丁 翔 胡松林 丁 飛

（1.南京郵電大學自動化學院、人工智能學院 南京 210023）（2.南京郵電大學先進技術研究院 南京 210023）（3.南京工程學院自動化學院 南京 211167）

1 引言

近年來網絡化系統(tǒng)的研究對象日益復雜，同時對控制精度、穩(wěn)定性，抗擾動性和自適應等控制性能的要求也越來越高。在網絡化系統(tǒng)控制中，傳感器、執(zhí)行器和控制器等部件在系統(tǒng)層面上分布，并通過通信網絡進行數(shù)據交換，增加控制系統(tǒng)靈活性、減少工程布線和降低成本維護［1］。在系統(tǒng)正常運行時，短期內傳輸?shù)臄?shù)據量會大幅激增，網絡系統(tǒng)內數(shù)據包在傳輸中，將面臨傳統(tǒng)網絡系統(tǒng)中延遲、丟包、采樣頻率過快的問題［2］。在網絡控制系統(tǒng)中引入事件觸發(fā)的通信方案（ETCS）就可以有效規(guī)避這類問題［7］，為網絡數(shù)據傳輸減輕負荷，因此在各類網絡系統(tǒng)中基于事件觸發(fā)的濾波或控制問題逐漸成為許多學者研究的重點［4］。

離散化系統(tǒng)不僅可以有效降低時間復雜度，更能夠進一步減小數(shù)據傳輸過程中負擔。提高離散化物理系統(tǒng)的聚類和抗噪聲能力，但是在提高系統(tǒng)抗噪能力的同時并不能保證其數(shù)據傳輸?shù)姆€(wěn)定性，在這種情況下，使用H∞濾波方法研究狀態(tài)估計問題，其可以保證噪聲衰減水平［3～4］。因此H∞濾波問題已經被廣泛應用在離散化物理系統(tǒng)中。

網絡化控制的弊端在于它大大增加了控制系統(tǒng)受到網絡攻擊的可能性，進而產生網絡攻擊問題，由于拒絕服務（DoS）攻擊方式簡單、易達目的、難以防范和追查等特性［5～6］。DoS攻擊已經成為一種常見的攻擊方式［8］，因此許多工作者研究了離散系統(tǒng)在DoS攻擊下的安全性問題。盡管許多文章中也都考慮到對離散系統(tǒng)的事件觸發(fā)H∞濾波問題，亦或考慮在DoS攻擊下的離散系統(tǒng)H∞濾波問題［10］。但是并沒有將事件觸發(fā)與DoS攻擊同時考慮在內，設計一種更加有效的彈性H∞濾波器［13～14］。鑒于以上研究現(xiàn)狀，本文將未知周期DoS攻擊與事件觸發(fā)機制進行融合設計協(xié)同H∞濾波器［15］。在對攻擊建模過程中使用了離散系統(tǒng)的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)方法和切換系統(tǒng)方法，最終實現(xiàn)未知周期DoS攻擊下基于事件觸發(fā)的離散系統(tǒng)的H∞濾波器協(xié)同設計［16］。

2 模型描述

2.1 系統(tǒng)物理模型

圖1描述了在未知性周期的DoS攻擊下基于事件觸發(fā)的線性離散系統(tǒng)的彈性H∞濾波問題，其中物理系統(tǒng)模型用離散系統(tǒng)表示為

圖1 DoS攻擊下的濾波系統(tǒng)結構圖

其中x(k)∈?n是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，ω(k)∈?ν是系統(tǒng)外部噪聲擾動向量且能量有界，y(k)∈?m為系統(tǒng)測量輸出，Z(k)∈?p為系統(tǒng)狀態(tài)估計信號。而矩陣A、B、C、D、L為系統(tǒng)常數(shù)矩陣。

設計如下形式的全階濾波器模型：

其中xf(k)是濾波器的狀態(tài)向量，Zf(k)是Z(k)的狀態(tài)估計，是濾波器的輸入，Af、Bf、Cf、Df為待求濾波器的參數(shù)矩陣。

2.2 未知周期DoS干擾攻擊模型

拒絕服務攻擊是一種惡意信號攻擊，其出現(xiàn)將導致傳感器到濾波器中的數(shù)據傳輸被迫中斷。假設其干擾信號能量有限，干擾攻擊模型設計如下形式：

其中hn表示上一次攻擊結束，開始正常通信時刻。bn表示本次正常通信時刻結束且下一次攻擊開始時刻，hn+1表示下一次正常通信開始時刻。Ln={hn+bn}∪[hn+bn，hn+1)表示第n個拒絕服務攻擊干擾信號間隔。那么hn+bn∈?≥0表示第n個拒絕服務攻擊干擾信號間隔的開始時刻，(hn+1-hn+bn)∈?≥0表示第n個拒絕服務干擾攻擊信號的區(qū)間長度。

假設在沒有DoS攻擊下，將離散系統(tǒng)測量輸出y(ki，n)傳輸?shù)綖V波器輸入y^(k)，反之濾波器輸入為0，所以設計如下濾波器輸入信號模型：

其中{ki，n}表示后續(xù)所設計事件觸發(fā)機制所生成成功傳送時刻，的集合，其中n∈N并且l(n)=sup{i∈N|ti，n≤hn+bn-1}。

2.3 彈性事件觸發(fā)通信方案

為了節(jié)約離散網絡系統(tǒng)的通信資源，我們引入一種彈性事件觸發(fā)機制，用該機制來判斷系統(tǒng)此刻采樣狀態(tài)，從而保證離散濾波誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

其中σ∈(0，1)是觸發(fā)參數(shù)，k∈Z+，ki∈Z+事件發(fā)生器當前系統(tǒng)輸出用y(k)來表示，W為觸發(fā)參數(shù)矩陣。在未知周期的DoS干擾攻擊信號的情況下，事件觸發(fā)瞬間用如下表示：

其中n∈N，kij∈N，j∈N，i表示第n個干擾信號活躍周期內發(fā)生的觸發(fā)次數(shù)。

當k∈D1，n∩I1，n，系統(tǒng)為穩(wěn)定狀態(tài)；當k∈I2，n時，子系統(tǒng)開環(huán)運行。離散濾波誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于事件觸發(fā)時刻，濾波器參數(shù)增益矩陣以及攻擊頻率和攻擊時間。

2.4 濾波誤差系統(tǒng)模型

在建立事件觸發(fā)機制的切換系統(tǒng)后，為方便起見，設計如下時間間隔：ki，n+m)，其 中i∈Ω(n)，n∈N并 且ηi，n=sup{m∈N|ki，n+m≤ki+1，n}。令Wm i，n=[ki，n+m-1，ki，n+m)m，且I1，n=I1，n}。令

現(xiàn)定義兩個如下分段函數(shù)：

其中0≤τi，n(k)≤τM，因此基于事件觸發(fā)的采樣狀態(tài)表述為

基于以上定義全階濾波誤差方程為

當系統(tǒng)誤差矢量滿足：

時，系統(tǒng)切換方程表示為

基于以上濾波器誤差模型設計，我們要求所設計的誤差系統(tǒng)程全局指數(shù)穩(wěn)定且H∞擾動抑制量為γ，需要滿足以下定義。

1）當系統(tǒng)在拒絕服務干擾攻擊下，濾波器誤差系統(tǒng)的外部擾動量ω(k)=0時，對所有變量u＞0，α＞0，γ＞0時 都 存 在不等式成立。其中為初始條件，ω(k)∈[ 0 ，∞)為連續(xù)函數(shù)。

2）當系統(tǒng)在拒絕服務干擾攻擊下濾波器誤差系統(tǒng)擾動量ω(k)∈[ 0 ，∞)時，在零初始條件下系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定，則給定擾動抑制量γ^，且離散濾波誤差滿足

3 主要結果

3.1 H∞性能分析

引理1：考慮對未知周期性DoS攻擊且存在擾動ω(k)時離散濾波器誤差系統(tǒng)問題，考慮系統(tǒng)（9）給定正標量λi，ui，τD，τb。如果存在適當維數(shù)的正定矩陣和 矩 陣W∈?1×1，E1i，，使得如下線性矩陣不等式成立，則濾波誤差系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定：

可以得到當k∈D1，n∩I1，n，n∈N，誤差系統(tǒng)軌跡V1(k+1)≤λ1V1(k)。

當k∈I2，n，n∈N，誤 差 系 統(tǒng) 軌 跡V2(k+1)≤λ2V2(k)。

證明：首先對濾波誤差系統(tǒng)（9）選擇分段的離散Lyapunov-Krasovskii函數(shù)i∈{1，2。}

那么我們可以得到如下不等式：

情 況II：當k∈I2，n，n∈N時i=2，我 們 有ΔV2(k)=V2(k+1)-λ2V2(k)按照式（16）通過一樣的處理，可以得到V2(k+1)≤λ2V2(k)證明完成。

情況III：對上述兩種分段構造的離散Lyapunov-Krasovskii函數(shù)進行整理可得

根據式（14）～（15）進行代入化簡，得到

根據拒絕服務干擾攻擊信號頻率和持續(xù)攻擊時間，當k∈I1，2時：

當k∈I2，2時：

結合離散系統(tǒng)平均駐留時間模型可以得到

當k∈I1，n時：

當k∈I2，n時：

化簡得

根據λ∈(0，1)且進行指對數(shù)運算得到

擾動下系統(tǒng)穩(wěn)定分析證明完成。

3.2 H∞濾波器設計

定理1：在未知周期性拒絕服務攻擊下，考慮存在系統(tǒng)擾動量ω(k)的離散濾波器誤差系統(tǒng)問題，給定正標量λi，ui，τD，τb，若存在適當維數(shù)的正定矩陣和 矩 陣W∈?1×1，Ei1，，使得如下線性矩陣不等式成立，則含擾動誤差系統(tǒng)穩(wěn)定：

如果上述不等式存在可行解。那么所設計離散彈性濾波器參數(shù)為

證明：定義變量分別對有擾動下大矩陣（11—15）左乘右乘U31和，并定義新變量

4 數(shù)值仿真

接下來將用一個實例去驗證本文設計離散濾波器的有效性，根據參考文獻［8］數(shù)值，可以得到線性離散系統(tǒng)的具體參數(shù)為在考慮未知周期拒絕服務攻擊下，使用攻擊信號ZDoS(k)并且結合事件觸發(fā)機制，求出所設計的離散濾波器參數(shù)增益矩陣Afi，Bfi，Cfi使得原系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定。令λ1=7，λ2=0.9，τD=0.5，u1=u2=1.05，τb=1.1，考慮離散系統(tǒng)采樣周期為h=1，τM=0.009且σ=4，得到最佳擾動抑制值γ=4與觸發(fā)參數(shù)矩陣W。

濾波器狀態(tài)估計誤差和系統(tǒng)與濾波器估計信號分別如圖2、圖3所示。從圖中可以看到：1）在未知周期的攻擊下離散濾波逐漸收斂并保持穩(wěn)定；2）本文所設計的事件觸發(fā)可以緩解數(shù)據通信負荷，并過濾外界干擾與攻擊的影響。

圖2 狀態(tài)反饋誤差e^(k)

圖3 待估計信號Z(k)和Zf(k)

5 結語

本文主要解決離散系統(tǒng)通信傳輸過程中受到未知周期攻擊下的H∞濾波器設計問題。將未知周期的DoS攻擊與事件觸發(fā)機制緊密聯(lián)系在一起，綜合設計出在拒絕服務攻擊下新的事件觸發(fā)通信機制。利用李雅普諾夫泛函推導出有效條件，并且使得濾波誤差系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定與H∞擾動抑制最小。