賀波勇， 彭祺擘， 李恒年， 曹鵬飛

(1.西安衛(wèi)星測控中心宇航動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安 710043； 2.中國航天員科研訓(xùn)練中心， 北京 100094；3.北京航天飛行控制中心， 北京 100094)

1 引言

伴隨著已完成的載人交會(huì)對接[1]和正在向全世界開放的中國空間站建設(shè)進(jìn)程[2-3]，中國嫦娥探月工程也取得了舉世矚目的成績[4-5]。 下一步，載人登月成為中國載人航天發(fā)展的現(xiàn)實(shí)選擇[6-7]。

為提高航天員在地月轉(zhuǎn)移段安全返回地球的能力，載人登月任務(wù)往往采用繞月自由返回軌道。吸取Apollo-13 任務(wù)的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)[8]，NASA 在星座計(jì)劃中特別強(qiáng)調(diào)采用繞月自由返回軌道和月心橢圓三脈沖變軌飛行方案[9]。 國內(nèi)研究人員鄭愛武等[6]，彭祺擘等[10]，賀波勇等[11-12]，曹鵬飛等[13]從載人登月自由返回軌道設(shè)計(jì)方法及工程約束分析、軌道參數(shù)特性分析、軌道參數(shù)與窗口優(yōu)化、自適應(yīng)近地出發(fā)相位的自由返回軌道設(shè)計(jì)等角度分別進(jìn)行了研究。 然而，隨著載人登月飛行模式深化研究[14]，軌道與窗口規(guī)劃問題更為復(fù)雜[15]，且考慮工程中的不確定因素和定時(shí)定點(diǎn)等約束要求[16]，軌道與窗口搜索需考慮更加細(xì)致的約束。 基于一組典型的工程約束條件，設(shè)計(jì)正確快速的繞月自由返回軌道窗口存在性判據(jù)，是決策載人登月任務(wù)具體實(shí)施年份和月份等重要工作的基礎(chǔ)。

本文首先對繞月自由返回軌道和假定的一組典型工程約束條件進(jìn)行了描述，然后設(shè)計(jì)了解析的自由返回軌道窗口存在性判據(jù)，最后驗(yàn)證了判據(jù)的正確性，可為中國未來載人登月工程提供參考。

2 問題描述

2.1 繞月自由返回軌道

限制性三體問題中，實(shí)際存在4 類連結(jié)2 個(gè)大中心天體臨近空間的自由返回軌道。 賀波勇[17]總結(jié)了地月系統(tǒng)4 類軌道的特點(diǎn)和用途，白道平面內(nèi)4 類自由返回軌道，如圖1 所示[18]。

繞月自由返回軌道屬于圖1(a)類，Apollo 任務(wù)前期飛行均采用該類繞月自由返回軌道，很多文獻(xiàn)中常略稱為自由返回軌道，嚴(yán)格意義上講，略稱具有不確切性。 圖1(b)類和(d)類由于近地出發(fā)段為逆行軌道，從地球發(fā)射需要克服地球自轉(zhuǎn)引起的推力損失效應(yīng)，目前未見深入研究和工程應(yīng)用。圖1(c)類最早由Egorov 等[19]提出，后被Farquhar稱為Egorov 軌道[20]，并巧妙地設(shè)計(jì)成太陽同步定向軌道，可用于探測太陽風(fēng)引起的地磁尾變化。

圖1 平面內(nèi)4 類自由返回軌道[18]Fig.1 Four types of free return planar orbit[18]

2.2 典型約束

決策載人登月任務(wù)具體實(shí)施年份和月份需要重點(diǎn)考慮設(shè)計(jì)一套登月飛船使用的繞月自由返回軌道窗口存在性判據(jù)，用來快速搜索滿足所有約束條件的軌道窗口參數(shù)集合。 綜合文獻(xiàn)[6，10，11，15-17，21]，現(xiàn)假設(shè)一組典型的工程約束，具體如下:

1)飛行模式。 登月飛船由返回艙和資源艙(或稱推進(jìn)艙)組成，和著陸器分別從地面發(fā)射至環(huán)月軌道，在環(huán)月圓軌道進(jìn)行共面交會(huì)組裝，之后著陸器與登月飛船分離，著陸器下降月面，登月飛船滯留環(huán)月圓軌道， 航天員進(jìn)行月面科學(xué)探測[21]。

2)工程總體約束。 環(huán)月共面交會(huì)圓軌道高200 km，交會(huì)、組裝和分離下降使用時(shí)長共計(jì)2 d。分離下降月面時(shí)要求著陸為月球造成，且陽光入射角(太陽光和月面的夾角)范圍為5°～15°。 月面著陸可選月球正面南北緯20°以內(nèi)區(qū)域[15，21]。

3)運(yùn)載火箭約束。 近地停泊軌道傾角20°～25°，火箭入軌高度約為170 km 圓軌道。 單次發(fā)射窗口持續(xù)時(shí)間不少于30 min，每次發(fā)射任務(wù)火箭都有2 ～3 個(gè)發(fā)射窗口， 具備冗余備份能力[15，21]。

4)登月飛船約束。 登月飛船采用繞月自由返回軌道進(jìn)行地月轉(zhuǎn)移，近地出發(fā)和環(huán)月第一次制動(dòng)減速均簡化為切向速度增量。 軌道艙總飛行時(shí)間小于15 d。 返回艙氣動(dòng)外形要求再入角約為-6°±0.2°，對應(yīng)航程約為4000～8000 km[15，21]。太陽帆光照條件為陽光入射角與太陽帆平面夾角在90°±20°，因太陽帆轉(zhuǎn)軸和登月飛船姿態(tài)均有較大自由度，窗口設(shè)計(jì)時(shí)可先不考慮。

5)地面測控支持約束。 火箭入軌、器箭分離、地月轉(zhuǎn)移加速等關(guān)鍵軌道弧段需具備地面測控(喀什、佳木斯和阿根廷等深空測控站)支持。

3 窗口存在性判據(jù)

3.1 地月轉(zhuǎn)移段軌道計(jì)算

月球公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和地球自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)分別引起月球探測器發(fā)射窗口的月窗口和日窗口問題[22]。 繞月自由返回軌道地月轉(zhuǎn)移段飛行約3 d 時(shí)間，地月轉(zhuǎn)移段軌道月窗口由月球位置和地月轉(zhuǎn)移段軌道參數(shù)約束范圍共同決定。

參考四段雙二體拼接模型[11]，考慮工程總體約束中環(huán)月交會(huì)圓軌道高為200 km，近月距rper＝1938 km (下標(biāo)per 代表近月點(diǎn)perilune)。 將近月點(diǎn)時(shí)刻tper月心LVLH(Local Vertical ＆ Local Horizontal Coordinate System)軌道系[22]中近月點(diǎn)參數(shù)[λ，φ，vper，θv] 選為軌道設(shè)計(jì)變量，分別代表該時(shí)刻近月點(diǎn)在該坐標(biāo)系中的經(jīng)緯度、近月點(diǎn)速度大小及速度方向角，如圖2 所示。 則月心J2000.0 坐標(biāo)系(上標(biāo)MJ2 代表月心J2000.0 坐標(biāo)系Moon-Centric J2000.0 Coordinate System)中近月點(diǎn)位置和速度分別如式(1)所示:

圖2 近月點(diǎn)參數(shù)示意圖Fig.2 Illustration of perilune orbital variables

式中，下標(biāo)in 表示進(jìn)入月球影響球邊界時(shí)刻，pper＝κper(1 ＋eper) 。 則根據(jù)Lagrange 系數(shù)描述的二體軌道狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算原理，可以計(jì)算影響球邊界位置和速度矢量參數(shù)，Lagrange 系數(shù)(F，G，F(xiàn)t，Gt) 分別如式(4)所示:

則登月飛船飛行至影響球邊界處時(shí)刻如式(8)所示:

從LEO 出發(fā)時(shí)刻為t0＝tin- ΔtLEO-in。 該時(shí)刻地心修正軌道六根數(shù)前五項(xiàng)與tin時(shí)刻值相同，只有真近點(diǎn)角等于0。 則地月轉(zhuǎn)移總時(shí)長見式(11):

3.2 月地應(yīng)急返回段軌道計(jì)算

這里對真空近地點(diǎn)(Vacuum Perigee，Vcp)做簡單解釋:對于月地快速返回軌道大氣層邊界附近而言，再入點(diǎn)在不考慮大氣攝動(dòng)的真空近地點(diǎn)之前約20°，而真空近地點(diǎn)幾乎與月地返回軌道出發(fā)時(shí)刻，月球相對于地球的反垂點(diǎn)重合[17]。 月球反垂點(diǎn)的赤經(jīng)和赤緯可通過月球位置獲取，進(jìn)而確定真空近地點(diǎn)位置。 由于月地平均距離為384 400 km，月地返回軌道近地距約為(6378＋122) km，遠(yuǎn)地距大于(384 400-66 200) km，則地心坐標(biāo)系中，月地返回軌道偏心率0.96＜eEJ2＜1。 再入角?是大氣層邊界處的飛行路徑角，小于0，與再入點(diǎn)地心距rr和真空近地距rvcp存在式(14)關(guān)系:

3.3 存在性判據(jù)

考慮環(huán)月交會(huì)軌道高度為常數(shù)，選擇近月點(diǎn)時(shí)刻的軌道參數(shù)將自由返回軌道分為2 段分別計(jì)算，將原本6 維的空間軌道設(shè)計(jì)問題自由度降為4 維[λ，φ，vper，θv] 。 近地出發(fā)時(shí)刻和應(yīng)急返回真空近地點(diǎn)時(shí)刻不僅依賴近月點(diǎn)時(shí)刻軌道參數(shù)，還需通過JPL 星歷計(jì)算月球影響出入口時(shí)刻月地相對位置和速度，導(dǎo)致這2 個(gè)時(shí)刻的約束難以簡單解析地映射到近月點(diǎn)時(shí)刻軌道設(shè)計(jì)變量，而軌道設(shè) 計(jì) 變 量[λ，φ，vper，θv] 初 值 均 可 簡 單 獲取[17]。 鑒于以上2 個(gè)方面原因，將月窗口存在性判據(jù)問題轉(zhuǎn)化已知設(shè)計(jì)變量初值的非線性規(guī)劃問題，模型如式(15)所示:

式中，Q1，Q2為調(diào)整收斂一致性的系數(shù)。 設(shè)計(jì)遍歷框架以一定時(shí)間步長搜索近月點(diǎn)時(shí)刻，判斷非線性規(guī)劃后的近地出發(fā)時(shí)刻和真空近地點(diǎn)時(shí)刻軌道參數(shù)是否滿足約束，如果均滿足，則該時(shí)刻存在滿足約束的繞月自由返回軌道，否則不存在。

4 算例

4.1 算例1

僅考慮式(15)中約束，以10 min 為搜索步長，利用SQP 算法計(jì)算2025 年7 月1 日后28 d內(nèi)月窗口(一個(gè)朔望月)，如圖3 所示。

圖3 2025 年7 月窗口與月球緯度幅角關(guān)系Fig.3 The July 2025 window and lunar argument of latitude

橫軸為從2025 年7 月1 日起算天數(shù)，縱軸分別為每天的小時(shí)數(shù)和月球緯度幅角值。 平均單次計(jì)算耗時(shí)0.5 s，月球緯度幅角與軌道存在窗口能匹配對應(yīng)，表明本文設(shè)計(jì)的軌道存在性判據(jù)快速、高效。 2025 年白道面傾角約為28.5°，受軌道傾角最大值25°約束，當(dāng)月球緯度幅角值處于90°和270°附近時(shí)，不存在月窗口。 當(dāng)月球處于升/降交點(diǎn)附近時(shí)，存在2 個(gè)連續(xù)的月窗口，各持續(xù)約9 d。

4.2 算例2

若在算例1 約束基礎(chǔ)上考慮繞月自由返回軌道在近月點(diǎn)制動(dòng)2 d 后，開始月面著陸的陽光入射 角5° ～15° 約 束， 并 以 Apollo-11 著 陸 點(diǎn)(E 23°26′， N 0°41′)為例，計(jì)算2025 年7 月1 日后180 d 月窗口如圖4 所示。

圖4 考慮著陸點(diǎn)陽光入射角的2025 年后半年月窗口Fig.4 Monthly window of the second half of 2025 considering the sunlight angle of the lunar landing site

橫軸為從2025 年7 月1 日起算天數(shù)，縱軸分別為每天的小時(shí)數(shù)和Apollo-11 著陸點(diǎn)2 d 后陽光入射角。 可見，若以Apollo-11 著陸點(diǎn)為例，2025 年后半年僅7、8、9、11 和12 月有5 個(gè)月窗口，分別持續(xù)為19.3 h、19.5 h、19.5 h、3.3 h 和19.5 h。

5 結(jié)論

本文提出了基于四段二體軌道拼接模型的載人登月自由返回軌道窗口存在性快速判據(jù)，算例不僅驗(yàn)證了存在性判據(jù)的正確性和快速性，還得到典型約束條件對月窗口的影響規(guī)律。

1)僅考慮近地出發(fā)軌道高度、傾角和返回地球時(shí)再入走廊約束，受地月轉(zhuǎn)移段軌道傾角最大值25°約束，月球緯度幅角處于90°和270°附近時(shí)不存在月窗口，2025 年每個(gè)朔望月存在2 個(gè)持續(xù)約9 d 的月窗口；

2)由于月球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)同周期，晝夜均為14.2 d，同時(shí)考慮月面著陸時(shí)刻著陸點(diǎn)陽光入射角約束和繞月自由返回軌道運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，并不是每個(gè)朔望月都存在2 個(gè)連續(xù)的月窗口，具體情況需要具體計(jì)算。