顏強 魏靜 張世界 郭劍鵬

摘要：為精確對大型風(fēng)電機組進行共振分析及優(yōu)化，通過研究不同縮聚點個數(shù)的柔性齒對系統(tǒng)模態(tài)的影響，指出了柔性輪齒縮聚的必要性和推薦數(shù)量，并建立了考慮主軸柔性和齒輪傳動系統(tǒng)全柔性的傳動鏈動力學(xué)模型。根據(jù)求解的風(fēng)機傳動系統(tǒng)固有頻率，提出共振甄別五大篩選原則，識別出系統(tǒng)潛在共振點，通過掃頻時/頻域分析，甄別出系統(tǒng)危險共振點。根據(jù)共振頻率振型特點對齒輪箱進行了模型優(yōu)化，依據(jù)共振點數(shù)量和風(fēng)電機組重量決定優(yōu)化方案，研究方法和結(jié)果可以為大型風(fēng)機多柔體動力學(xué)高精度建模和共振甄別優(yōu)化設(shè)計提供參考。

關(guān)鍵詞：多柔體動力學(xué)；大型風(fēng)機傳動鏈；潛在共振點甄別；動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計

中圖分類號： O313.7；TK83??? 文獻標(biāo)志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1157-08

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.013

引言

隨著風(fēng)電機組的普及，降低其故障發(fā)生率已成為核心問題。據(jù)統(tǒng)計，傳動系統(tǒng)的主軸、齒輪箱等發(fā)生率較低的失效形式，維修時間往往比較長，其中齒輪箱故障導(dǎo)致風(fēng)電機組停機的時間最長[1]。風(fēng)電機組受到齒輪時變嚙合剛度、阻尼、嚙合誤差和軸承時變剛度等內(nèi)部激勵，以及隨機風(fēng)載和部件柔性變形等外部激勵的影響，可能會在某個轉(zhuǎn)速下發(fā)生劇烈的共振。一旦發(fā)生共振，將對傳動系統(tǒng)中的共振部件產(chǎn)生不可逆轉(zhuǎn)的破壞，造成整個風(fēng)機的停機，因此，有必要在設(shè)計過程中進行風(fēng)力發(fā)電機傳動鏈危險共振甄別，指導(dǎo)后期改進設(shè)計。

目前風(fēng)機齒輪箱建模方法可概括為三類：純扭轉(zhuǎn)模型、3，4或6自由度剛性多體模型和柔性多體模型[2]。純扭轉(zhuǎn)模型對系統(tǒng)做了大量的簡化，而剛體模型忽略了部件的模態(tài)信息，不能完整地反映系統(tǒng)的動態(tài)特征。近年來，柔性多體建模方法得到了學(xué)者的青睞。然而考慮的柔性體數(shù)量較少，常常忽略主軸、齒輪箱箱體或者齒輪的柔性[3?6]。由于風(fēng)力渦輪機尺寸的逐漸增大，更大的力和力矩集中在齒輪內(nèi)部，齒輪箱部件的柔性會影響整個傳動鏈的響應(yīng)結(jié)果，導(dǎo)致計算結(jié)果不夠準(zhǔn)確，因此齒輪自身的柔性與齒輪副的嚙合柔性對風(fēng)電機組傳動鏈振動特性的準(zhǔn)確分析至關(guān)重要。此外，在傳動鏈共振點方面的研究中，大多是利用系統(tǒng)的固有頻率求解坎貝爾圖，并結(jié)合系統(tǒng)能量分布來對傳動鏈的共振點進行甄別[7?8]，這種方法忽略了固有頻率的阻尼特性和速度特性，并不全面。

通過研究不同縮聚點個數(shù)的柔性齒對系統(tǒng)模態(tài)的影響，指出了柔性輪齒縮聚的必要性和推薦數(shù)量，并建立了考慮主軸柔性和齒輪傳動系統(tǒng)全柔性的傳動鏈動力學(xué)模型；提出甄別系統(tǒng)潛在共振點的五大原則，更為準(zhǔn)確地甄別系統(tǒng)潛在共振點，根據(jù)時/頻域分析，得到系統(tǒng)的危險共振點；根據(jù)共振頻率振型特點對齒輪箱進行了模型優(yōu)化，依據(jù)共振點數(shù)量和風(fēng)電機組重量決定優(yōu)化方案，優(yōu)化后的傳動系統(tǒng)不存在危險共振點。研究方法和結(jié)果可以為大型風(fēng)機多柔體動力學(xué)高精度建模和共振甄別優(yōu)化設(shè)計提供參考。

1 柔性多體動力學(xué)理論

柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)理論主要以拉格朗日乘子法[9]和模態(tài)綜合法[10]為理論基礎(chǔ)。柔性體的運動包含剛體運動和自身的柔性變形兩部分，結(jié)合笛卡爾坐標(biāo)系、歐拉角以及模態(tài)坐標(biāo)可將其廣義坐標(biāo)表示為[11]：

式中ψ為旋進角（又稱進動角）：θ為章動角；φ為自轉(zhuǎn)角（可以統(tǒng)稱為歐拉角），q 為某個柔性體模態(tài)坐標(biāo)；為慣性參考系中的笛卡爾坐標(biāo)；為反映剛體方位的歐拉角；為模態(tài)坐標(biāo)。柔性體經(jīng)歷剛體平移運動和柔體變形后，其上任一位置的坐標(biāo)矢量為：

式中ro為動坐標(biāo)系原點在慣性坐標(biāo)系中的位置向量；A 為將物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為慣性坐標(biāo)的關(guān)系矩陣；si為節(jié)點i發(fā)生變形之前的坐標(biāo)位置；φi表示點i平移運動的模態(tài)矩陣。

對式（2）求導(dǎo)即得到該節(jié)點的速度矢量：

式中ω表示角速度向量；B 為歐拉角求導(dǎo)后與角速度矢量轉(zhuǎn)換的關(guān)系矩陣；E 為單位矩陣；～表示各矢量的對稱矩陣。

結(jié)合拉格朗日方程建立柔性體的動力學(xué)方程：

式中ψ為約束方程；λ為拉格朗日乘子；ξ為廣義坐標(biāo)；Q 為投影到ξ上的廣義力；L 為拉格朗日項；Γ為能量消耗系數(shù)。柔性體的運動微分方程為：

2 風(fēng)機傳動鏈動力學(xué)建模

2.1? 系統(tǒng)整體建模

將完整的傳動鏈結(jié)構(gòu)拆分為若干個子結(jié)構(gòu)，其中包括齒輪、軸系、箱體三大種類的部件，其基本參數(shù)如表1所示。利用 MPC（Multi?Point Constraints）建立相應(yīng)的力元、約束和風(fēng)機傳動鏈動力學(xué)分析模型，如圖1所示。

軸承剛度是齒輪箱內(nèi)最重要的參數(shù)之一，在全柔體模型中，利用6×6的軸承剛度矩陣來建立齒輪與軸系及箱體之間的耦合關(guān)系。軸承的滾動體與內(nèi)外圈之間的耦合關(guān)系為：

式中：

式中Fbody，i為外界載荷矩陣（i=1代表齒輪，i=2代表軸承）；Kbearing為軸承剛度矩陣；Cbearing為軸承阻尼矩陣；qbody，i為變形量；kaxial表示軸承軸向剛度；kradial表示軸承徑向剛度；ktilt1和 ktilt2表示沿徑向方向的轉(zhuǎn)動剛度。

利用 MPC 連接點，通過施加齒輪力元、花鍵力元和軸承力元建立子部件的連接關(guān)系，組建系統(tǒng)的耦合動力學(xué)模型，其三維模型如圖2所示。

2.2 輪齒建模研究

Helsen等[12]表明由于剛性 MPC 中縮聚點與主節(jié)點之間是剛性連接，這種連接方式額外增加了有限元模型的剛度，這將大幅度地削弱傳動鏈零部件的柔性。而柔性 MPC 利用下式所示的位移加權(quán)算法將縮聚點的載荷分配到主節(jié)點上，允許主節(jié)點（外部/界面節(jié)點）之間存在相對變形，保留了子結(jié)構(gòu)連接界面的柔性，因此以下研究均采用柔性多點約束。

式中? Fi 為作用在縮聚點上的力；M 為縮聚點受到的扭矩；ωi為權(quán)重系數(shù)；ri為主節(jié)點i到縮聚點的距離；n 為連接界面上的主節(jié)點數(shù)量。

根據(jù)每個零部件之間的運動關(guān)系，分別在各部件創(chuàng)建柔性多點約束（MPC）。為了將齒輪輪齒部分建立為柔性體，在每個輪齒節(jié)圓位置沿齒寬方向創(chuàng)建均勻分布的柔性 MPC，如圖3所示。根據(jù) Guy? an[13]提出的模型自由度靜態(tài)縮減方法可知，由于模型忽略了從自由度的慣性力，使得計算精度隨著模態(tài)頻率的增大而降低，但這類誤差可以通過增加縮聚點的數(shù)目來彌補。

以單級斜齒齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，建立單級齒輪傳動系統(tǒng)全柔性傳動鏈動力學(xué)模型，保持模型和加載方式不變，改變輪齒處縮聚點數(shù)，分別計算輪齒處不同縮聚點數(shù)對系統(tǒng)模態(tài)的影響，基本參數(shù)如表2所示。

2.3 結(jié)果與分析

各階頻率隨輪齒縮聚點數(shù)變化如表3所示。由表3可知，齒輪副的耦合作用會派生出新的頻率，例如第3階，其縮聚點數(shù)從1變化至5時，第3階頻率從397.43 Hz 減小到381.65 Hz，整體變化顯著。圖 4為第3階振型圖，由圖4可知，隨著縮聚節(jié)點數(shù)的增加，輪齒的柔性更強。由表3可以看出，系統(tǒng)頻率中各軸系單獨的頻率不受輪齒處縮聚節(jié)點的影響，如耦合系統(tǒng)第6階頻率為主動輪軸第13階頻率。

結(jié)果表明，耦合系統(tǒng)中與單軸系頻率相近的頻率基本不受輪齒縮聚點數(shù)影響；耦合系統(tǒng)派生頻率中輪齒處變形較大的頻率對輪齒縮聚點數(shù)敏感性較大，隨著縮聚點數(shù)增加呈減小趨勢。在大型傳動鏈模型中，由于誤差的累積與系統(tǒng)的耦合作用，精度會進一步下降。因此為了準(zhǔn)確地表示輪齒變形，避免由簡化輪齒柔性導(dǎo)致的振型缺失或不完整，建議輪齒處縮聚點數(shù)設(shè)置為3個，本文風(fēng)電機組模型中輪齒處均采用3個縮聚點建模。

3 傳動鏈系統(tǒng)動力學(xué)分析

3.1? 系統(tǒng)潛在共振點甄別

3.1.1 頻率原則

系統(tǒng)的內(nèi)、外部激擾頻率及其倍頻會與系統(tǒng)的固有頻率形成共振，在分析時，將激擾頻率的上限定為最高轉(zhuǎn)速軸轉(zhuǎn)頻的6倍頻或者最高轉(zhuǎn)速齒輪的嚙頻3倍頻[14]。

根據(jù)風(fēng)機傳動鏈齒輪傳動系統(tǒng)的設(shè)計參數(shù)，模型中最高轉(zhuǎn)速軸的軸頻六倍頻為60 Hz；最高轉(zhuǎn)速齒輪的嚙頻三倍頻為780 Hz 。為了將盡可能多的潛在共振點考慮在內(nèi)，本文選取嚙頻三倍頻780 Hz 為頻率篩選的上限頻率，即考慮到傳動系統(tǒng)固有頻率的294階，如表4所示。

3.1.2 阻尼原則

阻尼原則主要是通過對比各階次固有頻率對應(yīng)的阻尼比范圍，達到縮減固有頻率排查范圍的目的。阻尼比ζ的數(shù)值范圍及代表的物理意義如表5所示。根據(jù)機械零部件的物理及機械性質(zhì)，無阻尼、臨界阻尼和過阻尼這三種振動狀態(tài)實際并不存在，因此其對應(yīng)的固有頻率是無意義的，應(yīng)該排除。僅留下阻尼比滿足0＜ζ＜1的固有頻率階次，從而達到了縮小甄別范圍的目的。

根據(jù)表4中各階模態(tài)固有頻率的阻尼比進行判斷，可以將第10階之前的頻率階次排除在外，系統(tǒng)還剩余285階固有頻率。

3.1.3 能量原則

第10階到18階頻率系統(tǒng)各部件分別在 x，y 和 z的平移運動方向及其對應(yīng)的轉(zhuǎn)動方向α，β和γ的振動能量占比，如圖5所示。各階次的模態(tài)總能量在六個方向上分布并不相同，不同階次模態(tài)能量的主要分布方向也并不相同。而傳動鏈扭轉(zhuǎn)方向的阻尼比較小，吸振能力差，使傳動鏈易于發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動，影響機組的安全穩(wěn)定運行[11]，因此γ方向的模態(tài)能量需要重點關(guān)注。

能量篩選原則概括為：在某階次頻率下傳動系統(tǒng)中的所有部件繞旋轉(zhuǎn)方向的能量之和小于1，則該階次頻率不會激起系統(tǒng)的共振，故該頻率可以排除[15]，即：

式中Enγ為某階次頻率下傳動系統(tǒng)中的第 n 個子結(jié)構(gòu)繞旋轉(zhuǎn)方向的能量。將能量總和低于1的頻譜階次排除后，得到結(jié)果如表6所示的16個階次。

3.1.4 同一速度級原則

同一速度級原則的內(nèi)涵是：在某一個潛在共振點的系統(tǒng)頻率上，如果與激擾部件在同一速度級別的部件的模態(tài)能量值均小于20%，則該頻率不足以激起系統(tǒng)的共振。若激擾頻率為第一級行星輪系嚙頻的3倍頻，其同一速度級別的部件應(yīng)包括：第一級行星輪、行星軸和太陽輪，如圖6所示。排除不滿足同一速度級原則的頻率階次后，得到滿足條件的剩余階次，如表7所示。

3.1.5 系統(tǒng) Campbell 圖

坎貝爾圖可以將系統(tǒng)固有頻率與激擾頻率曲線繪制在同一個坐標(biāo)系內(nèi)，以工作轉(zhuǎn)速為橫坐標(biāo)，激擾頻率為縱坐標(biāo)，通過尋找固有頻率與激擾頻率曲線的交點來確定系統(tǒng)的潛在共振點。8 MW 風(fēng)力發(fā)電機傳動系統(tǒng)的切入轉(zhuǎn)速為2.57 r/min，切出轉(zhuǎn)速為21.43 r/min，額定轉(zhuǎn)速為9 r/min，依據(jù)表7的固有頻率繪制出的系統(tǒng)坎貝爾圖如圖7所示。

坎貝爾圖中，并不是所有的交點都是潛在共振點，結(jié)合表7，若某個交點的固有頻率和對應(yīng)的激勵源與表6中相應(yīng)的固有頻率和激勵源不一致，則該點并不是共振點，可以排除。最終找到6個潛在共振點，如表8所示，對應(yīng)的振型如圖8所示。表8中： f2m 表示第二級的嚙頻。

3.2? 掃頻時/頻域分析

上述五大篩選原則給出的是系統(tǒng)的潛在共振點，若要得到系統(tǒng)的危險共振點，需要對其進行升速掃頻分析。限于篇幅僅以表8第一個潛在共振點為例進行分析，此點是固有頻率134.048 Hz 與齒輪箱第2級嚙頻的交點，能量主要集中在第1級齒圈，此時輪轂的轉(zhuǎn)動速度為14.14 r/min，該轉(zhuǎn)速附近的角加速度時域圖通過 FFT 變換。如圖9所示為該轉(zhuǎn)速附近第一級齒圈角加速度時/頻域圖，在135.6 Hz 處存在峰值，與該潛在共振點對應(yīng)頻率134.048 Hz 重合，故此潛在共振點是危險共振點，會在響應(yīng)部件處產(chǎn)生共振危險，需要重點關(guān)注。通過對其余潛在共振點進行時/頻域分析，系統(tǒng)共存在兩個危險共振點，該模型有發(fā)生共振的危險，需要對其進行優(yōu)化。

4? 系統(tǒng)模型優(yōu)化

傳動鏈在經(jīng)過共振點甄別后，識別出2個危險共振點，對應(yīng)系統(tǒng)的2階固有頻率，對應(yīng)的共振轉(zhuǎn)速分別為14.14和14.9 r/min，共振部件包括前箱體、一級齒圈和后箱體。由于各支撐剛度對固有頻率的影響并不明顯，而質(zhì)量對固有頻率的影響較大[16]，所以優(yōu)化主要針對箱體結(jié)構(gòu)尺寸，在保證能夠為齒輪系統(tǒng)提供穩(wěn)定支撐的基礎(chǔ)上，盡可能地降低傳動鏈系統(tǒng)的共振風(fēng)險。最簡單的一種優(yōu)化方法是改變箱體壁厚；第二種優(yōu)化方法是根據(jù)共振對應(yīng)的振型，在適當(dāng)?shù)奈恢迷O(shè)置筋板，從而有針對性地阻止其發(fā)生共振變形。

基于已甄別出的共振點，第一種優(yōu)化方案為增加前箱體和后箱體在發(fā)生共振時變形最大的位置處的箱體壁厚以及齒圈外圈直徑，如圖10所示，將這三個部件的壁厚增加20%。第二種優(yōu)化方案考慮共振振型為一級齒圈變形和前后箱體整體擺動，故在前箱體前端的上、下吊耳處一共設(shè)置8個筋板，在后箱體變形較大處共設(shè)置12個筋板，如圖11所示。

利用共振點甄別五大原則對優(yōu)化模型進行潛在共振點甄別，通過掃頻時/頻域分析，方案一最終確定2個危險共振點，方案二未發(fā)現(xiàn)危險共振點，如表9所示?？梢?，在變形處增設(shè)筋板的優(yōu)化方法可以有效降低系統(tǒng)的共振風(fēng)險。并且從表10中可以看出，采用方案一使總質(zhì)量增加了10.69%，遠(yuǎn)大于第二種方案的1.95%。

綜上所述，在變形處增設(shè)筋板的優(yōu)化方法在僅使齒輪箱增加了不到2%的重量的情況下，減少了危險共振點的數(shù)量，是更優(yōu)的優(yōu)化方案。

5 結(jié)論

結(jié)合縮聚和多體動力學(xué)理論，建立了某8 MW 大型風(fēng)力發(fā)電機的多柔體動力學(xué)模型，考慮了主軸柔性和齒輪箱的全柔性。研究了輪齒處不同縮聚點數(shù)對系統(tǒng)模態(tài)的影響，得出耦合系統(tǒng)中與單軸系頻率相近的頻率基本不受輪齒縮聚點數(shù)影響；耦合系統(tǒng)派生頻率中輪齒處變形較大的頻率對輪齒縮聚點數(shù)敏感性較大，隨著縮聚點數(shù)增加呈減小趨勢。

利用模型求解了系統(tǒng)前294階固有頻率，利用五大篩選原則找到了系統(tǒng)的6個潛在共振點，通過時域分析和頻域分析確定2個危險共振點。針對危險共振點的振型和時頻域分析結(jié)果對系統(tǒng)模型進行優(yōu)化，對比了改變箱體壁厚和在齒輪箱箱體變形位置增設(shè)筋板兩種優(yōu)化方案，增設(shè)筋板的方法優(yōu)化后，傳動鏈沒有危險共振點，模型優(yōu)化取得了優(yōu)良的效果。研究結(jié)果可以為大型風(fēng)機多柔體動力學(xué)建模、共振點甄別和系統(tǒng)優(yōu)化等提供參考。

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YAN Qiang，WEI Jing，ZHANG Shi-jie，GUO Jian-peng

（State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400044，China）

Abstract： To analyze and optimize a large-scale wind turbine accurately，this paper considers the flexibility of the main shaft and the full flexibility of the gear transmission system，and establishes a flexible multi-body dynamic model of the drive chain of an 8 MW wind turbine . The effects of number of condense points on the gear system modal are also studied . The natural frequencies of the system are obtained，and 6 dangerous resonance points are identified by applying five screening principles . Based on the charac ? teristics of the resonance points，the gearbox model is optimized by comparing two methods . The number of resonance points is re? duced to zero by optimization . The results can provide a reference for the dynamic modeling and optimal design of large-scale wind turbines

Key words ： flexible multi-body dynamics；large-scale wind turbine drive chain；potential resonance point identification；dynamic optimization and designing

作者簡介：顏強（1997―），男。電話：18728193776；E-mail：slmt _yanqiang@foxmail .com。

通訊作者：魏靜（1978―），男，教授，博士生導(dǎo)師。電話：13629752837；E-mail：weijing _slmt＠163.com。