楊舟 馮青松 鄧杰 張凌 郭文杰

摘要：基于Mindlin板理論，將高斯展開法引入到組合式開口矩形板彎曲振動問題研究中。選取高斯小波函數(shù)作為位移形函數(shù)，其本身的局域化特性能夠準確捕捉到局部開口處的特征，提高計算效率；定義了高斯函數(shù)的伸縮因子和平移因子，通過伸縮和平移變換生成一系列用于擬合開口板位移場的基函數(shù)，增大伸縮因子取值使得形函數(shù)具有更高的分辨率，進而能更精確地模擬更高頻的振動場；以能量法為基本框架，建立了開口板的拉格朗日能量泛函，并引入人工彈簧模型模擬各種邊界條件，將邊界條件以彈性勢能的方式附加到開口板的能量泛函之中。通過與有限元軟件的計算結果對比，驗證了該方法的準確性與適用性。

關鍵詞：彎曲振動；組合式開口矩形板；Mindlin板理論；高斯展開法；能量法

中圖分類號： O327；TB123??? 文獻標志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1130-08

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.010

引言

在鐵道工程、船舶、航空航天及建筑等領域中，含開口的矩形板是一種常見的結構。例如鐵道工程中的地鐵內(nèi)置式鋼彈簧浮置板結構[1]，為了便于鋼彈簧的安裝，往往需要在軌道板相應位置進行開口。由于開口的存在，降低了原有板結構的整體剛度并改變了原有板的振動特性，而振動特性的改變會直接影響到板結構向周圍環(huán)境輻射噪聲的特性，進而可能會引起相應的噪聲問題。因此，研究開口板的振動特性對實際工程具有較為重要的意義。

目前針對開口板振動問題，無論是解析法、半解析法還是數(shù)值方法，國內(nèi)外已有較多的研究且已經(jīng)取得了較多的成果。數(shù)值方法以有限元法為主，因其固有的特點，更容易地應用于開口結構的計算中。邱昌林等[2]以鋼制平板為研究對象，采用有限元法并結合了邊界元理論，分析了圓形開口對鋼板在水下自振頻率的影響，并進一步研究了圓形開口對鋼板在水下的聲輻射特性的影響，研究表明開口可顯著改變平板水下振動與聲輻射特性。張媛等[3]利用有限元法對具有不同開口尺寸和形狀的薄板結構的自振特性進行了詳細研究，發(fā)現(xiàn)開口尺寸變化不會影響薄板的模態(tài)振型。Chang 等[4]采用子空間迭代算法，建立了一種多節(jié)點的高精度矩形單元有限元模型，計算了開口厚板的固有頻率并有效地降低了計算量。盡管數(shù)值方法對于不同結構均有良好的適用性，但無論從檢驗數(shù)值法準確性的角度，還是從揭示復雜系統(tǒng)振動機理的角度，解析或半解析方法不可或缺。

能量法具有將求解微分方程邊值問題轉化為泛函極值問題的優(yōu)點，故而在結構動力學分析中被廣泛使用。已有研究基于能量變分原理和剪切變形理論開展了梁、板、殼以及各種組合結構振動特性研究，衍生出改進傅里葉級數(shù)法[5]、區(qū)域能量分解法[6]、雅克比里茲? 法[7?8]等一系列新的方法。與此同時，能量法在單開口結構振動問題的求解中也有較為廣泛的應用。Lam 等[9]使用改進的 Rayleigh Ritz 法?，并引入正交多項式作為位移函數(shù)研究了開口矩形板的彎曲振動問題。 Huang 等[10]考慮了一種具有 V 型切口的平板結構，選取了兩組位移形函數(shù)對 V 型切口特征進行了準確描述，分析了 V 型切口對平板自振特性的影響。Larrondo等[11]研究了變厚度矩形開口板結構自振特性，將開口數(shù)由單開口拓展到多個開口，詳細分析了開口位置，開口大小對開口板固有頻率的影響。張俊等[12]、邱永康等[13] 利用改進傅里葉級數(shù)方法，分別研究了復雜邊界條件下單開口和多開口矩形板的自振特性。

形函數(shù)的選取與能量法的求解精度有著直接的關系?，F(xiàn)有研究中，位移形函數(shù)的選取多以改進傅里葉級數(shù)[5，12?13]、具有梁函數(shù)特性的特征正交多項式[14]以及 Chebyshev 多項式級數(shù)[15]為主，事實上，像改進傅里葉級數(shù)這類全局性的函數(shù)在分析具有單一規(guī)則開口的板結構時具有較好的收斂性，但在分析內(nèi)部開口形式比較復雜，如組合式開口、不規(guī)則曲邊開口問題時，尤其是針對高頻振動的研究，可能需要大量的級數(shù)項來進行擬合以達到求解精度，導致計算成本提高。因此，需要找到一種能夠準確捕捉到開口板結構局域化特性的形函數(shù)，進而實現(xiàn)對開口板位移場的準確描述，提高計算效率。同時，現(xiàn)有研究對象大多集中在具有單一開口形狀的薄板結構，對于組合式開口板的相關研究還較少，且Kirchoff薄板理論忽略了板的橫向剪切變形和轉動慣量的影響，會與實際工程情況產(chǎn)生一定的誤差。

基于此，本文以能量法為基本框架，引入高斯展開法研究了任意邊界條件下的復雜組合式開口矩形Mindlin板彎曲振動特性。選取具有局域化特性高斯函數(shù)作為開口板的位移場形函數(shù)，以確保能夠準確捕捉其開口位置處的局域化特征，進而提高計算效率。同時，引入人工彈簧模型模擬各種邊界條件，將邊界條件對平板振動的影響轉化為彈性勢能對剛度矩陣的影響。本文以幾種不同類型的組合式開口矩形Mindlin板為例，對比本文方法計算結果與有限元結果，驗證本文方法在計算組合式開口板問題時的準確性和適用性，為實際工程問題提供參考。

1 理論分析

1.1 組合式開口矩形板物理模型

本文研究的物理模型為內(nèi)部含有組合式開口的矩形Mindlin板，本節(jié)以圖1所示的交叉橢圓開口板為例進行相關的理論分析。以矩形板中心作為坐標原點，建立如圖1所示的笛卡爾坐標系。矩形板長為2a，寬為2b，橢圓開口的長半軸和短半軸分別為0.3a，0.15b 。在矩形板的外邊界處裝有與板平面垂直的位移約束線彈簧和轉角約束線彈簧，剛度分別為 k，K。對于各類邊界條件的模擬，可以通過改變位移彈簧和轉角彈簧的剛度取值實現(xiàn)[16?17]。各類經(jīng)典邊界對應的彈簧剛度取值如表1所示，對于任意彈性邊界的模擬，只需將兩類彈簧剛度值取為與彈性邊界相對應的值即可。此外，本文對邊界條件做了相關的符號定義，具體為：固支邊界 C，簡支邊界 S，對稱邊界 P，反對稱邊界 A，自由邊界 F。對于圖1所示的矩形板模型，假設邊界條件為 S?F?C?A，則它對應的邊界條件順序為 x =- a 處邊界為簡支 S，y =-b 邊界為自由F，x = a 邊界為固支 C，y = b 邊界為反對稱 A。

1.2 位移形函數(shù)的選取

將Mindlin板的位移場表示為基函數(shù)ξi （x，y ）和一系列未知的權重系數(shù) ai （t ），bi （t ），ci （t ）的組合，即：

式中? w （x，y，t ），θx （x，y，t ），θy （x，y，t ）分別表示板的垂向位移、板中面法線沿xz平面的轉角、板中面法線沿yz平面的轉角。

基函數(shù)向量ξ=α?β，?表示克羅內(nèi)克積，α和β分別滿足：

式中α和β分別表示 x 和 y 方向的基函數(shù)的列向量。本文選擇具有局域化特性的高斯小波函數(shù)為開口矩形板的位移形函數(shù)。

高斯展開法在處理具有局域化特性聲學黑洞問題中體現(xiàn)出了驚人的準確性和高效性[18?19]。將式（2）中的基函數(shù)αi （x ）和βi （y ）定義為如下形式：

式中 p，k 和 q，r 分別表示伸縮因子和平移因子。以 x 方向位移形函數(shù)的定義為例，結合圖2對方程式（3）作進一步的說明。

圖2和3給出了不同伸縮、平移因子對應的高斯小波曲線圖?？梢钥闯?，以原始高斯函數(shù)為母函數(shù)，通過改變方程式（3）中的伸縮因子和平移因子，進而再通過伸縮和平移變換來生成一系列線性無關的基函數(shù)，最終組成方程式（2）中的基函數(shù)向量α。伸縮因子 p，k 控制著解的精度，通過增大伸縮因子取值能夠使形函數(shù)具有更高的分辨率（如圖2所示），進而能更精確地模擬更高頻的振動場，但同時需要耗費更多的計算資源。平移因子 q，r 由伸縮因子 p，k 決定，其取值大小控制著式（2）中i的取值范圍，也就是形函數(shù)的個數(shù)和矩陣的維度。

需要注意的是，當結構的尺寸一定時，伸縮因子與平移因子的取值存在限制條件：

式中? ceil（*）表示最接近并大于*的整數(shù)；floor（*）表示最接近并小于*的整數(shù)。方程式（4）表示解的收斂性條件，它的數(shù)學含義為：基函數(shù)的支撐區(qū)間必須小于等于板的定義域，否則將無法產(chǎn)生足夠的形函數(shù)個數(shù)從而無法得到收斂的解。方程式（5）表示解的穩(wěn)健性條件，它的數(shù)學含義為：伸縮后的高斯函數(shù)可以在板的定義域內(nèi)以整數(shù)平移因子滑動，但必須始終保持滑動后的形函數(shù)的支撐區(qū)間與板的定義域有交集，否則將導致矩陣病態(tài)。如圖3所示，當 p=0，高斯函數(shù)的支撐區(qū)間為[-4，4]，因此平移因子取[-8，8]，超過此范圍的平移因子對應的高斯函數(shù)（圖3中紅色曲線）不可取。關于高斯函數(shù)的詳細介紹可以參考文獻[18?19]。

1.3? 運動方程的建立

矩形開口板的動能Eplate和應變能Uplate可表示為：

式中γ?T =[ a?Tb?Tc?T ]，? γ T =[ aTbTcT ]；M，Kplate分別表示板的質量矩陣和應變能對應的剛度矩陣；D （x，y ）= Eh3（x，y ）[12（1-ν2）]表示軌道板的抗彎剛度；ρ，E，ν，κ，G 分別表示板的密度、彈性模量、泊松比、剪切系數(shù)、剪切剛度；h（x，y ）表示開口矩形板的厚度分布函數(shù)，對于圖1所示的交叉橢圓開口矩形板，定義：

式中? x0，y0分別表示圖1所示開口板坐標系內(nèi)任意一點的橫坐標和縱坐標；h _u 表示板的標準厚度。增加的彈簧彈性勢能可以表示為：

式中 Kedge 表示邊界勢能對應的剛度矩陣。

自由振動條件下，開口矩形板整體的拉格朗日量表示為：

進一步地，定義未知的與時間相關向量導出開口矩形板的運動方程為：

方程式（11）是一個標準特征值方程問題，通過求解方程式（11）就能得到開口矩形Mindlin板的彎曲自振頻率與振型。

2 算例分析

本節(jié)對不同邊界條件下，不同組合形式開口的矩形板的彎曲振動特性進行分析，與有限元結果進行對比，說明本文方法的精確性。下面給出的算例中開口矩形板的長度為2a=8 m，寬度為2b=6 m，板的標準厚度 h _u =0.3 m，材料參數(shù)均為：楊氏模量 E=210 GPa，密度ρ=7800 kg/m3，泊松比ν=0.3，剪切系數(shù)κ=56。

2.1 收斂性分析

2.1.1 伸縮因子取值收斂性分析

由于在計算過程中存在著疊加求和，因此計算結果的準確性受到伸縮因子p，k 取值的影響。由方程式（4）可知，對于圖1所示的交叉橢圓開口矩形板結構，它的伸縮因子取值只要滿足 p ≥0，k ≥1，解即收斂，且理論上伸縮因子的取值無上限。為了證明這一結論，對伸縮因子的取值進行了收斂性分析，為了便于分析，取 p = k （實際分析中通常以短邊的伸縮因子取值為基準值），即 x 與 y 方向伸縮因子取值保持一致。將矩形板的四條外邊界設為固支約束，得到的固有頻率變化如表2所示。

開口板的各階固有頻率值隨著伸縮因子取值的增加變化很小，結果基本收斂，也證明了收斂性條件，即方程式（4）的合理性，后續(xù)計算中取p = k =1。

2.1.2 人工彈簧剛度取值收斂性分析

由表1可以看出，當用人工彈簧模擬固支等經(jīng)典邊界條件時，人工彈簧剛度需要取為無窮，但在實際計算過程中需要取一個固定值，因此位移約束彈簧和轉角約束彈簧剛度的取值在很大程度上影響了計算結果的準確性，需要對人工彈簧剛度取值進行收斂性分析，找到解收斂時的彈簧剛度取值，從而能夠準確替代人工彈簧剛度取無窮這一情況。矩形板的四條外邊界仍為固支約束，對彈簧剛度取值進行收斂性分析，取 k=s N/m，K=s N/rad，s 表示彈簧剛度取值，得到的固有頻率變化如表3所示。

由表3可以看出，當彈簧剛度系數(shù)數(shù)值大于1014時，得到的固有頻率值已經(jīng)趨于穩(wěn)定，結果已收斂于固支邊界。表明當模擬某些彈簧剛度系數(shù)取無窮的邊界條件時，實際計算中只要將剛度的數(shù)值取為1014時即可得到收斂的解。

2.2? 準確性分析

2.2.1 橢圓交叉開口矩形板彎曲自振特性分析

以交叉橢圓開口為例，邊界條件為 SSSS， CSCS 和 FCFC，驗證本文方法的準確性。

將本文方法的計算結果與有限元仿真結果進行對比，對比結果如表4所示，兩者之間的誤差計算公示為：

式中fFem表示有限元仿真結果；fGem表示本文的高斯展開法計算結果。此外，局域化基函數(shù)的選取可能會使計算效率降低，為了更好地說明本文方法的效率性，在表4中還給出了本文方法與有限元法的求解時間。同時為了進一步說明高斯展開法的準確性，給出了高斯展開法和有限元仿真計算得到的 SSSS 邊界條件下交叉橢圓開口矩形板前4階的振動模態(tài)，如圖4所示。

由表4可以看出，本文方法與有限元計算結果吻合良好，計算的最大誤差均小于3%，且圖4中兩種方法計算得到的開口矩形板的模態(tài)振型也基本一致，進一步說明了本文方法的準確性。同時，通過比較表4中兩種方法的求解時間可以發(fā)現(xiàn)，在保證求解精度的前提下，本文方法具有較高的計算效率。

2.2.2 不同組合類型開口矩形板彎曲自振特性分析

本節(jié)分析了固支邊界條件下，圖5所示的不同開口位置的矩形?矩形、矩形?橢圓以及橢圓?矩形三種組合式開口矩形Mindlin板的彎曲自振特性。將本文方法法計算結果與有限元結果進行了比較，比較結果如表5所示。表 5中的結果對比再次說明了本文方法在分析組合式開口矩形板振動特性時具有較好的準確性及適用性，可以為工程中復雜組合式開口板振動問題提供參考。

3 結論

本文以能量法為基本框架，將高斯展開法引入到組合式開口矩形Mindlin板彎曲振動問題研究中。本文主要結論如下：

（1）伸縮因子的取值與高斯展開法的求解收斂性直接相關，即只有當基函數(shù)的支撐區(qū)間小于等于板的定義域時，解才收斂。在本文算例中，伸縮因子 p ，k 不小于1時，即能滿足計算精度要求。

（2）基于高斯展開法的組合式開口矩形板彎曲振動分析結果與有限元計算結果吻合較好，最大相對誤差不超過1.8%，且本文方法準確性好的同時，還具有較高的計算效率。

（3）本文方法可用于分析任意開口位置的矩形板結構的振動特性，具有較好的適用性。

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Flexural vibration analysis of rectangular Mindlin plate with combined openings using Gaussian expansion method

YANG Zhou1，F(xiàn)ENG Qing?song1，DENG Jie2，ZHANG Ling1，GUO Wen?jie1

（1.State Key Laboratory of Performance Monitoring and Protecting of Rail Transit Infrastructure，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China；2. Key Laboratory of Ocean Acoustic and Sensing，Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710129，China）

Abstract： Gaussian expansion method is introduced into the study of flexural vibration of rectangular plates with combined open ? ings based on the Mindlin plate theory . The localization characteristic of the Gaussian wavelet function can accurately capture the characteristics of the local opening and improve the computational efficiency by selecting the Gaussian wavelet function as the dis? placement shape function . The expansion factor and shift factor of the Gaussian function are defined，and the basisfunctions used to fit the displacement field of the plate with opening are generated by a series of expansion and shift transformations . The larger the expansion? factor is，the higher the resolution of the shape function will be . It can accurately simulate higher-frequency vibration field . The Lagrangian energy functional of the plate with opening is established by taking the energy method as the basic frame? work . The artificial spring model is introduced into simulate various boundary conditions，and the influence of boundary conditions on vibration of plates is transformed into the influence of increased elastic potential energy on stiffness matrix . The accuracy and ap? plicability of the method is verified by comparing the results of the research example with that of the finite element software，which provides a reference for practical engineering problems .

Key words ： flexural vibration；rectangular plate with combined opening；Mindlin plate theory；Guassian expansion method；ener? gy method

作者簡介：楊舟（1994—），男，博士研究生。電話：18702594012；E ?mail：693622619@qq .com。

通訊作者：馮青松（1978—），男，教授、博士生導師。電話：13517091075；E ?mail：fqshdjtdx@aliyun .com。