許 浩

江蘇省徐州市第三十三中學(xué) 221000

“二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)”是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，是繼一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的探究后又一典型函數(shù)的探究.通過(guò)探索二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，有助于學(xué)生深刻理解二次函數(shù)，是后續(xù)解決問(wèn)題的知識(shí)基礎(chǔ).下面結(jié)合教材梳理主線，開展教學(xué)探討.

回顧類比中梳理主線

學(xué)生在前面已經(jīng)深入學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，掌握了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，雖然二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)有著顯著的不同，但整體上的研究思路、內(nèi)容和方法是相一致的.可以引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)的知識(shí)內(nèi)容，用以探索二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，梳理教學(xué)主線.

一次函數(shù)的探究是圍繞三大內(nèi)容開展的：一是解析式的形式，二是研究過(guò)程，三是研究?jī)?nèi)容.對(duì)于二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的探究，同樣需要把握上述三大內(nèi)容，即引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)，關(guān)注二次函數(shù)的解析式；探索二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究方法；探討二次函數(shù)圖像與性質(zhì)要研究的具體內(nèi)容.

在概念探究中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從全局與局部的關(guān)系出發(fā)來(lái)思考問(wèn)題，把握二次函數(shù)的概念，關(guān)注二次函數(shù)的解析式.即從函數(shù)的概念出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生辨析二次函數(shù)的概念，并引出二次函數(shù)解析式的兩種基本形式：一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0），頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0）.開展兩式的變式互化訓(xùn)練，能為后續(xù)的圖像與性質(zhì)的探究做鋪墊.

在二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究中，教師要引導(dǎo)學(xué)生類比一次函數(shù)，構(gòu)建二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究方案，為后續(xù)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題提供途徑.整體上要采用知識(shí)探究的方式，生成“定義探究→圖像性質(zhì)→性質(zhì)應(yīng)用” 系統(tǒng)的研究主線，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)探究活動(dòng)，積累探究經(jīng)驗(yàn).而在性質(zhì)的探究過(guò)程中要合理滲透思想方法，由易到難逐層剖析.

對(duì)于二次函數(shù)的研究?jī)?nèi)容，同樣類比一次函數(shù)，主要集中在以下幾點(diǎn)：一是圖像的特征，二是函數(shù)的性質(zhì)，三是具體的研究步驟，四是研究方法.其中，圖像的特征研究中關(guān)注函數(shù)曲線的形狀、位置和關(guān)鍵點(diǎn)；性質(zhì)研究中關(guān)注因變量y隨自變量x的變化規(guī)律；而研究步驟需要引導(dǎo)學(xué)生掌握“作圖→觀察”的研究思路；同時(shí)在研究過(guò)程中要合理采用分類討論、數(shù)形結(jié)合、對(duì)比分析等思想方法.

描點(diǎn)畫圖中構(gòu)建二次函數(shù)圖像

描點(diǎn)畫圖法是繪制二次函數(shù)圖像的重要方法，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注該方法的具體步驟，掌握性質(zhì)分析的方法.描點(diǎn)畫圖法的教學(xué)指導(dǎo)可分為四個(gè)環(huán)節(jié)：列表、描點(diǎn)、連線、特征分析.具體教學(xué)以簡(jiǎn)單的、具有代表性的二次函數(shù)y=x2為例，具體探究過(guò)程如下.

教學(xué)中，教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)y=x2的特征，猜想該函數(shù)的圖像形狀，在此基礎(chǔ)上按照描點(diǎn)畫圖法的流程進(jìn)行探究.

（1）列表：引導(dǎo)學(xué)生圍繞x=0正負(fù)對(duì)稱取值，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的y值完成列表.列表完成后，不必急于描點(diǎn)，而是引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中的數(shù)對(duì)是否具有對(duì)稱性.

（2）描點(diǎn)：在該環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系中根據(jù)表格中的數(shù)對(duì)描點(diǎn).同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生重溫平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建方式，理解坐標(biāo)系的原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、正方向和象限等概念.

（3）連線：連線時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考用何種線來(lái)連接（是直線，還是平滑的曲線），并解釋具體的原因.教學(xué)中讓學(xué)生對(duì)比一次函數(shù)思考二次函數(shù)的連線方式——利用光滑的曲線連點(diǎn)，如圖1所示.

圖1

（4）分析：分析環(huán)節(jié)是對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的直觀歸納.教學(xué)中讓學(xué)生思考系數(shù)a的符號(hào)，基于符號(hào)開展性質(zhì)分析，即按照如下順序逐層分析：系數(shù)a的符號(hào)→開口方向→圖像對(duì)稱軸→圖像最低點(diǎn)→圖像兩側(cè)的變化趨勢(shì).然后引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)地完成二次函數(shù)y=x2的圖像特征及性質(zhì)的概括.

同樣以函數(shù)y=x2的圖像為例，引導(dǎo)學(xué)生提取圖像的最低點(diǎn)的坐標(biāo)——（0，0），以圖像的對(duì)稱軸為界，將曲線分割為兩部分，分別分析圖像的單調(diào)性：

在對(duì)稱軸的左側(cè)（x＜0時(shí)）：y隨著x的增大而減?。辉趯?duì)稱軸的右側(cè)（x＞0時(shí)）：y隨著x的增大而增大.

二次函數(shù)的性質(zhì)探究則應(yīng)立足二次函數(shù)解析式與圖像，構(gòu)建圖像與解析式的聯(lián)系.教學(xué)中以特殊的二次函數(shù)為例，采用繪圖、分析的方式，引導(dǎo)學(xué)生直觀分析，深刻理解二次函數(shù)的單調(diào)性.探究分析環(huán)節(jié)要注重思維的邏輯性，由“式”到“形”，再由“形”總結(jié)規(guī)律.

對(duì)比分析中歸納總結(jié)

對(duì)于二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的全方位歸納，建議采用數(shù)形對(duì)比、特殊到一般的方式，即利用具體函數(shù)的直觀圖像進(jìn)行對(duì)比分析，歸納總結(jié)一般函數(shù)的圖像性質(zhì).教學(xué)中建議結(jié)合二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0），探索二項(xiàng)式系數(shù)a的符號(hào)和大小以及k對(duì)二次函數(shù)圖像的影響.因此探究教學(xué)可以分三步進(jìn)行：第一步，以特殊函數(shù)為例，列表描點(diǎn)作圖像；第二步，觀察圖像，猜想規(guī)律；第三步，總結(jié)概括，生成函數(shù)圖像與性質(zhì).

1.探索二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)對(duì)二次函數(shù)圖像的影響

教學(xué)中同樣以較為簡(jiǎn)單的特殊的二次函數(shù)為例，利用畫圖描點(diǎn)法繪制圖像.如分別繪制y=x2和y=-x2的圖像，如圖2①和圖2②所示.

圖2

以上述實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)二次函數(shù)圖像的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，并結(jié)合二次函數(shù)圖像分析二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)對(duì)其的影響，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“a的符號(hào)”與“拋物線開口”之間的聯(lián)系.

2.探索二次項(xiàng)系數(shù)a的大小對(duì)二次函數(shù)圖像的影響

顯然，二項(xiàng)式系數(shù)a的大小對(duì)二次函數(shù)圖像也具有一定的影響，教學(xué)中可以針對(duì)a的大小來(lái)作圖探究.在同一平面直角坐標(biāo)系中繪制不同二次函數(shù)的圖像，如圖3所示，引導(dǎo)學(xué)生分別探究y=，以及y=-2x2，y=-x2，y=x2的圖像的開口大小，讓學(xué)生從a的視角作出相應(yīng)的猜想.

圖3

3.探索頂點(diǎn)式中的k對(duì)二次函數(shù)圖像的影響

在頂點(diǎn)式中的k的影響探究中，給出二次函數(shù)的頂點(diǎn)表達(dá)式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0），引導(dǎo)學(xué)生明晰（h，k）為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).先在同一平面直角坐標(biāo)系中繪制y=2x2+1和y=2x2-1的圖像，如圖4所示；然后引導(dǎo)學(xué)生從下述方向進(jìn)行探究：一是解析式的異同點(diǎn)，二是圖像的異同點(diǎn).即關(guān)注頂點(diǎn)式中的k值的不同，明晰k值與頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系——k值將影響拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，決定二次函數(shù)圖像的位置.

圖4

活學(xué)活用中完成知識(shí)強(qiáng)化

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)屬于初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，知識(shí)的規(guī)律性極強(qiáng)，探究教學(xué)中要注意知識(shí)的應(yīng)用，即設(shè)計(jì)合理的變式問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究思考，幫助學(xué)生內(nèi)化吸收，鍛煉學(xué)生的思維.問(wèn)題設(shè)計(jì)建議從以下兩方面入手：一是基本規(guī)律調(diào)用分析，二是綜合性問(wèn)題探究分析.前者注重基礎(chǔ)知識(shí)的規(guī)律，后者則應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握問(wèn)題的分析方法.

問(wèn)題設(shè)計(jì)1：已知二次函數(shù)y=mx2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，-8）.

（1）求該二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)是否存在最大值或最小值；

（2）分析點(diǎn)M（2，-8）是否位于此拋物線上？

（3）試求該拋物線上縱坐標(biāo)為-4的點(diǎn)的坐標(biāo).

教學(xué)立足三個(gè)小問(wèn)，分三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行引導(dǎo)：

環(huán)節(jié)1：引導(dǎo)學(xué)生重溫待定系數(shù)法，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算二次函數(shù)的解析式.

環(huán)節(jié)2：重溫二次函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律，即a＞0時(shí)，函數(shù)有最小值；a＜0時(shí)，函數(shù)有最大值，且函數(shù)的最值實(shí)則就是拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo).

環(huán)節(jié)3：構(gòu)建點(diǎn)的坐標(biāo)與二次函數(shù)解析式的聯(lián)系，即二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)滿足其解析式.

問(wèn)題設(shè)計(jì)2：現(xiàn)有函數(shù)y=kx2和函數(shù)y=kx+k，在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩圖像的大致位置關(guān)系是下圖中的（ ）

該問(wèn)題設(shè)計(jì)有一定的拓展性，旨在考查學(xué)生對(duì)函數(shù)位置關(guān)系的理解，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生按照如下思路進(jìn)行分析：①思考k對(duì)一次函數(shù)的位置的影響；②思考k的符號(hào)對(duì)兩函數(shù)單調(diào)性的影響；③思考兩函數(shù)相對(duì)的位置關(guān)系.

總之，“二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)”教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)分析、圖像觀察、結(jié)論歸納總結(jié)的探究過(guò)程，對(duì)學(xué)生各方面的能力有著較高的要求.教師在教學(xué)中要合理設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，采用科學(xué)的探究方法，引導(dǎo)學(xué)生直觀分析、分類討論、嚴(yán)謹(jǐn)論證，完成知識(shí)生成.過(guò)程教學(xué)還要注重將數(shù)學(xué)思想融入性質(zhì)探究中，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)與能力的雙重提升.