柴凱 李爽 樓京俊 朱石堅(jiān)

摘要：為了得到諧波激勵(lì)下本質(zhì)非線性能量阱系統(tǒng)出現(xiàn)強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的充要條件，開展非線性能量阱系統(tǒng)的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)研究.利用復(fù)變量平均法推導(dǎo)主共振下系統(tǒng)的慢變動(dòng)力流方程；結(jié)合多尺度法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)快、慢變流形的分離，得到不同參數(shù)下系統(tǒng)的慢不變流形以及全局分岔特性；通過構(gòu)建快變流形的一維映射函數(shù)，揭示非線性能量阱系統(tǒng)呈現(xiàn)強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)狀態(tài)的充要條件；搭建非線性能量阱系統(tǒng)的模擬電路，進(jìn)行強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)檢測電路試驗(yàn).仿真和試驗(yàn)結(jié)果表明，強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)是由耦合系統(tǒng)慢變動(dòng)力流中極限環(huán)的鞍結(jié)分岔引起的且真實(shí)存在，系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)必須滿足兩個(gè)條件：一是非線性能量阱系統(tǒng)響應(yīng)超越慢不變流形上的極值點(diǎn)，又不吸引至慢不變流形某一分支；二是形成連續(xù)跳躍環(huán)路而不陷入局部循環(huán)時(shí).

關(guān)鍵詞：非線性能量阱；強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)；非線性動(dòng)力系統(tǒng)；復(fù)變量平均法；振動(dòng)控制

中圖分類號(hào)：O322 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Investigation on Strongly Modulated Response of Nonlinear Energy Sink System

CHAI Kai，LI Shuang，LOU Jingjun，ZHU Shijian

（College of Naval Architecture and Ocean，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

Abstract：In order to obtain the necessary and sufficient conditions for the strongly modulated response （SMR）of a nonlinear energy sink （NES）system under harmonic excitation，the SMR study of the NES system is carried out. Firstly，the equation of systematic slow variation flow is derived by using the complex-averaging method. Secondly，the multi-scale method is used to realize the separation of the rapid variable manifold and the slow variable manifold. And the systematic slow invariant manifold under the different parameters and the global bifurcation property are obtained. Then，by building the one-dimensional mapping function of the rapid variable manifold，the sufficient and necessary conditions for the NES system in the SMR state are revealed. Finally，the simulation circuit of the NES system is constructed，and the response detection circuit test is carried out. The simulation and experimental results show that the SMR is caused by the saddle-node bifurcation of limit cycles in the slowly varying power flow of the coupling system，and it is an actual phenomenon in engineering. The system in which SMR state can appear must satisfy the following two conditions：the response of the NES system exceeds the amplitude of the extremum point on the slow invariant manifold，but it does not attract to a branch of the slow invariant manifold，and a continuous jump loop without falling into a local cycle is formed.

Key words：nonlinear energy sink（NES）；strongly modulated response（SMR）；nonlinear dynamical systems；complex-averaging method；vibration control

非線性能量阱（Nonlinear Energy Sink，NES）是指剛度近似為立方剛度用于振動(dòng)控制的非線性振子，它在一定條件下會(huì)出現(xiàn)靶能量傳遞現(xiàn)象.與傳統(tǒng)線性吸振器相比，NES能有效增加吸振帶寬，大幅提升減振效率，目前在航空航天[1]、房屋橋梁抗震[2]、能量采集[3]以及振動(dòng)噪聲控制[4]等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.在受外加激勵(lì)作用的耦合NES系統(tǒng)中，由于非線性參數(shù)的作用，系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)幾種具有明顯差異的響應(yīng)形式，即周期、弱調(diào)制、強(qiáng)調(diào)制和混沌響應(yīng).廣義上前3種類型均屬于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但其對(duì)應(yīng)相軌跡具有明顯差異，使得NES的振動(dòng)抑制效果也具有很大的不同[5].

NES因其寬頻控制的特性引起了相關(guān)學(xué)者的廣泛關(guān)注.Jiang等[6]研究了正弦激勵(lì)作用下，NES在較寬頻帶從線性振子吸收能量，且不論向前還是向后掃頻，均能實(shí)現(xiàn)能量定向傳遞.Zhang等[7]研究了主結(jié)構(gòu)受正弦周期力、多約束下碰撞非線性系統(tǒng)的能量傳遞問題，指出當(dāng)激勵(lì)幅值達(dá)到一定閾值時(shí)，能量會(huì)向NES振子聚積，而且根據(jù)激勵(lì)幅值不同，系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)周期、弱調(diào)制、強(qiáng)調(diào)制等多種具有明顯差異的響應(yīng)形式.Starosvetsky等[8]通過相軌跡法給出了系統(tǒng)響應(yīng)類型與平衡點(diǎn)之間的關(guān)系，指出系統(tǒng)慢變方程對(duì)應(yīng)周期解是否分岔是NES振子實(shí)現(xiàn)靶能量傳遞的關(guān)鍵.Gourdon等[9]研究了NES系統(tǒng)的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)（Strongly Modulated Response，SMR），給出了系統(tǒng)產(chǎn)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的條件，通過對(duì)比說明了NES的減振效果在非周期響應(yīng)時(shí)要比穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)更好.李爽等[10]采用柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)提出了一種NES構(gòu)造方法，分析了簡諧激勵(lì)下耦合系統(tǒng)的局部分岔特性.張也弛等[11]通過數(shù)值方法研究了兩自由度NES系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的力學(xué)特性與抑振效果.由于強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)下NES系統(tǒng)的振動(dòng)抑制效率比穩(wěn)態(tài)振動(dòng)更優(yōu)越，因此有必要對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的充要條件作進(jìn)一步研究.

本文從近似解析計(jì)算角度出發(fā)，重點(diǎn)研究NES系統(tǒng)的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng).利用復(fù)變量平均法推導(dǎo)主共振下系統(tǒng)響應(yīng)幅值的慢變動(dòng)力流方程，深入探討NES 系統(tǒng)產(chǎn)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的充要條件，通過電路仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證理論分析的正確性和強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的真實(shí)性，從而間接證明NES振子在簡諧激勵(lì)能否實(shí)現(xiàn)靶能量傳遞.

1NES系統(tǒng)的慢不變流形

1.1動(dòng)力學(xué)建模

如圖1所示，建立機(jī)械設(shè)備耦合非線性能量阱的兩自由度非線性吸振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型（以下簡稱NES系統(tǒng)）.機(jī)械設(shè)備主系統(tǒng)中m₁為待減振機(jī)械設(shè)備，通過線性剛度彈簧k₁、阻尼λ₁與剛性基座連接；NES子系統(tǒng)安裝于機(jī)械設(shè)備上層并與其耦合連接，其組成元素包括質(zhì)量m₂、剛度k₂以及阻尼λ₂；f_b=F cos ΩT為作用于機(jī)械設(shè)備上的外界激勵(lì)信號(hào)，F(xiàn)為激勵(lì)力幅值，Ω為激勵(lì)力頻率，機(jī)械設(shè)備和NES產(chǎn)生的垂向位移分別為z₁和z₂.本文主要研究具有本質(zhì)非線性的立方剛度型NES，故其非線性彈簧回復(fù)力為f_NES=k₂（z₂-z₁）³.

相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

采用復(fù)變量平均法推導(dǎo)系統(tǒng)的慢變動(dòng)力流方程.以質(zhì)量比ε為小參量，引入長度量綱l₀=m₁g/k₁，l₀對(duì)應(yīng)線性彈簧k₁在重量G₁=m₁g作用下的靜態(tài)形變量，并作如下無量綱變換：

將式（2）代入式（1）可得：

考慮激勵(lì)頻率接近主系統(tǒng)固有頻率時(shí)的1：1：1主共振響應(yīng)，令ω=1+εσ，其中σ為調(diào)諧參數(shù)，用來描述內(nèi)共振頻率之間的接近程度.將系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)分解為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)以及兩個(gè)振子之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，對(duì)系統(tǒng)再次簡化，引入新變量：u=x₁+εx₂，v=x₁- x₂，在不考慮主系統(tǒng)阻尼（即ξ₁=0）的情形下，將u和v代入式（3）可得：

1.2系統(tǒng)慢不變流形

引入新的時(shí)間尺度τ_k=ε_kt，k=0，1，…，并令ρ₂=ρ₂（τ₀，τ₁，…），采用多尺度法展開，并忽略高階項(xiàng)，可得式（6）關(guān)于ε的前兩階方程：

考慮慢變幅值ρ₂關(guān)于快變時(shí)間尺度τ₀的近似解，對(duì)式（7）第一式進(jìn)行積分，可得：

式中：R為關(guān)于τ₁尺度的任意函數(shù).令?ρ₂/?τ₀=0，可得系統(tǒng)平衡點(diǎn)方程：

由式（9）可知，平衡點(diǎn)Φ（τ₁）只與τ₁有關(guān)，將復(fù)變量用模和相角表示，即Φ（τ₁）=N（τ₁）exp[jθ（τ₁）]，（N，θ）∈（R⁺×S¹），代入式（9）求模后可得：

Z（τ₁）=N²（τ₁），對(duì)應(yīng)相位如下：

由圖2可知，由于流形的不變性，系統(tǒng)慢變幅值只能沿著曲線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)達(dá)到折疊線N₁、N₂時(shí)，可能從一支穩(wěn)定分支跳躍至另一支穩(wěn)定分支，從而出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象.此外，在折疊線N₁、N₂處可能存在鞍結(jié)分岔過程，從而形成N₁→N_u→N₂→N_d→N₁的連續(xù)跳躍環(huán)路并使系統(tǒng)響應(yīng)慢變幅值出現(xiàn)周期性變化，類似于目標(biāo)能量轉(zhuǎn)移過程中“泵能”與“放能”現(xiàn)象.文獻(xiàn)[13]將其稱為強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)，該響應(yīng)下NES系統(tǒng)出現(xiàn)靶能量傳遞現(xiàn)象，在其主共振附近會(huì)出現(xiàn)準(zhǔn)周期響應(yīng)，且幅值變化較為劇烈，能使NES具有優(yōu)異的振動(dòng)抑制效果.

2強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)產(chǎn)生的必要條件

2.1折奇點(diǎn)產(chǎn)生條件和慢不變流形相軌跡特征

式中：Φ（τ₁）=N（τ₁）exp[jθ（τ₁）].對(duì)式（12）兩邊取復(fù)數(shù)共軛，通過化簡得到：

1）當(dāng)g（N）≠0時(shí)為普通平衡點(diǎn)，滿足如下表達(dá)式：

2）當(dāng)g（N）=0時(shí)為折奇點(diǎn)，滿足如下表達(dá)式：

式中：

選取系統(tǒng)參數(shù)C=4/3，ξ₂=0.2，σ=0，普通平衡點(diǎn)分岔情況如圖3所示.由圖3可知，當(dāng)f變化時(shí)，系統(tǒng)只存在一個(gè)周期解，不穩(wěn)定解位于折疊線N₁= 0.595 0、N₂= 0.989 6之間.另外，通過聯(lián)合求解式（14）可得折疊線對(duì)應(yīng)的激勵(lì)力分岔值為f_b1= 0.241 9、f_b2= 0.989 2.

進(jìn)一步求解f_ck可得折奇點(diǎn)對(duì)應(yīng)分岔值為f_c1=0.1760、f_c2=0.9844，滿足f_c1＜f_b1＜f_c2＜f_b2系統(tǒng)的全局分岔如圖4所示，圖中rp為周期吸引子，fs1、fs2分別為上、下折奇點(diǎn)，bp1、bp2為周期吸引子分岔點(diǎn)，普通平衡點(diǎn)與折奇點(diǎn)穩(wěn)定性通過慢變系統(tǒng)線性化擾動(dòng)方程的雅可比矩陣特征值判斷.同時(shí)，結(jié)合Runge-Kutta數(shù)值方法與Matlab Streamline命令繪制不同激勵(lì)力幅值下系統(tǒng)的慢不變流形，如圖5所示. 圖5中縱坐標(biāo)為慢變幅值N，橫坐標(biāo)為相位θ，

由圖4和圖5可知，當(dāng)f=0時(shí)，從N₂上方出發(fā)的相軌跡都可以回到N₂，但從N₁出發(fā)的相軌跡不能返回至N₁.與圖2對(duì)比可知，相軌跡從上穩(wěn)定分支出發(fā)時(shí)能跳躍至下穩(wěn)定分支，而從下穩(wěn)定分支出發(fā)的相軌跡不能跳躍至上穩(wěn)定分支，這與實(shí)際系統(tǒng)也是相符合的.當(dāng)不存在外界激勵(lì)時(shí)，由于阻尼存在，系統(tǒng)能量會(huì)逐漸被耗散，直至趨于穩(wěn)定.當(dāng)f = 0.1時(shí)，對(duì)應(yīng)f ＜f_c1，存在一個(gè)穩(wěn)定的周期平衡點(diǎn)，不存在折奇點(diǎn)，所有的相軌跡都流入該吸引子.當(dāng)f =f_c1時(shí)，普通平衡點(diǎn)出現(xiàn)亞臨界分岔，在折疊線N₁處產(chǎn)生一對(duì)不穩(wěn)定的下折奇點(diǎn).當(dāng)f = 0.18時(shí)，對(duì)應(yīng)f略大于f_c1，存在一個(gè)周期平衡點(diǎn)與一對(duì)下折奇點(diǎn)（左側(cè)下折奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，右側(cè)下折奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)），從鞍點(diǎn)右邊出發(fā)的相軌跡都被吸引至周期平衡點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)左邊以及折疊線N₁右邊部分出發(fā)的相軌跡吸引至結(jié)點(diǎn)，而結(jié)點(diǎn)與鞍點(diǎn)之間的相軌跡則有可能返回至折疊線N₁，這意味著強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)可能發(fā)生.當(dāng)f_c1＜f＜f_b1時(shí)，存在一對(duì)不穩(wěn)定的下折奇點(diǎn)和一個(gè)穩(wěn)定的周期吸引子.當(dāng)f = f_b1時(shí)，周期吸引子退化為不穩(wěn)定解，同時(shí)下折奇點(diǎn)由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定.當(dāng)f = 0.5時(shí)，對(duì)應(yīng)f_b1＜f ＜f_c2，系統(tǒng)性態(tài)發(fā)生了非常顯著的變化：首先，和f = 0.18 相比，普通平衡點(diǎn)消失，同時(shí)鞍點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)沿著下折疊線往兩側(cè)移動(dòng)，其中結(jié)點(diǎn)往左側(cè)移動(dòng)，而鞍點(diǎn)往右側(cè)移動(dòng)，鞍結(jié)點(diǎn)之間的距離擴(kuò)大，表明最終能回到N₁的相軌跡區(qū)域變大，同時(shí)出現(xiàn)強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的可能性也將增加；另外，由于在繪制相軌跡過程中，相位只取一個(gè)周期（0，2π），當(dāng)結(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)超過最左側(cè)時(shí)，又重新在右端出現(xiàn)，此時(shí)折奇點(diǎn)性質(zhì)已由一對(duì)鞍結(jié)點(diǎn)通過碰撞演化成了一對(duì)穩(wěn)定的焦點(diǎn).當(dāng)f =f_c2時(shí)，平衡點(diǎn)再次出現(xiàn)亞臨界分岔，此時(shí)演變出一對(duì)穩(wěn)定的上折奇點(diǎn).當(dāng)f = 0.987時(shí)，對(duì)應(yīng)f略大于f_c2，在上折疊線N₂出現(xiàn)一對(duì)鞍結(jié)點(diǎn)，而下折疊線N₁的一對(duì)穩(wěn)定焦點(diǎn)依然存在，仍有可能出現(xiàn)強(qiáng)調(diào)制響應(yīng).當(dāng)f=f_b2時(shí)，上折奇點(diǎn)由穩(wěn)定退化為不穩(wěn)定，同時(shí)周期吸引子再次發(fā)生Hopf分岔，由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定.當(dāng)f = 1時(shí)，對(duì)應(yīng)f ＞f_b2，折疊線N₂上鞍結(jié)點(diǎn)演化成了一對(duì)不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)，同時(shí)在折疊線N₂附近出現(xiàn)了穩(wěn)定的普通平衡點(diǎn)，此時(shí)強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)依然有可能出現(xiàn).

2.2系統(tǒng)響應(yīng)慢變流形

仍考慮時(shí)間尺度的前兩階，令ρ₁（t）=a₁（t）+jb₁（t）、ρ₂（t）=a₂（t）+jb₂（t），對(duì)式（5）利用多尺度法直接展開，取ε⁰階分離實(shí)部與虛部，可得四階常微分方程組：

對(duì)比圖7中的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間歷程也可驗(yàn)證以上分析結(jié)論，圖中實(shí)線為式（5）數(shù)值計(jì)算得到的實(shí)際響應(yīng)，虛線為式（16）數(shù)值計(jì)算得到的慢變幅值.由圖7 可知，通過慢變方程計(jì)算得到的幅值響應(yīng)與真實(shí)幅值存在一定的誤差，這主要是由設(shè)定質(zhì)量比為小參量條件引起的，但總體來說，預(yù)測值還是可靠的.

圖8給出了C = 4/3、ξ₂= 0.2、f = 0.5、σ=0，而質(zhì)量比分別為0.05、0.01和0.001時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)慢變流形.質(zhì)量比并不影響慢不變流形的形狀，由圖8可知，3種情形均能出現(xiàn)強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)，且質(zhì)量比參數(shù)越小，吻合程度越高，但總體而言，通過觀察慢變流形變化趨勢(shì)就可判斷系統(tǒng)是否出現(xiàn)了強(qiáng)調(diào)制響應(yīng).

總結(jié)而言，f>f_c1并不能說明系統(tǒng)一定會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)，當(dāng)激勵(lì)頻率變化時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)有可能被吸引至慢不變流形的某一穩(wěn)定分支或陷入局部循環(huán)，從而導(dǎo)致無法形成N₁→N_u→N₂→N_d→N₁的連續(xù)跳躍環(huán)路，也就不能產(chǎn)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng).因此，系統(tǒng)出現(xiàn)折奇點(diǎn)只是出現(xiàn)強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的必要條件，仍需進(jìn)一步探求系統(tǒng)出現(xiàn)強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的充分條件.

3強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)產(chǎn)生的充分條件

3.1一維映射函數(shù)構(gòu)建

仍考慮慢變系統(tǒng)，由式（15）可得N₁折疊線上折奇點(diǎn)對(duì)應(yīng)跳躍的邊界條件為Θ₁和Θ₂，令相軌跡可能從折疊線N₁跳躍至上穩(wěn)定分支的相位區(qū)間為R=[Θ₁，Θ₂].考慮R→R的一維映射，若從區(qū)間R出發(fā)的相軌跡經(jīng)多次N₁→N_u→N₂→N_d→N₁4個(gè)階段后仍可返回至R，則表明慢變系統(tǒng)出現(xiàn)了穩(wěn)定的極限環(huán)，強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)必然會(huì)發(fā)生.而系統(tǒng)能夠產(chǎn)生穩(wěn)定極限環(huán)的相軌跡區(qū)域則對(duì)應(yīng)出現(xiàn)強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的初始條件，這顯然也是產(chǎn)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的充分條件.

2）第2階段：N_u→N₂.由于慢不變流形的確定性，從（N_u，θ_u）出發(fā)的相軌跡必然只能沿著上穩(wěn)定分支運(yùn)動(dòng)，對(duì)式（13）積分即可得到映射終點(diǎn)（N₂，θ₂）.

3）第3階段：N₂→N_d.類似于N₁→N_u的映射過程，映射表達(dá)式如下：

4）第4階段：N_d→N₁.類似于N_u→N₂過程，從（N_d，θ_d）出發(fā)的相軌跡必然只能沿著下穩(wěn)定分支運(yùn)動(dòng)，同樣對(duì)式（13）積分即可得到映射終點(diǎn)（N₁，θ₁₀）.因此，可得到一維映射關(guān)系：R→R：（N₁，θ₁）→（N₁，θ₁₀）.

顯然，當(dāng)系統(tǒng)存在普通平衡點(diǎn)時(shí)，從R=[Θ₁，Θ₂]出發(fā)的相軌跡，有可能被吸引至慢不變流形的上下穩(wěn)定分支，只有通過多次映射后映射終點(diǎn)仍落于R區(qū)間時(shí)，才能出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)，從而產(chǎn)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng).

3.2數(shù)值討論與分析

當(dāng)參數(shù)ε= 0.05、C = 4/3、ξ₂= 0.2、f = 0.5、σ=0時(shí)，對(duì)應(yīng)Θ₁=-0.9110，Θ₂= 1.5114，各階段映射過程如圖9所示.圖9（a）對(duì)應(yīng)第1階段映射過程，相軌跡從R=［Θ₁，Θ₂］出發(fā)跳躍至上穩(wěn)定分支N處；圖9（b）對(duì)應(yīng)第2階段映射過程，相軌跡通過上穩(wěn)定分支慢變至N₂折疊線處；圖9（c）對(duì)應(yīng)第3階段映射過程，相軌跡從N₂折疊線跳躍至下穩(wěn)定分支；圖9（d）對(duì)應(yīng)第4階段映射過程，相軌跡通過下穩(wěn)定分支慢變至N₁折疊線處.由圖9可知，經(jīng)過一次完整的映射過程后，從R=［Θ₁，Θ₂］出發(fā)的相軌跡最終都會(huì)落在該區(qū)間內(nèi)，且新得到的相位區(qū)間向內(nèi)收縮，表明無論經(jīng)過多少次映射，終點(diǎn)都會(huì)位于R=［Θ₁，Θ₂］內(nèi).因此，在該參數(shù)條件下，系統(tǒng)能在θ₁≈0處出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán).

進(jìn)一步考慮在相同參數(shù)條件下，通過局部分岔得到的幅頻特性曲線，如圖10所示.圖10中，HP_i（i=1，2，3）表示第i個(gè)Hopf分岔點(diǎn)；SN_j（j=1，2，3，4）表示j個(gè)鞍結(jié)分岔點(diǎn).由圖10可知，當(dāng)σ=0時(shí)，系統(tǒng)不存在穩(wěn)定的周期平衡點(diǎn)，從R=［Θ₁，Θ₂］出發(fā)的相軌跡無法被普通周期平衡點(diǎn)吸引，都能產(chǎn)生穩(wěn)定的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)，這也驗(yàn)證了一維映射的分析結(jié)果.

當(dāng)σ= 2.5時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)幅值較小的穩(wěn)定周期平衡點(diǎn)，與σ= 0相比，其一維映射過程也發(fā)生了明顯的變化，如圖11所示.由圖11可知，從R出發(fā)的相軌跡在第4階段映射過程中有一部分被下穩(wěn)定分支上的周期平衡點(diǎn)吸引，從而不能返回至R，在經(jīng)過一次或多次映射過程后能夠返回至R區(qū)間的映射終點(diǎn)較映射起始點(diǎn)而言整體向右偏移，表明在經(jīng)過一次或多次映射過程后，系統(tǒng)響應(yīng)將從強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)狀態(tài)逃逸；從R區(qū)間出發(fā)的相軌跡都會(huì)逐漸吸引至穩(wěn)定周期吸引子，從而不能產(chǎn)生穩(wěn)定極限環(huán)，強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)也不會(huì)持續(xù)發(fā)生.

由圖12可知，當(dāng)超過該頻率區(qū)域時(shí)，不能產(chǎn)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)，同時(shí)根據(jù)一維映射圖可以大致判斷產(chǎn)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的相角范圍，該相角范圍代表觸發(fā)強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的系統(tǒng)初始條件；若在頻率邊界附近產(chǎn)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的初始條件范圍大大縮小，則意味著出現(xiàn)強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的條件將會(huì)更加苛刻.

綜上所述，NES系統(tǒng)能產(chǎn)生穩(wěn)定的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)必須滿足以下條件：

2）必須形成N₁→N_u→N₂→N_d→N₁的連續(xù)跳躍環(huán)路，且軌線不被周期平衡點(diǎn)吸引.

顯然以上兩個(gè)條件對(duì)系統(tǒng)參數(shù)、外界激勵(lì)以及初始條件都有嚴(yán)格的要求，特別是在多解共存區(qū)域，需要特定的初始條件才能激發(fā)穩(wěn)定的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng). 同時(shí)，在某些激勵(lì)頻率區(qū)域，系統(tǒng)只存在穩(wěn)定的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng).仍以σ=0為例，強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的穩(wěn)定極限環(huán)與慢變系統(tǒng)數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖13所示.由圖13可知：一是穩(wěn)定極限環(huán)對(duì)應(yīng)的初始相位為θ₁≈-0.05；二是一維映射結(jié)果與實(shí)際系統(tǒng)響應(yīng)吻合良好，可清晰看到調(diào)制響應(yīng)的兩個(gè)慢變過程與兩個(gè)快變過程.

4強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)檢測電路設(shè)計(jì)與試驗(yàn)

采用Tina-Ti軟件中模擬電路開發(fā)模塊對(duì)特定參數(shù)下的NES系統(tǒng)進(jìn)行仿真計(jì)算，并開展強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)檢測電路試驗(yàn)對(duì)理論分析結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證.

4.1電路原理圖設(shè)計(jì)

考慮式（3）所示的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，將其改寫為四維狀態(tài)方程：

依據(jù)微分狀態(tài)方程與電路狀態(tài)方程的等價(jià)關(guān)系，強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)檢測電路主要由積分電路、反相比例電路、乘法器等幾個(gè)關(guān)鍵模塊組成，其中運(yùn)算放大器選用UA741封裝芯片，而乘法器選用具有8引腳的AD633JN封裝芯片，通過2個(gè)AD633JN乘法器串聯(lián)來實(shí)現(xiàn)狀態(tài)方程中的立方項(xiàng).Tina-Ti仿真軟件中模擬電路的原理如圖14所示，各元器件工作電壓為-15～15 V，輸入余弦電壓信號(hào)幅值為25 mV，頻率為159 mHz，輸出電壓測點(diǎn)布置為VF1與VF2，分別與式（19）中的x₁、x₂相對(duì)應(yīng).

4.2電路仿真與試驗(yàn)結(jié)果分析

利用Tina-Ti電路仿真軟件中的瞬態(tài)響應(yīng)求解器得到兩個(gè)測點(diǎn)的電壓響應(yīng)，并與式（19）系統(tǒng)參數(shù)分別取ε= 0.05、C= 2、ξ₂= 0.2、f = 0.5、σ=0，初始條件均為0時(shí)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖15所示.由圖15可知，VF1測點(diǎn)與VF2測點(diǎn)均呈現(xiàn)穩(wěn)定的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)，這與數(shù)值計(jì)算結(jié)果中位移響應(yīng)x₁、x₂的變化趨勢(shì)保持一致，存在的略微差異是由于輸入頻率只能近似取整為159 mHz，導(dǎo)致相位上存在一定延遲.

依據(jù)電路原理圖制作電路板，并開展電路試驗(yàn). 其中信號(hào)發(fā)生器用于提供外界余弦激勵(lì)信號(hào)，穩(wěn)壓電源設(shè)置為±14.9V，用于提供元器件工作電壓，示波器用于采集測點(diǎn)VF1和VF2的電壓信號(hào)，相互連接關(guān)系以及電路試驗(yàn)結(jié)果分別如圖16和圖17所示. 由圖可知，試驗(yàn)測試結(jié)果與電路仿真結(jié)果以及Runge-Kutta數(shù)值方法結(jié)果吻合良好，表明強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)檢測電路是有效的，也驗(yàn)證了強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)在NES系統(tǒng)中是真實(shí)存在的.

5結(jié)論

利用復(fù)變量平均法推導(dǎo)了主共振下NES系統(tǒng)的慢變動(dòng)力流方程，通過多尺度法研究快變與慢變兩個(gè)時(shí)間尺度上系統(tǒng)平衡點(diǎn)的特性，從慢不變流形相軌跡、慢變流形特征以及松弛振子一維映射等多視角探究了NES系統(tǒng)產(chǎn)生強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)的充要條件，通過電路仿真與試驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的正確性.得出如下結(jié)論：

到的平衡點(diǎn).

3）強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)檢測電路仿真和試驗(yàn)結(jié)果與理論分析結(jié)果保持一致，驗(yàn)證了NES系統(tǒng)中強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)存在的真實(shí)性和靶能量傳遞的可行性.

參考文獻(xiàn)

[1] ZHANG Y W，LU Y N，ZHANG W，et al. Nonlinear energy sink with inerter [J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2019，125：52-64.

[2]吳長青，張志田，張偉峰.考慮幾何非線性的橋梁后顫振極限環(huán)特性[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018，45（5）：1-10.

WU C Q，ZHANG Z T，ZHANG W F. Limit cycle oscillation of bridge post-flutter with geometric nonlinearities [J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），2018，45（5）：1-10. （In Chinese ）

[3]劉良坤，譚平，陳洋洋，等.非線性能量阱減振系統(tǒng)受基底簡諧激勵(lì)的強(qiáng)調(diào)制反應(yīng)分析[J].北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2019，45（2）：177-185.

LIU L K，TAN P，CHEN Y Y，et al. Strongly modulated response analysis of nonlinear energy sink absorption system under ground harmonic excitation [J]. Journal of Beijing University of Technology，2019，45（2）：177-185.（In Chinese）

[4] XIONG L Y，TANG L H，LIU K F，et al. Broadband piezoelectric vibration energy harvesting using a nonlinear energy sink[J]. Journal of Physics D：Applied Physics，2018，51（18）：185502.

[5] WANG J J，WANG B，WIERSCHEM N E，et al. Dynamic analysis of track nonlinear energy sinks subjected to simple and stochastice excitations [J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics，2020，49（9）：863-883.

[6]JIANG X A，MCFARLAND D M，BERGMAN L A，et al. Steady state passive nonlinear energy pumping in coupled oscillators：theoretical and experimental results[J]. Nonlinear Dynamics，2003，33：87-102.

[7]ZHANG Y W，ZHANG H，HOU S，et al. Vibration suppression of composite laminated plate with nonlinear energy sink[J]. Acta Astronautica，2016，123：109-115.

[8]STAROSVETSKY Y，GENDELMAN O V. Bifurcations of attractors in forced system with nonlinear energy sink：the effect of mass asymmetry[J].Nonlinear Dynamics，2010，59（4）：711-731.

[9]GOURDON E，LAMARQUE C H. Nonlinear energy sink with uncertain parameters[J]. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics，2006，1（3）：187-195.

[10]李爽，樓京俊，柴凱，等.激勵(lì)力幅值對(duì)非線性能量阱系統(tǒng)全局分岔特性的影響研究[J].船舶力學(xué)，2021，25（4）：479-488.

LI S，LOU J J，CHAI K，et al. Research on the influence of excitation amplitude on global bifurcation characteristics of nonlinear energy sink system[J]. Journal of Ship Mechanics，2021，25（4）：479-488.（In Chinese）

[11]張也弛，孔憲仁，張紅亮.非線性耦合振子間的靶能量傳遞研究：保守系統(tǒng)中的完全能量傳遞[J].振動(dòng)與沖擊，2012，31 （1）：150-155.

ZHANG Y C，KONG X R，ZHANG H L. Targeted energy transfer among coupled nonlinear oscillators：complete energy exchange in a conservative system[J]. Journal of Vibration and Shock，2012，31（1）：150-155.（In Chinese）

[12] XIE L，BAGUET S，PRABEL B，et al. Bifurcation tracking by Harmonic Balance Method for performance tuning of nonlinear dynamical systems[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2017，88：445-461.

[13] CHEN J E，HE W，ZHANG W，et al. Vibration suppression and higher branch responses of beam with parallel nonlinear energy sinks[J].Nonlinear Dynamics，2018，91（2）：885-904.