四川成都市龍泉驛區(qū)教育科學(xué)研究院（610000）鄭大明

一、符號意識在數(shù)學(xué)化中的心理和行為進(jìn)程

從數(shù)學(xué)教育的角度來看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是人腦對客觀現(xiàn)實(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)化的過程。荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾指出，數(shù)學(xué)化是一個過程，只要現(xiàn)實(shí)世界在一系列因素的影響下進(jìn)行著變化、延拓和深化，這個過程就在持續(xù)，這也包括數(shù)學(xué)。特萊弗斯在教育脈絡(luò)內(nèi)明確了兩個形態(tài)的數(shù)學(xué)化觀點(diǎn)——水平和垂直的數(shù)學(xué)化。因此，可以說“水平數(shù)學(xué)化涉及從真實(shí)世界走入符號世界，而垂直數(shù)學(xué)化則是在符號世界內(nèi)前進(jìn)”。

感知是人的感覺器官接受信息的過程，而意識是人腦對感官獲得的信息進(jìn)行處理的結(jié)果。因此，意識既是大腦處理信息的行為，也是大腦處理信息所獲得的結(jié)果?？梢哉J(rèn)為，符號意識是伴隨著人的心理發(fā)展和信息處理行為而生長變化的（如表1）。

表1 符號意識與心理、行為進(jìn)程的關(guān)系

科學(xué)家認(rèn)為，意識有先天進(jìn)化的基因意識和后天習(xí)得的素養(yǎng)意識之分。有些意識是顯露出來的可以傳播和交流的意識流，有些意識是隱藏在靈魂深處的無法傳播和交流的，即潛意識。于是有人把這些意識分為本我意識——進(jìn)化而來的本能性意識，自我意識——摻入主觀認(rèn)知的素養(yǎng)性意識，超我意識——融入群體交流和大眾傳播以后的社會性意識。

鑒于意識本身的綜合性與復(fù)雜性，可以把數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的符號意識看作是基于自我意識和超我意識的特殊形態(tài)。因?yàn)閿?shù)學(xué)符號是記錄、交流、傳播數(shù)學(xué)知識的工具，是數(shù)學(xué)認(rèn)知、表達(dá)和應(yīng)用的語言系統(tǒng)（如表2）。

表2 數(shù)學(xué)符號的基本類型和主要功能

續(xù)表

二、在水平數(shù)學(xué)化中完成符號的感覺與知覺過程

水平數(shù)學(xué)化，是通過信息互動實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)符號相互連接的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

1.感覺情境中的符號，是意識符號現(xiàn)象與存在的前哨

感覺，是人體的感覺器官接受外界刺激的心理行為。這種心理行為使得我們認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界和接受外界信息成為可能。因此，行為心理學(xué)家的“刺激—反應(yīng)”學(xué)習(xí)論，就在符號學(xué)習(xí)中發(fā)揮著前哨性作用。

（1）交流中感覺符號。在交流中，讓學(xué)生講述生活的經(jīng)歷或者有趣的故事，就會涉及元素、單位等符號。比如家里有“5個人”，吃了“3頓飯”，吃了“8顆糖”，見到“2只小貓”等，這些都有數(shù)學(xué)符號的影子。因此，數(shù)和量的講述很容易讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)符號的存在。

（2）觀察中感覺符號。在生活中，無論是無意識還是有意識的觀察，都能看到許多圖形、文字、標(biāo)識等與數(shù)學(xué)相關(guān)的符號。比如碗筷、桌凳、毛巾、廣告牌等?！皥A形的碗”“方形的桌子”“1雙筷子”等符號信息，都能刺激學(xué)生的視覺、聽覺和觸覺。因此，在教學(xué)一些基本的數(shù)學(xué)符號之初，教師就要有目的地組織學(xué)生進(jìn)行觀察。

（3）交易中感覺符號。購物就是貨幣與實(shí)物之間的符號聯(lián)系的過程。比如一個物品的單價、幾個物品的總價、付錢與找錢等，即使是數(shù)字化支付，也是學(xué)生感覺符號的數(shù)學(xué)功能的重要情境。又如買2塊橡皮、3張卡紙、4盒牛奶、2米長的皮筋等，學(xué)生從中還能感覺到整數(shù)、小數(shù)等不同的數(shù)學(xué)符號，感覺到大小、多少、同樣多等抽象的詞語符號。

（4）閱讀中感覺符號。要認(rèn)識標(biāo)準(zhǔn)的、規(guī)范的數(shù)學(xué)符號，數(shù)學(xué)閱讀是最佳途徑。盡管數(shù)學(xué)符號簡約抽象且難認(rèn)難讀，但在閱讀中查閱資料和請教老師、同學(xué)，就能豐富自己的數(shù)學(xué)符號信息庫。特別是中高年級的學(xué)生，要認(rèn)識代數(shù)式、運(yùn)算公式、關(guān)系式、統(tǒng)計(jì)表圖等數(shù)學(xué)符號，系統(tǒng)的閱讀是必不可少的。因此，教師從低年級起就要培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，讓他們在自覺和不自覺中感受數(shù)學(xué)符號。

（5）綜合實(shí)踐中感覺符號。在家庭、社會以及學(xué)校組織的相關(guān)活動中，要讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)符號的作用和價值，并能體會和理解數(shù)學(xué)符號的重要性。比如節(jié)日購物活動、春游活動、校園模型制作、太空旅行暢想、垃圾處理調(diào)查等，學(xué)生都能接觸到大量的數(shù)、量、形的符號，以及表示運(yùn)算、關(guān)系的符號。教師要認(rèn)真研究這些活動于如何讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)符號的作用和價值，給出合適的學(xué)習(xí)任務(wù)和評價方式。

2.知覺情境中的符號，是意識符號特征與類型的中樞

知覺，是大腦指揮感覺器官主動感知外界刺激的心理行為。當(dāng)感覺器官接受了外界刺激后，大腦就會對外界事物進(jìn)行反向知覺。因此，認(rèn)知心理學(xué)家的信息“識別—加工—控制”學(xué)習(xí)論，就在符號學(xué)習(xí)中發(fā)揮著中樞性作用。

（1）知覺交流中的符號。在交流活動中，先安排學(xué)生聆聽他人言語中有關(guān)數(shù)學(xué)符號的內(nèi)容；接著讓學(xué)生進(jìn)行信息的識別、加工和記憶；最后要求學(xué)生復(fù)述，其他學(xué)生可以補(bǔ)充和解釋。比如講“給家人擺碗筷”時，可以讓學(xué)生“從1到幾”一個一個地復(fù)述怎么擺；講“來了幾位客人”時，可要求學(xué)生說出“幾位男客人、幾位女客人”“是男客人多，還是女客人多”等，促使學(xué)生體會這些符號的特征。

（2）知覺參觀中的符號。在參觀活動中，要求學(xué)生畫一畫、寫一寫、說一說，不但在看到的符號上留下印跡，匯報(bào)時還要采用多種形式展示。比如方形的廣告牌、圓形的摩天輪、球形的氣球等，要求學(xué)生把“分別有多少”“誰多誰少”等講清楚，這樣有利于他們在了解符號特征的基礎(chǔ)上能夠區(qū)別類型。

（3）知覺交易中的符號。要求學(xué)生在交易活動中記住交易中的錢幣、貨物的數(shù)量等，主動觀察或索取小票、賬單、菜單、收據(jù)、貨單等；匯報(bào)時分別說明錢幣符號、數(shù)量符號、日期符號等。學(xué)生對不同類型的事物和現(xiàn)象需要不同的符號表達(dá)，從而對符號有一個初步的認(rèn)識。

（4）知覺閱讀中的符號。數(shù)學(xué)閱讀是識別、加工、掌握數(shù)學(xué)符號的關(guān)鍵途徑。因此，應(yīng)讓學(xué)生閱讀后，通過填表、填圖等方式主動分類記錄和抄寫看到的數(shù)據(jù)、圖形、單位等符號，并能區(qū)分運(yùn)算、結(jié)合、關(guān)系等不同類型的符號。特別是像“∠”“⊥”“○”等簡約符號以及括號、小數(shù)點(diǎn)、循環(huán)點(diǎn)、進(jìn)退位點(diǎn)、分?jǐn)?shù)線、比號、正負(fù)號等應(yīng)用廣泛而又容易混淆的符號，更要加以重視。

（5）知覺綜合實(shí)踐中的符號。在綜合實(shí)踐活動中，學(xué)生只有沉浸于現(xiàn)實(shí)情境，才能真正理解數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的真正聯(lián)系。教師必須仔細(xì)研究每一次活動所涉及的符號的特征、類型、作用等，提供給學(xué)生最佳的探究的內(nèi)容、時機(jī)、方式等。比如“校園模型”制作項(xiàng)目活動，涉及數(shù)、量、形符號的特征、類型、用途、價值等，教師要重視活動方案的細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)，這樣才能促使學(xué)生完成識別、加工、掌握數(shù)學(xué)符號的知覺任務(wù)，獲得好的學(xué)習(xí)效果。

三、在垂直數(shù)學(xué)化中完成符號的體驗(yàn)與應(yīng)用過程

在意識進(jìn)程中，水平數(shù)學(xué)化只讓學(xué)生認(rèn)識了現(xiàn)實(shí)世界與符號世界的關(guān)聯(lián)事實(shí)。而數(shù)學(xué)的語言體系是一個不斷向縱深發(fā)展的符號系統(tǒng)，教師只有清楚整個數(shù)學(xué)化過程才能完成教學(xué)（如圖1）。

圖1 數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)符號的數(shù)學(xué)化過程

數(shù)學(xué)的語言體系與數(shù)學(xué)的思維方法、應(yīng)用功能有著同等的地位。新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》一再強(qiáng)調(diào)教材的“整體性、層次性、結(jié)構(gòu)性、一致性”，就是要求教師關(guān)注數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)的垂直數(shù)學(xué)化問題，即在水平數(shù)學(xué)化溝通了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系以后，學(xué)生必須利用已有的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知。

1.在抽象與推理中獲得體驗(yàn)，是意識符號系統(tǒng)與功能的關(guān)鍵

（1）在現(xiàn)實(shí)情境中獲得符號體驗(yàn)。數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)情境包括生活與學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)。如“數(shù)人數(shù)”時，很多學(xué)生會把自己漏掉，原因是他們看到什么數(shù)什么，沒有“從自己起”和“從零起”的“位置數(shù)”概念。因此，他們?nèi)菀桌斫狻?，2，3，4……”，而對“0，1，2，3……”的數(shù)法較難理解。因此，很多教材讓學(xué)生認(rèn)識“0”的時候，不是用“數(shù)數(shù)法”而是用“減數(shù)法”，例如“3條魚，小貓吃完了就是0”。這樣一來，遇到“余數(shù)為0”和“-1，0，+1”的“0”時，學(xué)生就搞不清楚了。對此，教師要讓學(xué)生先記住自己的位置是“0”，再數(shù)“1，2，3，4……”。對于“小明左邊有3名同學(xué)，右邊有4名同學(xué)”這一情境，學(xué)生在計(jì)算時就會加上“小明的位置”而得到“3+1+4”的結(jié)果了。

（2）在模擬情境中獲得符號體驗(yàn)。許多抽象的關(guān)系符號，比如“大于、小于、等于”“倍、分、比、等式、比例”等，需要學(xué)生在模擬情境中獲得認(rèn)知體驗(yàn)。通過“真人表演”“學(xué)具拼擺”“圖畫記錄”“舉例子類比”等方式，學(xué)生對數(shù)據(jù)及其相互關(guān)系等進(jìn)行對比、歸納，得出“a＞b，a=b，a＜b，an=b，b÷n=a，a∶b=n”等符號系列和“當(dāng)c不為0時，有‘a(chǎn)+c＞b+c，ac=bc，a-c＜b-c，（a÷c）n=b÷c，（bc）÷（nc）=a，（ac）∶（bc）=n’”等情況。

（3）在虛擬情境中獲得符號體驗(yàn)。在中高年級的數(shù)學(xué)中，大數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)以及相應(yīng)的長度、面積、體積等都會進(jìn)入“再認(rèn)識”階段，“千以內(nèi)的數(shù)”“厘米、毫米、分米”“小數(shù)和分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”等，都無法直觀地靠數(shù)、量、畫的辦法體會，很難靠思維、想象與推理得出其數(shù)學(xué)意義。但是，計(jì)算機(jī)模擬系統(tǒng)就可以輕而易舉地通過數(shù)字編程實(shí)現(xiàn)“疊加”和“細(xì)分”，直觀地展示虛擬情境。

2.在遷移與應(yīng)用中進(jìn)行實(shí)踐，是意識符號規(guī)范與創(chuàng)新的高地

（1）在后續(xù)學(xué)習(xí)中使用符號。很多數(shù)學(xué)符號的功能，都是學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中慢慢體會出來的。比如“0占位”和“小數(shù)點(diǎn)位移”，都是在計(jì)算“2×3，20×3，20×30……”“0.2×3，0.2×0.3，0.02×0.3……”等的過程中，學(xué)生才真正體會到“0”和“.”的作用。學(xué)生在低年級認(rèn)識m、dm、cm、mm時全靠記憶，在中年級使用km、hm以后，才慢慢地發(fā)現(xiàn)“m”前面的“d”表示“1個單位的十分之一”，“k”表示“1個單位的1000倍”等。于是，學(xué)生就在課外閱讀中明白了“30 mg”“5 kg”“100 MB”“256 GB”的真實(shí)意義，從而意識到每一個數(shù)學(xué)符號的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

（2）在問題解決中使用符號。數(shù)學(xué)符號是根據(jù)人們的需要不斷升級、不斷系列化的。在解決問題的過程中，比如遇到“數(shù)大數(shù)和分小數(shù)”“量大物和量小物”等問題時，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)之前學(xué)習(xí)的計(jì)數(shù)和計(jì)量單位不夠用，必須要啟用或者創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)符號。比如，教了1平方厘米和1平方分米以后，要求學(xué)生測量操場的面積，學(xué)生就覺得無奈：這么大的操場，怎么測量呀？他們就會想到要用上更大的測量單位，也就會根據(jù)已掌握的1厘米、1分米、1米，得出1平方米、1平方十米、1平方百米、1平方千米的想法。

（3）在實(shí)踐創(chuàng)作中使用符號。當(dāng)前非常提倡以“項(xiàng)目式學(xué)習(xí)”為代表的跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動。因此，教師可以設(shè)計(jì)一些簡單的創(chuàng)作項(xiàng)目，以幫助學(xué)生使用和創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號。比如，前面提到的“校園模型”制作活動就可以打造為項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動。學(xué)生可以先拍照、畫畫、測量、估測等，也許還要計(jì)算和設(shè)計(jì)圖紙，或是購買紙板、膠泥等材料。他們除了用到已有的知識，還會創(chuàng)造出一些自己不曾學(xué)過的東西。不管是設(shè)計(jì)測量、計(jì)算，還是購物中的哪個方案，都會涉及數(shù)學(xué)符號的功能、作用、價值等，也許還有我們意想不到的“可遇而不可求”的新東西出現(xiàn)！