桑彥彬 史娜 張健

1.中北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 山西太原 030051；2.中國(guó)石油大學(xué)理學(xué)院 山東青島 266580

1 概述

近年來(lái)，對(duì)于二階非齊次線(xiàn)性常微分方程特解計(jì)算的教學(xué)探討受到了廣泛的關(guān)注。文獻(xiàn)[1]對(duì)經(jīng)典的待定系數(shù)法求特解的方法進(jìn)行了簡(jiǎn)化。進(jìn)一步，文獻(xiàn)[2]將矩陣方法和待定系數(shù)法進(jìn)行了結(jié)合，建立了二階非齊次常微分方程特解的公式解。文獻(xiàn)[3]提出了伴隨方程的定義，將非齊次項(xiàng)分為三種不同的類(lèi)型，分別給出了特解的求法。與上述文獻(xiàn)不同，文獻(xiàn)[4]通過(guò)常系數(shù)齊次方程的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，建立了對(duì)應(yīng)的非齊次問(wèn)題的特解，推廣了待定系數(shù)法和常數(shù)變易法。最近，文獻(xiàn)[5]改進(jìn)了教材[6]中兩種類(lèi)型的特解計(jì)算和文獻(xiàn)[7]的特定取值法。另一方面，微分算子法和微分算子級(jí)數(shù)法在非齊次常微分方程和偏微分方程特解的計(jì)算中也得到了一定的應(yīng)用。文獻(xiàn)[8]通過(guò)引入微分算子，討論了線(xiàn)性常微分方程通解和特解的求法。進(jìn)一步，文獻(xiàn)[9]研究了微分算子級(jí)數(shù)法在波動(dòng)方程初值問(wèn)題中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[10]介紹了幾類(lèi)非齊次常微分方程特解的微分算子級(jí)數(shù)法，改進(jìn)了微分算子法。數(shù)學(xué)物理方程教材[11]系統(tǒng)地論述了微分算子法在求解熱傳導(dǎo)方程和波動(dòng)方程通解中的應(yīng)用。

非齊次偏微分方程特解的求法在數(shù)學(xué)物理方程的教學(xué)實(shí)踐中是無(wú)法回避的，然而其計(jì)算并無(wú)通法，只能依據(jù)非齊次項(xiàng)的特征，針對(duì)不同的類(lèi)型進(jìn)行求解。本文研究了直接積分法和微分算子法在幾類(lèi)非齊次偏微分方程中特解的具體應(yīng)用。設(shè)二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次偏微分方程的一般形式為：

Auxx+Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Fu=f

2 直接積分法

(1)若F=0，f=C。

此種情形，可令uxx=uxy=uyy=0，進(jìn)一步，ux=C，或ux=C。由于此時(shí)取一階偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，二階偏導(dǎo)數(shù)必為零，直接積分即可得到方程的特解，進(jìn)行這樣的假設(shè)是合理的。

例1 求4uxx+5uxy+uyy+ux+uy=6的特解。

解：令uxx=uxy=uyy=0，進(jìn)一步取

uy=0，或ux=0，

則ux=6，或uy=6。

故該方程的特解可取u*=6x，或u*=6y。

(2)若E=F=0，C≠0，f=C1y+C2。

由于此時(shí)非齊次項(xiàng)只含有y，不含x，f關(guān)于x的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)均為零，則Cuyy=C1y+C2，對(duì)y直接積分可得其特解。

例2 求uxx+10uxy+9uyy+7ux=3y+2的特解。

解：令uxx=uxy=ux=0，則9uyy=3y+2。

同理，若D=F=0，A≠0，f=C1x+C2。此時(shí)非齊次項(xiàng)只含有x，不含y，可令uxy=uyy=uy=0，則Auxx=C1x+C2，也可直接積分可得其特解。

(3)A，B，C，D，E，F(xiàn)均不為零，且f=C1x+C2，或f=C1y+C2。

若f=C1x+C2，由于f只含有x，不含y，可設(shè)uxx=uxy=uyy=uy=0，此時(shí)退化為Dux+Fu=f，可借助于一階線(xiàn)性非齊次常微分方程通解公式獲得其特解；同理，若f=C1y+C2，由于f只含有y，可設(shè)uxx=uxy=uyy=ux=0，此時(shí)退化為Euy+Fu=f，亦可得出其特解。

例3 求3uxx+7uxy+2uyy+ux-3uy-2u=2x+1的特解。

解：令uxx=uxy=uyy=uy=0，則所求方程轉(zhuǎn)化為ux-2u=2x+1。將此時(shí)u=u(x，y)看作只與x有關(guān)，即可得到以下特解：

與文[3-5]相比，此處的直接積分法簡(jiǎn)便易用，且對(duì)于非齊次項(xiàng)為僅含有單變?cè)木€(xiàn)性函數(shù)均是適用的。進(jìn)一步，該方法也可應(yīng)用于更一般的初邊值問(wèn)題。

3 微分算子法

若A，B，C，D，E，F(xiàn)均不為零，且f=C1x+C2y。

此時(shí)，f含有x與y，直接積分法和采用一階線(xiàn)性非齊次方程的特解求法均失效，而微分算子的引入提供了適當(dāng)?shù)目蚣?。同時(shí)，可利用冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式直接參與運(yùn)算。

例4 求3uxx+7uxy+2uyy+ux-3ux-2u=2x+3y的特解。

即:

(Dx+2Dy+1)(3Dx+2Dy-2)u=2x+3y.

設(shè):

解之:

=2x+3y-Dξ(2x+3y)

=2x+3y-(2xξ+3yξ)

=2x+3y-8

進(jìn)而:

此即為所求問(wèn)題的特解。

事實(shí)上提供了上述問(wèn)題特解的積分表達(dá)式。應(yīng)當(dāng)指出的是，上述結(jié)論對(duì)二維和三維情形都是成立的。進(jìn)一步，為便于計(jì)算，教材[11]給出了雙曲算子的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，若F(x)為任意階可微函數(shù)，則:

例5 求以下初值問(wèn)題的特解。

(1)

解：?jiǎn)栴}(1)的特解可取為:

例6 求以下初值問(wèn)題的特解。

(2)

解：?jiǎn)栴}(2)的特解可取為:

與文獻(xiàn)[8-10]相比，本文提供的微分算子法適用于非齊次項(xiàng)含有兩個(gè)變?cè)囊话闱樾危黄屏藛巫冊(cè)南拗?。進(jìn)一步，由于微分算符的可運(yùn)算性，該方法可應(yīng)用于不同維數(shù)的波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題。應(yīng)該指出的是，若非齊次項(xiàng)僅為單變?cè)木€(xiàn)性表達(dá)式，則可以通過(guò)直接積分法獲得其特解。

例7 求以下初值問(wèn)題的特解。

(3)

解：令uxx=uyy=uzz=0，則utt=2(y-t)，關(guān)于時(shí)間t直接積分兩次，可得問(wèn)題(3)的特解：

結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次偏微分方程的系數(shù)和非齊次項(xiàng)的分類(lèi)，給出了計(jì)算特解的直接積分法和微分算子法。值得強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)于一些具有較特殊性質(zhì)的變系數(shù)非齊次偏微分方程，也可采用類(lèi)似的方法求取相應(yīng)的特解。本文提供的方法具有較強(qiáng)的一般性和普適性，對(duì)今后的數(shù)學(xué)物理方程課程的教學(xué)具有一定的借鑒意義。