楊明輝 李俊儒 付大喜

摘要：位于陡坡段的基樁由于有較長的自由段以及臨空面土體抗力的缺失，變形具有明顯的P-Δ放大效應.引入變分原理，考慮陡坡段基樁承載的復雜性，假定土體位移是沿基樁徑向的非線性衰減模式，建立了陡坡段三維基樁-土體系統(tǒng)總能量控制微分方程.在此基礎上，結合不同邊界條件及樁土位移協(xié)調條件，得出了復雜承載情況下陡坡段基樁變形的半解析差分解答，該解答可充分考慮各項荷載作用下的陡坡段基樁變形的P-Δ效應.為驗證理論的正確性，開展了陡坡段基樁的軸橫荷載下單樁的室內模型加載試驗，將理論計算值與實測值進行了對比.結果表明，理論解答與試驗測試結果吻合較好.最后，對影響陡坡段基樁P-Δ放大效應的各影響因素進行了定量分析.分析表明，陡坡段橋梁基樁的P-Δ放大效應隨軸橫向荷載比與樁頂自由長度增大而顯著增大，隨著土體剛度的增強而有所減小，同時陡坡坡度角增大對P-Δ效應有明顯的提升作用.

關鍵詞：陡坡；橋梁基樁；P-Δ效應；最小勢能原理；模型試驗

中圖分類號：TU473.1文獻標志碼：A

Deformation Calculation of Bridge Foundation Pile in Steep Slope Section Considering Load P-4 Effect

YANG Minghui1，LI Junru1，F(xiàn)U Daxi2

（1. College of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China；2. School of Civil Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）

Abstract：Due to the long free section and the lack of soil resistance on the free surface of the foundation pile located on the steep slope，the deformation has an obvious P-Δamplification effect. In this paper，introducing the energy variational principle，considering the complexity of the pile bearing and pile-soil interaction in the steep slope section，and assuming that the soil displacement is a nonlinear attenuation mode along the radial direction of the foundation pile，the total energy control differential equation of the three-dimensional foundation pile-soil system in the steep slope section is established. On this basis，combined with different boundary conditions and the coordination conditions of pile-soil displacement，the semi-analytical energy method solution for the deformation of the foundation piles on steep slopes under complex bearing conditions is obtained based on the finite difference method，andthe solution can fully consider the P-Δeffect of the pile deformation in the steep slope section under various loads. Then，the indoor model loading verification test of the single pile under the axial and lateral load on the steep slope section was carried out，and the theoretical calculation value was compared with the measured value. The comparison results show that the theoretical solution in this paper is in good agreement with the test results. Finally，a quantitative analysis of the influencing factors of the P-Δamplification effect of foundation piles on steep slopes is carried out. The results show that the P-Δamplification effect of bridge foundation piles on steep slopes increases significantly with the axial and lateral load ratio and the free length of the pile top but decreases with the increase of soil stiffness. At the same time，the slope gradient has a significant increase influence on the P-Δeffect.

Key words：steep slope；bridge pile；P-Δeffect；principle of minimum potential energy；model test

隨著西部山區(qū)基礎設施（如高速公路、高速鐵路等）的大力修建，出現(xiàn)了越來越多的位于陡坡上的橋梁樁基礎.由于特殊的地形特點，相比平地基樁，陡坡基樁具有以下三個突出特點[1-7]：1）橫向承載能力弱，邊坡一側土體的缺失造成土體的抗力顯著降低，且淺層尤為明顯；2）具有較長的自由段，樁頂與邊坡垂直距離大而形成較長自由段；3）承載復雜，承受豎向自重荷載、橫向邊坡荷載等荷載的耦合作用.因而陡坡基樁的P-Δ效應將更為顯著，從而造成安全隱患.可見，合理考慮P-Δ放大效應成為陡坡段基樁設計計算的關鍵問題.

P-Δ效應即結構的側向位移與豎向荷載引起的二階效應，屬于經(jīng)典的結構力學問題[1].對于基樁結構P-Δ效應，考量的關鍵則在于土體作用力的合理模擬.近年來，已有大量國內外學者對該問題進行了研究.一方面，如Sastry和Meyerhof等[8-10]對傾斜荷載下基樁承載力性能進行了大量的室內模型試驗研究，從而給出單樁承載力的半經(jīng)驗公式，該公式中包含了P-Δ效應的影響；趙明華等[11-12]分別采用m法和C法考慮P-Δ效應，推導得到了傾斜荷載作用下單層均質土中基樁內力及位移的冪級數(shù)解；邢康宇等[13]通過引入雙曲線型水平荷載傳遞模型考慮樁- 土體系的非線性變形情況，導得可考慮P-Δ效應與橫向荷載共同作用下高樁基礎水平響應的非線性有限差分解；欒魯寶等[14]給出了黏彈性土中考慮P-Δ效應時基樁水平振動的解析解答；Zhang等[15]、Zhu等[16]和Zhang等[17]分別采用水平彈簧和豎向彈簧來模擬樁-土相互作用，導得了軸、橫向荷載同時作用時單樁響應的半解析解等.另一方面，不少學者直接采用半數(shù)值方法建立剛度矩陣來考慮該問題.如鄒新軍等[18]基于地基加權剛度的概念考慮地基土成層、非均勻性及大變形，建立了傾斜荷載下基樁的有限元-有限層模型；趙明華、李微哲等[19-20]則計入土體剪切變形，建立了可考慮二階效應的桿單元剛度方程，并基于MATLAB程序給出了解答.

上述方法均僅針對平地上的基樁，關于陡坡基樁的P-Δ效應問題，目前研究較少.僅有尹平保等[21-22]基于彈性地基梁的假設，給出了陡坡樁樁基承載力的冪級數(shù)解答，趙明華等[23]在類似假定條件下給出了相應的有限差分解答，但二者均假定土體為支撐彈簧，從而無法考慮土體連續(xù)性以及樁土之間復雜的三維相互作用，而數(shù)值方法雖可避開該問題，但顯然求解過程過于復雜，不便于實際工程應用.鑒于此，本文基于變分原理，考慮樁周土體連續(xù)性、樁土整體系統(tǒng)能量轉換及P-Δ效應導得陡坡段基樁復雜荷載作用下樁身響應的半解析解，并開展室內小模型試驗進行驗證與對比分析；最后，對影響陡坡段基樁P-Δ效應的主要因素進行了探討，供工程設計參考.

1計算模型

1.1計算模型分析

如前所述，由于基樁地理位置特點及荷載的復雜性，基樁水平變形極易引起豎向力附加效應（P-Δ效應）.因此，建立基樁-土體一體化模型，重點分析樁土變形對二階效應的影響，如圖1所示.基樁總長為L_p，截面半徑為r_p，樁身抗彎剛度為E_pI_p，基樁的自由段長度以L₀表示，并在樁頂分別承受水平向荷載P₀、豎向荷載N₀以及外部彎矩M₀，陡坡的坡角為β.為分析樁周巖土體的非均值性，假定土體分為n層.為方便分析，以樁基自由段樁頂中心為極點建立極坐標系.

1.2土體位移模式

在樁-土一體化系統(tǒng)中，計算土體位移的關鍵在于確定土體的變形模式.考慮到實際工程中安全性要求，仍假定樁土始終變形協(xié)調，受荷過程中樁土界面接觸緊密.樁土位移場域描述為：受到樁身位移影響的土體位移場是以樁身軸線為圓心的圓柱體位移場，在遠離樁基礎一定距離后，土體位移遞減至零［24-30].Sun[28]和Basu等[29]認為與側向荷載相關的垂直位移u_z可以忽略不計，土體的徑向和切向水平位移可以由柱坐標r、θ、z表示.為簡化計算，本文沿用該模式，且認定邊坡始終穩(wěn)定，則在樁身影響范圍內，土體的位移可以近似寫成：

u_r=w（z）φ_r（r）cosθ

u_θ=-w（z）φ_θ（r）sinθ（1）

u_z=0

式中：u_r和u_θ分別為土體單元在徑向及切向的位移分量；φ_r（r）和φ_θ（r）是土體位移衰減函數(shù).土體單元到樁身的距離用r表示，顯然，當r增大至臨空面時，土體衰減函數(shù)為零.

由土體位移的方程即可導得土體應變和樁身撓曲位移的關系，見式（2）.

2陡坡段樁土體系能量方程建立

2.1系統(tǒng)總能量方程建立

陡坡樁-土體系總勢能方程由樁身屈曲應變能∏_pile、陡坡土體應變能∏_soil以及外部荷載做功∏_load組成：

方程（3）中前三項分別為樁身彈性形變能、成層樁周土體應變能以及樁底虛土樁土體應變能，后三項則為作用在樁頂?shù)乃胶奢d做功、外加彎矩做功以及樁身豎向軸力做功.ε_pq、σ_pq分別為應力和應變張量.將土體應力張量方程（2）代入總勢能方程（3），根據(jù)最小勢能原理取總勢能變分為零，則方程（3）可改寫為：

合并所有含有撓度w及其導數(shù)的項，利用分部積分法將其中高階變分項改寫成只含有δw和其一階導數(shù)的方程，可以得到：

其中：

再合并總勢能方程得變分形式（4）中所有含有φ_θ、φ_r以及二者相關導數(shù)項：

2.2求解微分控制方程

根據(jù)最小勢能原理，當系統(tǒng)在外力作用下處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，將存在一組滿足邊界條件的位移使系統(tǒng)的總勢能最小，即存在一組滿足邊界條件的位移使系統(tǒng)總勢能的變分等于零，使方程（5）中有關樁身水平位移變分項為零，將δw前系數(shù)均取為0，從而得到不同區(qū)域樁身控制微分方程及其對應的邊界條件.

當00時，控制方程如式（9）：

當0p時控制方程如式（10）（下標表示對應的土體分層）所示：

邊界條件：當z=0時（即頂部自由），

當z=L₀（基樁與陡坡交接處）時，

當z=H_i（土層交接處）時，

當z=L_p時，則有：

同樣通過將方程（7）中與衰減函數(shù)相關項的變分取為0的方式得到關于土體徑向和切向衰減函數(shù)的控制微分方程以及其邊界條件：

其中：

土體徑向和切向位移在樁身處與樁身位移相等，衰減函數(shù)取值為1，隨著與樁身距離增大，位移逐漸減小至0.由于陡坡斜角β的存在，衰減函數(shù)的邊界條件會隨著不同土層變化，臨空面以外的土體位移全部視為0，由此可得土體衰減函數(shù)的邊界條件如式（17）：

其中r_si為當前所在土層H_i中某深度z處對應的基樁節(jié)點到陡坡臨空面的距離.由基樁和陡坡面的幾何關系可知r_si=（z-L₀）/tanβ.

2.3迭代求解

樁身控制方程和土體衰減函數(shù)的控制方程不是通常的高階微分方程，兩個方程存在一定程度的耦合，利用一般方法無法得到準確解析解.因此，采用差分方法寫出差分形式的方程，同時利用軟件MATLAB編寫計算程序進行迭代計算得到控制方程的半解析解.

如圖2所示，將樁周土體分為n段，土層以上自由段長為L₀，同時將自由段分為k₀個節(jié)點，每段長度為h₀，在樁頂以上和地面以下分別取虛擬節(jié)點-2、-1、k₀+1、k₀+2.將地面以下每個土層中的樁體劃分為k_i段，每段長度為h_i，在每層土層的上下交界處也設置4個虛擬節(jié)點-2、-1、k_i+1、k_i+2.基于上述的節(jié)點網(wǎng)格劃分，將式（9）和式（10）寫成如式（18）和式（19）所示差分形式.

當00時，

當L₀p時，

樁身控制微分方程在各個節(jié)點處的邊界條件［式（11）～式（14）］，同樣寫成差分方程的形式.樁頂以及樁端的邊界條件差分形式為：

土層交界處考慮虛擬節(jié)點的邊界條件為：

其中：

通過邊界條件將虛擬節(jié)點用內部節(jié)點的位移表示，進而可得關于樁身水平位移的變系數(shù)齊次方程組，即組成Kw=F的形式，其中w為各節(jié)點位移組成的位移向量，K為系數(shù)矩陣，其階數(shù)與網(wǎng)格劃分數(shù)量相同.同樣，土體水平位移衰減函數(shù)φ_r（r）和φ_θ（r）的控制微分方程亦可寫成相同差分形式進行求解.

樁身位移解與土體衰減函數(shù)的解兩者相互關聯(lián)，式（6）與式（16）分別由衰減函數(shù)和撓度函數(shù)決定，因此需要采取迭代算法求解耦合微分方程.在第一次迭代計算中，將出現(xiàn)在撓度方程組中的系數(shù)γ₁至γ₆初步假設為1，通過上述解法求解出一個中間解，再由中間解計算得到衰減函數(shù)的計算系數(shù)，并將得到的衰減函數(shù)的中間解重新代入撓度方程組，進入第二次迭代.迭代得到撓度方程的解，誤差小于10^-6，迭代停止.求解迭代過程如圖3所示.

3試驗驗證

為驗證前述方法的合理性，設計完成了一組室內陡坡單樁模型加載試驗.模型樁采用直徑為25 mm、壁厚為2.5 mm的鋁管，樁長100 cm，抗彎剛度EI= 145.11 N·m²，試驗中分別設置不同的自由段進行對比分析.樁周巖土體選用了兩種不同配合比的石膏、水泥、砂的混合料進行模擬以反映樁周巖土體的非均質性.混合料用量如表1所示.

試驗過程中，保持坡上堆載以及樁頂水平荷載不變，樁頭豎向荷載N₀分級施加（圖4），以容許最大位移作為終止加載標準，即樁身地面水平位移或豎向位移達到0.15倍樁徑時認為局部巖土體塑性破壞，停止加載.通過在樁頂布設百分表2、3（量程30 mm）測定樁頂水平位移.每根樁前后兩面均對稱布置有應變片，每邊各9片洪18片，其尺寸為3mm×5 mm.由樁身布置的應力片測得樁身內力響應的變化.

圖5為不同自由段長度時各級荷載下樁頂水平向位移的計算值與測試值的對比.由圖5可知，理論計算曲線與實測點的趨勢完全一致，最大誤差僅為6.7%.

圖6所示為不同自由段長度時各級荷載下樁身彎矩計算值與測試值的對比情況.由圖6可知，理論計算值與測試值吻合較好，而不同自由段長度的陡坡段橋梁基樁內力分布規(guī)律基本一致，即樁身彎矩在地面基樁以下較小范圍內即達到最大值，之后，隨著埋深增加急劇減小，在到達零點之后，出現(xiàn)反向彎矩，最后衰減至零.若不考慮基樁的P-Δ效應，則無法考慮豎向荷載與水平荷載的耦合效應.

4參數(shù)分析

以下對陡坡段基樁P-Δ放大效應的主要因素進行分析.基本參數(shù)取值如下：總樁長L_p=30 m，自由段長度L₀=10 m，樁徑d =1.8 m，樁身彈性模量E_p=18 GPa；土體分兩層，其彈性模量分別取E_s1=10 MPa，E_s2=20 MPa；樁頂水平向荷載P₀=200 kN，外部彎矩M₀=200 kN·m.

4.1豎向荷載與水平荷載比值影響分析

根據(jù)結構力學原理，P-Δ放大效應的發(fā)揮與豎向荷載和水平荷載的比值直接相關，該比值是控制桿體單元穩(wěn)定性的重要指標.圖7、圖8分別為水平向荷載與豎向荷載不同取值情況下的陡坡段基樁的位移及內力響應，為考慮坡度的影響，選擇了3個不同邊坡角度進行分析.

由圖可知，豎向荷載的增大將明顯地增大基樁的水平變形與內力值.且其增長幅度隨豎向荷載的增大而增大，邊坡角度的影響同樣明顯.以水平荷載P₀為200 kN為例，豎向荷載取10倍水平荷載，當陡坡坡角B為30°時，樁頂最大位移由12.14 mm增加至13.64 mm，而樁身最大彎矩則由1 114.81 kN·m增加到1 131.58 kN·m；當坡角增大至60°時，樁頂最大位移增大至16.05 mm，樁身最大彎矩增大到1 187.7 kN·m.由此可以看出隨著坡度角的增大，樁基礎的P-Δ放大效應對位移影響由12.36%增大至17.67%，對彎矩影響由1.50%增大至4.96%，表明陡坡角度增大會加劇基樁變形的P-Δ效應.

4.2自由段長度的影響分析

位于陡坡段的橋梁基樁，一般具有較大的自由段長度，而通過基樁自由段長度和其與總長度比值，以及基樁所在陡坡的坡角，可確定基樁與坡面的相對位置.同時，自由段長度與樁身水平位移以及樁身最大彎矩有著密切的關聯(lián)[7].為研究自由段長度大小對陡坡基樁P-Δ效應的具體影響，在總長度相同的情況下，分析不同自由段長度基樁水平位移及其樁身彎矩的變化規(guī)律，見圖9、圖10.

由圖易知，在相同荷載條件下陡坡樁身水平位移和樁身彎矩隨著自由段長度增大而增大，且自由段長度與總長度比大于1/5時，樁身響應增長加快. 但亦可看出邊坡的影響，以自由段長度10 m為例，相比平地情形（β=0°），邊坡角度β=30°時，考慮P-Δ效應與不考慮P-Δ效應的最大基樁水平位移差值由4.04 mm增大到4.71 mm，樁身最大彎矩差值則由354.65 kN·m增大到405.26 kN·m；而坡角增大到60°時，該差值則到達5.78 mm和472.18 kN·m.位移增幅由16.58%增加至22.72%，最大彎矩增幅由14.26% 增加至16.52%.由此可見，邊坡坡度的增大加劇了基樁變形的P-Δ效應，因此在對位于邊坡上的基樁進行受力分析時該效應不容忽視.

4.3土體剛度影響分析

樁周土體的承載弱化效應是陡坡段基樁區(qū)別于平地情形的主要特征，為研究該因素對陡坡段基樁變形P-Δ效應的影響，取樁體和平均土層彈性模量比值E_p/E_s分別為1 000、2 000、5 000.樁頂水平荷載取為P₀=200 kN，彎矩為M₀=200 kN·m，豎向荷載取值為N₀=4 000 kN.

由圖11、圖12可知，土體剛度的增強，可明顯地減小基樁的水平位移與彎矩，表明土體約束的強化是減小P-Δ效應的重要原因.以E_p/E_s=5 000為例，對比平層樁和陡坡樁，陡坡基樁最大水平位移由4.67 mm增大至6.08 mm，樁身最大彎矩由23.40 MN·m增大至27.88 MN·m，分別增長30.19%和19.15%，同時最大彎矩出現(xiàn)位置會隨著模量比的增大而下移，進一步表示陡坡坡角對P-Δ效應的促進作用.

5結論

本文引入能量變分原理，對陡坡段基樁變形的P-Δ效應進行了模擬，從而為該問題的解決提供一種新思路，而后開展了相應的室內模型試驗進行驗證，并對其影響因素進行了分析，結論如下：

1）基于最小勢能原理，建立了陡坡段基樁-邊坡土體系統(tǒng)的總能量控制微分方程.結合不同邊界條件及樁土位移條件，得到了可考慮P-Δ放大效應的陡坡段基樁變形的半解析解答.

2）開展了陡坡段基樁承受復雜荷載的室內加載試驗.對比分析表明，本文理論方法所得基樁變形內力與實測值吻合良好，可較好地模擬復雜荷載下陡坡段基樁變形的P-Δ放大效應.

3）對影響陡坡段基樁P-Δ放大效應的主要因素進行了對比分析.計算結果表明，陡坡段橋梁基樁的P-Δ放大效應與軸橫向荷載比以及樁頂自由段長度正相關，隨著土體剛度的增強而有所減小.量化分析表明，陡坡坡度角增大對樁體P-Δ效應有明顯的加劇作用，坡角的影響不容忽視.

參考文獻

[1]范文田.軸向與橫向力同時作用下柔性樁的分析[J].西南交通大學學報，1986，21（1）：39-44.

FAN W T. Analysis of slender piles under simultaneous axial and transverse loading [J]. Journal of Southwest Jiaotong University，1986，21（1）：39-44. （In Chinese）

[2]吳鳴，趙明華.大變形條件下樁土共同工作及試驗研究[J].巖土工程學報，2001，23（4）：436-440.

WU M，ZHAO M H. Study on pile-soil interaction under large deflection and its model test[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2001，23（4）：436-440. （In Chinese）

[3]趙明華，彭文哲，楊超煒，等.基于Pasternak雙參數(shù)地基模型的陡坡段橋梁基樁內力計算方法[J].水文地質工程地質，2018，45（1）：52-59.

ZHAO M H，PENG W Z，YANG C W，et al. Inner-force calculation of bridge pile foundation in a high-steep slope based on the Pasternak double-parameter spring model [J]. Hydrogeology & Engineering Geology，2018，45（1）：52-59. （In Chinese）

[4]楊明輝，聶華杰，趙明華.邊坡段水平受荷樁樁前土抗力折減效應的模型試驗研究[J].湖南大學學報（自然科學版），2019，46（3）：114-121.

YANG M H，NIE H J，ZHAO M H. Model testing study on effectof predicament resistance reduction on lateral loaded pile near slope [J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），2019，46（3）：114-121. （In Chinese）

[5]尹平保，趙明華，賀煒，等.確定斜坡地基比例系數(shù)m值的模型試驗研究[J].湖南大學學報（自然科學版），2017，44（9）：158-164.

YIN P B，ZHAO M H，HE W，et al. Model test study on identification of foundation proportional coefficient m in slope ground[J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），2017，44（9）：158-164. （In Chinese）

[6]趙明華，彭文哲，趙衡.陡坡段橋梁樁基研究現(xiàn)狀及展望[J].湖南大學學報（自然科學版），2022，49（7）：1-14.

ZHAO M H，PENG W Z，ZHAO H. Research status and prospect of bridge pile foundation in steep slope section [J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2022，49（7）：1-14.（In Chinese）

[7]楊明輝，李勇智，羅宏.基于能量法的基樁變形P-Δ效應模擬分析[J].湖南大學學報（自然科學版），2020，47（5）：48-57.

YANG M H，LIY Z，LUO H. Simulation analysis on P-Δeffect for piles based on energy method[J]. Journal of Hunan Univer- sity（Natural Sciences），2020，47（5）：48-57.（In Chinese）

[8]SASTRY V V R N，MEYERHOF G G. Lateral soil pressures and displacements of rigid piles in homogeneous soils under eccentric and inclined loads[J]. Canadian Geotechnical Journal，1986，23 （3）：281-286.

[9]MEYERHOF G G，YALCIN A S. Behaviour of flexible batter piles under inclined loads in layered soil[J].Canadian Geotechnical Journal，1993，30（2）：247-256.

[10]SASTRY V V R N，MEYERHOF G G，KOUMOTO T. Behaviour of rigid piles in layered soils under eccentric and inclined loads [J].Canadian Geotechnical Journal，1986，23（4）：451-457.

[11]趙明華.軸向和橫向荷載同時作用下的樁基計算[J].湖南大學學報（自然科學版），1987，14（2）：68-81.

ZHAO M H. The calculation of piles under simultaneous axial and lateral loading[J]. Journal of Hunan University（Natural Science），1987，14（2）：68-81 （In Chinese）

[12]趙明華，徐卓君，馬繽輝，等.傾斜荷載下基樁C法的冪級數(shù)解[J].湖南大學學報（自然科學版），2012，39（3）：1-5.

ZHAO M H，XU Z J，MA B H，et al. Power series solution for pile based on C-method under inclined loads[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2012，39（3）：1-5.（In Chinese）

[13]邢康宇，陸洪智，陳耀春，等.成層土中軸橫受荷樁水平響應的非線性解[J].地質科技通報，2021，40（1）：166-174.

XING K Y，LU H Z，CHEN Y C，et al.Nonlinear solutions of lateral response for piles under axial and lateral load embedded in layered soils[J]. Bulletin of Geological Science and Technology，2021，40（1）：166-174 （In Chinese）

[14]欒魯寶，丁選明，周仕禮，等.考慮豎向荷載的樁基水平振動響應解析解[J].建筑結構，2015，45（19）：80-86.

LUAN L B，DING X M，ZHOU S L，et al. Analytical solution of lateral vibration response of an axial loaded pile[J]. Building Structure，2015，45（19）：80-86 （In Chinese）

[15]ZHANG L，GONG X N，YANG Z X，et al Elastoplastic solutions for single piles under combined vertical and lateral loads[J]. Journal of Central South University of Technology，2011，18（1）：216-222

[16]ZHU M X，ZHANG Y B，GONG W M，et al. Generalized solutions for axially and laterally loaded piles in multilayered soil deposits with transfer matrix method[J]. International Journal of Geomechanics，2017，17（4）：1-19

[17]ZHANG L，OU Q，ZHOU S，et al. Semi-analytical solutions for vertically and laterally loaded piles in multilayered soil deposits[J]. Environmental Earth Sciences，2018，77（2）：1-14

[18]鄒新軍，魯彭焜.中砂和軟黏土中樁頂豎向力對樁身水平承載力影響對比分析[J].湖南大學學報（自然科學版），2018，45 （11）：110-119

ZOU X J，LU P K Contrastive analysis on effect of vertical force on horizontal bearing capacity of a single pile in medium sand and soft clay[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2018，45（11）：110-119 （In Chinese）

[19]趙明華，李微哲，楊明輝，等.成層地基中傾斜偏心荷載下單樁計算分析[J].巖土力學，2007，28（4）：670-674.

ZHAO M H，LI W Z，YANG M H，et al Analysis of single piles under eccentric and inclined loads in layered soils [J]. Rock and Soil Mechanics，2007，28（4）：670-674 （In Chinese）

[20]趙明華，李微哲，單遠銘，等.成層地基中傾斜荷載樁改進有限桿單元法研究[J].工程力學，2008，25 （5 ）：79-84.

ZHAO M H，LI W Z，SHAN Y M，et al Behavior analysis of piles in layered clays under eccentric and inclined loads by improved finite pole element method[J]. Engineering Mechanics，2008，25 （5）：79-84 （In Chinese）

[21]尹平保，趙明華，趙衡，等.考慮斜坡效應的樁柱式橋梁基樁穩(wěn)定性分析[J].湖南大學學報（自然科學版），2016，43（11）：20-25

YIN P B，ZHAO M H，ZHAO H，et al Stability analysis of pilecolumn bridge pile considering slope effect[J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），2016，43 （11）：20-25. （In Chinese）

[22]趙明華，劉偉浩，尹平保，等.基于能量法的陡坡段橋梁基樁屈曲穩(wěn)定性分析[J].中南大學學報（自然科學版），2016，47（2）：586-592

ZHAO M H，LIU W H，YIN P B，et al Buckling analysis of bridge piles in steep slopes based on energy method[J]. Journal of Central South University（Scienceand Technology），2016，47 （2）：586-592 （In Chinese）

[23]趙明華，鄔龍剛，劉建華.基于p-y曲線法的承重阻滑樁內力及位移分析[J].巖石力學與工程學報，2007，26（6）：1220-1225

ZHAO M H，WU L G，LIU J H Inner-force and displacement analyses of load-bearing and anti-slide piles by p-y curve method [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2007，26（6）：1220-1225 （In Chinese）

[24]LIANG F，CHEN H，CHEN S. Influences of axial load on the lateral response of single pile with integral equation method [J]. International Journal for Numerical & Analytical Methods in Geomechanics，2012，36（16）：1831-1845.

[25]ZHANG L，GONG X N，YU J L Elastic solutions for partially embedded single piles subjected to simultaneous axial and lateral loading[J]. Journal of Central South University，2014，21（11）：4330-4337

[26]LIANG F Y，ZHANG H，WANG J L Variational solution for the effect of vertical load on the lateral response of offshore piles[J]. Ocean Engineering，2015，99：23-33

[27]SEO H，PREZZI M Analytical solutions for a vertically loaded pile in multilayered soil[J]. Geomechanics and Geoengineering，2007，2（1）：51-60

[28]SUN K M Laterally loaded piles in elastic media[J]. Journal of Geotechnical Engineering，1994，120（8）：1324-1344

[29]BASU D，SALGADO R，PREZZI M A continuum-based model for analysis of laterally loaded piles in layered soils [J]. Glotech- nique，2009，59（2）：127-140

[30]HAN F，PREZZI M，SALGADO R Energy-based solutions for nondisplacement piles subjected to lateral loads [J]. International Journal of Geomechanics，2017，17（11）：04017104