李創(chuàng)第 王博文 昌明靜

摘要：為建立設(shè)置支撐的一般線(xiàn)性黏彈性耗能結(jié)構(gòu)阻尼器保護(hù)系統(tǒng)的抗震設(shè)計(jì)和動(dòng)力可靠度分析方法，提出了在非擴(kuò)階空間上，基于非均勻和完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下，設(shè)置支撐的一般線(xiàn)性黏彈性耗能結(jié)構(gòu)阻尼器保護(hù)系統(tǒng)響應(yīng)的通用解析解。采用設(shè)置支撐黏彈性阻尼器的最一般積分型分析模型，用微分積分方程組實(shí)現(xiàn)設(shè)置支撐的一般線(xiàn)性黏彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的非擴(kuò)階建模；采用傳遞矩陣法，直接獲得耗能結(jié)構(gòu)阻尼器保護(hù)系統(tǒng)在任意激勵(lì)和非零初始條件下瞬態(tài)響應(yīng)的非擴(kuò)階模態(tài)疊加解析解；應(yīng)用此解析解和隨機(jī)振動(dòng)頻域分析法，獲得了耗能結(jié)構(gòu)阻尼器保護(hù)系統(tǒng)在一般和8種經(jīng)典均勻與非均勻非平穩(wěn)地震激勵(lì)以及完全非平穩(wěn)地震功率譜模型下的具體響應(yīng)解析解。通過(guò)減震和隔震兩種典型結(jié)構(gòu)的復(fù)模態(tài)法和頻響函數(shù)法的理論驗(yàn)證分析，以及均勻、非均勻、完全非平穩(wěn)算例響應(yīng)分析，證明了本文方法的正確性、簡(jiǎn)易性和普適性；所獲得的瞬態(tài)響應(yīng)解析解和非平穩(wěn)地震響應(yīng)分析法，一方面可對(duì)整體耗能系統(tǒng)各構(gòu)件進(jìn)行基于泊松假設(shè)的抗震動(dòng)力可靠度分析，另一方面將為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)建立基于反應(yīng)譜的模態(tài)疊加抗震設(shè)計(jì)提供分析路徑。

關(guān)鍵詞：耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)；黏彈性阻尼器；瞬態(tài)響應(yīng)；非均勻與完全非平穩(wěn)響應(yīng)；解析解

中圖分類(lèi)號(hào)： TU311.3??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號(hào)：1004-4523（2022）05-1084-17

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.006

引言

目前國(guó)內(nèi)外最為成熟的提高結(jié)構(gòu)抗震抗風(fēng)能力的被動(dòng)控制技術(shù)有耗能減震和橡膠基礎(chǔ)隔震[1?2]。耗能結(jié)構(gòu)是通過(guò)設(shè)置阻尼器保護(hù)系統(tǒng)（阻尼裝置和支撐構(gòu)件）[1?7]以達(dá)到很好的耗能效果。支撐剛度不僅影響結(jié)構(gòu)的整體響應(yīng)[8?12]，而且影響阻尼器的受力和變形。阻尼器保護(hù)系統(tǒng)的破壞加重了結(jié)構(gòu)的損傷甚至倒塌[13]，因此中國(guó)相關(guān)規(guī)范[1，14]明確要求阻尼器保護(hù)系統(tǒng)應(yīng)具有足夠的抗震能力，故對(duì)阻尼器保護(hù)系統(tǒng)的研究具有工程意義。

黏彈性阻尼器是一種有效的被動(dòng)控制裝置，具有廣泛的工程適應(yīng)性[3]。目前的研究方法無(wú)法將黏彈性耗能結(jié)構(gòu)阻尼器保護(hù)系統(tǒng)的響應(yīng)精確分解為各模態(tài)響應(yīng)的線(xiàn)性組合，導(dǎo)致其精確的抗震反應(yīng)譜設(shè)計(jì)法無(wú)法建立，因此黏彈性減振控制的實(shí)用設(shè)計(jì)理論及其在規(guī)范中的應(yīng)用已被列為中國(guó)土木結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制領(lǐng)域的關(guān)鍵問(wèn)題之一[15]。

黏彈性耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)現(xiàn)有解析法的代表有擴(kuò)階精確法[16?17]、非擴(kuò)階近似法[18]等，它們存在物理意義不明確、假設(shè)較多、計(jì)算效率低等[19?20]缺陷導(dǎo)致適用性受限。非擴(kuò)階精確法[21]求解過(guò)程簡(jiǎn)單，計(jì)算效率高，獲得的黏彈性耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)解析解物理意義明確，從本質(zhì)上精確揭示了黏彈性耗能結(jié)構(gòu)保護(hù)系統(tǒng)的振動(dòng)機(jī)理，避免了結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程模態(tài)無(wú)法解耦的問(wèn)題[21]。該方法對(duì)不同黏彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)具有簡(jiǎn)易性和普適性。

關(guān)于一般黏彈性阻尼器響應(yīng)分析的重要性早已形成共識(shí)[11?12，22?24]，但目前僅獲得單自由度一般黏彈性耗能結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載激勵(lì)下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的解析解，尚未獲得多自由度設(shè)置支撐的一般黏彈性耗能結(jié)構(gòu)阻尼器保護(hù)系統(tǒng)在任意荷載激勵(lì)下瞬態(tài)響應(yīng)的非正交模態(tài)疊加精確解析解。

地震的整個(gè)過(guò)程，一般是非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程[25]。一般用 Priestley 提出的演變譜模型來(lái)分析非均勻非平穩(wěn)地震響應(yīng)[26]。平穩(wěn)地震激勵(lì)模型主要有白噪聲模型[27]、Kanai Tajimi譜?[28]、Clough Penzien譜?[29]、胡聿賢譜[30]等，其中 Kanai ?Tajimi譜地震激勵(lì)模型符合地震動(dòng)特點(diǎn)且表達(dá)式相對(duì)簡(jiǎn)單，受到廣大科研人員的關(guān)注[31?32]。 Conte 等[33]提出了可以由實(shí)際地震加速度演變功率譜經(jīng)自適應(yīng)最小二乘法擬合確定參數(shù)的完全非平穩(wěn)模型，該模型同時(shí)反映了地震的強(qiáng)度非平穩(wěn)和頻率非平穩(wěn)特性，其計(jì)算參數(shù)可通過(guò)實(shí)際地震加速度演變功率譜擬合得到，具有較強(qiáng)通用性。

關(guān)于一般黏彈性耗能結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)響應(yīng)分析，目前已獲得廣義 Maxwell 阻尼耗能結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)濾過(guò)白噪聲激勵(lì)下的平穩(wěn)響應(yīng)解析解[34?36]和 Maxwell 阻尼耗能結(jié)構(gòu)均勻非平穩(wěn)地震響應(yīng)解析解[20]，然而對(duì)于多自由度設(shè)置支撐的一般黏彈性耗能結(jié)構(gòu)阻尼器保護(hù)系統(tǒng)在一般和多種[37]均勻與非均勻非平穩(wěn)激勵(lì)以及完全非平穩(wěn)地震功率譜模型下的響應(yīng)解析分析尚未建立。

本文采用設(shè)置支撐黏彈性阻尼器的最一般積分型分析模型，將傳遞矩陣法應(yīng)用到一般黏彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，求解過(guò)程簡(jiǎn)單，計(jì)算效率高，在獲得了黏彈性耗能結(jié)構(gòu)阻尼器保護(hù)系統(tǒng)在任意激勵(lì)作用下瞬態(tài)響應(yīng)非擴(kuò)階模態(tài)疊加精確解的基礎(chǔ)上，建立了一般線(xiàn)性黏彈性耗能結(jié)構(gòu)阻尼器保護(hù)系統(tǒng)的均勻與非均勻以及完全非平穩(wěn)地震響應(yīng)解析分析。采用減震和隔震兩種典型結(jié)構(gòu)的復(fù)模態(tài)法和頻響函數(shù)法的理論驗(yàn)證分析，以及均勻、非均勻、完全非平穩(wěn)算例響應(yīng)分析，證明了本文方法的正確性、簡(jiǎn)易性和普適性。一方面可對(duì)整體耗能系統(tǒng)各構(gòu)件進(jìn)行基于泊松假設(shè)的抗震動(dòng)力可靠度分析；另一方面將為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)建立基于反應(yīng)譜的模態(tài)疊加抗震設(shè)計(jì)提供分析路徑。

1 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)置支撐的一般線(xiàn)性黏彈性阻尼器的 n 個(gè)自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

式中 M 為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；C 為結(jié)構(gòu)的黏滯阻尼矩陣；K 為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；x 為結(jié)構(gòu)位移向量；pGi （ t ）和 Li 表示等效后第i個(gè)阻尼器的作用力及其影響向量，m 為阻尼器總數(shù)；F （ t ）為任意外載向量；對(duì)于地震激勵(lì) F（ t ）=- r g （ t ）， g （ t ）為地面地震加速度，r 為常數(shù)向量。

等效后黏彈性阻尼器受力pGi （ t ）的一般積分型本構(gòu)方程為：

式中kGi和hGi （ t ）分別為等效后第i個(gè)阻尼器的平衡剛度和松弛函數(shù)，i =1，2，…，m；原阻尼器pQi （ t ）及其支撐剛度kbi與等效阻尼器pGi （ t ）之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系詳見(jiàn)文獻(xiàn)[38]。

故設(shè)置支撐的一般線(xiàn)性黏彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

式中 KG 和hG （ t ）分別為等效后阻尼器體系的對(duì)稱(chēng)平衡模量和松弛函數(shù)矩陣。

2 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的傳遞矩陣法

2.1? 阻尼器的傳遞矩陣法

設(shè)結(jié)構(gòu)的初始條件為：

由拉氏變換，式（3）可轉(zhuǎn)化為：

式中 xˉ （ s ），F(xiàn)ˉ （ s ），h ˉ G （ s ） 分別為 x （ t ），F(xiàn) （ t ），h G （ t ）的拉氏變換；s 為拉氏變換的狀態(tài)變量；D （ s ）和 H（ s ）分別為結(jié)構(gòu)的阻抗和傳遞矩陣。

結(jié)構(gòu)的特征值方程為：

方程（2）可表示為：

對(duì)式（10）和（11）取拉氏變換，并考慮關(guān)系式（6），可得：

式中?? Gi （ s ）和（ s ）分別為pGi （ t ）和 g （ t ）的拉氏變換。

故阻尼器的變換向量 g （ t ）的傳遞矩陣 Hg （ s ）和阻抗矩陣 Dg （ s ）分別為：

由阻尼器pGi （ t ）的實(shí)際物理意義和其本構(gòu)關(guān)系式（2）可知：pGi （ t ）≠0；故：

由式（17）對(duì)任意初始位移 x0均成立得：

故阻尼器的變換向量 g （ t ）的特征值方程為：

由式（18）和（19）可知：g （ t ）的特征值與結(jié)構(gòu)位移 x （ t ）的特征值完全相同。x （ t ）的每個(gè)特征值sj對(duì)應(yīng)的右、左特征向量uj和uj（T），g （ t ）的每個(gè)特征值sj對(duì)應(yīng)的右、左特征向量ugj和 u gj（T），它們滿(mǎn)足的方程分別為：

其中，j =1～M，M 為特征值個(gè)數(shù)。

由式（20）～（22），可得 g （ t ）與 x （ t ）的特征向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

根據(jù)前期研究，對(duì)于 g （ t ）的傳遞矩陣 Hg （ s ）和sHg （ s ），下列解析式均成立[21]：

式中sj為 g （ t ）的阻抗矩陣 Dg （ s ）的特征值，其值與結(jié)構(gòu)位移 x （ t ）的阻抗矩陣 D（ s ）的特征值完全相同；ugj為動(dòng)剛矩陣 Dg （ s ）對(duì)應(yīng)于特征值sj的特征向量。由式（14）～（16），可得：

將式（27）代入式（26），可得：

將式（23）代入式（28），可得：

由于uj是 D（ s ）對(duì)應(yīng)于特征值sj的特征向量，故D （ sj ） uj =0，代入式（29）可化簡(jiǎn)為：

式中：

2.2 阻尼器受力瞬態(tài)響應(yīng)解析解

由式（12），（14），（33）和式（8），可得：

由拉氏逆變換，式（35）可轉(zhuǎn)化為：

式中δ（ t ）為 Dirac delta 函數(shù)。

對(duì)于 t >0，阻尼器受力的瞬態(tài)響應(yīng)解析解為：

式中aj （ t ）表示初始條件產(chǎn)生的響應(yīng)，表達(dá)式為：

對(duì)于零初始條件，

同理，由式（12），（14），（34）和式（8），可得阻尼

器受力速度的瞬態(tài)響應(yīng)解析解為：

2.3 結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)解析解

同理可得結(jié)構(gòu)的位移和速度的瞬態(tài)響應(yīng)解析解為：

其中aj （ t ）如式（38）所示。

若在初始條件為零的情況下，則aj （ t ）=0（ j =1～M ）。

2.4 支撐和阻尼器瞬態(tài)響應(yīng)解析解

支撐剛度、原阻尼器和等效阻尼器之間滿(mǎn)足以下關(guān)系：

式中xbi，xQi和 x Δi分別為支撐位移、原阻尼器位移和層間相對(duì)位移；kbi為支撐剛度。

對(duì)于 t >0，由式（42）可得：

將式（37），（39）～（41）分別代入式（43）和（44），可得：

2.5 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地震響應(yīng)

零初始條件下，由式（40），（41），（37），（39）和式（45）～（48）可得一般黏彈性阻尼器 n 個(gè)自由度耗能結(jié)構(gòu)的位移、速度，阻尼器受力、受力速率，支撐位移、速度，阻尼器位移、速度響應(yīng)解析式可統(tǒng)一表示為：

式中? l=1～8；S1（ t ）為結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)，S2（ t ）為結(jié)構(gòu)的速度響應(yīng)，S3（ t ）為阻尼器受力響應(yīng)，S4（ t ）為阻尼器受力速率響應(yīng)，S5（ t ）為支撐位移響應(yīng)，S6（ t ）為支撐速度響應(yīng)，S7（ t ）為阻尼器位移響應(yīng)，S8（ t ）為阻尼器速度響應(yīng)；ρlj為響應(yīng)系數(shù)；ηj 為計(jì)算常數(shù)。響應(yīng)系數(shù)分別為：

ρ8j = sjηj {1- k bi（-）1[ kGi + sj? Gi （ sj ）]} L i（T）ujuj（T） r （57） bj （ t ）為標(biāo)準(zhǔn)一階系統(tǒng)對(duì)地震激勵(lì)的響應(yīng)，即：

3 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)一般解析式

3.1 非平穩(wěn)地震激勵(lì)模型

地震動(dòng)過(guò)程通常包含兩個(gè)非平穩(wěn)過(guò)程：強(qiáng)度非平穩(wěn)和頻率非平穩(wěn)，通常采用 Priestley 提出的演變功率譜模型，它可以表示為：

式中i =；“*”表示取共軛項(xiàng)；a （ω，t ）是 t 與ω的確定性調(diào)制函數(shù)，滿(mǎn)足 a （ω，t ）= a?（-ω，t ）；N（ω）是一個(gè)正交增量過(guò)程；δ（?）為 Dirac delta 函數(shù)；S f （ω）為功率譜密度函數(shù)。

g （ t ）的協(xié)方差函數(shù)可表示為：

特別是當(dāng) t1= t2時(shí)，

3.2 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)的一般解析式

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)一般響應(yīng) S（ t ）的非平穩(wěn)協(xié)方差函數(shù)的表達(dá)式為：

將式（62）代入式（65）可寫(xiě)成：

式（67）為標(biāo)準(zhǔn)一階系統(tǒng)在激勵(lì)eiωt a （ω，t ）下的響應(yīng)積分形式。因此，式（67）可表示為如下方程的解：Y?j （ω，t ）= sjYj （ω，t ）+ eiωt a （ω，t ），

式中Yh，j （ω，t ）為式（68）的齊次解，Yp，j （ω，t ）為式（68）的特解。

?由初始狀態(tài) t =0所決定。假定特解Yp，j （ω，t ）已經(jīng)求出。

由式（66）和（67）可得：

由式（69）～（71）可得：

工程上廣泛應(yīng)用的調(diào)制函數(shù)為下式的線(xiàn)性組合[19]：

式中? r 為整數(shù)；ε（ω）和α（ω）為描述調(diào)制函數(shù)的參數(shù)。

因此，式（72）中的特解為：

將式（74）代入式（72）得耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)的一般解析式為：

4 幾種經(jīng)典調(diào)制情況下非平穩(wěn)響應(yīng)具體解析式

4.1 Shinozuka-Sato 型調(diào)制函數(shù)

式中ε=? e? ln（）；α1，α2為已知常數(shù)。

式（70）中?由初始狀態(tài) t =0時(shí)，Yj （ω，0）=0所決定。Yp，j 可表示為：

將式（77）代入式（72）得：

4.2 Hsu-Bernard 型調(diào)制函數(shù)

式中ε=αe，α為已知常數(shù)。

式（70）中?由初始狀態(tài) t =0時(shí)，Yj （ω，0）=0所決定。Yp，j 可表示為：

將式（80）代入式（72）得：

4.3 Goto-Toki 型調(diào)制函數(shù)

式中 A 0，tp為已知常數(shù)。

式（70）中?由初始狀態(tài) t =0時(shí)，Yj （ω，0）=0所決定。Yp，j 可表示為：

將式（83）代入式（72）得：

Iyengar 型調(diào)制函數(shù)

c，d，α為已知常數(shù)。

式（70）中?由初始狀態(tài) t =0時(shí)，Yj （ω，0）=0所決定。Yp，j 可表示為：

將式（86）代入式（72）得：

4.5? 分段型調(diào)制函數(shù)

式中 A 0，c，t1，t2為已知常數(shù)。

當(dāng)0≤ t ≤ t1時(shí)，式（70）中?由初始狀態(tài) t =0時(shí)，Yj （ω，0）=0所決定的。Yp，j 可表示為：

將式（89）代入式（72）得：

當(dāng) t1≤ t ≤ t2時(shí)，式（70）中?由初始狀態(tài) t =0時(shí)，Yj （ω，0）=0所決定。Yp，j 可表示為：

將式（91）代入式（72）得：

當(dāng) t ≥ t2時(shí)，式（70）中?由初始狀態(tài) t =0時(shí)，Yj （ω，0）=0所決定。Yp，j 可表示為：

將式（93）代入式（72）得：

4.6? 余弦型調(diào)制函數(shù)

式中? c，d，θ為已知常數(shù)；c ≥ d。

式（70）中?由初始狀態(tài) t =0時(shí)，Yj （ω，0）=0所決定。Yp，j 可表示為：

將式（96）代入式（72）得：

4.7? 正弦型調(diào)制函數(shù)

式中? c，d，θ為已知常數(shù)；c ≥ d。

式（70）中?由初始狀態(tài) t =0時(shí)，Yj （ω，0）=0所決定。Yp，j 可表示為：

將式（99）代入式（72）得：

4.8 Spanos-Solomos型調(diào)制函數(shù)

式中ε（ω），α（ω）表示以ω為自變量的函數(shù)。

式（70）中?由初始狀態(tài) t =0時(shí)，Yj （ω，0）=0所決定。Yp，j 可表示為：

將式（102）代入式（72）得：

5 完全非平穩(wěn)功率譜模型

完全非平穩(wěn)模型[33]的演變功率譜密度函數(shù)為：

U （ t - tf ）為單位階躍函數(shù)，

式中? S f （ω）為第f個(gè)平穩(wěn)高斯過(guò)程的功率譜密度函數(shù)；af （ t ）為第f個(gè)高斯過(guò)程的調(diào)制函數(shù)；vf和ηf 分別為隨機(jī)過(guò)程的頻帶寬和卓越頻率；εf，tf，rf，αf 為描述調(diào)制函數(shù)af （ t ）的4個(gè)參數(shù)。

式（70）中?由初始狀態(tài) t = tf時(shí)所決定。由式（68）～（72），同理可得：

式中Yj，f （ω，t ）和Yp，j （ f ）（ω，t ）分別是在 p 個(gè)相互獨(dú)立的、零均值的、均勻調(diào)制高斯激勵(lì)下，式（68）的第f個(gè)通解和特解。

由式（68）～（74）可得式（108）的特解為：

將式（109）代入式（108）得：

將式（111）代入式（66）得：

6 驗(yàn)證和算例分析

下面通過(guò)兩種一般多自由度典型耗能結(jié)構(gòu)的驗(yàn)證分析和算例分析證明本文方法的正確性。

6.1 多自由度 Maxwell 阻尼減震系統(tǒng)

6.1.1 運(yùn)動(dòng)方程

設(shè) n 層結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣為 M；結(jié)構(gòu)的剛度矩陣為 K；結(jié)構(gòu)的黏滯阻尼矩陣為C；層間質(zhì)量、剛度和阻尼分別為 mi，ki，ci，（ i =1，2，…，n ）；kbi，k0i 分別為層間設(shè)置的支撐剛度和 Maxwell 阻尼器 pi （ t ）的平衡模量；層間的 Maxwell 阻尼器的剛度為kii；阻尼器的阻尼為? cii；阻尼器的松弛參量為μ ii（ i =1，2，…，n ）；x 為結(jié)構(gòu)相對(duì)于地面的位移向量。在地震動(dòng) g （ t ）作用下，結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1所示，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程為：

hQi （ t ）為原結(jié)構(gòu)第i個(gè)阻尼器的松弛函數(shù)；kGi和hGi （ t ）分別為等效后第i個(gè)阻尼器的平衡剛度和松弛函數(shù)，i =1，2，…，n 。 Qi （ s ）， Gi （ s ）分別為hQi （ t ），hGi （ t ）的拉氏變換。

其中：

將式（114）代入式（113），結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程可化為：

由拉氏逆變換，式（116）可轉(zhuǎn)化為：

6.1.2 驗(yàn)證分析本文方法

結(jié)構(gòu)特征值sj及其對(duì)應(yīng)的特征向量uj的方程為：

由此求得原始結(jié)構(gòu)3n個(gè)特征值sj及其對(duì)應(yīng)的非零特征向量uj （ j =1～3n ）。

由式（31）得：

由式（40），（41），（37），（39）和式（44）～（48）在零初始條件下，結(jié)構(gòu)的位移、速度，阻尼器受力、受力速率，支撐位移、速度，阻尼器位移、速度響應(yīng)為：

復(fù)模態(tài)法

（1）結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程

令：v （ t ）= x? （ t ），那么，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程（113），（114）可表示為擴(kuò)階形式：

式中：

式中? I 為 n 階單位矩陣。

（2）結(jié)構(gòu)特征值和特征向量分析

令：

則結(jié)構(gòu)的右、左模態(tài)方程為：

將式（145）代入式（143），經(jīng)化簡(jiǎn)得：

將式（146）代入式（144），經(jīng)化簡(jiǎn)得：

對(duì)比式（128）和式（148），（151）得，復(fù)模態(tài)法與本文方法得到的特征值完全相同，且復(fù)模態(tài)法得到的特征向量可用原結(jié)構(gòu)的特征向量表示。

由式（130），（140），（145）和（146），易得：

（3）結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)分析

零初始條件下，結(jié)合復(fù)模態(tài)理論可得：

結(jié)構(gòu)的位移、速度，阻尼器受力、受力速率，支撐位移、速度，阻尼器位移、速度響應(yīng)為：

對(duì)比式（130）～（137）和式（155）～（162）得，兩種方法所得的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)解析式完全一樣，從而驗(yàn)證了本文方法的正確性。

6.2 多層耗能隔震結(jié)構(gòu)

6.2.1 運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)多層結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣為 m0；結(jié)構(gòu)的剛度矩陣為 k0；結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣為 c0；層間質(zhì)量、剛度、阻尼分別為 m0i，k0i，c0i （ i =1～n ）；隔震層的質(zhì)量、剛度和阻尼分別為 m，k，c 。隔震層設(shè)置帶支撐的一般線(xiàn)性黏彈性阻尼器的阻尼力為 PG （ t ），其松弛函數(shù)和平衡剛度分別為hQ （ t ）和 k0，水平支撐剛度為 kb 。上部結(jié)構(gòu)與隔震層的相對(duì)位移向量為 x0，隔震層與地面的相對(duì)位移為 x，在地震動(dòng) g （ t ）的作用下，該耗能隔震結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2所示，運(yùn)動(dòng)方程為：

M0= m + m0i；1為單位列向量；hG （ t ）和kG分別為等效阻尼器的松弛函數(shù)和平衡剛度：

式中?? Q （ s ）為松弛函數(shù)hQ （ t ）的拉氏變換； G （ s ）為松弛函數(shù)hG （ t ）的拉氏變換。

將位移向量 x0按上部結(jié)構(gòu)第一振型展開(kāi)得：

則式（163）～（165）可化為對(duì)稱(chēng)微分積分方程：

式中

耗能隔震結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上部結(jié)構(gòu)第一振型φ1對(duì)應(yīng)的廣義質(zhì)量為 M1；振型參與系數(shù)為 r1；阻尼比為ξ1；頻率為ω1。

6.2.2 驗(yàn)證分析算例

在零初始條件下，由式（40）和（37）可得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的脈沖和頻率響應(yīng)函數(shù)分別為：

式中i表示某一層，所以當(dāng)表示具體某一層即隔震層的時(shí)候可以省略i，LT =[0? 1]。

由式（169）和（165）直接獲得的頻率響應(yīng)函數(shù)為：

式中? G （ iω）是hG （ t ）的傅氏變換。

由于式（177）～（180）均為解析解，所以應(yīng)該相等。

某6層基礎(chǔ)隔震鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量 m01～m02為300×103 kg，m03～m06為270×103 kg；層間剛度 k01～k02為4×105? kN m，k03～k06 為3.6×105? kN m；結(jié)構(gòu)第一振型阻尼比ξ1=0.05。隔震層質(zhì)量 m =400×103 kg，隔震層等效圓頻率ω b =5.27 rad s，等效阻尼比ξb 分別取0.10，0.15，0.20，0.25，隔震層剛度 k = mωb（2）。隔震層設(shè)置帶支撐一般線(xiàn)性黏彈性阻尼器 PG （ t ），平衡剛度 k0=2.1×107 N /m，水平支撐剛度 kb =3k，松弛函數(shù)hQ （ t ）的拉氏和傅氏變換取二次分式：

其計(jì)算值取為：ωp =9.45 rad/s；d1=28.4 rad/s； e1=65 rad/s；e2=950 rad/s。

圖3～5分別為四種工況下，按照直接計(jì)算法和本文方法計(jì)算的結(jié)構(gòu)隔震層頻率響應(yīng)函數(shù)模、上部結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)函數(shù)模、阻尼器受力頻率響應(yīng)函數(shù)模。由圖可知兩種求解方法所得結(jié)果完全一致，從而再次驗(yàn)證了本文方法的正確性。

6.2.3 響應(yīng)分析算例

某10層框架隔震結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)第一振型阻尼比ξ1=0.05，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。隔震層質(zhì)量 m =3.75×105 kg，等效阻尼比為ξb =0.2，隔震層剛度 k =9.04×107 N/m 。隔震層設(shè)置帶支撐的 Max ? well 阻尼器 PG （ t ），阻尼器參數(shù)為：平衡剛度 k0=0.36×105 N/m ，?? k1=42.08×105 N/m ；?? c1=0.83×105 N ? s/m，支撐剛度為 kb =3k。

平穩(wěn)地震動(dòng) f （ t ）譜密度函數(shù)取為 Kanai ?Taji? mi 譜：

式中? S0為地震動(dòng)譜強(qiáng)度；ωf 和ξf 分別為場(chǎng)地土的卓越頻率和阻尼比，ωf =19 rad/s，ξf =0.65。Shinzuka?Sato型均勻調(diào)制函數(shù)：

Spanos?Solomos型非均勻調(diào)制函數(shù)：

在 Spanos ? Solomos型非均勻調(diào)制非平穩(wěn)地震激勵(lì)作用下，多層隔震結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的位移、速度，隔震層阻尼器受力、受力速率，隔震層支撐位移、速度，隔震層阻尼器位移、速度響應(yīng)方差如圖14～21所示。

在Shinozuka? Sato 型均勻調(diào)制非平穩(wěn)地震激勵(lì)作用下，結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差具有峰值效應(yīng)，且均在 t =8.4 s 同一時(shí)刻出現(xiàn)峰值，在 t=30 s之后響應(yīng)方差收斂趨近于0。由圖6可得，結(jié)構(gòu)第10層位移響應(yīng)方差最大值僅為1.204×10-3 m 2，達(dá)到了很好的減震效果。 Spanos ? Solomos型與Shinzuka ? Sato 型非平穩(wěn)地震激勵(lì)下，具有相似的性質(zhì)：結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差也具有峰值效應(yīng)，且均在 t =7.2 s 同一時(shí)刻出現(xiàn)峰值，在 t =30 s之后響應(yīng)方差收斂趨近于0。由圖14可得，結(jié)構(gòu)第10層位移響應(yīng)方差最大值僅為6.268×10-3 m 2，達(dá)到了很好的減震效果。

在完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)作用下，多層隔震結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的位移、速度，隔震層阻尼器受力、受力速率，隔震層支撐位移、速度，隔震層阻尼器位移、速度響應(yīng)方差如圖22～29所示。

從以上結(jié)果可以看出：在Shinozuka ? Sato 型和Spanos? Solomos型調(diào)制非平穩(wěn)地震激勵(lì)作用下，系統(tǒng)的非平穩(wěn)響應(yīng)方差與調(diào)制函數(shù)曲線(xiàn)相似，呈單峰形狀，即激勵(lì)模型方差是單峰的。由于完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)模型由多個(gè)均勻隨機(jī)過(guò)程疊加而成，完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)模型方差就是多峰的，并且完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)模型既與時(shí)間相關(guān)又與頻率相關(guān)，所以完全非平穩(wěn)激勵(lì)下，系統(tǒng)的響應(yīng)方差會(huì)呈現(xiàn)多峰狀，實(shí)際地震就是多峰的，更加符合工程實(shí)際意義。

在完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)作用下，響應(yīng)方差呈多峰狀，取三次相對(duì)較大峰值進(jìn)行分析，響應(yīng)方差第一次出現(xiàn)峰值時(shí)間在 t=3.0～3.3 s，第二次出現(xiàn)峰值時(shí)間在 t =5.1～5.4 s，第三次峰值出現(xiàn)時(shí)間在 t =12.6～12.9 s，正是由于完全非平穩(wěn)的特性導(dǎo)致出現(xiàn)峰值時(shí)間不是同一時(shí)刻，與 Spanos ? Solomos型和Shinzuka ? Sato 型不同。由圖22可得，結(jié)構(gòu)第10層位移響應(yīng)方差最大值僅為6.738×10-3 m 2，達(dá)到了很好的減震效果。

在三種非平穩(wěn)地震激勵(lì)條件下均有：隨著層數(shù)的增加，結(jié)構(gòu)的位移和速度響應(yīng)方差也越大；第10層與第5層、第5層與第1層、第1層與隔震層響應(yīng)方差的差值依次遞減；從隔震層阻尼器受力響應(yīng)方差來(lái)看，阻尼器起到了很好的耗能作用。

7 結(jié)論

為建立設(shè)置支撐的一般黏彈性耗能結(jié)構(gòu)阻尼器保護(hù)系統(tǒng)的抗震分析與設(shè)計(jì)方法，對(duì)設(shè)置支撐的一般黏彈性阻尼器耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)模態(tài)疊加解析解進(jìn)行了研究，并對(duì)其非平穩(wěn)地震響應(yīng)解析分析；獲得了設(shè)置支撐的一般黏彈性耗能結(jié)構(gòu)阻尼器保護(hù)系統(tǒng)（結(jié)構(gòu)位移與速度、阻尼器受力與受力速度、以及支撐和阻尼器的位移與速度）瞬態(tài)響應(yīng)的非正交模態(tài)疊加解析解，應(yīng)用此解析解和隨機(jī)振動(dòng)頻域分析法，建立了設(shè)置支撐的一般線(xiàn)性黏彈性耗能結(jié)構(gòu)阻尼器保護(hù)系統(tǒng)在一般和多種（Shinozuka? Sato 型、Hsu ? Bernard 型、Goto ? Toki 型、Iyengar 型、分段連續(xù)型、余弦型、正弦型、Spanos?Solomos型）均勻與非均勻非平穩(wěn)激勵(lì)以及完全非平穩(wěn)地震功率譜模型下的響應(yīng)解析分析。

采用兩種典型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)（減震結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和隔震結(jié)構(gòu)系統(tǒng)）的復(fù)模態(tài)法和頻響函數(shù)法的理論驗(yàn)證分析，以及均勻、非均勻、完全非平穩(wěn)算例響應(yīng)分析，證明了本文方法的正確性、簡(jiǎn)易性和普適性。

本文對(duì)設(shè)置支撐的一般線(xiàn)性黏彈性耗能結(jié)構(gòu)阻尼器保護(hù)系統(tǒng)進(jìn)行了分析，并使得非平穩(wěn)地震激勵(lì)下響應(yīng)分析應(yīng)用更加廣泛和高效。通過(guò)對(duì)一般線(xiàn)性黏彈性耗能結(jié)構(gòu)及阻尼器保護(hù)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)和非平穩(wěn)地震響應(yīng)的解析分析，一方面可對(duì)整體耗能系統(tǒng)各構(gòu)件進(jìn)行基于泊松假設(shè)的抗震動(dòng)力可靠度分析，另一方面將為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)建立基于反應(yīng)譜的模態(tài)疊加抗震設(shè)計(jì)提供分析路徑。

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Analytical analysis of non -uniform and completely nonstationary seismic response of a general linear viscoelastic damper protection system

LI Chuang-di1，WANG Bo-wen2，CHANG Ming-jing3

（1.School of Civil Engineering and Architecture，Guangxi University of Science and Technology，Liuzhou 545006，China；

2. School of Mechanics and Civil Engineering，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221116，China；

3.School of Civil Engineering and Architecture，Wuhan University of Technology，Wuhan 430070，China）

Abstract： In order to establish the seismic design and a dynamic reliability analysis method of the damper protection system of gen ? eral linear viscoelastic energy dissipation structure with braces，a general analytical solution of the response of the damper protec? tion system of the general linear viscoelastic energy dissipation structure with braces under the non-uniform and completely nonsta? tionary seismic excitation is proposed in this paper . The most general integral type analysis model with support viscoelastic damper is used to realize the non-extended order modeling of the general linear viscoelastic damping energy dissipation structure system with braces by using differential integral equations . The non-extended order mode superposition solution of the transient response of the damper protection system under arbitrary excitation and non-zero initial conditions is directly obtained by using the transfer ma? trixmethod . By using the analytical solution and the frequency domain analysis method of random vibration，the specific response analytical solutions of the damper protection system of energy dissipation structure are obtained under the general and eight classical uniform and non-uniform modulation filtered white noise seismic excitation and completely non-stationary seismic power spectrum models . The correctness，simplicity and universality of this method are proved by the theoretical verification analysis of the com ? plex mode method and frequency response function method of two typical structures of vibration absorption and isolation，as well as the response analysis of uniform，non-uniform and completely non-stationary cases . The obtained analytical solutions of transient response and non-stationary seismic response can，on the one hand，carry out Poisson based analysis on the components of the overall energy dissipation system . On the other hand，it will provide an analysis path for the structural system to establish the mode superposition seismic design based on response spectrum .

Key words ： energy dissipation structure system；viscoelastic damper；transient response；non-uniform and completely non-station? ary response；analytical solution

作者簡(jiǎn)介：李創(chuàng)第（1964—），男，博士，教授。E-mail：lichuangdi1964@163.com。