常 潔， 成志忠， 梁東平， 許煥賓， 余晨帆， 李小琪

(北京空間飛行器總體設計部， 北京 100094)

1 引言

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計對于各行業(yè)機械產(chǎn)品設計的目的是以最小代價或成本換取最優(yōu)結(jié)構(gòu)性能，常見優(yōu)化方式有拓撲優(yōu)化、形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化[1]。其中拓撲優(yōu)化是在設計初期根據(jù)結(jié)構(gòu)件的受力特點，選擇合理的構(gòu)型，去除多余的材料，使得傳力路徑直接、高效，其給結(jié)構(gòu)設計帶來的效益是最大的；形狀優(yōu)化是改善應力集中狀況、防止裂損、提高承載能力的重要措施，在桁架結(jié)構(gòu)設計、材料微觀性能設計等領域應用廣泛；尺寸優(yōu)化是在詳細設計階段，以結(jié)構(gòu)件的厚度、橫截參數(shù)等作為設計參數(shù)，借助計算機輔助設計軟件在特定約束條件下完成最優(yōu)解。

楊帆等[2]采用有限元分析技術(shù)研究結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法和流程；全棟梁等[3]研究了近年來在高速飛行器設計中應用結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)的典型案例；劉磊等[4]設計了滿足重量要求前提下基頻最大的支架結(jié)構(gòu)；朱繼宏等[5]研究了拓撲優(yōu)化技術(shù)在結(jié)構(gòu)初始方案概念設計中的應用；匡全進等[6]采用傳統(tǒng)方法和拓撲優(yōu)化分別對支架進行改進設計。這些研究大多針對單一優(yōu)化方法。 航天產(chǎn)品對重量要求極為苛刻，航天器結(jié)構(gòu)日趨復雜，對結(jié)構(gòu)綜合性能的要求越來越高，如何將拓撲優(yōu)化結(jié)果與工程實際相結(jié)合，并進一步優(yōu)化出更合理的輕量化結(jié)構(gòu)是航天器結(jié)構(gòu)設計領域重要的研究方向。

本文針對某相機安裝支架特殊的設計要求，借助商用分析軟件Hyperworks，采用了2 種拓撲優(yōu)化途徑，對設計結(jié)果相互印證，完成多目標優(yōu)化設計。 同時在拓撲優(yōu)化基礎上開展了形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化，完成結(jié)構(gòu)設計并進行了性能驗證。

2 需求分析

輕量化是結(jié)構(gòu)設計是否優(yōu)化的最重要指標。航天器結(jié)構(gòu)設計約束條件一般包括強度、剛度、穩(wěn)定性、熱變形等，此外結(jié)構(gòu)加工工藝性、經(jīng)濟性等也已成為航天器結(jié)構(gòu)設計所需要考慮的因素。 在航天器結(jié)構(gòu)方案設計時，往往先采用拓撲優(yōu)化設計得到最直接有效的傳力路線，之后完成優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)詳細設計，最后根據(jù)需要進行尺寸優(yōu)化。

某航天器相機重50 kg，由于構(gòu)型和布局約束，航天器主結(jié)構(gòu)無法直接為該相機提供機械安裝接口，僅可以提供間距700 mm 的2 個條狀安裝邊界，相機與航天器主結(jié)構(gòu)間距離較遠，需要設置懸臂的過渡支架進行轉(zhuǎn)接，三者之間的空間位置關系如圖1 所示。 在結(jié)構(gòu)重量約束下，設計難度較大。 在航天器發(fā)射段，結(jié)構(gòu)承受的慣性過載分別為縱向(圖1 中豎直向上方向)15g、橫向(圖1 中沿設備安裝方向)10g，同時支架結(jié)構(gòu)安裝相機后的基頻不能與航天器主頻率相耦合。 考慮進度、成本、加工工藝性、導熱性要求、耐腐蝕性等因素，該支架的材料選擇5A06 鋁合金材料。

圖1 支架的空間位置約束Fig. 1 Spatial position constraints of supports to be optimized

傳統(tǒng)設計方法先根據(jù)設計經(jīng)驗完成支架初步構(gòu)型設計，然后對支架進行有限元分析，在應力較低、變形較小的部位去除結(jié)構(gòu)材料，在應力較大的部位增加結(jié)構(gòu)材料，并再次提交有限元分析，如此反復迭代，直至找到能使得結(jié)構(gòu)重量和力學綜合性能較優(yōu)的設計方案。 這種設計方法效率較低，同時也無法保證結(jié)構(gòu)的設計最優(yōu)。采用傳統(tǒng)的設計方案如圖2 所示，支架由前安裝面板和后支撐梁系組成，總重量為15 kg，基頻為60 Hz。

圖2 支架傳統(tǒng)設計方案Fig.2 Traditional design of bracket

3 優(yōu)化模型

3.1 拓撲優(yōu)化

首先通過對支架結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化來確定產(chǎn)品主要傳力路徑和初始構(gòu)型。 結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化一種常用方法是變密度法，屬于材料描述方式，建立材料密度與材料屬性之間的關系[7-8]。 以材料密度為拓撲優(yōu)化的設計變量，將拓撲優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為材料的最優(yōu)分布問題。 假定密度與材料性能的非線性關系見式(1)。

其中，E為材料的彈性模量，ν為材料泊松比，η為單元密度，下標0 表示實際材料特性，α≥1。

拓撲優(yōu)化問題的變密度法數(shù)學模型可以描述為式(2):

式中，ηi為結(jié)構(gòu)中單元密度，是最終的優(yōu)化目標；Compliance為結(jié)構(gòu)的總?cè)岫龋籪i，ti分別為作用在初始結(jié)構(gòu)上的體積力和面積力；ui為單元位移；Ω為設計域；Γ為邊界；V0為給定初始結(jié)構(gòu)材料的質(zhì)量上限，V*為優(yōu)化時指定去除材料的質(zhì)量，優(yōu)化后的質(zhì)量與去除質(zhì)量之和不得大于初始優(yōu)化前的質(zhì)量；ε為單元密度下限；F為整體載荷列陣，K為整體剛度矩陣，U為位移列陣。

對于本文研究對象而言，除支架固定邊界外的材料均可優(yōu)化，以最少的材料得到支架的最小柔度(即最大剛度)。

建立的優(yōu)化模型如圖3 所示。 將相機簡化為集中質(zhì)量點，通過剛性桿單元與支架相連，支架下方兩側(cè)為固定邊界。

圖3 拓撲優(yōu)化初始模型Fig.3 Initial model of topology optimization

3.2 形狀和尺寸優(yōu)化

在拓撲優(yōu)化基礎上，抽象成幾何模型。 在滿足剛度約束下，對支架后支撐梁系的分布進行優(yōu)化，如圖4 所示，在邊界點P1、P2、P3確定的情況下，找到K點的最優(yōu)位置。 比較不同截面形狀，并確定最終的結(jié)構(gòu)尺寸。

圖4 梁系布局優(yōu)化設計Fig.4 Optimized design of the layout of beams

支撐梁的優(yōu)化設計問題可以描述為式(3):

其中，L確定的是K點沿著L2梁的距離尺寸，R為梁長度比:L1/(L1＋L3)，A為梁的截面積，Mass為結(jié)構(gòu)重量，λ為頻率，Φ為可設計域。

4 結(jié)果及討論

4.1 拓撲優(yōu)化結(jié)果

分別采用2 種不同的方式進行拓撲優(yōu)化。

體積約束下的基頻最大化優(yōu)化模型見式(4)。

其中，V為優(yōu)化后體積，V0為初始體積。

為了更加清晰地得到最優(yōu)的支架構(gòu)型，分別以20%、10%、3%3 種體積約束進行優(yōu)化。 圖5 給出了在不同的材料約束下，也即重量約束下的支架最大剛度:在去除80%的材料下，拓撲優(yōu)化后的最優(yōu)結(jié)構(gòu)如圖5(a)所示，此時支架＋相機基頻為306 Hz；在去除90%的材料下，拓撲優(yōu)化后的最優(yōu)結(jié)構(gòu)如圖5(b)所示，此時支架＋相機的基頻為229 Hz；在去除97%的材料下，拓撲優(yōu)化后的最優(yōu)結(jié)構(gòu)如圖5(c)所示，此時支架＋相機的基頻為98 Hz。

圖5 最大基頻下的優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Optimization results for maximum fundamental frequency

頻率約束下的體積最小化優(yōu)化模型見式(5)。

其中λ0為支架要求的最低頻率60 Hz。 得到的優(yōu)化結(jié)果:V＝2.02%，λ＝67.6。 即在滿足基頻大于60 Hz 的約束條件下，最小體積是2.02%，即能去掉約98%的材料。 拓撲優(yōu)化后的支架外形如圖6 所示。

圖6 最小體積下的優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Optimization results for minimum volume

由2 種優(yōu)化方式可知，采用最小體積率的優(yōu)化結(jié)果與采用最大基頻的優(yōu)化結(jié)果很相似，說明優(yōu)化結(jié)果的準確性。 拓撲優(yōu)化后支架與安裝邊界可集中在前后2 個固定座，前側(cè)提供相機安裝接口，后側(cè)設置有2 個支撐結(jié)構(gòu)。

從網(wǎng)格質(zhì)量等方面進行分析，方式1 的優(yōu)化結(jié)果更為清晰，從結(jié)構(gòu)形式上，支撐結(jié)構(gòu)形成的三角形構(gòu)型也更加穩(wěn)定，因此設計出支架構(gòu)型如圖7 所示。 整個支架由兩大部分組成，分別是前安裝面板和后支撐梁系。 前安裝板由鋁板機加而成，為相機提供直接的安裝接口，提供結(jié)構(gòu)的面內(nèi)剛度；后側(cè)的支撐桿，提供垂直面板方向的剛度，支撐桿形成2 個三角形，撐桿與前安裝板采用螺接形式連接。

圖7 根據(jù)拓撲優(yōu)化得到的支架結(jié)構(gòu)Fig.7 Bracket obtained by topology optimization

4.2 形狀與尺寸優(yōu)化結(jié)果

1)前安裝面板優(yōu)化結(jié)果。 前安裝面板主要提供相機安裝的面內(nèi)剛度，保證剛度所需的面板厚度。 根據(jù)主載荷傳力路徑，前安裝面板整體優(yōu)化為三角形構(gòu)型，如圖8 虛線所示，同時在面板內(nèi)部設置多個三角形輔助支撐結(jié)構(gòu)，如圖8 實線所示。 在非安裝區(qū)域和非傳力路徑上進行減輕孔設計。

圖8 支架前安裝面板構(gòu)型Fig.8 Front mounting panel configuration

2)后支撐梁系優(yōu)化結(jié)果。 后支撐梁系主要傳遞拉壓載荷，同時兼顧穩(wěn)定性設計要求。 根據(jù)3.2 節(jié)中的優(yōu)化模型對基頻約束下的梁系參數(shù)進行優(yōu)化，結(jié)果見表1。

表1 梁系優(yōu)化參數(shù)Table 1 Optimize parameters of the beams

3)梁系截面形狀優(yōu)化。 由表1 可知，梁截面積為381 mm2，在此約束下，再優(yōu)選截面形式。 優(yōu)化分析時保證梁的位置不變、截面面積相近，同時保證梁的縱向抗彎性能最大，設計出不同截面形式及相應頻率，如表2 所示。 可以看出，各個截面形式的頻率結(jié)果相近，說明梁系截面面積一定的情況下，拉桿截面形式對支架整體頻率尤其是基頻的影響較小。 考慮加工工藝和連接設計的便利性，最終選擇工字梁的形式。

表2 不同截面形式下的頻率計算結(jié)果Table 2 Frequency calculation results for different cross-sectional forms

4)最終設計狀態(tài)。 最終支架設計模型如圖9所示。 加上一定的工藝加工圓角和連接件，支架設計重量為7.7 kg，較原設計方案輕49%。

圖9 安裝支架最終設計圖Fig.9 Final design drawing of the bracket

4.3 設計驗證

建立支架有限元模型，如圖10 所示，支架采用三維實體模型，網(wǎng)格劃分選擇四面體單元，支架材料彈性模量取70 GPa，泊松比取0.3。 支架與航天器安裝界面進行固定，相機用質(zhì)量點進行模擬，對支架的力學性能進行有限元計算:該支架在各類工況下的最大應力49.9 MPa，強度裕度2.2(大于0)；結(jié)構(gòu)基頻73 Hz，滿足大于60 Hz 的要求。

圖10 支架有限元分析Fig.10 Finite element analysis of the bracket

支架產(chǎn)品加工后安裝到航天器上，給相機提供了結(jié)構(gòu)支撐，并隨航天器發(fā)射上天，經(jīng)歷了發(fā)射過程中的慣性過載和振動載荷的考核。 入軌后，相機在軌工作正常，驗證了支架結(jié)構(gòu)的強度和剛度，產(chǎn)品隨航天器通過了飛行試驗考核。

5 結(jié)論

本文針對某航天器相機安裝支架設計中遇到的安裝邊界條件差、重量要求苛刻、力學性能要求高等難點，采用基于拓撲優(yōu)化設計、形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化設計相結(jié)合的方案對支架進行優(yōu)化，并完成了最終產(chǎn)品的驗證。 結(jié)論如下:

1)通過拓撲優(yōu)化設計能幫助找到最優(yōu)的傳力路徑，快速確定支架的基本構(gòu)型。

2)采用2 種不同的拓撲優(yōu)化設計模型，能使優(yōu)化結(jié)果更為可信。

3)在拓撲優(yōu)化結(jié)果基礎上，結(jié)合工程實際，進一步開展形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化，可得到結(jié)構(gòu)性能更優(yōu)的設計參數(shù)。

4)采用優(yōu)化技術(shù)設計的相機支架滿足航天器產(chǎn)品設計要求，通過飛行試驗考核。