王小勝, 劉欣欣, 哈明虎, 李 想

(1.河北工程大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院,河北 邯鄲 056038; 2.北京化工大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院,北京 100029)

0 引言

為解決我國水問題，水利部綜合事業(yè)局于2014年提出合同節(jié)水管理(water-savingmanagement contract，簡稱WSMC)[1]，其實質(zhì)是用節(jié)約的水費支付項目改造成本，運作過程如圖1所示。具有節(jié)水潛力的用戶與節(jié)水服務(wù)公司簽訂改造合同后，節(jié)水服務(wù)公司對項目進行節(jié)水改造，采取的措施包括更換漏損管網(wǎng)、安裝節(jié)水器具、在線監(jiān)測系統(tǒng)故障等。改造完成項目投入使用，開始產(chǎn)生節(jié)水收益。合同期內(nèi)，節(jié)水服務(wù)公司責(zé)項目的修復(fù)與保養(yǎng)，雙方共享節(jié)水收益。合同期滿后，節(jié)水服務(wù)公司將項目所有權(quán)移交用戶，用戶負責(zé)項目運營并獨享全部節(jié)水收益直至節(jié)水設(shè)備不滿足經(jīng)濟合理性。

圖1 WSMC項目實施流程

2016～2020年，我國重點領(lǐng)域的節(jié)水潛力至少為400億m3；2020年，WSMC項目產(chǎn)生的直接經(jīng)濟效益將超160億元[2]。由于WSMC尚處于政策引領(lǐng)的市場培育階段，其實施和推廣面臨諸多困難，如節(jié)水量監(jiān)測體系不完備，激勵機制不健全，融資渠道單一，缺乏節(jié)水收益分配機制等[3,4]。完善的分配機制是開展WSMC的前提。因此，本文關(guān)注WSMC中的收益分配問題。

WSMC合作模式主要分為節(jié)水效益分享型、節(jié)水效果保證型和固定投資回報型[5]。針對節(jié)水效益分享型的研究包括分析試點現(xiàn)狀[6]和建立收益分配模型[7,8]；針對節(jié)水效果保證型，張素佳等[9]對其適用范圍進行探討；針對固定投資回報型，水利部通過案例分析發(fā)現(xiàn)該模式能夠使某球場年降低地下水開采量45萬m3，年節(jié)水量達20萬m3[10]。固定投資回報模式產(chǎn)生的節(jié)水收益優(yōu)先償還投資，其次根據(jù)節(jié)水效果對節(jié)水服務(wù)公司進行支付的激勵特征能夠有效降低節(jié)水服務(wù)公司的投資風(fēng)險，提高節(jié)水服務(wù)公司的參與積極性，適用于節(jié)水收益顯性化、存在較大不確定性的項目[5]。目前尚無學(xué)者對該模式下的收益分配機制進行探索。

節(jié)水服務(wù)公司的努力程度直接影響節(jié)水收益，如節(jié)水服務(wù)公司通過優(yōu)化施工方案降低成本或者通過提高節(jié)水技術(shù)水平增加節(jié)水量。這些努力程度用戶無法觀測，只能通過檢測機構(gòu)觀測到努力的結(jié)果，如項目投資成本、節(jié)水量等，這些信息由節(jié)水服務(wù)公司的努力程度和其它隨機因素共同決定，節(jié)水服務(wù)公司為了自身利益可能采取機會主義行為因此，用戶采用固定投資回報模式實施WSMC時普遍困惑于兩個問題：選取哪些因素激勵節(jié)水服務(wù)公司有效增加節(jié)水收益？如何利用可觀測信息設(shè)計激勵機制降低節(jié)水服務(wù)公司機會主義行為，實現(xiàn)用戶與節(jié)水服務(wù)公司的雙贏？

鑒于WSMC這一理念于2014年首次提出，關(guān)于激勵因素選取和激勵機制設(shè)計的研究主要借鑒其它領(lǐng)域激勵因素選取方面，部分學(xué)者分別以項目成本[11]、工期[12]和質(zhì)量[13]作為激勵因素，研究了工程項目管理領(lǐng)域下的激勵問題。隨后學(xué)術(shù)界對單因素激勵模型進行擴展，探究多激勵因素對最優(yōu)合同設(shè)計的影響。施建剛等[14]建立了工期-質(zhì)量均衡模型。陳永強等[15]基于Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)分析了成本、工期和質(zhì)量對項目產(chǎn)出的影響。上述激勵因素僅適用于施工階段，而WSMC不僅涉及施工過程還涉及運營維護過程。WSMC的收益主要來源于兩方面：節(jié)水改造階段成本節(jié)約對收益的貢獻；運營維護階段產(chǎn)生的節(jié)水量帶來的收益。因此，本文在WSMC質(zhì)量達標的前提下，選取改造成本和節(jié)水量作為激勵因素，探討信息不對稱條件下用戶對節(jié)水服務(wù)公司的激勵問題。

激勵機制設(shè)計方面主要參考銷售領(lǐng)域和公司治理領(lǐng)域。Kvaloy等[16]分析了績效指標和團隊規(guī)模對激勵方案的影響。張文杰等[17]建立了用能方對節(jié)能服務(wù)公司的激勵模型。Chu等[18]考慮需求審查的影響，研究了公司與銷售代理之間的激勵機制設(shè)計問題。Yang等[19]設(shè)計了一個由三部分組成的“線性-二次-線性”結(jié)構(gòu)的激勵合同組合。上述模型中項目產(chǎn)出僅取決于代理人的努力程度和一個服從正態(tài)分布的外界隨機干擾。實際上，付出相同努力的節(jié)水服務(wù)公司由于節(jié)水能力、融資能力以及項目規(guī)模的差異，節(jié)水量明顯不同。此外，多數(shù)激勵契約只關(guān)心項目產(chǎn)出而忽略了其他關(guān)鍵因素的效用。

本文在用戶無法觀測節(jié)水服務(wù)公司行動的條件下，選取改造成本和節(jié)水量作為激勵因素，設(shè)計了固定投資回報型WSMC的最優(yōu)激勵機制，尋找最優(yōu)收益分享比例。

1 問題描述及模型假設(shè)

固定投資回報模式下，節(jié)水服務(wù)公司負責(zé)項目融資，參與方事先約定最大改造成本與最低節(jié)水量，收益分配過程如圖2所示。

圖2 固定投資回報型WSMC項目收益分配過程

由圖2可知，節(jié)水收益與實際改造成本和節(jié)水量密切相關(guān)。WSMC中存在專門的檢測機構(gòu)對改造成本和節(jié)水量進行確認，這兩個指標對于雙方來說是對稱信息。然而用戶無法觀測節(jié)水服務(wù)公司的努力程度，因此，如何激勵節(jié)水服務(wù)公司努力工作以增加節(jié)水收益是本文需要解決的關(guān)鍵問題。用戶有必要額外支付節(jié)水服務(wù)公司一固定酬金以提高其參與積極性。

本文在委托-代理框架下研究用戶與節(jié)水服務(wù)公司的收益分配機制，用戶為委托人，節(jié)水服務(wù)公司為代理人?；炯僭O(shè)如下：

假設(shè)1節(jié)水服務(wù)公司降低成本C(ac,aq)、增加節(jié)水量需要付出代價，對應(yīng)的努力代價可貨幣化為努力成本。改造期的努力程度不影響運營期的努力程度，因此兩階段的努力成本相互獨立[20]，有：

(1)

其中m>0,n>0，分別表示節(jié)水服務(wù)公司在改造成本和節(jié)水量上的努力成本系數(shù)，ac≥0，aq≥0，分別表示節(jié)水服務(wù)公司在改造成本和節(jié)水量上的努力水平。顯然，C(ac,aq)是嚴格遞增的凸函數(shù)。

假設(shè)2用戶風(fēng)險中性，節(jié)水服務(wù)公司風(fēng)險規(guī)避，采用負指數(shù)函數(shù)衡量節(jié)水服務(wù)公司的效用:

其中ρ>0，表示節(jié)水服務(wù)公司的絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)，w2為節(jié)水服務(wù)公司的凈收入。

2 WSMC收益分配模型

2.1 模型構(gòu)建

選取改造成本和節(jié)水量作為激勵因素，設(shè)計用戶對節(jié)水服務(wù)公司的支付合同:

S=C+f1+β1(Cf-C)+β2P(Q-Q0)

(2)

其中S為用戶對節(jié)水服務(wù)公司的支付，C為實際改造成本，f1為節(jié)水服務(wù)公司的固定酬金，這里假設(shè)用戶選擇提交利潤費最低(記為f1)的節(jié)水服務(wù)公司作為中標商，cf表示事先約定的節(jié)水服務(wù)公司不能超過的最大改造成本，Q0表示事先約定的節(jié)水服務(wù)公司需要達到的最低節(jié)水量，Q為合同期產(chǎn)生的節(jié)水量，P為水資源價格，β1與β2分別為節(jié)水服務(wù)公司的改造成本分享比例和節(jié)水量分享比例，且0≤β1,β2≤1。

根據(jù)McAfee等[21]對項目成本的定義可知，項目成本由項目預(yù)算、代理人努力程度和外界不確定因素共同決定。因此，WSMC項目的改造成本為:

C=Cf-ac+∈c

項目的產(chǎn)出受到投資規(guī)模、代理人綜合能力、努力水平和外界不確定性的影響[22]，構(gòu)造節(jié)水量的產(chǎn)出函數(shù):

記w1為用戶的隨機凈收益，等于節(jié)水收益與用戶對節(jié)水服務(wù)公司支付的差額，即:

w1=PQ-S

=(1-β1)(ac-∈c)+

由假設(shè)2可知，用戶的期望效用等于期望凈收益。用戶的期望效用為E[V]:

記w2為節(jié)水服務(wù)公司的隨機凈收益，則：

w2=S-C-C(ac,aq)

此外，用戶還面臨著來自節(jié)水服務(wù)公司的參與約束，即節(jié)水服務(wù)公司參與WSMC獲得的期望效用不少于投資同等規(guī)模的其它節(jié)水項目獲得的收益，表述如下:

綜上，固定投資回報型WSMC項目中的收益分配問題就是用戶選擇滿足節(jié)水服務(wù)公司參與約束和激勵相容約束的分享比例以最大化自身的期望效用。即:

(3)

(4)

(5)

2.2 模型求解

采用逆推法求解上述模型。首先，最大化節(jié)水服務(wù)公司的期望效用得到節(jié)水服務(wù)公司的最優(yōu)努力水平；其次，將得到的最優(yōu)努力水平作為給定條件求解用戶期望效用最大化時的最優(yōu)分享比例(β1,β2)。求解過程如下:

就式(5)分別對ac,aq求偏導(dǎo)，并令其為0有:

(6)

為了最大化目標函數(shù)中用戶的期望效用，節(jié)水服務(wù)公司的參與約束只能取等號。將式(6)結(jié)果帶入目標函數(shù)式(3)有:

(7)

就式(7)分別對β1,β2求偏導(dǎo)，并令其為0有:

(8)

式(8)中節(jié)水服務(wù)公司的分享比例是均衡狀態(tài)下的最優(yōu)分享比例。

節(jié)水服務(wù)公司為降低改造成本，增加節(jié)水量付出的最優(yōu)努力水平為:

(9)

將式(8)、式(9)帶入式(3)，得到用戶的最優(yōu)期望效用E[V]*:

(10)

考慮無激勵條件下用戶的期望效用：當(dāng)用戶不采取激勵行為時，β1=β2=0，則ac=aq=0，此時E[C]=Cf,E[Q]=Q0。節(jié)水服務(wù)公司的最優(yōu)策略是達到WSMC設(shè)置的成本與節(jié)水量的最低標準，在降低改造成本和增加節(jié)水量上不會付出額外努力。此時，節(jié)水服務(wù)公司只能得到固定酬金f1。記無激勵條件下用戶的期望效用為E[VN]，則

E[VN]=PQ0-Cf-f1

(11)

用戶采取激勵措施與不采取激勵措施獲得的期望效用差額ΔE[V]為:

ΔE[V]=E[V]*-ΔE[VN]

用戶對節(jié)水服務(wù)公司的激勵成本不會大于節(jié)水服務(wù)公司控制改造成本、增加節(jié)水量帶來的收益。即用戶的最大激勵費用不會高于ΔE[V]。因此，用戶對節(jié)水服務(wù)公司的最大激勵成本Imax為:

(12)

3 均衡結(jié)果分析

3.1 分享比例(β1,β2)分析

不同節(jié)水服務(wù)公司對降低改造成本和增加節(jié)水量的認知存在顯著差異，相比于成熟的節(jié)水服務(wù)公司，新成立的節(jié)水服務(wù)公司缺乏經(jīng)驗，不能有效地防范WSMC風(fēng)險，往往具有較高的風(fēng)險規(guī)避程度，他們對于承擔(dān)風(fēng)險是抗拒的。而成熟的節(jié)水服務(wù)公司為了降低成本、增加節(jié)水量更愿意主動承擔(dān)項目風(fēng)險。因此，風(fēng)險規(guī)避程度高的節(jié)水服務(wù)公司獲得的分享比例小于挑戰(zhàn)型節(jié)水服務(wù)公司。

不同的節(jié)水服務(wù)公司對努力成本的控制能力不同。對于那些具有較弱努力成本控制能力的節(jié)水服務(wù)公司而言，達到同樣的努力水平花費的成本較高，降低了節(jié)水服務(wù)公司努力工作的積極性，因此獲得的分享比例下降；此外，當(dāng)努力成本增大時，為誘使節(jié)水服務(wù)公司選擇相同的努力水平必須增大分享比例，用戶寧愿節(jié)水服務(wù)公司選取較低的努力水平從而換取激勵成本的節(jié)約。

當(dāng)項目的不確定性越高時，用戶無法判定項目成本節(jié)約與節(jié)水量的增加是由于節(jié)水服務(wù)公司的努力還是隨機干擾項的影響，導(dǎo)致用戶與節(jié)水服務(wù)公司信息不對稱的程度增加。由于節(jié)水服務(wù)公司是風(fēng)險規(guī)避的，當(dāng)WSMC項目的不確定性較高時，增加節(jié)水服務(wù)公司的分享比例并不能提高節(jié)水服務(wù)公司努力工作的積極性。

節(jié)水服務(wù)公司的綜合能力越強，在增加節(jié)水量上做出的努力更容易轉(zhuǎn)化為節(jié)水收益，相應(yīng)地，在節(jié)水量上付出的努力將會更大，因此節(jié)水量的最優(yōu)分享比例上升。

3.2 努力程度(ac,aq)分析

節(jié)水服務(wù)公司越是風(fēng)險規(guī)避、其努力成本系數(shù)越大、項目不確定性越高，節(jié)水服務(wù)公司降低成本與增加節(jié)水量的努力越小。較高的綜合能力更容易將節(jié)水服務(wù)公司的努力轉(zhuǎn)化為節(jié)水量，節(jié)水服務(wù)公司作為理性經(jīng)濟人，會采取提高節(jié)水量努力程度的策略。

隨著WSMC項目規(guī)模的增加，節(jié)水服務(wù)公司成本與節(jié)水量的相對最優(yōu)努力水平逐漸減小。當(dāng)項目規(guī)模非常大時(Cf→+∞)，成本與節(jié)水量的相對最優(yōu)努力水平趨近于0，節(jié)水服務(wù)公司對節(jié)水項目運營維護階段付出的努力aq遠遠大于對改造階段投入的努力ac，這表明節(jié)水服務(wù)公司非?？春霉?jié)水量增加帶來的收入，相對而言，項目改造階段成本節(jié)約帶來的收入并沒有那么重要。

3.3 用戶期望效用分析

節(jié)水服務(wù)公司的綜合能力越高，其節(jié)水量分享比例β2越大，節(jié)水服務(wù)公司越容易產(chǎn)生增加節(jié)水量的動力，這種情景下用戶的最優(yōu)期望效用增加。由式(9)可知，節(jié)水服務(wù)公司努力對自身的代價影響越大，對WSMC項目的努力就越小，產(chǎn)生的節(jié)水收益越少，相應(yīng)地，用戶獲得的節(jié)水收益也就越少。

3.4 最大激勵成本Imax分析

節(jié)水服務(wù)公司綜合能力越強，用戶獲得的期望效用越大，因而用戶有條件從增加的節(jié)水收益中拿出更多用于獎勵節(jié)水服務(wù)公司。而當(dāng)節(jié)水服務(wù)公司的努力代價越大時，由定理1可知，用戶對節(jié)水服務(wù)公司激勵系數(shù)越小，從而用戶的激勵成本越低。

4 算例分析

4.1 算例背景

以北京某高爾夫球場進行算例分析。該項目采用固定投資回報模式，中標商為HF節(jié)水服務(wù)公司，改造投資預(yù)計1200萬元，合同有效期為5年，合同期內(nèi)預(yù)計節(jié)水100萬m3。按照北京特殊行業(yè)用水水價160元/m3計算，該高爾夫球場每年約節(jié)約水費3200萬元。第三方監(jiān)測機構(gòu)通過測算得出HF節(jié)水服務(wù)公司對改造成本的努力水平系數(shù)為1，對節(jié)水量的努力成本系數(shù)為2，綜合能力為2。

4.2 模型應(yīng)用

本節(jié)通過數(shù)值算例研究風(fēng)險規(guī)避程度對分享比例的影響，并對項目的不確定性進行靈敏度分析。各參數(shù)賦值情況如表1所示。

表1 參數(shù)取值

圖3 風(fēng)險規(guī)避程度對最優(yōu)分配比例的影響

HF節(jié)水服務(wù)公司的最優(yōu)分享比例隨著風(fēng)險規(guī)避程度的增加而減少。此外，最優(yōu)節(jié)水量分享比例總高于最優(yōu)成本分享比例，這是因為在當(dāng)前條件下，HF節(jié)水服務(wù)公司對增加節(jié)水量所做的努力恒大于對降低成本所做的努力。當(dāng)WSMC項目達到成熟期后，HF節(jié)水服務(wù)公司能夠很好地防范項目風(fēng)險，大大增強了其風(fēng)險承受能力，屆時其風(fēng)險規(guī)避程度將會非常低，節(jié)水服務(wù)公司幾乎獨享全部的成本節(jié)約與超額收益。

取ρ=0.5，利用Python 3.8.2繪制HF節(jié)水服務(wù)公司成本與節(jié)水量努力水平比重隨成本與節(jié)水量不確定性的變化規(guī)律，如圖4所示。

圖4 項目不確定性對最優(yōu)努力水平比重的影響

由于HF節(jié)水服務(wù)公司規(guī)避風(fēng)險，當(dāng)突發(fā)事件導(dǎo)致改造成本的不確定性增加時，節(jié)水服務(wù)公司對項目改造階段的信心減弱。為了最大化期望效用，節(jié)水服務(wù)公司只好增加運營維護階段的努力。因此當(dāng)成本不確定性增加時，節(jié)水服務(wù)公司在項目改造階段投入的努力相對于運營維護階段逐漸降低。同理，當(dāng)運營維護階段的不確定性增加時，節(jié)水服務(wù)公司在項目改造階段投入的努力相對于運營維護階段逐漸增加。值得注意的是，雖然隨著節(jié)水量不確定性的增加節(jié)水服務(wù)公司對成本相對于節(jié)水量的努力程度不斷增加，但是成本的努力水平遠遠低于節(jié)水量的努力水平，這與該高爾夫球場改造周期短而運營周期長的項目特點有關(guān)。

綜上，風(fēng)險規(guī)避對節(jié)水服務(wù)公司是不利的，風(fēng)險規(guī)避程度越高自身的最優(yōu)分享比例越低；此外，項目的不確定性會削弱節(jié)水服務(wù)公司努力工作的積極性。

5 結(jié)束語

本文首次探索了固定投資回報型模式下的收益分配機制，在委托-代理模型的框架下建立用戶與節(jié)水服務(wù)公司的收益分配模型。結(jié)果表明，節(jié)水服務(wù)公司的最優(yōu)分享比例取決于兩方面的因素。一方面來源于節(jié)水服務(wù)公司本身，即節(jié)水服務(wù)公司的風(fēng)險規(guī)避程度、努力成本系數(shù)和綜合能力。節(jié)水服務(wù)公司的風(fēng)險規(guī)避程度越高，努力成本系數(shù)越大，對應(yīng)的最優(yōu)成本分享比例與最優(yōu)節(jié)水量分享比例越少；節(jié)水服務(wù)公司的綜合能力越強，對應(yīng)的最優(yōu)節(jié)水量分享比例越高。另一方面來源于外部環(huán)境，即WSMC項目的不確定性。WSMC項目的不確定性越高，節(jié)水服務(wù)公司的最優(yōu)分享比例越低。

需要說明的是，本文假設(shè)合同簽訂前用戶與節(jié)水服務(wù)公司對項目改造成本目標與節(jié)水量目標已達成共識，如何確定項目的改造成本和節(jié)水量標準是未來研究中需要解決的關(guān)鍵問題。