湖北省武漢市黃陂區(qū)教學(xué)研究室 劉光華（郵編：430300）

2021 年武漢市元月調(diào)考數(shù)學(xué)第15 題，以數(shù)學(xué)活動(dòng)“車(chē)輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理”為問(wèn)題背景進(jìn)行改編, 在扇形的連續(xù)滾動(dòng)過(guò)程中探究圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡，突出對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的考查. 試題立足課標(biāo)、教材，設(shè)計(jì)精美，表述簡(jiǎn)潔、明快，值得我們?nèi)ヌ骄?、品?

1 試題呈現(xiàn)

如圖1，放置在直線l上的扇形OAB，由圖①滾動(dòng)（無(wú)滑動(dòng)）到圖②，再由圖②滾動(dòng)到圖③，若半徑OA＝1，∠AOB＝90°，則點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是.

圖1

2 背景探源

試題屬于“綜合與實(shí)踐”中的實(shí)驗(yàn)操作類(lèi)問(wèn)題，本題設(shè)計(jì)為一個(gè)90°的扇形沿直線滾動(dòng)（無(wú)滑動(dòng)），探究其中扇形圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)（軌跡）. 事實(shí)上，類(lèi)似問(wèn)題模型在人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第118 頁(yè)“數(shù)學(xué)活動(dòng)1——車(chē)輪做成圓形的數(shù)學(xué)道理”中有相關(guān)研究：如圖2，用硬紙片剪一個(gè)圓⊙O，讓⊙O沿直尺在桌面上滾動(dòng)，它的圓心與桌面的距離會(huì)發(fā)生改變嗎？如圖3，如果改成一個(gè)正方形紙片，讓它沿直尺在桌面上滾動(dòng)，用筆跟蹤它的中心的軌跡，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)（北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第67 頁(yè)讀一讀中“車(chē)輪為什么是圓的”也有該問(wèn)題的探究）？

圖2

圖3

探究發(fā)現(xiàn)圖2 中⊙O沿直尺在桌面上滾動(dòng)（向右）時(shí)，圓心O與桌面的距離始終保持不變，它與桌面的距離等于半徑OA，當(dāng)車(chē)輪在平坦的地面上滾動(dòng)時(shí)，車(chē)輪中心與地面的距離保持不變，坐車(chē)的人會(huì)感到非常平穩(wěn)，因此把車(chē)輪做成圓形；圖3 中正方形ABCD沿直尺在桌面上滾動(dòng)（向右）時(shí)，當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AB邊落在桌面，此時(shí)正方形的中心O也繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，它的運(yùn)動(dòng)軌跡是以A為圓心，以O(shè)A為半徑的90°的圓弧，繼續(xù)翻滾正方形至BC邊落在桌面，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡又是一段相等的弧，如此反復(fù). 從數(shù)學(xué)活動(dòng)中可以發(fā)現(xiàn)：圓是一條完整的封閉曲線，圓在桌面上滾動(dòng)，圓心的運(yùn)動(dòng)路徑就是圓弧在桌面上滾動(dòng)所走過(guò)的弧長(zhǎng)；正方形有四條邊，在沿桌面滾動(dòng)過(guò)程中，每次繞其中一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，正方形的中心的運(yùn)動(dòng)軌跡就是以這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心為圓心，以正方形的中心到這個(gè)點(diǎn)的距離為半徑的90°的弧長(zhǎng).

3 解法賞析

本題中扇形OAB由兩條半徑和一條弧組成，觀察發(fā)現(xiàn)，由圖①滾動(dòng)（無(wú)滑動(dòng)）到圖②，完成了一次旋轉(zhuǎn)；由圖②滾動(dòng)到圖③，先是⌒在直線上滾動(dòng)到點(diǎn)B落在直線l上，然后扇形以B為旋轉(zhuǎn)中心再進(jìn)行一次旋轉(zhuǎn)，由于在滾動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)O呈現(xiàn)出不一樣的運(yùn)動(dòng)軌跡，為了準(zhǔn)確求出整個(gè)滾動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，我們通過(guò)化整為零的思想方法，將滾動(dòng)過(guò)程按照扇形邊的條數(shù)拆分成三個(gè)部分分別探究，同時(shí)也可以結(jié)合實(shí)驗(yàn)操作，通過(guò)實(shí)驗(yàn)分段繪制點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡.

3.1 從圖①到圖②

圖4

圖5

3.2 從圖②到圖③

圖6

圖7

3.3 從路徑到策略

本題在探究滾動(dòng)軌跡過(guò)程中，根據(jù)扇形滾動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑不同把滾動(dòng)過(guò)程分解成3 個(gè)明確的對(duì)象，逐個(gè)分析每一次滾動(dòng)的路徑，各個(gè)擊破，最終達(dá)到解決問(wèn)題的目的. 通過(guò)把復(fù)雜的事情簡(jiǎn)單化，化繁為簡(jiǎn)，各個(gè)擊破要研究的復(fù)雜問(wèn)題，分解為多個(gè)比較簡(jiǎn)單的小問(wèn)題，一個(gè)一個(gè)地分開(kāi)解決，直至解決問(wèn)題[1]，這就是“化整為零”的思想以及分析技巧.

瑞士數(shù)學(xué)家歐拉曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，需要觀察，更需要實(shí)驗(yàn).”在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、自主探索、合作交流等活動(dòng)過(guò)程與體驗(yàn)，掌握數(shù)學(xué)思維方法以及歸納、概括、推理和解決問(wèn)題等多方面的能力，并產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信與熱情. 而經(jīng)歷了完整縝密的學(xué)習(xí)過(guò)程，自然就會(huì)獲得“由過(guò)程支撐的結(jié)果”[2].

從圖②滾動(dòng)到圖③的過(guò)程中分為兩個(gè)部分來(lái)探究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，學(xué)生僅憑幾何直觀去理解有一定難度，這時(shí)裁剪一個(gè)圓心角為90°的扇形，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作，在實(shí)際滾動(dòng)扇形紙片的過(guò)程中直觀感受變化過(guò)程中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，既鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手能力，又能比較具體、直觀的幫助學(xué)生理解運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化規(guī)律，從而順利引出數(shù)學(xué)結(jié)論. 如果條件允許，也可以借助計(jì)算機(jī)動(dòng)態(tài)軟件追蹤滾動(dòng)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)軌跡，加深學(xué)生的數(shù)學(xué)理解（但計(jì)算機(jī)模擬不能代替學(xué)生的實(shí)驗(yàn)操作）. 學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提煉數(shù)學(xué)方法，感悟數(shù)學(xué)思想.

4 試題推廣

美國(guó)著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決專(zhuān)家匈菲爾德曾提出，好的數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)該是容易接受的（不需要大量技巧），它一定蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想方法，并且可以進(jìn)一步開(kāi)展和一般化（導(dǎo)致豐富的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)），也就是具有較強(qiáng)的生長(zhǎng)性. 本題取材于教材中的一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，巧妙的將圓與正方形的滾動(dòng)結(jié)合在一起，可操作性較強(qiáng)，同時(shí)我們還可以從特殊到一般改變條件對(duì)試題進(jìn)行深入探究.

變式1 如圖8，放置在直線l上的扇形OAB，由圖①滾動(dòng)（無(wú)滑動(dòng)）到圖②，再由圖②滾動(dòng)到圖③，若半徑OA＝1，∠AOB＝60°，則點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是______.

圖8

圖9

變式2 若∠AOB＝80°，其它條件不變，則點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是______.

思考改變扇形OAB中∠AOB的大小，在扇形滾動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡哪些部分不變，哪些部分改變？

拓展若∠AOB＝n（0°＜n＜180°），其它條件不變，則點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是______.

5 結(jié)語(yǔ)

義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“綜合與實(shí)踐”是以問(wèn)題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng).在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，分析和解決問(wèn)題的過(guò)程. 要幫助學(xué)生感悟解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)的知識(shí)，更要關(guān)注問(wèn)題的背景，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)與規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)的概念、定理或公式予以表達(dá). 在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界[3]. 數(shù)學(xué)教學(xué)中不能只注重邏輯推理，還應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作、數(shù)學(xué)閱讀等相關(guān)內(nèi)容，積極創(chuàng)造條件，引導(dǎo)在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中進(jìn)行深層次的數(shù)學(xué)思考，感悟其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，提高數(shù)學(xué)實(shí)踐能力.