姜詠梅王志俊

（1.江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共基礎(chǔ)學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 徐州 221116）

0 引言

眾所周知，數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，進(jìn)而用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型并解決問(wèn)題的過(guò)程。數(shù)學(xué)建模是發(fā)展現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要突破口，它搭建了一個(gè)數(shù)學(xué)與外部世界緊密聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路。

對(duì)于大學(xué)生來(lái)說(shuō)，各個(gè)領(lǐng)域的許多實(shí)際問(wèn)題即使在了解了相關(guān)背景的情況下也很難借助于所學(xué)高等數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決。究其原因，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教學(xué)內(nèi)容理論推導(dǎo)和計(jì)算居多，應(yīng)用性（特別是開(kāi)放應(yīng)用性）的教學(xué)內(nèi)容偏少，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和專業(yè)知識(shí)之間的銜接存在一定的問(wèn)題。

對(duì)于此問(wèn)題，葉其孝在將數(shù)學(xué)建模思想和方法融入高等數(shù)學(xué)課的教學(xué)方面做了深入的討論并提出了值得借鑒的建議。受此啟發(fā)，本文結(jié)合在國(guó)內(nèi)具有一定影響力的五一數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中一些典型題目，探討數(shù)學(xué)建模教育在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容方面的有機(jī)融合。

五一數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是由中國(guó)礦業(yè)大學(xué)、江蘇省工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)和徐州市工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)聯(lián)合主辦的在國(guó)內(nèi)具有一定影響力的數(shù)學(xué)建模賽事。該項(xiàng)賽事規(guī)模不斷擴(kuò)大，2021年第十八屆五一數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽共吸引了近6 000支隊(duì)伍、17 000多名學(xué)生參賽；賽事質(zhì)量也不斷提高，往屆賽題中許多問(wèn)題的解決為相關(guān)單位帶來(lái)了良好的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益。五一數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽于每年的“五一”期間（連續(xù)72小時(shí)）以參賽隊(duì)為單位進(jìn)行比賽，參賽隊(duì)從三道競(jìng)賽題目中選擇一題進(jìn)行解答并提交參賽作品。

1 課程內(nèi)容及相關(guān)數(shù)學(xué)模型

在多數(shù)高等院校中，高等數(shù)學(xué)課程群主要包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三大課程。通過(guò)對(duì)這三大課程結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)建模專題的內(nèi)容要求和學(xué)業(yè)要求進(jìn)行分析比對(duì)，結(jié)合五一數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽歷年來(lái)的賽題，選取了以下幾種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)建模類型：基于指數(shù)函數(shù)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)和社會(huì)數(shù)學(xué)模型；基于線性方程組的線性規(guī)劃模型；基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的聚類分析方法和線性回歸模型，以及相應(yīng)的題目素材作為課程內(nèi)容供參考使用。

1.1 基于指數(shù)函數(shù)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)和社會(huì)數(shù)學(xué)模型

指數(shù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中所要研究的一類基本函數(shù)，是一種描述客觀世界變量之間指數(shù)增長(zhǎng)或衰減關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)工具，與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型在許多領(lǐng)域有實(shí)際背景和具體應(yīng)用。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型和社會(huì)數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)建模專題所要研究的內(nèi)容之一，而像存款貸款規(guī)?？刂啤⒔?jīng)濟(jì)增長(zhǎng)預(yù)測(cè)和人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)等一些經(jīng)濟(jì)社會(huì)實(shí)際問(wèn)題均可通過(guò)指數(shù)函數(shù)模型來(lái)提供理論依據(jù)或解決方案。同時(shí)，在理解指數(shù)函數(shù)的概念以及其中所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)律的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)基于指數(shù)函數(shù)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)和社會(huì)數(shù)學(xué)模型將有助于理解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，感受指數(shù)函數(shù)在刻畫增長(zhǎng)率問(wèn)題中的作用。

五一數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽2018年B題“商業(yè)銀行人民幣貸款規(guī)模分配及盈利問(wèn)題”、2016年C題“二孩政策問(wèn)題”、2015年C題“生態(tài)文明建設(shè)評(píng)價(jià)問(wèn)題”和2014年“延遲退休問(wèn)題”等分別由經(jīng)濟(jì)和社會(huì)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題加工而成。這些題目中的部分問(wèn)題均可在簡(jiǎn)單了解相關(guān)背景知識(shí)的基礎(chǔ)上，建立指數(shù)函數(shù)模型，進(jìn)而尋得合理的解決方案。以2015年C題“生態(tài)文明建設(shè)評(píng)價(jià)問(wèn)題”第四問(wèn)為例，該題是基于某省生態(tài)文明建設(shè)改進(jìn)措施效果的研究。對(duì)于如單位地區(qū)生產(chǎn)總值能耗、單位地區(qū)生產(chǎn)總值廢水排放量、綠化覆蓋率、人均公共圖書藏書量等指標(biāo)，可以采用指數(shù)函數(shù)模型來(lái)研究其未來(lái)的變化趨勢(shì)。

1.2 基于線性方程組的線性規(guī)劃模型

作為線性代數(shù)的主要研究對(duì)象之一，線性方程組是一類簡(jiǎn)單且重要的代數(shù)方程組。借助于矩陣和行列式，線性方程組的理論解法（如高斯消元法、克拉默法則等）已非常成熟；在計(jì)算數(shù)學(xué)中，其數(shù)值解法也日益完善。線性方程組有著廣泛的應(yīng)用，科學(xué)技術(shù)中的許多問(wèn)題均可歸結(jié)為解線性方程組。作為運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，線性規(guī)劃研究線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問(wèn)題。通俗來(lái)說(shuō)，在實(shí)際問(wèn)題（如生產(chǎn)安排、貨物運(yùn)輸?shù)龋┲校€性規(guī)劃是要找到一種最優(yōu)的“方案”，使用或分配有限的資源（如原材料、車輛等）使得費(fèi)用最省或者利潤(rùn)最大，以達(dá)到預(yù)定的目標(biāo)。

五一數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽2019年B題“木板最優(yōu)切割方案”、2018年A題“徐州潘安湖風(fēng)景區(qū)游覽路線設(shè)計(jì)”、2017年A題“公交車排班問(wèn)題”和2013年C題“整車物流調(diào)動(dòng)系統(tǒng)”等均以數(shù)學(xué)中的優(yōu)化理論為基礎(chǔ)，根據(jù)題目要求建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而借助于計(jì)算機(jī)給出在特定約束條件下的最優(yōu)解。而上述四道題目中對(duì)部分問(wèn)題所建立的目標(biāo)函數(shù)均是線性目標(biāo)函數(shù)，均可以用線性規(guī)劃模型得到解決方案。

1.3 基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的聚類分析方法和線性回歸模型

統(tǒng)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)通過(guò)典型案例進(jìn)行。應(yīng)用統(tǒng)計(jì)是在概率與統(tǒng)計(jì)專題的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，而聚類分析和線性回歸模型是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)中的兩個(gè)主要內(nèi)容。聚類分析是一種對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行分析和處理，從中尋找相似元素，以達(dá)到分類目的的方法。對(duì)數(shù)據(jù)集進(jìn)行分類的目的不同，聚類分析的方法也各異。在此過(guò)程中，筆者將結(jié)合具體實(shí)例介紹K-均值聚類和分層聚類這兩種易于接受的聚類方法。線性回歸是一種用來(lái)確定兩個(gè)或兩個(gè)以上變量間互相依賴的線性關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。在許多領(lǐng)域，特別是在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，線性回歸常用來(lái)作為一種實(shí)證工具來(lái)預(yù)測(cè)各種指標(biāo)。將介紹一元線性回歸和簡(jiǎn)單的二元線性回歸模型以及利用最小二乘法原理對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

五一數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽2019年C題“科創(chuàng)板擬上市企業(yè)估值”、2018年B題“商業(yè)銀行人民幣貸款規(guī)模分配及盈利問(wèn)題”和2008年“股指期貨套利問(wèn)題”等題目都有來(lái)自不同領(lǐng)域的真實(shí)數(shù)據(jù)，都不同程度地涉及應(yīng)用統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)分析處理，進(jìn)而確定不同要素之間的依賴關(guān)系或預(yù)測(cè)某一指標(biāo)的走勢(shì)。以2019年C題《科創(chuàng)板擬上市企業(yè)估值》為例，通過(guò)對(duì)中國(guó)A股市場(chǎng)和美國(guó)NASDAQ市場(chǎng)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類，然后利用多元線性回歸模型就可以定量分析估值水平與基本面指標(biāo)、流動(dòng)性指標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而給出差異性分析。這些方法和模型所得的相關(guān)結(jié)果對(duì)于研究我國(guó)科創(chuàng)板企業(yè)上市后的估值水平，都具有很好的參考價(jià)值。

2 數(shù)學(xué)模型應(yīng)用與實(shí)踐

以2019年B題基于線性方程組的線性規(guī)劃模型“木板最優(yōu)切割方案”為例。本題在切割大塊木板的過(guò)程中，需要設(shè)計(jì)合理的切割方案，從而降低生產(chǎn)成本，減少材料浪費(fèi)，提高材料利用率，使家具廠經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)效益最大化。問(wèn)題1～5均可歸結(jié)為線性規(guī)劃問(wèn)題。比如在問(wèn)題1中，為了使木板的利用率最大，只需產(chǎn)品P1的總面積最大，即一塊木板能切割產(chǎn)品P1的數(shù)量最多，可分別按長(zhǎng)度和寬度進(jìn)行優(yōu)化組合，取兩者利用率更大者作為最終方案。以按木板長(zhǎng)度優(yōu)化組合為例，可以建立如下的數(shù)學(xué)模型：

式中，x表示產(chǎn)品P1橫向排列的數(shù)目，y表示縱向排列的數(shù)目。顯然，該模型的目標(biāo)函數(shù)f（x，y）為線性函數(shù)，約束條件為線性不等式，它是線性規(guī)劃模型。（注：x，y取自然數(shù)表明它還是一個(gè)整數(shù)規(guī)劃模型。）

注意到，當(dāng)線性方程ax+ay=b變成線性不等式ax+ay≤b時(shí)，它在二維平面上就由一條直線變成該直線一側(cè)的半平面了。如上述模型中的線性不等式373x+201y≤3 000就表示直線373x+201y=3 000左側(cè)的半平面，373x+201y≥2 799就表示直線373x+201y=2799右側(cè)的半平面。因此，模型中的前兩個(gè)約束條件表示的是兩條平行直線中間的區(qū)域（如圖1所示）。

圖1

模型是要求和使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值，從直觀上看，越靠近直線的點(diǎn)取得的函數(shù)值越大。在不考慮是否為自然數(shù)的情況下，取得最大值的位于右側(cè)的直線上；當(dāng)考慮和均為自然數(shù)時(shí)，取得最大值的應(yīng)在中間區(qū)域且接近右側(cè)直線。而滿足這一條件的點(diǎn)只有。通過(guò)簡(jiǎn)單的代入計(jì)算即得：目標(biāo)函數(shù)取得最大值的整數(shù)解為且取得最大值59。該問(wèn)題詳細(xì)討論了線性規(guī)劃模型與線性方程組之間的關(guān)系。

3 結(jié)語(yǔ)

結(jié)合數(shù)學(xué)課程內(nèi)容開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教育的目的是希望學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上領(lǐng)略數(shù)學(xué)建模的思想和方法，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，進(jìn)而體會(huì)到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。在這一過(guò)程中，恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)建模素材和數(shù)學(xué)知識(shí)之間的有機(jī)融合往往能夠在教學(xué)上起到事半功倍的效果。從數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題的建模方法中挖掘素材、凝練數(shù)學(xué)原理，進(jìn)而在數(shù)學(xué)教學(xué)中有針對(duì)性地進(jìn)行剖解分析；從數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題的模型求解中發(fā)現(xiàn)方法、再現(xiàn)科學(xué)計(jì)算，進(jìn)而在數(shù)學(xué)教學(xué)中有針對(duì)性地強(qiáng)化訓(xùn)練。這樣就達(dá)到了將數(shù)學(xué)建模思想滲透到整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的目的，從而提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。