王華慶 劉澤源 盧威 宋瀏陽 韓長坤

摘要：針對時域非平穩(wěn)振動信號模式混疊、信噪比低，以及傳統(tǒng)稀疏表示算法模型復(fù)雜、優(yōu)化求解算法難以確定，導(dǎo)致故障特征提取難的問題，提出了頻域組稀疏和群橋約束改進迭代收縮閾值優(yōu)化的故障特征提取方法（Group Sparse Representation in Frequency Domain，GSRF）。將振動信號轉(zhuǎn)換至頻域并對變量分組，構(gòu)造施加群橋約束的最小二乘回歸模型，準確篩選沖擊相關(guān)變量；引入迭代重加權(quán)系數(shù)簡化方程，以軟閾值收縮優(yōu)化求解頻域稀疏信號；對重構(gòu)的時域稀疏信號進行包絡(luò)頻譜分析提取故障特征。試驗結(jié)果表明，提出的頻域組稀疏算法優(yōu)于傳統(tǒng)的結(jié)合 L21范數(shù)約束的組稀疏索套方法，可有效提取微弱故障特征，實現(xiàn)稀疏域下的軸承故障診斷。

關(guān)鍵詞：故障診斷；滾動軸承；微弱故障；稀疏表示；特征提取

中圖分類號： TH165+.3；TH133.33??? 文獻標(biāo)志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1242-08

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.022

引言

滾動軸承廣泛應(yīng)用在石化、軍工等領(lǐng)域，作為機械設(shè)備的重要傳動零件，軸承在高速重載的工況下容易發(fā)生損傷失效，影響設(shè)備正常運轉(zhuǎn)，因此對軸承早期故障的監(jiān)測和診斷至關(guān)重要[1]。分析振動信號以提取故障特征是常用的診斷方法[2] ，但惡劣工況和復(fù)雜傳動系統(tǒng)往往使測得的振動信號呈現(xiàn)非高斯非平穩(wěn)、模式混疊、信噪比低的特性，故障特征被噪聲淹沒[3]。因此從早期微弱軸承故障信號中提取特征信息具有重要意義。

稀疏表示在故障診斷方向應(yīng)用廣泛，求解過程可以大致分為確定數(shù)學(xué)模型和優(yōu)化求解兩部分[4]。其數(shù)學(xué)模型是范數(shù)約束的最小二乘逼近函數(shù)，Hou 等[5]對希爾伯特解調(diào)信號施加 L1約束增強了分解結(jié)果的稀疏性，實現(xiàn)了未知轉(zhuǎn)速的軸承故障診斷。 Zheng 等[6]引入 L1、組2范數(shù)及無窮范數(shù)約束目標(biāo)函數(shù)，在保證重構(gòu)信號的稀疏性的同時提升了降噪效果，增強了早期微弱故障特征。優(yōu)化求解算法可以大致分為貪婪算法、優(yōu)化約束法、逼近算法、同倫算法。經(jīng)典的貪婪算法包含由Mallat等提出的匹配追蹤（Matching Pursuit，MP）及由 Pati 等改進的正交匹配追蹤算法（Orthogonal? Matching? Pursuit， OMP），其重構(gòu)信號往往是近似解[7?8]。優(yōu)化約束法將原目標(biāo)函數(shù)（不光滑或不可導(dǎo)等不易快速求解的問題）轉(zhuǎn)換為光滑的或可求導(dǎo)問題，優(yōu)化后的目標(biāo)函數(shù)和原目標(biāo)函數(shù)不同，簡化了求解過程。其代表算法為梯度下降和交替方向乘子法（Alternating Direc? tion of Method of Multipliers，ADMM）[9]。逼近算法將非光滑約束問題拆解為多個簡單子問題，利用逼近算子分別求解這些子問題以提高求解效率。經(jīng)典算法包括收縮算子、增廣拉格朗日算法、受控極小化（Majorization Minimization，MM）、迭代收縮閾值算法（Iterative? Shrinkage ? Thresholding? Algorithm ， ISTA）等[10?12]。

組稀疏回歸模型在求解中協(xié)同約束組內(nèi)、組間變量，促進分解的稀疏性。An 等[13]提出多尺度周期組索套，利用多級小波子帶構(gòu)建稀疏模型，通過 MM 優(yōu)化非凸罰函數(shù)，在小波域提取周期脈沖，實現(xiàn)強噪干擾下的特征提取。Zhao 等[14]構(gòu)建稀疏多周期組套索模型，使用 MM 解耦多重故障，實現(xiàn)了低信噪比復(fù)合故障信號的診斷。Zhao 等[15]基于增強稀疏組 Lasso 懲罰，自適應(yīng)選擇確定參數(shù)，并在 MM 優(yōu)化中嵌入周期先驗，直接提取時域脈沖，實現(xiàn)了微弱故障信號的診斷。

雖然上述方法成功提取了故障特征，但仍存在如下問題。1）模型過于復(fù)雜，多數(shù)模型為提升分解結(jié)果會引入多項罰參量，容易降低組內(nèi)、組間變量選擇的一致性。2）優(yōu)化保凸能力弱，復(fù)雜非凸模型求解對優(yōu)化算法要求高，當(dāng)懲罰項不易平滑時將顯著增加計算復(fù)雜度。

為解決上述問題，提出了基于頻域的組稀疏特征提取方法，以組稀疏保證分解稀疏性的同時保留脈沖相關(guān)信息。軸承故障信號是故障特征信號與噪聲的耦合信號，時域降噪難以實現(xiàn)解耦，將信號變換到傅里葉正交空間，有利于實現(xiàn)信號解耦，降低噪聲，提取沖擊信號。因此，先建立沖擊敏感的數(shù)學(xué)模型并轉(zhuǎn)換至頻域的振動信號按組劃分，再對分組后的頻域信號施加群橋約束以選取沖擊相關(guān)特征變量，引入迭代重加權(quán)系數(shù)，簡化目標(biāo)函數(shù)方程便于 ISTA 優(yōu)化求解，最后重構(gòu)稀疏時域信號，在包絡(luò)譜上提取出信號故障特征。 GSRF 對同一懲罰項施加多種約束來保證變量篩選的一致性和稀疏性，利用權(quán)重系數(shù)凸優(yōu)化回歸模型，降低運算難度，通過對軸承早期故障信號的分析驗證了所提方法的有效性。

1 基本原理

1.1 稀疏表示

用于生物信息、數(shù)理統(tǒng)計、信號處理等領(lǐng)域的數(shù)據(jù)維數(shù)通常很大，對信號做稀疏表示有利于緩解數(shù)據(jù)的存儲、傳輸、提取的壓力。稀疏表示簡單理解為原信號是用少量基原子線性組合而成的[16]，即：

式中振動信號 Y ∈ Rn，觀測矩陣 D∈ Rn × m 可為字典集或變換矩陣，稀疏系數(shù) a ∈ Rm，噪聲ε∈ Rn。

常用的稀疏表示模型可以總結(jié)為：

式中 p >0，懲罰系數(shù)λ>0。式（2）表示常用的范數(shù)約束求解，當(dāng) p=0時，是多項式復(fù)雜程度的非確定性問題，難以直接求解，Donoho與Candes等證明 p=1時，式（2）轉(zhuǎn)變?yōu)樗魈姿惴ǎ↙east absolute shrinkage and selection operator，Lasso ），在滿足一定稀疏性條件下，與p=0有同樣的稀疏解。

1.2 橋組稀疏

傳統(tǒng) Lasso 算法僅能解決組內(nèi)變量選擇問題，稀疏性不強，Yuan 等在 Lasso 基礎(chǔ)上引入組間變量選擇，Huang 等又加入了橋懲罰項，進一步提高了運算速度與稀疏性，廣泛應(yīng)用在數(shù)據(jù)分析統(tǒng)計中[17?18]。

其原理為，對 n 維1列的信號 y =（y1，y2，…，yn ）′，有 n 維 d 列設(shè)計向量 Dk =（ D 1k，D 2k，…，Dnk ）′（k=1，…，d），A1，…，AJ 表示設(shè)計向量 D 的已知分組（1≤ J ≤ d），以aAj =（ak，k ∈Aj ）′表示第 j 組的回歸系數(shù)，有橋組稀疏目標(biāo)函數(shù)為：

式中懲罰系數(shù)λ>0，橋懲罰系數(shù)γ>0。式（3）是非凸問題，需轉(zhuǎn)化為便于求解的凸函數(shù)。

1.3 迭代重加權(quán)

任意向量 e ∈ Rn，其p 范數(shù)可定義為：

對式（4）變形：

利用式（6）及權(quán)重 w 即可以將式（3）中的非凸問題轉(zhuǎn)變?yōu)橥箖?yōu)化求解[19]。

1.4 近端算子

有函數(shù)f（x ）=g（ x ）+h（x ），其中 g（ x ）是可導(dǎo)凸函數(shù)，h（x ）不可導(dǎo)，其最小值可由迭代循環(huán)求解：

式中? t 為步長，常取李普希茲常數(shù)的倒數(shù)；?g （ x ）為梯度。式（7）可寫為不動點迭代形式：

式中prox稱為近端算子，在廣義梯度下降更新求解中廣泛應(yīng)用，下文將結(jié)合迭代重加權(quán)的思想進一步優(yōu)化約束。綜上所述，確定了數(shù)學(xué)回歸模型和優(yōu)化求解算法，便可通過迭代運算求近似解。

2 基于頻域組稀疏的特征提取

2.1 組稀疏

傳統(tǒng)稀疏約束對向量內(nèi)全部變量進行篩選，沒有考慮變量間關(guān)系，組稀疏將 n 維向量 x 內(nèi)變量分組，示意圖如圖1所示。

圖1中，xgi表示第i組變量，每組變量數(shù)量可以根據(jù)信號特點劃分，若不同組間無重復(fù)的變量可認為是非重疊組，反之認為是重疊組劃分，即當(dāng)i≠j 時，非重疊組中xgi與xgj無相同元素，重疊組中xgi與xgj有相同元素。重疊組稀疏不僅約束組內(nèi)變量，還影響組間變量的選擇，顯著增強每次迭代對沖擊相關(guān)變量的篩選能力，使重構(gòu)時域信號具有更強的稀疏性[20]，沖擊特征更明顯。

為解決時域非平穩(wěn)振動信號模式混疊、信噪比低及分解結(jié)果不稀疏的問題，將待處理信號轉(zhuǎn)換到頻域。引入重疊組稀疏后，數(shù)學(xué)回歸模型寫為：

式中 x 為待求解的稀疏信號，y 為轉(zhuǎn)換至頻域的原始振動信號，懲罰系數(shù)λ>0。2范數(shù)平方項保證重構(gòu)信號和原信號的一致性，對組變量xg施加1范數(shù)約束以增強沖擊特征選取能力[21]。

2.2 組橋約束

為進一步提高分解結(jié)果的信噪比，引入群橋約束組的變量[22?23]，式（9）寫為：

式（3）中橋懲罰系數(shù)取0<γ<1時可以強化沖擊相關(guān)變量的選擇能力，此處依據(jù)經(jīng)驗選取群橋系數(shù)γ=0.5，但式（10）是非凸優(yōu)化問題，結(jié)合1.3節(jié)介紹的迭代重加權(quán)，式（10）轉(zhuǎn)化為：

上式形似式（2）的基礎(chǔ) Lasso 問題。據(jù)1.4節(jié)介紹，式（12）的前一項可視為 g（ x ），后一項可視為 h（x ），對 g（ x ）二階泰勒展開并配方后，目標(biāo)函數(shù)式（12）存在近端算子：

式（13）有數(shù)值解，更新可得稀疏信號 x。

2.3 基于頻域橋組稀疏的故障診斷方法

針對軸承的早期微弱故障，提出了以重疊組、群橋約束為基礎(chǔ)的稀疏模型，以迭代重加權(quán)和迭代收縮閾值為優(yōu)化算法的微弱故障特征提取方法，其具體實現(xiàn)步驟如圖2所示流程圖。

所提方法為減弱非平穩(wěn)時域噪聲干擾在頻域進行特征提取，主要步驟如下：

（1）對轉(zhuǎn)換到頻域的振動信號內(nèi)的變量按照重疊組劃分，確定最小二乘結(jié)合 L1范數(shù)約束組變量的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型。

（2）施加群橋約束，進一步強化篩選沖擊敏感的組間及組內(nèi)變量，并引入迭代重加權(quán)系數(shù)簡化目標(biāo)函數(shù)，將非凸問題轉(zhuǎn)化為形如加權(quán) Lasso 的凸函數(shù)。

（3）對優(yōu)化后的數(shù)學(xué)模型采用 ISTA 迭代更新求解頻域稀疏信號，再轉(zhuǎn)換回時域，最后對時域稀疏信號進行包絡(luò)譜分析，提取故障特征頻率，實現(xiàn)故障診斷。

3 實驗分析與驗證

為驗證 GSRF 的有效性，分別采用公開軸承故障數(shù)據(jù)及課題組試驗臺數(shù)據(jù)，與傳統(tǒng)非重疊組結(jié)合 L21范數(shù)約束的 Lasso 算法做了對比分析研究。

3.1 實驗驗證一

采用凱斯西儲大學(xué)公開數(shù)據(jù)集中的 SKF 深溝球軸承，故障類型為內(nèi)圈及外圈故障，采樣頻率12×103 Hz，內(nèi)圈故障直徑為0.014 in（0.356 mm），電機轉(zhuǎn)速為1772 r/min，計算內(nèi)圈故障特征頻率約為159.9 Hz；外圈故障直徑0.021 in（0.533 mm），電機轉(zhuǎn)速1750 r/min，外圈故障頻率約為104.55 Hz。

如圖3所示，內(nèi)圈故障特征頻率完全被噪聲淹沒，分別以譜峭度、非重疊組結(jié)合 L21范數(shù)約束的 Lasso （傳統(tǒng)方法）和頻域群橋組稀疏（GSRF）做分析，圖4為時域重構(gòu)信號對比圖，圖5為包絡(luò)譜對比。

所提方法綜合考慮軸承轉(zhuǎn)速、采樣頻率及頻域分辨率的影響，選取頻域信號的重疊組變量系數(shù)為20。圖4中（ a ）為譜峭度，（b）為傳統(tǒng)方法，（ c ）為 GSRF 。由圖3和4對比可知，譜峭度和傳統(tǒng)方法恢復(fù)的時域信號更稀疏，GSRF 處理后的時域信號與原始振動信號相比無明顯變化。圖 5（ a ）為譜峭度稀疏信號包絡(luò)譜，（b）為傳統(tǒng)方法稀疏信號包絡(luò)譜， GSRF 包絡(luò)譜如圖（ c ）所示。對比包絡(luò)譜，譜峭度和傳統(tǒng)方法實現(xiàn)了故障特征增強，但對噪聲成分的抑制效果較弱，GSRF 在增強故障特征的同時，較好地抑制了故障無關(guān)頻率成分。

沖擊明顯，包絡(luò)譜上特征頻率受噪聲干擾。圖 7，8中（ a ），（b），（ c ）分別是譜峭度、傳統(tǒng)方法及 GSRF 的分析結(jié)果。對比可知，傳統(tǒng)方法處理后的信號在時域上更稀疏，GSRF 則在頻域上消除了更多噪聲干擾。綜合分析認為 GSRF 在稀疏分解中盡可能多的保留了沖擊信息，有效消除了故障無關(guān)成分的

圖9中，計算復(fù)雜的 GSRF 收斂相對更慢，也能在10步內(nèi)收斂。表 1記錄計算時間，分析認為 GSRF 對變量的細致篩選會降低運算速度，但卻能顯著提升診斷結(jié)果的準確性。

3.2? 實驗驗證二

在如圖10所示的試驗臺上采集振動信號，對 N205EM 圓柱滾子軸承做水平和豎直方向的數(shù)據(jù)采樣，采樣頻率為105 Hz，電機轉(zhuǎn)速為1300 r/min，線切割加工內(nèi)、外圈故障寬度均為0.3 mm，深度為0.05 mm，計算內(nèi)、外圈故障特征頻率分別為145.84，86.32 Hz。

內(nèi)圈故障信號時域頻譜如圖11所示，故障特征頻率已被噪聲淹沒。綜合考慮軸承轉(zhuǎn)速、采樣頻率及頻域分辨率的影響，對頻域信號按每組20個變量劃分重疊組，處理結(jié)果如圖12所示。譜峭度和傳統(tǒng)方法的包絡(luò)譜分析在圖12（ a ），（b）中故障特征頻率較原信號有一定增強，但仍無法消除其他噪聲成分的干擾，GSRF 處理的結(jié)果在圖12（ c ）中則有效抑制了非平穩(wěn)噪聲。

圖13為外圈故障信號的波形頻譜圖，故障特征頻率86.32 Hz 明顯被淹沒。圖 14（ a ），（b）是分別應(yīng)用譜峭度和傳統(tǒng)方法處理后的結(jié)果，沖擊特征頻率及其高次諧波明顯被增強，但無法消除旁瓣噪聲的影響，在圖14（ c ）中故障特征頻率及其高次諧波明顯且消除了干擾。表2為傳統(tǒng)方法與 GSRF 計算時間對比結(jié)果，GSRF 在沒有顯著增加運算時間的情況下獲得了更好的故障識別效果，實現(xiàn)了微弱故障的診斷。

圖15和16討論了域變換和重疊組因素對分解結(jié)果的影響。圖 15和16中：（ a ）是時域重疊組橋稀疏算法分解結(jié)果；（b）是頻域無重疊組的橋稀疏算法結(jié)果，（ c ）是 GSRF 算法處理結(jié)果。

圖15（ a ），16（ a ）顯示，時域運算分解結(jié)果稀疏性較強，但故障信息丟失較多，對比圖3，15（b）和16（b），無重疊組的橋稀疏算法增強了沖擊特征，但無法實現(xiàn)信號與噪聲的解耦，不能提取故障特征頻率，而 GSRF 在增強故障特征的同時，抑制了故障無關(guān)頻率成分，有效提取了故障特征頻率。

4 結(jié)論

確定以最小二乘結(jié)合 L1范數(shù)約束的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)回歸模型，根據(jù)故障信號沖擊特點引入組稀疏及群橋約束，提出了基于頻域組稀疏結(jié)合群橋約束的故障特征提取方法。實驗分析結(jié)果表明：GSRF 將低信噪比信號轉(zhuǎn)換至頻域進行稀疏表示，可以減弱時域非平穩(wěn)噪聲擾動帶來的模式混疊影響，提高了特征提取精度。組稀疏和群橋正則化按頻率差別篩選組內(nèi)、組間變量，在完整保留故障沖擊信息的同時濾除了無關(guān)頻率成分，進一步增強了故障特征。通過引入迭代重加權(quán)系數(shù)優(yōu)化非凸目標(biāo)函數(shù)，顯著降低運算復(fù)雜度，便于使用 ISTA 求解。與傳統(tǒng)非重疊組結(jié)合 L21范數(shù)約束的 Lasso 方法對比，驗證了所提方法具有較強的特征提取能力和噪聲魯棒性。

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Fault feature extraction using group sparse representation in frequency domain

WANG Hua-qing1，LIU Ze-yuan1，LU Wei2，SONG Liu-yang1，HAN Chang-kun1????????????????? （1.College of Mechanical and Electrical Engineering，Beijing University of Chemical Technology，Beijing 100029，China；

2.Institute of Engineering Technology，Sinopec Catalyst Company Limited，Beijing 101100，China）

Abstract： A fault feature extraction method based on group sparsity and improved iterative shrinkage threshold optimization in fre ? quency domain （GSRF） is proposed to solve the issues in rolling bearing diagnosis about difficulty in mathematical model determi? nation，sparse constraints and optimization algorithm selection . The vibration signals are converted into the frequency domain and the variables? are divided by? overlapping rules . The? least square regression model with? group bridge? constraint is? constructed to screen impact related variables accurately . The iterative reweighting coefficient is introduced to simplify the equation，so that the sparse signal in frequency domain can be solved by iterative shrinkage-thresholding algorithm . The envelope spectrum analysis of reconstructed sparse signal in time domain is carried out to extract the fault features . The experimental results show that the pro? posed algorithm is superior to the traditional group sparse LASSO combined with L21 norm constraint . GSRF can effectively ex? tract weak fault features and achieve bearing fault diagnosis in the sparse domain .

Key words ： fault diagnosis；rolling bearing；weak fault；sparse representation；feature extraction

作者簡介：王華慶（1973—），男，教授。電話：13801023830；E-mail：hqwang@mail .buct .edu .cn。

通訊作者：宋瀏陽（1988—），女，副教授。E-mail：xq _0703@163.com。