郭家明 薛迅2)?

1)(新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,烏魯木齊 830046)

2)(華東師范大學(xué)物理系,上海 200241)

無(wú)中微子雙β 衰變至今尚未被觀察到,同時(shí)其存在無(wú)法被否定.因此中微子是否是Majorana 粒子這個(gè)問(wèn)題目前尚無(wú)定論.本文希望從引力對(duì)費(fèi)米子散射的角度研究通過(guò)引力場(chǎng)區(qū)分中微子費(fèi)米子類型的可能性.對(duì)Levi-Civita 聯(lián)絡(luò)按宇稱變換做分解,在引力場(chǎng)對(duì)費(fèi)米子散射微擾論最低階近似以及弱引力近似下,發(fā)現(xiàn)一般度規(guī)的引力場(chǎng)對(duì)狄拉克和馬約拉納費(fèi)米子量子散射矩陣元差別來(lái)自宇稱變換下類似矢量的部分;對(duì)克爾度規(guī)的引力場(chǎng)散射,證實(shí)不同類型費(fèi)米子的散射差別與克爾引力源的角動(dòng)量相關(guān),其散射矩陣元正比于引力源的質(zhì)量與角動(dòng)量乘積的平方.以上結(jié)果為通過(guò)引力場(chǎng)區(qū)分費(fèi)米子類型提供了另外一種可能的方法.

1 引言

電荷共軛變換是聯(lián)系粒子與其反粒子的變換,費(fèi)米子按電荷共軛變換性質(zhì)分為兩類,狄拉克(Dirac)型和馬約拉納(Majorana)型.Majorana[1]于1937 年預(yù)言電中性費(fèi)米子可用實(shí)值波函數(shù)描述,其反粒子就是自身.自中微子被發(fā)現(xiàn)后,在理論和實(shí)驗(yàn)方面關(guān)于中微子可能是Majorana 粒子的探索一直沒(méi)停止過(guò)[2],但迄今為止,無(wú)論是理論還是實(shí)驗(yàn)方面都沒(méi)有確定答案.中微子是否是Majorana粒子對(duì)于解決中微子質(zhì)量等級(jí)問(wèn)題,探索超出標(biāo)準(zhǔn)模型新物理都很重要.

無(wú)中微子的雙β 衰變是中微子為Majorana 粒子的特征,尋找無(wú)中微子雙β 衰變事例就成了甄別中微子費(fèi)米子類型的粒子物理首選手段,然而至今為止尚未發(fā)現(xiàn)這樣的事例,也無(wú)法否定其存在[3].因而尋求弱相互作用之外鑒別中微子費(fèi)米子類型的機(jī)制研究一直沒(méi)有停止過(guò),20 世紀(jì)90 年代中期開(kāi)始出現(xiàn)用費(fèi)米子對(duì)引力場(chǎng)的響應(yīng)來(lái)分辨Dirac 和Majorana 費(fèi)米子的研究[4-8].2006 年P(guān)apini 等[6]提出設(shè)想,旋轉(zhuǎn)引力源的Lense-Thirring 效應(yīng)會(huì)拖曳參考系標(biāo)架場(chǎng)旋轉(zhuǎn),其Dirac 和Majorana 費(fèi)米子的自旋翻轉(zhuǎn)矩陣元的空間依賴不同,能夠區(qū)分中微子類型.但是該研究基于一次量子化波函數(shù)來(lái)處理Majorana 粒子是有問(wèn)題的,滿足電荷共軛變換不變的波函數(shù)不可能是自由粒子波函數(shù),Papini 等[6]討論的波包[9]在天文尺度下傳播時(shí),由于波包彌散,其意義是不明確的.由于電荷共軛不變的波函數(shù)不是確定能動(dòng)量本征態(tài)的自由粒子態(tài),Majorana粒子在一次量子化框架內(nèi)無(wú)法自洽的描述,處理Majorana 粒子必須考慮到電荷共軛不變性,只有在二次量子化框架內(nèi)才能得到自洽的處理.

Lai 和Xue[10]用二次量子化的框架研究了漸近平直的史瓦西(Schwarzschild)時(shí)空和帶撓率Schwarzschild 度規(guī)時(shí)空對(duì)自由Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子的量子散射,發(fā)現(xiàn)Schwarzschild時(shí)空中的散射無(wú)法區(qū)分兩種費(fèi)米子,而帶矢量撓率的黎曼-嘉當(dāng)(Riemann-Cartan)時(shí)空的散射能夠區(qū)分Dirac 和Majorana 費(fèi)米子.Majorana 費(fèi)米子由于其電荷共軛不變性,撓率的矢量部分不會(huì)對(duì)Majorana 費(fèi)米子散射產(chǎn)生影響,只有軸矢撓率會(huì)影響Majorana 費(fèi)米子的散射,而Dirac 費(fèi)米子會(huì)同時(shí)受到矢量撓率和軸矢撓率的影響.

廣義相對(duì)論是無(wú)撓的引力理論,引力表現(xiàn)為黎曼時(shí)空的彎曲,時(shí)空聯(lián)絡(luò)為L(zhǎng)evi-Civita 聯(lián)絡(luò),完全由度規(guī)確定.但是自廣義相對(duì)論提出后關(guān)于有撓引力的探討從來(lái)沒(méi)有停止過(guò),理論上關(guān)于撓率在引力理論中的角色有兩種觀點(diǎn).一種是將黎曼時(shí)空推廣為帶撓率的時(shí)空,即Riemann-Cartan 時(shí)空來(lái)描述引力.另一種觀點(diǎn)認(rèn)為撓率提供了引力區(qū)別與時(shí)空曲率的另一種等價(jià)描述[11,12],例如絕對(duì)平行引力中,時(shí)空曲率為零,引力用撓率描述.文獻(xiàn)[10]中關(guān)于撓率對(duì)于Majorana 費(fèi)米子和Dirac 費(fèi)米子的散射矩陣和散射截面的影響對(duì)于以上兩種觀點(diǎn)同樣成立,但是對(duì)于將撓率認(rèn)為是引力等效描述的第二種觀點(diǎn),意味著引力場(chǎng)對(duì)應(yīng)的矢量撓率對(duì)費(fèi)米子的散射可以區(qū)分Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子,這就為用中微子的引力量子散射效應(yīng)來(lái)區(qū)分中微子的費(fèi)米子類型提供了理論基礎(chǔ).

撓率按其在洛倫茲變換下的變換性質(zhì)可分解為矢量、軸矢量和純張量三部分,撓率與費(fèi)米場(chǎng)的耦合在Riemann-Cartan 框架中,最小耦合只有軸矢撓率與費(fèi)米子存在耦合,但是物質(zhì)場(chǎng)的重整化效應(yīng)使得非最小耦合具有普適性,矢量撓率和軸矢量撓率都存在與旋量場(chǎng)的耦合.在絕對(duì)平行引力框架中,矢量撓率和軸矢撓率也都存在與旋量場(chǎng)的耦合,撓率場(chǎng)對(duì)Dirac 費(fèi)米子與Majorana 費(fèi)米子散射效應(yīng)的差異來(lái)自矢量撓率[10].可以將對(duì)撓率按洛倫茲變換性質(zhì)進(jìn)行的分解推廣到無(wú)撓的自旋聯(lián)絡(luò)上,與撓率類似Levi-Civita 聯(lián)絡(luò)分解為三部分,與旋量場(chǎng)發(fā)生耦合的是類似矢量撓率和軸矢量撓率的兩部分.本文在一般引力場(chǎng)的度規(guī)描述框架中,分別計(jì)算了Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子對(duì)Levi-Civita 聯(lián)絡(luò)中分解出的類似矢量撓率和軸矢量撓率的兩部分的散射振幅,發(fā)現(xiàn)由于Majorana費(fèi)米子的電荷共軛對(duì)稱性,自旋聯(lián)絡(luò)的其中一部分對(duì)Majorana 費(fèi)米子的散射振幅沒(méi)有貢獻(xiàn),而對(duì)Dirac 費(fèi)米子的散射振幅有貢獻(xiàn).將這個(gè)結(jié)果應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)引力源產(chǎn)生的克爾(Kerr)度規(guī)場(chǎng)中,發(fā)現(xiàn)Kerr 時(shí)空對(duì)Majorana 費(fèi)米子和Dirac 費(fèi)米子的散射振幅不同,尤其是自旋翻轉(zhuǎn)散射矩陣元不同,不同的散射振幅有不同的散射截面,這個(gè)結(jié)果與絕對(duì)平行引力框架中,Kerr 撓率場(chǎng)對(duì)Majorana 費(fèi)米子和Dirac 費(fèi)米子散射的差別預(yù)期是相互印證的.并且當(dāng)引力源的角動(dòng)量為零,Kerr 時(shí)空退化為Schwarzschild 時(shí)空,其對(duì)Majorana 費(fèi)米子和Dirac費(fèi)米子的散射差異也消失,印證Schwarzschild 時(shí)空散射不能區(qū)分中微子的費(fèi)米子類型的結(jié)論[10].

2 Schwarzschild 度規(guī)的時(shí)空對(duì)費(fèi)米子的散射

Lai 和Xue[10]用二次量子化的框架研究了自由Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子在漸近平直Schwarzschild 時(shí)空中的量子散射.在彎曲時(shí)空背景中,費(fèi)米子拉格朗日密度L為

其中m為粒子的質(zhì)量;ψ是旋量粒子的二次量子化形式,Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子的二次量子化形式并不相同,其具體形式會(huì)在后文給出;=ψ?γ0;

γa為伽馬矩陣;eaμ為局域4 標(biāo)架場(chǎng),它在時(shí)空中的每一點(diǎn)將時(shí)空坐標(biāo)和局域自由降落坐標(biāo)系聯(lián)系起來(lái).本文中希臘字母上下標(biāo)表示時(shí)空指標(biāo),如μ,ν等,其取值為0,1,2,3,上下標(biāo)可以使用時(shí)空度規(guī)gμν進(jìn)行升降,例如γμ=gμνγν;本文中拉丁字母上下標(biāo)表示局域自由降落坐標(biāo)系的指標(biāo),如a,b等,其取值為0,1,2,3,上下標(biāo)使用局域自由降落坐標(biāo)系的度規(guī),即閔氏度規(guī)ηab=diag(+1,-1,-1,-1)進(jìn)行升降,例如γa=ηabγb.另外本文采用愛(ài)因斯坦求和約定,即相同的上下標(biāo)表求和并略去求和符號(hào),例如γa=ηabγb=ηa0γ0+ηa1γ1+ηa2γ2+ηa3γ3;

Aabμ為洛倫茲聯(lián)絡(luò),Sab為洛倫茲生成元的旋量表示,

在Riemann-Cartan 空間中,

在一階近似下

其中g(shù)是度規(guī)的行列式.4 標(biāo)架場(chǎng)可取為

記初態(tài) |i〉 的粒子動(dòng)量為pi,自旋為si;末態(tài) |f〉 的粒子動(dòng)量為qf,自旋為mf,|i〉→|f〉 的躍遷振幅為

這里,S為散射矩陣,HI是相互作用哈密頓量,T表示編時(shí)乘積.

對(duì)于無(wú)撓率的黎曼時(shí)空,使用Dirac 場(chǎng)算符的二次量子化形式

其中,ap,s和分別是粒子的湮滅算符和反粒子的產(chǎn)生算符;us(p)和vs(p)分別為Dirac 方程平面波正能解和負(fù)能解中的四分量旋量.通過(guò)Majorana 費(fèi)米子場(chǎng)算符的二次量子化形式:

可以分別得到在引力場(chǎng)中的散射振幅最低階:

對(duì)Schwarzschild 引力場(chǎng),取空間各向同性廣義坐標(biāo),度規(guī)形式為

其中,G為引力常量,M為引力源質(zhì)量,t為坐標(biāo)時(shí)間,r為原點(diǎn)到某點(diǎn)的徑向坐標(biāo).取弱場(chǎng)一階近似

其中φ(r)=-GM/r.對(duì)Dirac 和Majorana 粒子皆有

對(duì)具有Schwarzschild 度規(guī)的Riemann-Cartan 時(shí)空,時(shí)空對(duì)Dirac 費(fèi)米子的散射振幅為

矢量撓率部分不會(huì)出現(xiàn)在Majorana 費(fèi)米子的散射振幅中,只有軸矢撓率部分會(huì)對(duì)Majorana 費(fèi)米子散射振幅有貢獻(xiàn)[10].

3 Kerr 引力場(chǎng)對(duì)費(fèi)米子的散射

3.1 一般引力場(chǎng)中的費(fèi)米子散射

文獻(xiàn)[10]中對(duì)于撓率的分析采用了撓率對(duì)洛倫茲群不可約表示的分解,將撓率分解為矢量部分和軸矢部分,由于Majorana 旋量的電荷共軛性質(zhì),導(dǎo)致?lián)下实氖噶坎糠衷谏⑸湔穹袥](méi)有貢獻(xiàn).我們發(fā)現(xiàn)如對(duì)無(wú)撓的自旋聯(lián)絡(luò)進(jìn)行類似的分解,則Majorana 費(fèi)米子和Dirac 費(fèi)米子在無(wú)撓引力中的散射振幅的形式也會(huì)有區(qū)別.

采用4 標(biāo)架場(chǎng),在弱引力背景中,對(duì)費(fèi)米子

其中Sbc是旋量表示下的洛倫茲生成元,

naμ是平直時(shí)空的標(biāo)架,取笛卡爾坐標(biāo)時(shí)標(biāo)架可取為δaμ,使得

從(21)式中可以分離出相互作用的部分:

Aabc為L(zhǎng)evi-Civita 聯(lián)絡(luò)

其中,fcab是標(biāo)架矢量ea=eaμ?μ的結(jié)構(gòu)系數(shù),滿足

使用(26)式,作用量中的聯(lián)絡(luò)部分可以寫為

因此,作用量的相互作用部分可以寫為

其中,

借助Dirac 場(chǎng)算符的自由粒子展開(kāi)

Majorana 場(chǎng)算符的自由粒子展開(kāi)

以及初末態(tài)的歸一化

得到Dirac 費(fèi)米子的微擾論最低階散射振幅為

而Majorana 費(fèi)米子的微擾論最低階散射振幅為

把其代入Majorana 費(fèi)米子的散射矩陣(35)式可得

對(duì)比兩種費(fèi)米子的散射振幅可以得到

顯然,一般度規(guī)場(chǎng)對(duì)Dirac 粒子和Majorana 粒子的散射振幅是有差別的,這個(gè)差別在于某些特殊的度規(guī)給不出非零的結(jié)果,例如在文獻(xiàn)[10]中的Schwarzschild 度規(guī)場(chǎng)情形,但一般而言可以期望對(duì)稱性較低的度規(guī)場(chǎng)對(duì)于Dirac 粒子和Majorana粒子的散射是不同的;并且由(38)式,這種散射行為的差別是自旋極化依賴的,尤其是Dirac 粒子和Majorana 粒子自旋翻轉(zhuǎn)散射矩陣元的一般形式完全不同,可以據(jù)此計(jì)算其在具體度規(guī)場(chǎng)中的空間依賴形式的差別,作為引力場(chǎng)散射鑒別費(fèi)米子類型的依據(jù).

3.2 Kerr 時(shí)空對(duì)兩種費(fèi)米子的散射振幅

Kerr 度規(guī)是由帶角動(dòng)量的旋轉(zhuǎn)引力源產(chǎn)生的引力場(chǎng)度規(guī),在宇宙空間較具普適性,小到天體、大至星系,星系團(tuán)等其遠(yuǎn)離源處的時(shí)空都可以近似用Kerr 度規(guī)描述.具體討論Kerr 度規(guī)的時(shí)空對(duì)Majorana 費(fèi)米子和Dirac 費(fèi)米子的散射振幅對(duì)于用引力散射鑒別費(fèi)米子類型的研究具有特別的意義.

取具有軸對(duì)稱的廣義坐標(biāo),Kerr 度規(guī)可寫成

其中,

其中,a=J/M,J是引力源的自轉(zhuǎn)角動(dòng)量.這里定義

相應(yīng)的Kerr 漸近閔氏4 標(biāo)架場(chǎng)為

其逆矩陣為

這里定義

以及簡(jiǎn)略記號(hào)

在r很大的遠(yuǎn)場(chǎng)情況,度規(guī)(39)式可近似為

將4 標(biāo)架場(chǎng)遠(yuǎn)場(chǎng)近似形式代入Dirac 費(fèi)米子的散射振幅(34)式和(37)式中,第一項(xiàng)為

化簡(jiǎn)得

對(duì)(55)式進(jìn)行積分可得

其中,k=qf-pi.對(duì)(56)式第一項(xiàng)分部積分,由散射前后能量守恒,k0=0,得到

這里利用了平面波旋量波函數(shù)滿足的方程:

因此

散射矩陣的第二項(xiàng)為

對(duì)(60)式積分可得

散射矩陣第三項(xiàng)積分為

其空間積分可以分解為

而Majorana 費(fèi)米子的散射振幅為

由此得到Kerr 度規(guī)的引力場(chǎng)對(duì)Dirac 費(fèi)米子與對(duì)Majorana 費(fèi)米子的散射振幅差別

顯然Kerr 引力源的角動(dòng)量a=0 時(shí),Kerr 度規(guī)退化為Schwarzschild 度規(guī),對(duì)費(fèi)米子的散射振幅也會(huì)退化到Schwarzschild 度規(guī)對(duì)費(fèi)米子的散射振幅,MD-M退化為0.a0 時(shí),非零的MD-M既給出Kerr 度規(guī)場(chǎng)對(duì)Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子的自旋翻轉(zhuǎn)散射概率的不同,又給出對(duì)不同費(fèi)米子類型粒子的不同散射截面.無(wú)論是極化還是非極化,這個(gè)差別為|MD-M|2～(GMa)4,因而高GMa天體諸如脈沖星和旋轉(zhuǎn)黑洞對(duì)中微子的散射有望用來(lái)確定中微子的費(fèi)米子類型.

4 總結(jié)和展望

Lai 和Xue[10]從撓率散射的角度分析發(fā)現(xiàn)了引力場(chǎng)對(duì)不同費(fèi)米子類型的費(fèi)米子散射差別在于引力場(chǎng)的矢量撓率,軸矢撓率對(duì)Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子的散射矩陣元相同.在絕對(duì)平行引力這種引力的撓率等效描述框架中,度規(guī)給出的引力場(chǎng)有相應(yīng)的等效撓率,所以矢量撓率給出的不同費(fèi)米子類型費(fèi)米子的散射差別也可從相應(yīng)的度規(guī)場(chǎng)散射給出,Kerr 度規(guī)引力場(chǎng)相應(yīng)的撓率具有非零的矢量、軸矢和純張量部分.我們對(duì)于Kerr度規(guī)場(chǎng)的結(jié)果是對(duì)文獻(xiàn)[10]中矢量撓率散射結(jié)果的印證.但是度規(guī)場(chǎng)引力的撓率等效描述與廣義相對(duì)論的等價(jià)性事實(shí)上是建立在標(biāo)量粒子度規(guī)作用和撓率作用的等價(jià)性上的,撓率與旋量的耦合的引入雖然保證了與旋量耦合的事實(shí)上是Levi-Civita聯(lián)絡(luò),然而撓率與旋量還會(huì)產(chǎn)生直接作用,對(duì)于旋量,絕對(duì)平行引力與度規(guī)引力場(chǎng)的等價(jià)性還需要研究,因而度規(guī)場(chǎng)對(duì)費(fèi)米子類型的分辨與撓率場(chǎng)對(duì)費(fèi)米子類型的分辨是否一致需要進(jìn)一步研究.

無(wú)論是本文中的Kerr 引力場(chǎng)散射還是文獻(xiàn)[10]中的撓率散射,都是微擾論最低價(jià)的結(jié)果.微擾論一階和高階結(jié)果需要進(jìn)一步研究,對(duì)于微擾論一階以上的量子散射,由于散射矩陣元的Wick 收縮對(duì)Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子有不同的收縮結(jié)構(gòu),即使對(duì)于微擾論最低階不能分辨費(fèi)米子類型的引力場(chǎng),在微擾論高階上是否有費(fèi)米子類型的依賴依然需要研究.另外本文和文獻(xiàn)[10]對(duì)全時(shí)空積分都用了弱引力近似,在后繼研究中將就強(qiáng)引力時(shí)空區(qū)域的積分貢獻(xiàn)進(jìn)行討論.

本文確認(rèn)了Kerr 度規(guī)引力場(chǎng)散射對(duì)費(fèi)米子類型的分辨作用,為確定對(duì)費(fèi)米子類型分辨起作用的其他引力場(chǎng)參數(shù),可以考慮具有更加復(fù)雜對(duì)稱性的引力場(chǎng)對(duì)費(fèi)米子的散射.本文證明Kerr 度規(guī)背景下Dirac 費(fèi)米子和Majorana 費(fèi)米子的散射振幅會(huì)有不同,而粒子在引力中的傳播可以看作粒子在傳播過(guò)程中不斷被引力場(chǎng)散射的過(guò)程,散射振幅的不同就會(huì)體現(xiàn)在粒子在引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡上,從而為通過(guò)引力場(chǎng)區(qū)分中微子的費(fèi)米子類型提供了另外一種可能的方法.