齊照輝, 張今, 王遠(yuǎn)卓,3, 王嘉, 徐夢(mèng)榮, 張程

(1.航天飛行器生存技術(shù)與效能評(píng)估實(shí)驗(yàn)室, 北京 100089; 2.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072;3.北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100191; 4.西安郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 陜西 西安 710121)

隨著被攻擊目標(biāo)防御水平的提升，傳統(tǒng)引戰(zhàn)配合攻擊目標(biāo)的方式已經(jīng)不能完全地摧毀目標(biāo)。為解決上述問題，最好的制導(dǎo)控制思路是通過動(dòng)能殺傷方式控制飛行器直接碰撞攻擊目標(biāo)[1]。對(duì)于非傳統(tǒng)合作目標(biāo)，常常需要以特定的彈道傾角在保證終端脫靶量條件下攻擊目標(biāo)[2]以達(dá)到最大毀傷效果。

近年來，國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者針對(duì)終端落角約束進(jìn)行了大量的研究，歸納總結(jié)為以下3種：變系數(shù)比例制導(dǎo)控制落角、滑模變結(jié)構(gòu)控制落角、最優(yōu)控制落角。Lu等[2]在比例制導(dǎo)的基礎(chǔ)上首創(chuàng)性地提出通過實(shí)時(shí)計(jì)算比例系數(shù)控制終端落角的方法；KUMAR等[3-5]提出了通過滑模變結(jié)構(gòu)控制終端落角的思想；陳克俊等[6-7]通過最優(yōu)控制的思想，在不考慮飛行速度變化的條件下提出了控制縱向終端落角的最優(yōu)制導(dǎo)律。上述方法雖然對(duì)終端落角實(shí)現(xiàn)了一定程度的控制，但相對(duì)來說抗干擾能力差。

為解決上述問題，本文引入了滑?？刂频乃枷?。滑?？刂茖?duì)存在不確定性、干擾和未建模動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性，尤其對(duì)末制導(dǎo)段強(qiáng)非線性系統(tǒng)具有較為良好的控制效果。Shtessel等[8]通過動(dòng)態(tài)調(diào)整控制增益，提出了確保在有限時(shí)間內(nèi)建立二階滑模的方法。劉暢等[9]不僅利用李雅普諾夫函數(shù)證明了超螺旋制導(dǎo)律有限時(shí)間的穩(wěn)定性，還給出了終端收斂時(shí)間的估計(jì)公式。Esfahani等[10]通過引入近似動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法提升了超螺旋滑?？刂破鞯目刂菩阅?。但上述方法均沒有將滑?？刂破鲬?yīng)用到標(biāo)稱軌跡的跟蹤控制問題中。國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)表明，對(duì)標(biāo)稱軌跡進(jìn)行彈道跟蹤主要通過PID方法，但PID彈道跟蹤法存在的問題是參數(shù)設(shè)定過于依賴經(jīng)驗(yàn)。部分學(xué)者將LQR引入彈道跟蹤控制問題中，Dukeman[11]提出了通過LQR跟蹤標(biāo)稱狀態(tài)(落角)的思想，但由于該方法采用的線性控制器與非線性模型存在較大的誤差，故控制精度相對(duì)較低且抗干擾能力同樣較差。

為解決上述問題，本文基于滑模非線性控制抗干擾的優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合基于兩點(diǎn)邊值問題建立的最優(yōu)標(biāo)稱軌跡，提出了基于自適應(yīng)超螺旋滑模跟蹤控制方法用以對(duì)標(biāo)稱軌跡進(jìn)行良好的跟蹤。其中最優(yōu)軌跡通過高斯偽譜法離散與非線性規(guī)劃求解兩點(diǎn)邊值問題得到；滑?？刂破鞑捎米赃m應(yīng)超螺旋算法用以實(shí)現(xiàn)對(duì)標(biāo)稱狀態(tài)量的跟蹤。

1 彈道跟蹤模型構(gòu)建與控制器設(shè)計(jì)

1.1 彈道跟蹤控制模型建立

(1)

式中:V為導(dǎo)彈速度;θ為彈道傾角;x,y為2個(gè)方向的位置坐標(biāo);nx,ny為x方向和y方向的控制量[12]。g為重力加速度，取9.81 m/s2。

本文在進(jìn)行跟蹤控制器設(shè)計(jì)時(shí)，不考慮發(fā)動(dòng)機(jī)推力特性，x方向位移由導(dǎo)彈速度決定，因此本文在進(jìn)行跟蹤控制器設(shè)計(jì)時(shí)，僅取彈道傾角θ和y方向坐標(biāo)作為跟蹤模型的狀態(tài)變量，得到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程

(2)

為實(shí)現(xiàn)對(duì)標(biāo)稱軌跡的跟蹤控制，對(duì)上述跟蹤問題，將實(shí)際彈道與標(biāo)準(zhǔn)彈道進(jìn)行偏差計(jì)算，取偏差量為跟蹤模型狀態(tài)變量x，即

(3)

對(duì)(3)式求導(dǎo)，得[13]

(4)

式中,不受控變量V取相應(yīng)時(shí)刻基準(zhǔn)彈道上的狀態(tài)值,用下標(biāo)d標(biāo)注。取過載偏差量Δny=ny-nyd為控制變量。令uy=Δny,上述模型可轉(zhuǎn)化為

(5)

至此建立了彈道跟蹤控制模型。

1.2 最優(yōu)標(biāo)稱軌跡的建立

考慮到初始狀態(tài)和終端狀態(tài)((1)式中的4個(gè)狀態(tài))約束,最優(yōu)標(biāo)稱軌跡的建立是一個(gè)典型的兩點(diǎn)邊值問題。性能指標(biāo)選取為

(6)

(6)式性能指標(biāo)的選取,保證了標(biāo)稱控制指令較為光滑,不會(huì)出現(xiàn)抖振較大的現(xiàn)象,保證了工程實(shí)現(xiàn)的可行性。

最優(yōu)標(biāo)稱軌跡的建立流程如下:考慮到微分方程中各狀態(tài)數(shù)值相差較大的特性,對(duì)(1)式各狀態(tài)進(jìn)行歸一化處理[14-15],以保證后續(xù)數(shù)值計(jì)算不會(huì)出現(xiàn)矩陣條件數(shù)較大(奇異)的問題,通過高斯偽譜法將微分狀態(tài)方程離散,利用非線性規(guī)劃方法得到最優(yōu)標(biāo)稱軌跡,并利用數(shù)值驗(yàn)證最優(yōu)性條件。

本文建立的標(biāo)稱軌跡如圖1～2所示,可以看出整個(gè)標(biāo)稱軌跡較為光滑,沒有出現(xiàn)控制量抖振較大的現(xiàn)象。需要注意的是:所建立的標(biāo)稱軌跡為開環(huán)的最優(yōu)標(biāo)稱軌跡,故需要設(shè)計(jì)一種跟蹤律對(duì)標(biāo)稱軌跡進(jìn)行跟蹤控制以保證終端狀態(tài)滿足要求。

圖1 標(biāo)稱彈道軌跡

圖2 標(biāo)稱軌跡彈道傾角

1.3 自適應(yīng)超螺旋滑模算法

定義非線性系統(tǒng)跟蹤問題為

y=s(x,t)

(7)

式中:x∈X?Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;v∈U?R為控制器的輸入,函數(shù)f(x)和g(x)是未知但有界的非線性函數(shù),y是系統(tǒng)輸出值。定義s(x,t)為滑模變量,通過設(shè)計(jì)使滑模變量s→0時(shí),y→0。

滑?？刂破鞯暮诵乃枷胧钱?dāng)系統(tǒng)存在不確定性和外部擾動(dòng)的情況下,設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制輸入v使滑模變量s在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0,進(jìn)而使系統(tǒng)輸出狀態(tài)y趨于0。需要注意的是,滑模變量s的定義是基于控制目標(biāo)y和其相對(duì)階定義的[16]。假設(shè)系統(tǒng)的相對(duì)階為1,對(duì)滑模變量s求導(dǎo)得到

(8)

式中,a和b為未知但有界的函數(shù),滿足|a|≤aM,0≤bm≤b≤bM。對(duì)于x∈X且t>0:aM,bm和bM為正常數(shù)。

基于上述假設(shè),考慮到滑?？刂频哪繕?biāo)是設(shè)計(jì)控制輸入v使滑模變量s在有限時(shí)間內(nèi)趨于0,故使用如下的超螺旋算法[17]

(9)

式中,k1和k2為控制器增益,取值均大于0,w為中間參數(shù),w(0)=0。當(dāng)滿足(10)式所述條件時(shí)

(10)

為解決上述問題,使用自適應(yīng)增益的策略,使控制器增益隨著控制精度的變化而變化:當(dāng)控制精度滿足要求時(shí),通過減小增益降低滑?？刂屏康亩墩?當(dāng)控制精度較低時(shí),通過增大增益來提高控制精度。本文采用自適應(yīng)超螺旋控制器(adaptive super-twisitng,ASTW)[8,18]來解決導(dǎo)彈跟蹤控制中的外部干擾問題,提高了控制精度。針對(duì)(9)式中增益k1和k2的自適應(yīng)律設(shè)計(jì)如(11)式所示

(11)

式中,k1m,ε,χ,μ和k為正常數(shù)。此外,k1的初始狀態(tài)k1(0)>k1m。上述自適應(yīng)增益的設(shè)計(jì)思想為:

1) 如果|s|>μ,則控制精度低于由μ定義的期望精度值。此時(shí)控制器的增益較低,故根據(jù)(11)式,k1和k2應(yīng)增大;

2) 如果|s|<μ,則控制精度較高。此時(shí)控制器的增益較大,故根據(jù)(11)式,k1和k2將減小;

3) 參數(shù)k為一非常小的正常數(shù),其作用是保證k1為正。

上述方法的穩(wěn)定性證明參考文獻(xiàn)[8,18]。

1.4 跟蹤控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)(5)式,考慮到該問題通過ny控制高度y與彈道傾角θ,故該問題是典型的欠驅(qū)動(dòng)問題,因此,本文設(shè)計(jì)滑模面為

s=βsigα(x1)+λ1x1+x2

(12)

式中,α∈(1,2),sigα(x1)=|x1|αsign(x1)。

對(duì)(12)式求導(dǎo)得到

(13)

因?yàn)橄到y(tǒng)的相對(duì)階假設(shè)為1，根據(jù)自適應(yīng)超螺旋算法，本文設(shè)計(jì)的控制器為

(14)

式中，v同(9)式所示。為驗(yàn)證(14)式設(shè)計(jì)的控制器能滿足滑模變量s趨近于0，將(14)式代入(13)式，(13)式可化為

(15)

2 算例分析

2.1 模型驗(yàn)證

根據(jù)文獻(xiàn)[13]可知，導(dǎo)彈的速度特性已知，故本文不考慮對(duì)導(dǎo)彈速度與x方向的位置進(jìn)行控制，只對(duì)4個(gè)狀態(tài)中的2個(gè)進(jìn)行控制。初始和期望終端狀態(tài)設(shè)定見表1。

表1 初始和期望終端狀態(tài)設(shè)定

基于表1所述的兩點(diǎn)邊值問題，通過高斯偽譜法離散微分方程并通過非線性規(guī)劃得到兩點(diǎn)邊值問題的最優(yōu)解，標(biāo)稱軌跡如圖3～6(圖中藍(lán)色虛線曲線)所示。

圖3 導(dǎo)彈飛行軌跡 圖4 導(dǎo)彈過載隨時(shí)間的變化曲線圖5 導(dǎo)彈彈道傾角隨時(shí)間變化曲線

圖6 導(dǎo)彈y方向位置隨時(shí)間的變化曲線

根據(jù)上文所建立的標(biāo)稱軌跡，通過滑模超螺旋控制器控制導(dǎo)彈在存在初始狀態(tài)偏差(y方向位置偏差100 m，初始彈道傾角偏差3°)的情況下對(duì)標(biāo)稱軌跡進(jìn)行跟蹤。

根據(jù)上文自適應(yīng)參數(shù)的思想，超螺旋滑?？刂破鞯膮?shù)設(shè)定如表2所示。

表2 控制器參數(shù)設(shè)定

控制器跟蹤標(biāo)稱軌跡的結(jié)果如圖3～6的實(shí)際曲線(圖中紅色曲線)所示。從圖3可以看出跟蹤軌跡不僅整體較為光滑，還對(duì)標(biāo)稱軌跡實(shí)現(xiàn)了良好的跟蹤。從圖4可以看出，在考慮控制限幅的情況下，控制量曲線很快收斂到標(biāo)稱控制曲線，整體跟蹤控制量較為光滑，跟蹤效果較好。圖5和圖6的跟蹤曲線表明在存在初始狀態(tài)偏差的情況下，實(shí)際狀態(tài)很快收斂到標(biāo)稱狀態(tài)。終端誤差如表3所示。

表3 滑模彈道跟蹤法終端誤差表

從表3可以看出在存在初始狀態(tài)偏差的情況下，終端狀態(tài)誤差值均較小。故所提出的基于標(biāo)稱軌跡的超螺旋滑模跟蹤控制器具有較好的控制效果。

2.2 方法對(duì)比驗(yàn)證

為驗(yàn)證基于自適應(yīng)超螺旋滑模彈道跟蹤控制方法的優(yōu)越性與先進(jìn)性，需要與不同方法進(jìn)行對(duì)比。文獻(xiàn)中常通過PID或LQR對(duì)標(biāo)稱軌跡進(jìn)行跟蹤控制，故本文通過在標(biāo)稱軌跡離散點(diǎn)設(shè)計(jì)多個(gè)LQR控制器作為對(duì)比方法進(jìn)行驗(yàn)證。

表4 LQR彈道跟蹤法終端誤差

相比于表3滑模彈道跟蹤法所示的終端誤差，從表4可以看出LQR彈道跟蹤法高度誤差較大，故LQR彈道跟蹤法的精度相對(duì)較低，適用性相對(duì)較差。

2.3 蒙特卡羅仿真

為驗(yàn)證基于標(biāo)稱軌跡的超螺旋滑模跟蹤控制器方法的抗干擾性能，本文通過蒙特卡羅法仿真驗(yàn)證了在存在不同初始狀態(tài)偏差情況下的仿真效果。

本文隨機(jī)生成滿足正態(tài)分布的初始偏差狀態(tài)值如表5所示。

表5 隨機(jī)初始狀態(tài)偏差設(shè)定

根據(jù)表5所示的隨機(jī)初始狀態(tài)偏差設(shè)定，本文通過不同次數(shù)(10,100,1000)的蒙特卡羅模擬驗(yàn)證方法的性能。模擬結(jié)果如圖7～9所示。

圖7 10次蒙特卡羅模擬 圖8 100次蒙特卡羅模擬 圖9 1 000次蒙特卡羅模擬

從圖7～9可以看出，2個(gè)終端狀態(tài)的誤差均較小且分布較為均勻。終端y方向誤差基本控制在10 m以內(nèi)，終端彈道傾角θ誤差基本控制在0.15°內(nèi)。

為了定量有效分析整體蒙特卡羅仿真數(shù)據(jù)的結(jié)果，計(jì)算實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的均值與方差如表6所示。

表6 仿真數(shù)據(jù)的均值與方差

從表6可以看出，2個(gè)狀態(tài)誤差的均值與方差均較小，能滿足導(dǎo)彈控制終端位置與終端角度的要求。針對(duì)不同初始狀態(tài)的偏差，所提出的基于標(biāo)稱軌跡的超螺旋滑模跟蹤控制方法終端誤差較小，抗干擾性能較好，體現(xiàn)了滑模超螺旋跟蹤控制律的優(yōu)越性。

2.4 仿真結(jié)果分析

在初始狀態(tài)偏差不太大的情況下，基于自適應(yīng)超螺旋滑模跟蹤控制器跟蹤效果較好(終端誤差較小)且控制量相對(duì)較為光滑，穩(wěn)定跟蹤后沒有出現(xiàn)控制量飽和的現(xiàn)象。

從蒙特卡羅法仿真的結(jié)果可以看出，該方法在不同初始狀態(tài)偏差(干擾)下終端位置與角度誤差均較小，控制效果良好，故該方法具有相對(duì)良好的抗干擾性能。

3 結(jié) 論

本文通過求解兩點(diǎn)邊值問題建立最優(yōu)標(biāo)稱軌跡，結(jié)合滑模超螺旋控制器思想，提出了基于自適應(yīng)超螺旋滑模跟蹤控制器設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了二維平面內(nèi)標(biāo)稱軌跡的跟蹤控制問題。本文的主要結(jié)論如下：

1) 本文通過高斯偽譜法離散微分方程,并通過非線性規(guī)劃求解兩點(diǎn)邊值問題得到開環(huán)最優(yōu)標(biāo)稱軌跡。因標(biāo)稱軌跡是最優(yōu)的，故所提出的基于標(biāo)稱軌跡的超螺旋滑模跟蹤控制方法具有接近最優(yōu)的特性。

2) 由于超螺旋滑模跟蹤控制律具有較強(qiáng)抵抗外界干擾的能力，在初始狀態(tài)偏差不太大的情況下，滑模控制律可以控制導(dǎo)彈軌跡與制導(dǎo)指令曲線很快收斂到標(biāo)稱值。不同次數(shù)的蒙特卡羅模擬結(jié)果表明終端狀態(tài)偏差的誤差均較小，位置誤差控制在10 m以內(nèi)，傾角誤差控制在0.15°內(nèi)，整體控制效果較好。