田 婭，秦 瑤，向 晶

（重慶郵電大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400065）

引言

反應(yīng)擴(kuò)散方程是一類非常重要的偏微分方程，通常用來(lái)解釋和預(yù)測(cè)自然界中廣泛存在的擴(kuò)散現(xiàn)象.本文將考慮如下帶有變指數(shù)非局部項(xiàng)的擴(kuò)散方程：

其中m≥2，p(x)＞1.利用能量方法，他們得到了類似文獻(xiàn)[12]的結(jié)果.即初始能量足夠大時(shí)，解在有限時(shí)刻爆破.進(jìn)一步地，Baghaei 等在文獻(xiàn)[15] 中給出了問(wèn)題(4)解的爆破時(shí)間下界估計(jì).在爆破問(wèn)題的研究中，通常使用的研究方法(上下解方法、能量方法等)一般可以直接導(dǎo)出爆破時(shí)間的上界.然而，在實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)爆破時(shí)間下界的估計(jì)往往具有更重要的應(yīng)用參考價(jià)值.

據(jù)筆者所知，對(duì)于問(wèn)題(1)解的有限時(shí)間爆破行為，目前尚無(wú)學(xué)者進(jìn)行研究.因此，受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文將討論問(wèn)題(1)的解的爆破問(wèn)題，給出爆破發(fā)生的條件，并對(duì)爆破時(shí)間的上、下界進(jìn)行估計(jì).全文結(jié)構(gòu)如下：首先，由不動(dòng)點(diǎn)定理，證明問(wèn)題(1)解的局部存在性和唯一性；其次，利用上下解方法，給出問(wèn)題(1)的解在有限時(shí)刻爆破的充分條件；接下來(lái)，利用能量估計(jì)方法，借助輔助函數(shù)以及一些不等式給出爆破時(shí)間的下界估計(jì)；最后，通過(guò)舉例驗(yàn)證了本文結(jié)論的可行性.

1 解的局部存在性

2 解在有限時(shí)刻爆破

3 爆破時(shí)間下界估計(jì)

4 應(yīng)用舉例

5 結(jié)論

本文研究了一類具有變指數(shù)項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程的爆破問(wèn)題.通過(guò)上下解方法、能量估計(jì)及各種不等式技巧給出了問(wèn)題解在有限時(shí)間發(fā)生爆破的充分條件，并得到了爆破時(shí)間的上下界估計(jì).最后通過(guò)實(shí)例對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證.從實(shí)例中可以看出，爆破時(shí)間的上、下界估計(jì)比較接近，說(shuō)明定理中給出的時(shí)間界限估計(jì)較為準(zhǔn)確，具有一定的參考價(jià)值.

由于反應(yīng)項(xiàng)中存在變指數(shù)，給爆破發(fā)生的臨界指數(shù)的確定帶來(lái)了很大的困難，因此本文只給出了爆破發(fā)生的充分條件.對(duì)于必要條件還須尋求新技術(shù)作進(jìn)一步探討.