李曉曉，孫付春，吳昊榮

(成都大學a.機械工程學院；b.電子信息與電氣工程學院，成都 610106)

0 引言

在保證制造精度和裝配精度的前提下，通過誤差補償能有效提高數控機床加工精度[1]，而空間誤差模型的建立和幾何元素的辨識直接決定了誤差補償精度，精確建立機床空間誤差模型以及實施有效幾何誤差元素辨識方法是實現(xiàn)機床空間誤差補償的基礎。目前常用的測量方法[2]包括直接測量和間接測量，直接測量方法基于激光干涉原理衍生出了“九線法”[3]、“十二線法”[4]、“十三線法”[5]、“空間體對角線法”[6]等多種機床幾何誤差元素辨識方法。激光干涉儀安裝調試過程復雜、檢測效率低，且安裝誤差無法估計，很難獲得單個幾何誤差元素的準確值[7]；同時，單個平動軸運動產生的幾何誤差測量值應為平動軸定位誤差和相垂直軸產生的轉角誤差的綜合影響[8]。目前針對使用激光干涉儀獲取單個幾何誤差元素值的準確性存在很大的爭議[7]。采用球桿儀的間接測量方法具有測量精度高及測試過程僅需一次安裝等優(yōu)點，被廣泛應用于機床旋轉軸幾何誤差元素辨識研究中?；谇驐U儀測量原理的機床幾何誤差元素辨識模型主要由機床空間誤差模型推導得到，綜合考慮機床PDGEs[7]和PIGEs[7]時，辨識模型與幾何誤差元素映射關系復雜程度高[1]。PDGEs的非線性關系[9]極易產生辨識模型不適定問題，導致辨識過程復雜、計算工作量冗余，難以實現(xiàn)快速幾何誤差元素辨識。為降低辨識難度，IBARAKI、LEE等[9-10]提出將PIGEs作為關鍵幾何誤差源，忽略PDGEs的影響，從而簡化辨識模型，并利用最小二乘法得到辨識結果；TIAN等[7]指出PDGEs的復雜非線性映射關系可能導致幾何誤差元素辨識結果的巨大差異，嚴重影響辨識的準確性；尤其當測量空間不能遍歷所有空間誤差分量時，辨識模型不適定問題更嚴重，這一問題可通過優(yōu)化測量點或選取適當的算法來改善辨識模型不適定的問題，但誤差測量點通常為隨機選取，優(yōu)化難度大。目前，國內使用球桿儀測量方法辨識平動軸幾何誤差元素方面的研究相對較少。為此，提出一種利用基于球桿儀測量原理的立式加工中心平動軸幾何誤差元素辨識方法。

1 建立立式加工中心幾何誤差元素辨識模型

研究對象是一臺J1VMC400B型立式加工中心，因3個平動軸在制造及裝配過程中存在幾何誤差，導致運動過程中會出現(xiàn)定位誤差，所以對各平動軸的幾何誤差元素進行辨識研究。

1.1 機床PDGEs與PIGEs

立式加工中心包含21項幾何誤差元素[11]，其中包括18項位置相關幾何誤差元素(PDGEs)和3項位置無關幾何誤差元素(PIGEs)，如表1所示。PIGEs主要為平動軸間的垂直度誤差。

表1中，δuv、εuv為線性誤差和轉角誤差；u、v為X、Y、Z軸，前者為誤差方向，后者為運動方向；Sxy、Syz、Sxz為3項垂直度誤差。

PDGEs表現(xiàn)為單一運動軸線運動部件在運動過程中的六維位姿幾何誤差元素，可描述為所屬安裝軸運動坐標的函數。為體現(xiàn)PDGEs與運動軸坐標的非線性關系、滿足工業(yè)應用的需求以及規(guī)避高階次擬合函數數學參數過多導致過擬合的問題[12]，采用3階多項式函數擬合PDGEs[1]。當機床處于初始位置(即運動軸未動)，機床誤差僅受PIGEs的影響，故忽略PDGEs多項式函數中的常數項系數。以δxx為例，可表示為：

δxx=a1·x+a2·x2+a3·x3

(1)

式中，a1、a2、a3分別為多項式系數，其他PDGEs同理可得。

1.2 基于螺旋理論的立式加工中心運動學正解模型

圖1 立式加工中心運動鏈

機床運動鏈常被用于研究機床誤差[1]，根據立式加工中心各部件相對于床身的運動，可將機床運動鏈劃分為刀具運動鏈和工件運動鏈，如圖1所示。為了避免傳統(tǒng)建模方法中因使用多個局部坐標系導致建模過程復雜、通用性差的弊端[13]，以螺旋理論[14]為數學工具，建立立式加工中心刀具運動鏈末端(刀尖點)相對于工件運動鏈末端(工件上某點)的實時運動方程。

圖1中，立式加工中心的X軸、Y軸和工件屬于工件運動鏈，Z軸和刀具屬于刀具運動鏈，分別在床身、工件和刀具上建立基坐標系ObXbYbZb、工件坐標系OwXwYwZw和刀具坐標系OtXtYtZt?；鴺讼礝bXbYbZb理論上可以定義在當所有坐標軸的位移為0時機床上的任意位置，這里選取機床原點為基坐標系原點，工件坐標系原點可為工件上的任意位置。根據旋量理論中三維空間的剛體變換和開環(huán)運動鏈運動學正解建模原理[14]，可得理想狀態(tài)下刀尖點相對于工件上某點在基坐標系中的位置向量：

(2)

(3)

(4)

實際運動過程中，因存在PDGEs和PIGEs，實際運動位置偏離理想運動位置，將PDGEs和PIGEs均采用運動螺旋指數形式表示[12]，可得實際狀態(tài)下刀尖點相對于工件坐標系原點在基坐標系中的位置向量：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

sx=[δxxδyxδzxεxxεyxεzx]
sy=[δxyδyyδzyεxyεyyεzySxy]
sz=[δxzδyzδzzεxzεyzεzzSyzSxz]

式中，sx、sy、sz分別為X、Y、Z軸的PDGEs和PIGEs構成的誤差源向量；Hx、Hy、Hz分別為X、Y、Z軸的幾何誤差元素的誤差映射矩陣，可根據運動位置確定。

1.3 基于DBB測量原理建立幾何誤差元素辨識模型

圖2 機床-DBB測量系統(tǒng)幾何誤差元素辨識模型形成原理

考慮到DBB是一種用于測量機床兩軸聯(lián)動精度(或空間距離)的精密儀器，所以將其應用于實時檢測及采集機床的定位誤差。球桿儀的兩個精密球(工件球和工具球)分別吸附于安裝在工作臺面和主軸的磁性座上，可實時檢測兩球心之間的變化值(即DBB桿長誤差)。由于工具球安裝于主軸側，其球心位置的變化主要受刀具運動鏈的影響，工件球則主要受到工件運動鏈的影響。當機床按照特定軌跡運動時，根據刀尖點相對于工件上某點的實時運動方程和DBB測量原理，可得到關于DBB桿長誤差的幾何誤差元素辨識模型。

(10)

式中，l為DBB校正桿長，可在Renishaw Ballbar20軟件中讀取數據；nideal為DBB桿長向量Lideal的單位向量。

對式(10)兩側作微小攝動[7]，可得：

Δl·nideal+l·Δnideal=Δept-(Δepw+Δeinstall)

(11)

式中，Δeintall為磁力支座鎖緊時產生的安裝誤差[10]，Δeintall=[ΔexΔeyΔez]T。

(12)

Δlmodel=Hi·s

(13)

式(12)即為當前測量位置立式加工中心-DBB測量系統(tǒng)幾何誤差元素辨識模型，也可寫成式(13)的形式，Hi為當前位置DBB桿長誤差與幾何誤差元素間的映射矩陣，包含了機床結構參數和運動位置等信息；s為待辨識誤差參數向量，由18項PDGEs和3項PIGEs構成。當采用3階多項式擬合所有PDGEs時，s可寫成包含54項PDGEs多項式系數、3項PIGEs和3項DBB安裝誤差的誤差參數向量，共計60項待辨識參數。

(14)

優(yōu)化變量：a1、a2、a3、…、a54、Sxy、Syz、Sxz、Δex、Δey、Δez，共計60項待辨識參數。

2 基于SA-GA的立式加工中心幾何誤差元素辨識算法

圖3 模擬退火遺傳算法求解機床幾何誤差元素辨識模型算法流程

表2 不同噪聲條件下的辨識精度仿真結果

結果表明，隨著測量噪聲的不斷增大，每種方法的辨識精度均有所降低，而模擬退火遺傳算法下降最慢，遺傳算法和模擬退火算法下降速度次之，最小二乘法下降速度最快，說明模擬退火遺傳算法的求解穩(wěn)定性最好，驗證了應用模擬退火遺傳算法求解機床幾何誤差元素辨識模型的有效性和優(yōu)越性。

3 實驗與結果

辨識實驗在J1VMC400B型立式加工中心上進行，DBB安裝與測量系統(tǒng)如圖4所示，機床工作空間為780 mm×480 mm×580 mm。球桿儀測量過程中，僅需一次安裝操作，刀具球相對于工具球繞行3段圓弧軌跡，分別在XY/YZ/ZX平面內采集360°/220°/220°圓弧軌跡的DBB桿長變化量，每條測量軌跡沿順時針、逆時針方向各檢測3次。選用DBB桿長l=100 mm、進給速度f=500 mm/min開展實驗。辨識實驗中工具球安裝在機床工作臺的中心位置(如圖4所示的辨識點)，實驗條件按照ISO230-1：2012和ISO230-4中相關要求執(zhí)行，實驗前機床預熱3 h，實驗需在恒溫車間中進行，室內環(huán)境溫度控制在18 ℃±1 ℃范圍內。因整個實驗進給速度慢，實驗時間用時短，故忽略熱誤差和伺服誤差；檢測設備及輔助工裝重量遠小于常規(guī)零件的重量，忽略負載誤差。檢測結果如圖5所示。

(a) XY平面 (b) YZ平面 (c) XZ平面

(a) XY平面 (b) YZ平面 (c) XZ平面

對XY、YZ、ZX平面的測量結果取均值，3條均值曲線上均勻選取m個測點，辨識數據向量Δl=[ΔlxyΔlyzΔlxz]T。將辨識數據向量代入式(12)，采用模擬退火遺傳算法求得待辨識誤差參數向量s，隨后將辨識結果代入各幾何誤差元素的多項式函數，便得到各項PDGEs的辨識結果，PIGEs辨識結果如表3所示，圖6～圖8分別為X、Y、Z軸的6項誤差元素隨運動軸坐標變化的曲線圖。

表3 PIGEs辨識結果

圖6 X軸6項誤差元素辨識結果 圖7 Y軸6項誤差元素辨識結果

圖8 Z軸6項誤差元素辨識結果

4 驗證

為驗證辨識結果的準確性，另外選取4個安裝位置采集DBB桿長誤差數據，如圖4中所示的驗證點1、2、3、4。驗證點以辨識實驗中DBB安裝位置為中心，覆蓋400 mm×200 mm×120 mm的機床常用工作空間，驗證實驗在與辨識實驗相同的條件下完成。驗證過程如下：①分別對驗證點1、2、3、4處采集到的XY、YZ、ZX平面的實驗數據取均值，構成DBB桿長誤差實測值向量；②再根據機床空間誤差模型和DBB桿長誤差形成原理，計算不同驗證點處DBB桿長誤差理論值向量；③對比各驗證點處DBB桿長誤差實測值與理論值向量的平均偏差，平均偏差值越小說明機床幾何誤差元素辨識結果正確性越高。

圖9為驗證點1處XY、YZ、ZX平面的DBB桿長誤差對比曲線，橫坐標為數據采集點編號，球桿儀在XY、YZ、ZX平面內以兩軸聯(lián)動方式做圓周運動，會在X、Y、Z軸反向時產生反向間隙和反向躍沖。因反向間隙和反向躍沖的影響較大導致DBB桿長誤差理論值與實測值在此處偏差較大，且3個平面內最大偏差均位于運動軸反向位置，并在ZX平面X軸反向位置達到最大偏差5.93 μm，各平面內的曲線變化趨勢基本一致，兩者間的平均偏差為1.12 μm。驗證點2、3、4處DBB桿長誤差理論值與實測值曲線與驗證點1處的對比結果大致相同，最大偏差分別為6.13 μm、6.02 μm、6.46 μm，平均偏差分別為1.53 μm、1.62 μm、1.47 μm。

(a) XY平面 (b) YZ平面

5 結論

提出一種基于球桿儀測量原理的三軸聯(lián)動立式加工中心幾何誤差元素辨識方法，相對于常用的基于激光干涉原理的辨識方法，在保證測量精度的同時大幅提升了檢測效率。

(1)考慮到立式加工中心PDGEs的非線性關系以及DBB測量數據量過大可能引起辨識方程組線性相關和辨識模型映射矩陣病態(tài)程度惡化兩方面因素導致求解不穩(wěn)定問題，將辨識模型轉化為優(yōu)化設計問題，采用模擬退火遺傳算法進行求解，有效提高了幾何誤差元素辨識模型求解穩(wěn)定性。

(2)設計了DBB辨識實驗和驗證實驗，在幾何誤差元素辨識結果基礎上，對比各驗證點的實驗數據，最大平均偏差為1.62 μm，證明了所提方法用于辨識機床幾何誤差元素的正確性和有效性。