何家文
南寧學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院 廣西南寧 530200
擴(kuò)展期權(quán)是允許發(fā)行者或期權(quán)持有者擴(kuò)展其初始合約的到期日,當(dāng)期權(quán)持有者擴(kuò)展其合約到期日時(shí),相應(yīng)的執(zhí)行價(jià)格要被調(diào)整,同時(shí)持有者必須向期權(quán)出售者支付一定的額外溢酬。擴(kuò)展期權(quán)的最大特點(diǎn)就在于期權(quán)持有者在期權(quán)初始到期日時(shí)為達(dá)到利益最大化可以選擇執(zhí)行或放棄該合約,還可以延長(zhǎng)該合約的期限。Longstaff[1]在經(jīng)典的市場(chǎng)模型[2]下研究擴(kuò)展期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。Gukhal[3]采用股價(jià)滿足Merton跳擴(kuò)散模型[4]對(duì)擴(kuò)展期權(quán)進(jìn)行定價(jià),彭斌[5]以標(biāo)的資產(chǎn)遵循跳分形過(guò)程為基礎(chǔ),推導(dǎo)擴(kuò)展期權(quán)價(jià)格的封閉解,Chung等[6]研究一類(lèi)多期擴(kuò)展期權(quán)定價(jià)問(wèn)題,鄧國(guó)和[7]在隨機(jī)波動(dòng)率混合跳躍仿射擴(kuò)散模型下研究擴(kuò)展期權(quán)定價(jià)。
本文討論了雙幣種擴(kuò)展期權(quán),雙幣種期權(quán)是為投資者在本國(guó)購(gòu)買(mǎi)國(guó)外標(biāo)的資產(chǎn)而設(shè)計(jì)的一種期權(quán),受到國(guó)內(nèi)和國(guó)外兩個(gè)不同貨幣市場(chǎng)影響。該類(lèi)期權(quán)可規(guī)避在貿(mào)易中遇到的匯率風(fēng)險(xiǎn)。雙幣種擴(kuò)展期權(quán)的收益函數(shù)是匯率與國(guó)外標(biāo)的資產(chǎn)組合而成,且其到期日可延長(zhǎng),因此可以方便投資者進(jìn)行投資和對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。目前關(guān)于雙幣種期權(quán)研究[8-15]較多,取得一系列的研究成果,而關(guān)于雙幣種擴(kuò)展期權(quán)的研究較少,文獻(xiàn)[16]在跳擴(kuò)散模型下研究雙幣種擴(kuò)展期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。本文利用偏微分方程的方法在隨機(jī)波動(dòng)率過(guò)程下討論了雙幣種擴(kuò)展期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題,在本文考慮的期權(quán)收益支付形式是執(zhí)行價(jià)格以國(guó)內(nèi)貨幣計(jì)價(jià)。
(1)
這里rf為國(guó)外利率,rd為國(guó)內(nèi)利率,σS、σF為非負(fù)常數(shù),α、θ、σV分別是隨機(jī)波動(dòng)率運(yùn)動(dòng)方程中的均值回復(fù)速度參數(shù),長(zhǎng)期均值參數(shù),波動(dòng)率參數(shù),且2αθ-σ2≥0。
(2)
?(t,x*,v;u1,u2,T)=exp{iu1x*+B(τ,u1,u2)v+C(τ,u1,u2)}
(3)
其中
(4)
(5)
(6)
由于市場(chǎng)模型(1)具有仿射結(jié)構(gòu)特征,故(6)的解?(t,x*,v;u,1,u2,T)具有指數(shù)形式的解結(jié)構(gòu)為:
exp{iu1x*+B(t,u1,u2)v+C(t,u1,u2)}
(7)
將(7)帶入方程(6),則待定系數(shù)B(t)=B(t,u1,u2),C(t)=C(t,u1,u2)滿足:
(8)
(9)
求解上述微分方程(8)、(9)得解為(4)、(5)式。
考慮一類(lèi)執(zhí)行價(jià)格以國(guó)內(nèi)貨幣計(jì)價(jià)的雙幣種看漲期權(quán)定價(jià),對(duì)于其他三類(lèi)雙幣種擴(kuò)展期權(quán)可類(lèi)似獲得。該類(lèi)型的雙幣種歐式期權(quán)在到期為T(mén)1,執(zhí)行價(jià)格為K的收益函數(shù)為max{0,ST1FT1-K},其擴(kuò)展期權(quán)是允許持有人將初始的到期日T1擴(kuò)展至T(T>T1),同時(shí)要給期權(quán)的發(fā)現(xiàn)者支付一定的額外費(fèi)用δ,而執(zhí)行價(jià)格也會(huì)被調(diào)整到K1,此時(shí)雙幣種擴(kuò)展期權(quán)在到期日為T(mén)1時(shí)的收益函數(shù)為V(S,F(xiàn),K,K1,T1,T)=max{0,ST1FT1-K1,CE(T1,S,F(xiàn),v,K,T)-δ},這里C(T1,S,F(xiàn),v,K,T)是執(zhí)行價(jià)格和到期日為K,T的雙幣種歐式看漲期權(quán)在T1時(shí)刻的價(jià)格。
有當(dāng)S*∈(U,+∞)或S*∈(0,L)時(shí),期權(quán)不被擴(kuò)展;當(dāng)S*∈(L,U)時(shí),期權(quán)被擴(kuò)展。
由于擴(kuò)展期權(quán)有兩個(gè)到期日T1和T,故需計(jì)算國(guó)外貨幣下公司資產(chǎn)對(duì)數(shù)價(jià)格X*在兩個(gè)不同時(shí)點(diǎn)上的聯(lián)合特征函數(shù)?(u1,u2,T1,T),設(shè)T1≤t 定理 設(shè)在市場(chǎng)模型(1)下,雙幣種擴(kuò)展看漲期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格為: (10) 根據(jù)二維的Fourier逆變換有: 這里 I3類(lèi)似I2的計(jì)算,定理證畢。 顯然,當(dāng)Vt為常數(shù)時(shí),公式(10)為B-S模型下雙幣種擴(kuò)展期權(quán)定價(jià)公式。 本文在匯率和標(biāo)的資產(chǎn)的對(duì)數(shù)價(jià)格滿足隨機(jī)波動(dòng)率條件下,研究雙幣種擴(kuò)展看漲期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題,通過(guò)測(cè)度變換及Fourier逆變換等方法得到其定價(jià)公式。該定價(jià)模型能客觀反映金融市場(chǎng)中波動(dòng)率的隨機(jī)性,在實(shí)際金融交易市場(chǎng)中的實(shí)用價(jià)值很大。結(jié)語(yǔ)