)題，學(xué)會(huì)站在命題者的視角審視習(xí)題，嘗試改編例題、創(chuàng)作習(xí)題享受數(shù)學(xué)的探索精神.將自主思考、合作探究的習(xí)慣融入到日常教學(xué)活動(dòng)中.我們的數(shù)學(xué)課堂也可以像物理、化學(xué)課一樣做擁有數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，在實(shí)驗(yàn)探究中體悟數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)公理定理的探索之旅……數(shù)學(xué)這個(gè)天生麗質(zhì)的美人，我們要引領(lǐng)學(xué)生從不同的維度去感受她的美！