陸 震, 張 杰, 丁玉潔, 魯習(xí)文

(1.中國船舶重工集團公司第七〇四研究所,上海 200031; 2.華東理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200237)

0 引言

鐵磁性設(shè)備空間磁場預(yù)測是通過在設(shè)備周圍安裝一定數(shù)量的傳感器測量近場磁場，根據(jù)測得的磁場信息對遠場磁場進行計算預(yù)測，所以合理布置傳感器的位置和數(shù)量是提高遠場磁場計算精度的基礎(chǔ)[1]。在實際環(huán)境中，磁傳感器可布置的位置一般距大型鐵磁設(shè)備較近，這會導(dǎo)致有關(guān)計算遠場磁場的系數(shù)矩陣的條件數(shù)急劇增大，產(chǎn)生病態(tài)方程組[2]，從而導(dǎo)致遠場磁場的計算結(jié)果不可靠。目前，國內(nèi)外對設(shè)備磁場測量的主要工作之一是針對傳感器位置和傳感器數(shù)量的優(yōu)化。

Guerin等[3]提出了三種用于薄鋼板的傳感器位置優(yōu)化方法：信號優(yōu)化方法、固體角優(yōu)化方法和條件數(shù)優(yōu)化方法。他們以四個傳感器為例進行計算比較，得到結(jié)論：信號優(yōu)化算法比另外兩種優(yōu)化算法推算精度更高, 但缺點是計算時間長,且傳感器位置隨著薄鋼板的磁化狀態(tài)而變化。Mack和Wingo[4]提到低磁艦船中傳感器應(yīng)分布在鐵磁性設(shè)備周圍，但是他們沒有給出傳感器的布陣規(guī)則。連麗婷等[5]以鐵磁性設(shè)備為研究對象，提出一種基于微粒群算法對傳感器的位置分布進行優(yōu)化的方法，但是這種方法針對的是形狀規(guī)則的設(shè)備提出的優(yōu)化方案，并且需要知道設(shè)備磁場的極值點作為固定測量點，而設(shè)備的磁場極值點會隨著磁化的狀態(tài)而改變，并不固定，當(dāng)設(shè)備磁場改變或使用時間太長時，需要重新計算極值點。本文在上述文獻的基礎(chǔ)上，以旋轉(zhuǎn)橢球體模型擬合推算鐵磁性設(shè)備的磁場，建立了關(guān)于傳感器位置和數(shù)量優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，通過遺傳算法求解該模型，從而對設(shè)備周圍傳感器的布陣位置及數(shù)量進行優(yōu)化。最后通過實驗數(shù)值計算，說明這種方法得到的傳感器位置分布是有效的，并且對于兩個甚至多個設(shè)備的傳感器位置優(yōu)化同樣適用。與其他優(yōu)化方法相比，本文以和實際設(shè)備結(jié)構(gòu)、形狀相似的電機為研究對象，優(yōu)化模型得到的傳感器數(shù)量較少，傳感器的位置相對于設(shè)備是固定的，不隨磁化狀態(tài)的變化而改變，并且通過實驗說明了該優(yōu)化模型可以推廣到多個設(shè)備。

1 傳感器布陣優(yōu)化模型及求解

1.1 傳感器布陣優(yōu)化模型

旋轉(zhuǎn)橢球體模型將設(shè)備視為一個均勻磁化的旋轉(zhuǎn)橢球體，相比于磁偶極子模型，它對于近場傳感器的距離要求較低，同時考慮了設(shè)備形狀，模型推算精度較高。并且，單橢球體模型只有個磁矩，模型換算精度對測量數(shù)據(jù)信息量的要求相對較小[6]。所以，對于實際當(dāng)中磁傳感器可安裝位置和數(shù)量存在限制的問題，在本文中用旋轉(zhuǎn)橢球體作為磁場換算模型，對傳感器的位置和數(shù)量進行優(yōu)化，期望得到較為理想的結(jié)果。

建立以設(shè)備的中心為坐標(biāo)原點的直角坐標(biāo)系，軸線方向為方向，垂直于軸線的水平方向為方向，垂直向下的方向為軸正方向，建立的坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 設(shè)備的坐標(biāo)系

對于設(shè)備外任意一點P(x,y,z)，旋轉(zhuǎn)橢球體在該點產(chǎn)生的3個方向的磁場強度Hx、Hy、Hz分別是:

(1)

其中，MX、MY、MZ分別是旋轉(zhuǎn)橢球體沿X軸、Y軸、Z軸的磁矩量，式中各系數(shù)為[7]:

(2)

g是橢球的半焦距，x、y、z是場點相對橢球中心的坐標(biāo)

傳感器位置優(yōu)化問題可以用下式來表示:

min(cond(A))=‖A‖‖A+‖

=f(x1,y1,z1,…,xm,ym,zm)

(3)

這里A+是矩陣A的廣義逆矩陣，f(x1,y1,z1,…,xm,ym,zm)是關(guān)于位置(xi,yi,zi),i=1,2,…,m，的函數(shù)。(xi,yi,zi)位于設(shè)備上方空間內(nèi)，該范圍記為D，這構(gòu)成了優(yōu)化模型的約束條件。

1.2 優(yōu)化模型的求解

在這個優(yōu)化模型中，需要優(yōu)化傳感器的數(shù)量m和傳感器的位置(xi,yi,zi)，i=1,2,…,m。為方便起見，先在給定m的情形下優(yōu)化傳感器的位置，求解傳感器數(shù)量不同時傳感器的位置，然后找到滿足精度要求的最優(yōu)傳感器數(shù)量。

當(dāng)傳感器數(shù)量給定時，對于優(yōu)化模型，本文利用遺傳算法求解傳感器的位置。利用遺傳算法求解這m個傳感器的位置優(yōu)化函數(shù)的基本步驟如下[10]：

Step1在傳感器可行的位置范圍內(nèi)隨機選擇k個個體，進行實數(shù)編碼，構(gòu)成K個個體的種群N。

Step2將產(chǎn)生的每個個體對應(yīng)傳感器位置代入式(2)求出旋轉(zhuǎn)橢球體模型磁場計算系數(shù)矩陣A，從而求出矩陣的條件數(shù)cond(A)。

Step3將系數(shù)矩陣的條件cond(A)作為個體的適應(yīng)值，評價適應(yīng)值的大小。

Step4進行選擇、交叉、變異遺傳操作，得到新的種群N+1。

Step5判斷是否滿足算法的結(jié)束條件，如果滿足，則輸出最小條件數(shù)的傳感器位置坐標(biāo)，計算結(jié)束，否則轉(zhuǎn)Step2。

2 實驗設(shè)計與測量數(shù)據(jù)

2.1 實驗設(shè)計參數(shù)

為了驗證確定傳感器位置和數(shù)量的模型與求解方法的可靠性，我們設(shè)計并進行了如下實驗。

在實驗中選擇一個長l=0.71m，寬w=0.38m，高h=0.505m的電機1作為研究對象，見圖2。 在實際中，傳感器在設(shè)備下方空間的分布存在很多限制，而設(shè)備上方放置傳感器空間相對較大，所以實驗中近場磁場數(shù)據(jù)是在設(shè)備上方測得，根據(jù)上方傳感器陣列測得的近場磁場值求解模型，對傳感器的數(shù)量和位置進行優(yōu)化。

圖2 實驗用電機1

由于實際測量中電機上方空間的限制，在距離電機中心0.7625m的上方，可以布設(shè)五列單軸傳感器，編號1～5，x軸方向間距為5cm，y軸間距為15cm，這就是優(yōu)化模型中變量可行范圍D。同時，為了驗證優(yōu)化模型得到的傳感器位置是有效的，可以通過實驗測得一組檢驗數(shù)據(jù)集：在距離電機中心1.5355m的下方布設(shè)兩列傳感器，編號為6、7，x軸方向間距為5cm，y軸間距為15cm。6、7列傳感器測得的數(shù)據(jù)是遠場磁場垂直方向?qū)崪y值，這兩列磁場測量值作為實測值與優(yōu)化模型中計算得到的遠場磁場值做誤差比較。表1是平面上7列傳感器的位置及間隔。

2.2 測量數(shù)據(jù)與誤差計算

通過實驗中6、7列傳感器，測得電機1下方遠場磁場值如表2所示。

其中Hi(i=1,2,…,n)是遠場磁場計算值,Hri是磁場測量值，Hmax是n個磁場測量值中絕對值最大的值。

表1 電機1傳感器的位置信息(單位:m)

表2 電機1傳感器磁場測量值(單位:m)

3 數(shù)值計算與結(jié)果比較

3.1 單個設(shè)備的傳感器布陣優(yōu)化

根據(jù)上述實驗中的數(shù)據(jù)，本文使用matlab自帶遺傳算法工具箱GADS求解優(yōu)化模型，設(shè)置種群大小PopulationSize=200，最大遺傳代數(shù)Generations=1500。對于單個設(shè)備，計算了不同傳感器數(shù)量時的最優(yōu)傳感器位置，見表3(其中，前三個變量表示位置，第四個變量表示在此點測得的磁場垂直分量Hz)。在傳感器數(shù)量m不同時，遠場磁場垂直分量預(yù)測值與實測值的誤差如表4，誤差趨勢見圖3。

圖3 不同傳感器數(shù)量時的磁場誤差比較

由表4和圖3可以看出，采用單旋轉(zhuǎn)橢球體作為磁場計算模型，當(dāng)傳感器的數(shù)量m大于等于3之后，隨著傳感器數(shù)量m的增加，計算的相對均方誤差和相對最大誤差的變化不超過0.8%； 當(dāng)傳感器的數(shù)量m從3變到2時，第6列的相對均方誤差從6.13%變化到10.98%，第6列的相對最大誤差從12,77%變化到19,77%，第7列的相對均方誤差從5.36%變化到10.14%，第7列的相對最大誤差從11.55%變化到18.87%，誤差的變化較大。這是因為在單旋轉(zhuǎn)橢球體模型中需要求解3個磁矩變量，為了求出磁矩的唯一解至少需要三個方程構(gòu)成方程組，而在實驗中測量的是垂直方向的磁場分量，所以至少需要個傳感器測量的數(shù)據(jù)構(gòu)成方程組。從誤差的角度看，m=3時遠場磁場計算精度較高，雖然傳感器增加時模型計算精度增加，但是增加的幅度較小；另一方面在實際中傳感器的布陣空間有限，為了盡量減少傳感器數(shù)量，本文中選用3個傳感器進行穩(wěn)定性研究。

圖4 電機1磁場計算值與實測值的比較

通過計算，當(dāng)近場傳感器的數(shù)量為3時，遠場磁場計算結(jié)果的相對均方誤差在7%之內(nèi)，相對最大誤差在15%之內(nèi)，說明通過模型和算法計算得到傳感器位置的方法是較為可靠的，并且傳感器數(shù)量較少，計算精度比較高，符合實際生產(chǎn)要求。

根據(jù)數(shù)學(xué)模型和算法得到的3個傳感器的位置，利用單旋轉(zhuǎn)橢球體模型進行磁場換算，得到了第6列和第7列的磁場預(yù)測值，磁場預(yù)測值與實際測量值的對比結(jié)果如圖4。

表3 不同時傳感器的位置坐標(biāo)及測得的相應(yīng)的磁場值(x,y,z,Hz)(x、y、z單位是m,Hz單位是moe)

表4 不同傳感器數(shù)量時的磁場誤差值(%)

4 兩個設(shè)備的傳感器布陣

實際中分布較近的設(shè)備其磁場會相互影響，傳感器若分布位置不當(dāng)，就會導(dǎo)致測量結(jié)果無法準確反應(yīng)多個設(shè)備的磁場特征。上面說明了對于單個設(shè)備，優(yōu)化模型得到的個傳感器位置上測得的磁場數(shù)據(jù)在磁場預(yù)測中具有較高的計算精度，但是對于多個設(shè)備是否同樣具有較高的磁場計算精度，需要進行理論分析與實驗驗證，下面以兩個設(shè)備為代表通過實驗驗證優(yōu)化模型是否可以求解多個設(shè)備的傳感器布陣。

圖5 兩個電機設(shè)備及坐標(biāo)軸俯視圖

為了研究兩個設(shè)備的傳感器位置布陣問題，首先做了如下實驗：取另外一個長l=1.08m，寬w=0.47m，高h=0.44m的電機2，將電機1和電機2并列擺放在同一水平面上，以電機2的中心為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)軸，以設(shè)備的軸線方向作為軸方向，垂直于軸線的水平方向為軸方向，以垂直向下的方向為軸正方向，兩個電機的放置圖和坐標(biāo)軸俯視圖如圖5。與單個設(shè)備實驗相同，在設(shè)備下方布設(shè)編號為6、7的兩列傳感器，測得的遠場磁場值作為檢驗數(shù)據(jù)集，傳感器的布陣位置見表5，測得的磁場數(shù)據(jù)見表6。

表5 兩個電機下方6、7列傳感器的位置信息(單位:m)

表6 兩個電機遠場傳感器磁場測量值(單位:m)

對于兩個設(shè)備的傳感器位置和數(shù)量優(yōu)化，本文采用兩種不同的方法進行求解，并對這兩種方法進行比較。

4.1 兩個設(shè)備的傳感器位置同時優(yōu)化

表7 兩個設(shè)備上方傳感器的可行區(qū)域(單位:m)

利用優(yōu)化模型同時求解得到兩個設(shè)備上方6個傳感器的位置如表8，測得的近場磁場數(shù)據(jù)代入旋轉(zhuǎn)橢球體模型中求得遠場磁場的計算值和測量值對比見圖6，第6列的相對均方誤差為7.73%，相對最大誤差是16,24%，第7列的相對均方誤差為5.60%，相對最大誤差是12.56%。

圖6 傳感器測量數(shù)據(jù)計算磁場值與實測值的比較

表8 同時優(yōu)化兩個設(shè)備上方傳感器位置及測量磁場值(x、y、z單位是m，Hz單位是moe)

表9 電機2上方3個傳感器坐標(biāo)(單位:m)

表10 利用單個設(shè)備傳感器位置得到兩個設(shè)備上方傳感器坐標(biāo)(x、y、z單位是m，Hz單位是moe)

4.2 兩個設(shè)備的傳感器位置分別優(yōu)化

本文已經(jīng)利用優(yōu)化模型得到了單個設(shè)備上方傳感器的位置，將單個設(shè)備傳感器的位置應(yīng)用到兩個設(shè)備中。首先，按照與電機1相同的方法優(yōu)化電機2上方的傳感器位置，傳感器位置坐標(biāo)見表9。然后，在兩個電機上方分別按照單個設(shè)備求出的傳感器位置放置6個傳感器，傳感器坐標(biāo)及測得的近場磁場值見表10。

將6個傳感器測得的設(shè)備上方磁場數(shù)據(jù)代入旋轉(zhuǎn)橢球體模型中計算，得到設(shè)備下方遠場的磁場預(yù)測值。圖7是計算得到的磁場值與第6列傳感器、第7列傳感器測得的實際磁場值的對比圖。第6列的相對均方誤差為7.29%，相對最大誤差是16.74%，第7列的相對均方誤差為5.41%，相對最大誤差是12.94%。

圖7 計算磁場值與實測值的比較

4.3 兩種方法比較

本文中用了兩種方法研究了兩個設(shè)備的傳感器布陣問題，得到兩個設(shè)備上方傳感器的位置。兩種方法都具有較高的精度，并且精度相差不大，說明這兩種方法都可以用于兩個設(shè)備傳感器位置的優(yōu)化模型求解。但是在實際操作中，對兩個設(shè)備同時優(yōu)化傳感器位置的方法存在著兩個缺點：首先，當(dāng)設(shè)備增加時，需要對全部設(shè)備重新求解模型優(yōu)化傳感器位置，這會增加計算量，而分開優(yōu)化只需優(yōu)化新增加的設(shè)備上方傳感器的位置；其次，當(dāng)兩個設(shè)備尺寸相差較大時，傳感器可能集中分布在其中一個設(shè)備的上方，這在實際布陣中可能存在空間限制。所以第二種方法在實際應(yīng)用中更加簡單方便。

5 結(jié)論