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新疆烏魯木齊市實(shí)驗(yàn)學(xué)校符強(qiáng)如（郵編：830026）

2022 年新高考數(shù)學(xué)全國卷1 理科第21 題秉承熟而不俗，俗中有變，變中有新的風(fēng)格，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)和通性通法，彰顯了從能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向的過渡，為學(xué)生提供了豐富的選擇，是一道內(nèi)涵豐富、解法多樣的優(yōu)質(zhì)題，也為解析幾何教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用，值得一線老師去挖掘和探究.下面是對這道題的解法的多視角探究、題源尋求，以及從這道題中獲得的教學(xué)思考.

1 題目呈現(xiàn)

從問題表述來看，此題取材平實(shí), 表現(xiàn)樸實(shí),題干清晰. 從內(nèi)容上來看考查直線與雙曲線位置關(guān)系、直線和雙曲線平面圖形（三角形）面積問題.本題看似入手易，解法多特點(diǎn)，但命題者在多解背后都埋下了“地雷”，使不少學(xué)生力不從心，不能順利完善解題過程，起到了壓軸的功能. 它考查了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，要求考生需要具備較高的思維能力.

2 解法探究

思路一條件直譯-代數(shù)法，這是解析幾何教學(xué)中最常見的方法.

思路二條件轉(zhuǎn)化—代數(shù)法，解析幾何攔路虎之一就是代數(shù)變換的繁瑣，需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力，我們可以在思路一的基礎(chǔ)上優(yōu)化解法，將條件kAP+kBP=0 轉(zhuǎn)化替代.

思路三參數(shù)法. 運(yùn)用參數(shù)方程能夠快速解決我們圓錐曲線的弦長，范圍等問題.

對于參數(shù)法解決圓錐曲線問題也可以從這樣一個視角解決.

評注參數(shù)法比傳統(tǒng)方法具有很大優(yōu)勢，其核心就是減少了變量或參數(shù). 此題借助直線參數(shù)方程或雙曲線相關(guān)的參數(shù)方程兩個不同視角解析，利用參數(shù)t的意義解題，解法3、4 視角不同，呈現(xiàn)解析難度也不同，這需要敏銳的觀察. 這也啟示我們變換解題視角區(qū)思考，能夠一定程度上使解題思路“柳暗花明”，從而大大優(yōu)化運(yùn)算.

思路四齊次化聯(lián)立，圓錐曲線問題中遇到斜率和或積的問題可以嘗試齊次化聯(lián)立.

評注齊次化聯(lián)立即將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后，利用“1”的代換實(shí)現(xiàn)齊次化，可以將題目中所涉及到的斜率轉(zhuǎn)化成一個一元二次方程的兩根，再由一元二次方程的兩根關(guān)系獲取斜率和或積的關(guān)系. 但是一般是在解決圓錐曲線問題斜率和或積的問題時應(yīng)用. 可以避免繁瑣運(yùn)算，提高解題正確率

3 啟示與思考

3.1 追溯背景

3.2 啟示

（1）從當(dāng)今的數(shù)學(xué)教育發(fā)展趨勢可以理解為以數(shù)學(xué)理解問題、解決數(shù)學(xué)探究為價值取向. 那么教師就要抓好課堂教學(xué)，在重視基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的同時，更要注重提升學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解. 對于此題學(xué)生面對繁瑣的步驟及復(fù)雜的計(jì)算往往都束手無策，容易產(chǎn)生畏難心理. 其實(shí)“快”思維下數(shù)學(xué)教學(xué)更需要“慢”藝術(shù)，不單純將個人認(rèn)為好的數(shù)學(xué)思想方法短時間內(nèi)打包發(fā)給學(xué)生，而老師需要在課堂教學(xué)中敢于等待學(xué)生，讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主探索，發(fā)揮學(xué)生主觀能動性，陪伴學(xué)生重鑄數(shù)學(xué)知識的形成之路.

（2）波利亞說過，沒有任何一道題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做,更重要的是解題后的回顧[1]. 對于思維量較大或者所謂的“難題”教師教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)如何恰當(dāng)利用題目主干條件，如何優(yōu)化解題過程，怎樣優(yōu)化代數(shù)運(yùn)算,深入分析和探究. 更要積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，深度挖掘試題的背景，理清命題者的意圖，深刻揭示試題本質(zhì). 其有利于學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，使知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化. 關(guān)注思維以及問題的本質(zhì),對于數(shù)學(xué)問題的把握、揭示和體驗(yàn)都是是課堂有效性的關(guān)鍵. 對于高考壓軸題，唯有如此才能居高臨下指導(dǎo)學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

（3）一道經(jīng)典的問題可以引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生思維上的多角度思考，通過不同視角的解題途徑，多方位多角度去思考問題，可以領(lǐng)略到解析幾何與其他知識的綜合交匯及其靈活遷移運(yùn)用，雖然解題方法不同但是核心思想始終圍繞著解析幾何本質(zhì)和思想,由特殊到一般地尋找規(guī)律，探索解題的通性通法，但是通性通法必須在數(shù)學(xué)思想的指引下滲透，而不是同類型題目的簡單重復(fù)和操練，要經(jīng)歷積累活動經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化思考能力，真正進(jìn)入深度學(xué)習(xí)，發(fā)展高階思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（4）高考真題立足基礎(chǔ)，傳承穩(wěn)定，在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新，這種創(chuàng)新不是通過一成不變的試題呈現(xiàn)，而是立足教材，對教材中的例題習(xí)題運(yùn)用穩(wěn)定的基礎(chǔ)知識、經(jīng)典的基本方法，深化的基本思想進(jìn)行包裝. 現(xiàn)階段尤其復(fù)習(xí)教學(xué)回歸教材是正道，回歸教材不是簡單閱讀教材、不是簡單羅列知識、不是簡單梳理方法、更不是對教學(xué)過程的簡單重現(xiàn)，而是對學(xué)科知識脈絡(luò)的建構(gòu)、對教材編者意圖的領(lǐng)悟、對教材隱性知識的挖掘、對學(xué)科知識本質(zhì)的把握，對平時教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生要尋“根”究“本”，唯有如此學(xué)生核心素養(yǎng)方能切實(shí)培養(yǎng).