郭遠晶 金曉航 魏燕定 楊友東

摘要：針對信號變分模態(tài)分解（VMD）存在分解層數(shù)難以確定、目標模態(tài)難以選取的問題，介紹了一種信號分解方法——變分模態(tài)提?。╒ME），且提出了基于 S 變換（ST）與 VME 的旋轉機械故障診斷方法。VME 將信號分解成兩層——期望模態(tài)和殘余信號，并基于一個新的準則：期望模態(tài)與殘余信號之間具有最小的頻譜重疊。為了使 VME 得到的期望模態(tài)包含充分的故障特征，采用 S 變換對信號進行處理，確定故障特征所在的頻段，據(jù)此選取 VME 期望模態(tài)的中心頻率初始值。為了從期望模態(tài)中提取出故障特征頻率，采用平方包絡譜（SES）對期望模態(tài)進行分析。仿真信號與實際振動信號的分析結果表明，所提出的 ST?VME 方法能夠成功提取出有價值的期望模態(tài)和準確的故障特征頻率，實現(xiàn)旋轉機械故障診斷，且與 VMD 相比，ST ?VME 方法的目標性更強，實施更容易。

關鍵詞：故障診斷；旋轉機械；變分模態(tài)提??；S 變換；平方包絡譜

中圖分類號： TH165+.3；TH133.3??? 文獻標志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1289-10

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.027

引言

齒輪與軸承是旋轉機械設備中的重要組成零件，其健康狀態(tài)對于設備的正常運行具有重要影響。這些零件在工作中經(jīng)常承受動態(tài)載荷甚至過載，容易產生各種類型的故障損傷，因此，對它們進行狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷是非常有必要的。當齒輪或軸承出現(xiàn)損傷時，損傷處的接觸剛度改變，再加上齒輪嚙合或軸承元件滾動接觸的不平順性，會激勵一系列的沖擊。此時若旋轉機械設備平穩(wěn)運行，這些沖擊則會在設備振動信號中以周期性的特征呈現(xiàn)，并對振動信號產生調幅?調頻影響。沖擊特征頻率與設備的健康狀態(tài)密切相關，不同的頻率指示著設備不同的故障狀態(tài)，如何從設備振動信號中提取出故障特征頻率，是進行旋轉機械故障診斷的關鍵。但由于旋轉機械設備中通常包含多個旋轉運動的零件，不同零件激勵的振動相互耦合疊加，且振動信號會沿著從故障源頭到振動傳感器的傳遞路徑衰減，因此，從傳感器獲取的設備振動信號中提取出故障特征并不是一件容易的事情。

目前，旋轉機械設備故障特征提取的有效方法是信號分解，其中主要有經(jīng)驗模態(tài)分解（EMD）[1?3]、局部均值分解（LMD）[4?6]和經(jīng)驗小波變換（EWT）[7?8]等。這些分解算法各有優(yōu)點，但也各自存在一些不足之處，如 EMD 和 LMD 存在端點效應、模態(tài)混疊、對噪聲敏感等問題[9]，EWT 則存在抗噪性差、難以準確估計信號分量頻率范圍等問題[10?11]。鑒于此，Dragomiretskiy等提出了一種信號自適應分解方法——變分模態(tài)分解（VMD）[12]，該方法將信號分解成一系列具有不同中心頻率的窄帶本征模態(tài)函數(shù)，有著完備的數(shù)學理論支撐，且對信號采樣要求不高、抗噪性好。VMD 憑借其優(yōu)越的性能，在旋轉機械設備故障診斷領域得到了廣泛的研究與應用[13?16]。不足之處在于，VMD 在執(zhí)行過程中需要預先設定模態(tài)分解的層數(shù)，然而，層數(shù)過多會導致過分解，產生虛假模態(tài)分量干擾；層數(shù)過少則會由于欠分解而導致模態(tài)混疊，難以提取目標模態(tài)[9] ；此外，VMD 結果中有多個模態(tài)，有用的目標模態(tài)也不太好選取。為此，2018年，Nazari 等提出了變分模態(tài)提?。╒ME）方法，用于從心電圖中提取呼吸信號[17]。 VME 建立的基本理論與 VMD 相似，但 VME 將信號分解成兩層——期望模態(tài)和殘余信號，并基于一個新的準則：殘余信號在期望模態(tài)的頻帶內具有盡量少的能量。需要指出的是，VME 在應用時需要預先確定期望模態(tài)的中心頻率初始值，不然提取出的期望模態(tài)難以包含有用的信息。

在旋轉機械振動信號處理的實際應用中，包含故障特征的期望模態(tài)通常位于某一特定頻段內，只需將該層模態(tài)提取出來即可，其他層的模態(tài)則無需提取，從而避免虛假模態(tài)分量的干擾，降低計算量。因此，本文首先采用 S 變換對旋轉機械振動信號進行時頻表示，獲取故障特征所在的頻段，以此選取期望模態(tài)的中心頻率初始值，然后利用 VME 提取出包含完整故障信息的期望模態(tài)，最后對期望模態(tài)進行平方包絡譜分析，提取故障特征頻率，實現(xiàn)旋轉機械的故障診斷。

1 ST-VME 故障診斷方法

1.1 變分模態(tài)提取

假設輸入信號 x （t）需要分解成兩個信號：期望模態(tài)ud （t）和殘余信號xr （t），即：

式中ud （t）為圍繞中心頻率ωd 的緊支撐函數(shù)，為了從 x （t）中完整地提取出ud （t），ud （t）與xr （t）需要滿足以下準則：

（1） xr （t）與ud （t）之間具有最小的頻譜重疊，即xr （t）在ud （t）頻率范圍內具有最小能量，特別是在中心頻率ωd 處的能量應為0；

（2） xr （t）與ud （t）能夠完全重構原始信號 x （t）。

因此，期望模態(tài)ud （t）的提取問題可以轉化為一個受約束的最小化問題，表述如下：

式中α為平衡 J1和 J2的參數(shù)。J1用于衡量ud （t）圍繞其中心頻率ωd 的緊支撐性，定義為：

式中? ? t （?）表示關于 t 求偏導數(shù)，“*”表示卷積，δ（ t ）為狄利克雷函數(shù)，j=為虛數(shù)單位。

J2為衡量ud （t）與xr （t）之間頻譜重疊程度的懲罰函數(shù)，定義為：

其中時域濾波器β（ t ）對應的頻域濾波器 β?（ω）在ω=ωd處取無窮大，使其對頻率為ωd的信號成分具有無限的敏感性，而對頻率遠離ωd的信號成分具有類似 Wiener 濾波器的性能，則 β?（ω）定義為：

為將上述約束最優(yōu)化問題（2）轉化為無約束最優(yōu)化問題，引入二次懲罰項和拉格朗日乘子λ（t），構造增廣拉格朗日函數(shù)：

根據(jù) Parseval 時頻域能量守恒定理：

式中 x? （ ω）為 x （ t ）的 Fourier 變換，將式（6）寫成頻域形式：

式中sgn （?）為符號函數(shù)； d （ω），x? r （ω）和（ ω）分別為期望模態(tài)ud （t）、殘余信號xr （t）和拉格朗日乘子λ（t）的 Fourier 變換；?表示內積運算。

利用交替方向乘子法（ADMM），將最優(yōu)化問題（2）轉化為一系列迭代的子優(yōu)化問題進行求解。在第 n +1次的迭代中，期望模態(tài) d（n）+1可以通過下式進行求解：

根據(jù)參考文獻[12]，將式（9）寫成非負頻率區(qū)間積分形式，并代入 β?（ω）=1[α（ω-ω d（n））2]，得到：

經(jīng)過代數(shù)運算，具體過程請參見文獻[17]，可以得到期望模態(tài) d 的更新表達式：

中心頻率ωd 的更新表達式：

通過對偶上升法獲得拉格朗日乘子的更新表達式：

式中τ為更新步長。

根據(jù)以上分析，得到 VME 算法的流程如下：

（1）初始化 d（1）和 1，n =0，估計中心頻率ω d（1）初始值；

（2） n=n+1，整個算法開始循環(huán)執(zhí)行；

（3）對所有的ω≥0，依據(jù)式（11）和（12）分別更新 d 和ωd；

（4）依據(jù)式（13）更新；

（5）給定精度值ε，若滿足迭代終止條件：

結束整個循環(huán)，否則返回步驟（2）。

1.2? 中心頻率初始值選取

文獻[17]指出，VME 期望模態(tài)的提取效果對其中心頻率ωd 的初始值不太敏感，可以在一個比較寬的范圍內選取。但旋轉機械故障振動信號的分析結果表明，若要提取出包含故障特征的期望模態(tài)，ωd 初始值的選取必須在一個合理范圍內，否則提取出的期望模態(tài)難以用于故障診斷。因此，本文采用 S 變換對旋轉機械故障振動信號進行時頻表示，確定期望模態(tài)中心頻率ωd 的范圍，并據(jù)此選取一個合適的ωd 初始值。

對于輸入信號 x （t），其 S 變換定義為[18]：

式中ω（t，σ（ f ））為高斯窗函數(shù)，定義為：

控制高斯窗寬的標準差σ（ f）定義為與信號頻率f成反比例的函數(shù)，即：

調整比例系數(shù)λ的值，可以在 S 變換時頻譜中不同頻段上獲得相對優(yōu)良的時頻聚集性。S 變換分析窗的寬度與信號頻率成反比，這使得 S 變換具有類似于連續(xù)小波變換的多分辨率特性，適合于非線性時變信號的處理與分析。

旋轉機械的齒輪、軸承等零件出現(xiàn)故障損傷時，振動信號中包含有幅值與頻率時變的沖擊特征。利用振動信號的 S 變換譜可有效展示故障沖擊特征[19]，指示沖擊特征所在的頻率范圍，因而能夠用于 VME 期望模態(tài)中心頻率初始值的選取，以使獲取的期望模態(tài)包含充分而完整的故障特征信息。

1.3 故障診斷實現(xiàn)方法

本文提出的 ST?VME 旋轉機械故障診斷方法，首先對機械振動信號進行 S 變換，確定故障沖擊特征所在的頻率范圍，從中選取一個頻率值f0，得到 VME 期望模態(tài)中心頻率ωd的初始值ωd0=2πf0；然后對振動信號進行 VME 處理，獲得期望模態(tài)；最后對期望模態(tài)進行平方包絡譜分析。

具體針對期望模態(tài)ud （t），其平方包絡信號為：[20]

式中? ?{?}表示 Hilbert 變換，平方包絡譜 USE （f）定義為uSE （t）幅值譜的平方，即：

式中 ?{?}表示傅里葉變換。

從平方包絡譜 USE （f）中直接提取故障特征頻率，實現(xiàn)旋轉機械故障診斷。

基于 ST?VME 的旋轉機械故障診斷方法流程如圖1所示。

2 仿真信號分析

仿真信號由齒輪局部損傷激勵振動信號的數(shù)學模型生成。該信號模型由多次諧波、周期性的故障沖擊特征與噪聲信號組成，定義為：

式中sn （t）為噪聲信號；fm為齒輪嚙合頻率；N 為諧波次數(shù)；X（ n ），φn，an （t）和 bn （t）分別表示第 n 次諧波的幅值、初相位、幅值調制函數(shù)和相位調制函數(shù)；K 和σ分別表示故障沖擊特征的個數(shù)和幅值衰減指數(shù)；tk和 Pk 分別表示第 k 個沖擊特征的出現(xiàn)時刻與最大幅值。

當齒輪平穩(wěn)運行時，調制函數(shù) an （t）和 bn （t）定義為：

式中fr為故障損傷齒輪的轉頻，An 和αn 分別表示第 n 次諧波幅值調制函數(shù)的幅值和相位，Bn 和βn 分別表示第 n 次諧波相位調制函數(shù)的幅值和相位。

對于一對相互嚙合的齒輪，假設局部損傷齒輪的齒數(shù) z=25，轉頻fr =20 Hz，那么嚙合頻率fm =z ×fr =500 Hz 。為利用振動信號模型生成仿真振動信號，設定 N=1，X （ n ）=2，φn =π，An =0.25，Bn =0.5，αn =π，βn =π，σ=60π，信號采樣頻率fs =10 kHz，采樣時間ts =0.4 s，數(shù)據(jù)長度 L=4000。令第1個沖擊特征在 t1=0.025 s 時出現(xiàn)，由于損傷齒輪沖擊振動所表現(xiàn)的故障特征頻率與齒輪轉頻fr一致，因此在整個采樣時間內，沖擊特征的個數(shù) K=[（ts -t1）×fr ]≈8；沖擊特征的最大幅值 Pk （k=1，2，…，8）序列由均值1.3和標準差0.2的高斯隨機序列生成。由此得到無噪的仿真信號如圖2（ a ）所示，其 S 變換譜如圖2（b）所示。往仿真信號中疊加高斯白噪聲，使其信噪比為-8 dB，最終生成齒輪故障的仿真振動信號如圖2（ c ）所示，由于信噪比很低，其中的故障特征完全被淹沒，無法識別。

仿真信號的 S 變換時頻譜如圖2（d）所示，可以大致看出在頻率500 Hz 處沿時間軸方向存在沖擊特征，但受噪聲干擾嚴重，規(guī)律不顯著。將 VME 期望模態(tài)的中心頻率初始值選取為2π×500 rad/s，提取出的期望模態(tài)如圖2（ e ）所示，其 S 變換時頻譜如圖2（f）所示，可見該期望模態(tài)中包含了完整清晰的故障沖擊特征，并表現(xiàn)出了顯著的周期性。期望模態(tài)的平方包絡譜如圖2（ g ）所示，其中的幅值為歸一化幅值，由各個頻率成分的幅值除以幅值中的最大值得到，從圖2（ g ）可見，其中的故障特征頻率為20 Hz，與理論值一致。

事實上，從仿真信號的 S 變換譜圖2（d）中可以看出，沖擊特征所在的頻段大致在400～550 Hz 之間，將中心頻率初始值選取為該頻段中的任意值， VME 得到的期望模態(tài)效果是一樣的，而若將中心頻率初始值選取在該頻段之外，如2π×600 rad/s 或2π×350 rad/s，得到期望模態(tài)的平方包絡譜如圖2（h）或2（i）所示，則提取出的期望模態(tài)不能包含故障特征，無法提取出故障特征頻率。由此可見，只要中心頻率的初始值取在一個合理的范圍內，VME 方法對中心頻率是不敏感的，都能夠提取出包含清晰完整故障特征的期望模態(tài)。當然，在實際應用中，并不需要確定中心頻率初始值的具體范圍，只需利用 S 變換譜選取一個合適的初始值即可。

作為比較，采用 VMD 對仿真信號進行處理，其中分解模態(tài)的層數(shù)設為8，在分解結果中，包含故障特征的目標模態(tài)為第2模態(tài)，時域波形如圖3（ a ）所示，S 變換譜如圖3（b）所示，平方包絡譜如圖3（ c ）所示。通過對比可見，VME 得到的期望模態(tài)與 VMD得到的目標模態(tài)基本一致，都能夠順利提取出故障特征頻率。不過在 VMD 中，合適的模態(tài)分解層數(shù)不太容易確定，分解結果中有用的目標模態(tài)也難以選取，而 VME 則不存在此問題。

此外，對比圖2（ e ）與圖3（ a ），并計算圖2（ e ）所示期望模態(tài)與圖2（ a ）所示無噪仿真信號之間的均方根誤差，結果為0.4917，計算圖3（ a ）所示目標模態(tài)與圖2（ a ）所示無噪仿真信號之間的均方根誤差，結果則為0.5148，由此可見，VME 提取的期望模態(tài)要比 VMD 提取的目標模態(tài)更干凈，噪聲更少。

從時域波形上來看，相比原始無噪的仿真信號， VME 提取的期望模態(tài)和 VMD 提取的目標模態(tài)中均存在一定程度的變形，這是由 VME 和 VMD 算法本身所決定的，并不影響平方包絡譜中故障特征頻率的提取。

3 實際振動信號分析

3.1? 試驗臺齒輪振動信號分析

齒輪箱試驗臺如圖4（ a ）所示，其用于模擬風力發(fā)電機以及齒輪箱故障診斷研究。試驗研究對象選為一級傳動的平行軸增速箱，增速比為2.45，其中的小齒輪上加工有輪齒局部斷裂的故障損傷，如圖4（b）所示。在運行試驗中，驅動電機的轉速設為700r/min，加載電機的載荷設為3 N·m，測得平行軸增速箱的輸出轉速為1347 r/min，計算得到小齒輪的故障特征頻率為22.45 Hz，振動信號采樣頻率設定為5.12 kHz。

從平行軸增速箱上采集一段數(shù)據(jù)長度為3000的振動信號，時域波形如圖5（ a ）所示，可見其中包含有一些故障沖擊特征。振動信號的 S 變換譜如圖5（b）所示，可以大致看出在1450 Hz 左右位置處，沿時間軸方向出現(xiàn)間歇性的沖擊特征，不過由于噪聲干擾比較大，沖擊特征并不顯著。將中心頻率初始值選取為2π×1450 rad/s，VME 獲得的期望模態(tài)如圖5（ c ）所示，S 變換譜如圖5（d）所示，可見該期望模態(tài)包含了清晰完整的故障沖擊特征，有效抑制了噪聲干擾。期望模態(tài)的平方包絡譜如圖5（ e ）所示，其成功提取出了試驗齒輪的故障特征頻率22.19 Hz。

采用 VMD 方法對該組振動信號進行處理，其中分解模態(tài)層數(shù)設為5，分解結果中包含沖擊特征的目標模態(tài)為第4模態(tài)，如圖6（ a ）所示，其平方包絡譜如圖6（b）所示，可見 VMD 也能夠提取出試驗齒輪的故障特征頻率。不過在 VMD 的執(zhí)行中，模態(tài)分解的層數(shù)可能需要多次嘗試才能合理確定，有用的目標模態(tài)也需要正確地選取。此外，VMD 提取出的目標模態(tài)中仍有較大程度的噪聲，效果沒有 VME 獲取的期望模態(tài)好。

3.2? 風力發(fā)電機齒輪振動信號分析

該組振動數(shù)據(jù)來源于一臺風力發(fā)電機，其齒輪箱中的一個小齒輪發(fā)生了輪齒斷裂故障損傷，如圖7所示。該小齒輪的參數(shù)如下：齒數(shù) z=32，轉速 n=1770 r/min，轉頻fn =29.5 Hz，故障特征頻率fg =29.5 Hz 。設定振動信號采樣頻率fs =97656 Hz，采集到一段長度為19854的振動信號如圖8（ a ）所示。該振動信號的 S 變換譜如圖8（b）所示，可以看出大約在2000 Hz 的位置處，出現(xiàn)規(guī)律性的沖擊特征，因此選取2π×2000 rad/s 作為中心頻率初始值，VME 提取的期望模態(tài)如圖8（ c）所示，其 S 變換譜如圖8（d）所示，可見其中顯著的故障沖擊特征，噪聲得到了很好地抑制。期望模態(tài)的平方包絡譜如圖8（ e）所示，風力發(fā)電機齒輪的故障特征頻率29.51 Hz 被順利提取出來。

采用 VMD 對該組振動信號進行處理，經(jīng)過嘗試，模態(tài)分解的合理層數(shù)為5，分解結果中有用的目標模態(tài)為第1模態(tài)，如圖9（ a ）所示，其平方包絡譜如圖9（b）所示，可見 VMD 也能夠提取出包含完整故障特征的目標模態(tài)和風力發(fā)電機齒輪的故障特征頻率，不過通過對比可以發(fā)現(xiàn)，VMD 得到的目標模態(tài)中仍包含有較多的低幅值高次諧波，不如 VME 的期望模態(tài)純粹。

3.3? 軸承振動信號分析

所用的軸承振動數(shù)據(jù)來源于 Case Western Re ? serve University 電氣工程實驗室的軸承數(shù)據(jù)庫。研究對象選為試驗臺驅動端的 NTN 滾動軸承，其內滾道上加工有一直徑為0.7112 mm（0.028"），深度為1.27 mm（0.050"）的凹坑，用于模擬軸承的局部損傷故障。選用振動數(shù)據(jù)的試驗臺運行工況為：驅動電機功率2.2 kW，轉速1730 r/min，加載電機載荷3 N ·m。經(jīng)過分析該軸承內圈的故障特征頻率fBPFI為124 Hz 。振動數(shù)據(jù)采樣頻率為12 kHz，得到一段數(shù)據(jù)長度為3000的振動信號，如圖10（ a ）所示。該振動信號的 S 變換譜如圖10（b）所示，可以看到大致在頻段500～800 Hz 內，沿時間軸方向出現(xiàn)沖擊特征，從中選取2π×650 rad/s 作為中心頻率初始值，VME 提取出的期望模態(tài)如圖10（ c ）所示，其 S 變換譜如圖10（d）所示，可見其中顯著的周期性沖擊特征。期望模態(tài)的平方包絡譜如圖10（ e ）所示，提取出的軸承故障特征頻率為124 Hz，與實際值一致。

繼續(xù)采用 VMD 對該組軸承振動信號進行處理，其中模態(tài)分解的層數(shù)設為5，分解結果中包含故障特征的目標模態(tài)為第1模態(tài)，如圖11（ a ）所示，平方包絡譜如圖11（b）所示。通過對比可以看出， VME 獲取的期望模態(tài)與 VMD 提取的目標模態(tài)對于軸承故障特征頻率的提取效果基本相同，不過 VMD 方法在執(zhí)行過程中，確定合適的模態(tài)分解層數(shù)和選取有用的目標模態(tài)，均帶有一定的嘗試性，這在一定程度上影響了 VMD 的使用效率。

4 結論

（1）VME 方法將信號分解成期望模態(tài)和殘余信號兩層，避免了 VMD 方法分解層數(shù)難以確定、目標模態(tài)難以選取的問題，具有更強的目標性，實施更容易。

（2）S 變換能夠有效展示旋轉機械振動信號中故障沖擊特征所在的頻段，成功用于 VME 期望模態(tài)中心頻率初始值的選取，據(jù)此獲取的期望模態(tài)包含了清晰完整的故障特征，并減少了噪聲干擾，效果不亞于甚至優(yōu)于 VMD 提取的目標模態(tài)。

（3）仿真信號與實際振動信號的分析結果表明，本文所提出的 ST?VME 故障診斷方法能夠有效提取出齒輪或軸承的故障特征頻率，實現(xiàn)旋轉機械的故障診斷，具有廣闊的應用前景。

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Fault diagnosis method of rotating machinery using variational mode extraction guided by S transform

GUO Yuan-jing1，JIN Xiao-hang2，WEI Yan-ding3，YANG You-dong1

（1.Zhijiang College，Zhejiang University of Technology，Shaoxing 312030，China ；????? 2.College of Mechanical Engineering，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 310023，China；3.Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology of Zhejiang Province，College of Mechanical Engineering， Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

Abstract： In order to solve the problems existing in variational mode decomposition（VMD） that the number of mode decomposi? tion layers is difficult to determine and the target mode is difficult to select，an improved signal decomposition method，i . e .，varia? tional mode extraction （VME） is introduced . And a fault diagnosis method of rotating machinery based on S transform （ST） and VME is proposed . Based on a new criterion that the spectrum overlap between the desired mode and the residual signal is mini? mized，VME method decomposes the signal into two layers，i . e .，the desired mode and the residual signal . Aiming to obtain the desired mode containing abundant fault features，the signal is processed by S transform to determine the frequency band of the fault features . Consequently，the central frequency initial value of the desired mode of VME is obtained . In order to extract the fault char? acteristic frequency from the desired mode，the squared envelope spectrum （SES） analysis method is applied to process the desired mode . The analysis results of the simulated signal and actual vibration signals show that the proposed ST -VME method can suc ? cessfully extract the valuable desired mode and the accurate fault characteristic frequency to achieve rotating machinery fault diagno ? sis . Besides，compared with VMD，the ST-VME method is more targeted and easier to implement .

Key words ： fault diagnosis；rotating machinery；variational mode extraction；S transform；squared envelope spectrum

作者簡介：郭遠晶（1987—），男，博士，講師。電話：（0575）81112562；E-mail：gyjyn@126.com。

通訊作者：楊友東（1970—），男，博士，教授。電話：（0575）81112537；E-mail：yydong@zjut .edu .en。