程毅, 余智豪, 趙金瑞, 周云

(中國(guó)直升機(jī)設(shè)計(jì)研究所 直升機(jī)旋翼動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江西 景德鎮(zhèn) 333001)

帶吊艙的大展弦比機(jī)翼的氣彈動(dòng)力學(xué)問(wèn)題是太陽(yáng)能飛行器、重型傾轉(zhuǎn)旋翼機(jī)、分布式多槳機(jī)翼和分布式推進(jìn)垂直起降飛行器設(shè)計(jì)研究中需要重點(diǎn)關(guān)注研究的。分析機(jī)翼的氣彈響應(yīng)時(shí)，其結(jié)構(gòu)幾何非線性效應(yīng)不能忽視。對(duì)于分布式吊艙機(jī)翼，在吊艙的集中質(zhì)量及慣量和飛行氣動(dòng)載荷作用下，機(jī)翼會(huì)有更大的彎曲和扭轉(zhuǎn)變形[1]，結(jié)構(gòu)上的變形又對(duì)飛行載荷產(chǎn)生較大影響，形成結(jié)構(gòu)/氣動(dòng)耦合現(xiàn)象，使得機(jī)翼氣彈特性產(chǎn)生顯著變化[2]。

自20世紀(jì)70年代開(kāi)始，國(guó)內(nèi)外就有大量科研人員對(duì)大變形懸臂梁變形和動(dòng)特性等問(wèn)題展開(kāi)理論計(jì)算和試驗(yàn)研究。Dowell為驗(yàn)證中等變形梁模型的精確性，在1974年進(jìn)行一系列大變形情況下的均勻懸臂梁靜動(dòng)態(tài)試驗(yàn)，被稱作Princeton梁試驗(yàn)[3-4]，該試驗(yàn)后來(lái)成為評(píng)價(jià)非線性梁理論正確與否的標(biāo)準(zhǔn)。Tang和Dowell[5]采用H-D方程[6]，對(duì)帶配重的懸臂梁機(jī)翼(Tang機(jī)翼)模型開(kāi)展風(fēng)洞試驗(yàn)，之后Arena[7]采用B-L理論對(duì)文獻(xiàn)[5-6]結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。Patil[8]采用本征梁和修正非線性理論模型對(duì)大展弦比機(jī)翼的氣彈動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析計(jì)算。Steven等[9]采用雙重網(wǎng)格MSC Nastran和雷諾平均N-S的FUN3D2種空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法對(duì)分布式多槳機(jī)翼進(jìn)行氣動(dòng)彈性分析。James等[10]針對(duì)分布式電動(dòng)多槳機(jī)翼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)進(jìn)行研究，提出一種動(dòng)力學(xué)驅(qū)動(dòng)的準(zhǔn)-逆設(shè)計(jì)方法。NASA近幾年也開(kāi)展了分布式電驅(qū)動(dòng)垂直起降飛行器(VTOL)的探索研究[11-12]。國(guó)內(nèi)在大展弦比機(jī)翼理論建模和分析研究上仍處于學(xué)習(xí)跟蹤階段，建模方法主要有中等變形梁理論和商用軟件等。謝長(zhǎng)川等[13]采用線性化方法計(jì)算飛行及突風(fēng)狀態(tài)下大展弦比機(jī)翼非線性變形，研究結(jié)構(gòu)非線性變形對(duì)機(jī)翼固有特性及氣彈動(dòng)特性的影響。付志超等[14]采用本征梁和有限入流理論模型對(duì)大展弦比機(jī)翼的幾何非線性氣彈動(dòng)特性進(jìn)行研究。至于分布式多槳機(jī)翼研究國(guó)內(nèi)尚屬理論研究階段。

針對(duì)帶有分布式吊艙的大展弦比機(jī)翼，本文基于中等變形梁和準(zhǔn)定常理論模型對(duì)分布式吊艙機(jī)翼氣動(dòng)彈性進(jìn)行計(jì)算。首先對(duì)Tang機(jī)翼[15]進(jìn)行分析，在考慮重力的影響下計(jì)算該機(jī)翼氣彈動(dòng)特性，計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[5,15]吻合，證明本文采用理論模型和分析方法的正確性。沿機(jī)翼展向位置添加分布式吊艙，忽略吊艙氣動(dòng)力對(duì)機(jī)翼影響，研究吊艙參數(shù)對(duì)分布式吊艙機(jī)翼顫振的影響，最后采用時(shí)域積分法計(jì)算不同飛行速度下分布式吊艙機(jī)翼的時(shí)域響應(yīng)，研究其氣彈動(dòng)特性。

1 分析方法

分布式吊艙機(jī)翼在飛行狀態(tài)下會(huì)產(chǎn)生較大的結(jié)構(gòu)變形，氣動(dòng)載荷的大小與方向會(huì)隨機(jī)翼的變形而發(fā)生變化，且與機(jī)翼各剖面處的氣流速度有關(guān)。故在氣彈求解時(shí)，需通過(guò)機(jī)翼坐標(biāo)變形前后的轉(zhuǎn)換關(guān)系描述機(jī)翼上的位移和氣動(dòng)載荷。本文基于拉格朗日坐標(biāo)系，相對(duì)翼根坐標(biāo)系描述機(jī)翼上任一點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中的位置形變，并采用Hamilton[16]原理推導(dǎo)機(jī)翼的動(dòng)力學(xué)方程，其表達(dá)式為

(1)

式中:δU為機(jī)翼應(yīng)變能;δT為機(jī)翼動(dòng)能;δW為機(jī)翼外力虛功。

1.1 結(jié)構(gòu)模型

將機(jī)翼簡(jiǎn)化為彈性梁,機(jī)翼上變形前后任一點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x,0,0)和(x+u,v,w),其轉(zhuǎn)換矩陣為T(mén)DU,其中u,v,w分別為該點(diǎn)位移形變。

機(jī)翼應(yīng)變能δU

(2)

機(jī)翼動(dòng)能δT

(3)

1.2 氣動(dòng)模型

翼型的氣動(dòng)力計(jì)算是在翼型剖面坐標(biāo)系中進(jìn)行的,對(duì)于彈性機(jī)翼來(lái)說(shuō)就是在機(jī)翼變形后坐標(biāo)系中進(jìn)行的,翼型剖面相對(duì)氣流速度來(lái)自于:①來(lái)流速度VW;②機(jī)翼運(yùn)動(dòng)Vb的貢獻(xiàn)。得到氣流速度為

(4)

機(jī)翼變形坐標(biāo)下氣流速度

(5)

通過(guò)推導(dǎo)機(jī)翼來(lái)流速度分量,采用片條理論,計(jì)算剖面氣動(dòng)載荷為

(6)

(7)

Λ為來(lái)流速度UR引起的扭轉(zhuǎn)角,ed為氣動(dòng)中心到彈性軸的間距。有如下近似公式

sinα≈α, cosα≈1,α=-UP/UR, sinα=UR/UT

因此,在機(jī)翼未變形坐標(biāo)系下的環(huán)量氣動(dòng)力為

(8)

翼型剖面的氣動(dòng)合力等于準(zhǔn)定常環(huán)量氣動(dòng)力和非環(huán)量氣動(dòng)力的疊加,即是

(9)

則外力虛功及其變分可寫(xiě)為

(10)

1.3 氣動(dòng)彈性方程

耦合結(jié)構(gòu)與氣動(dòng)模型,得到機(jī)翼氣彈理論模型。對(duì)機(jī)翼進(jìn)行有限元?jiǎng)澐?將應(yīng)變能、動(dòng)能和外力虛功的質(zhì)量、阻尼、剛度和載荷向量項(xiàng)離散到對(duì)應(yīng)單元結(jié)點(diǎn)上,組集得到機(jī)翼的氣彈動(dòng)力學(xué)方程

(11)

(12)

則由(12)式有

(13)

式中

(13)式可以寫(xiě)為

(14)

式中：I是N×N單位矩陣；0是N×N零矩陣。

(15)

式中

即可得到一個(gè)2N階微分方程。(15)式只有在M(t)不奇異時(shí)才成立。令F(t)=0即G=0,求解(15)式的特征值,特征值的實(shí)部代表了模態(tài)阻尼,而虛部代表該模態(tài)的頻率,由此分析機(jī)翼的氣彈穩(wěn)定特性。

2 計(jì)算結(jié)果

2.1 Princeton梁

本文選用Princeton懸臂梁作為結(jié)構(gòu)模型驗(yàn)證算例,梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)和試驗(yàn)方法見(jiàn)文獻(xiàn)[3-4],采用本文的結(jié)構(gòu)模型開(kāi)展理論計(jì)算,計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果[3-4]如圖1所示。

圖1 梁尖端靜變形

從圖1可以發(fā)現(xiàn),梁尖端在受到法向(90°)和弦向(0°)方向載荷時(shí),本文方法計(jì)算的法向和弦向位移與試驗(yàn)相符合,驗(yàn)證本文結(jié)構(gòu)模型的準(zhǔn)確性。

2.2 Tang機(jī)翼

采用本文模型和分析方法對(duì)Tang大展弦比機(jī)翼進(jìn)行氣彈分析,其結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 Tang機(jī)翼結(jié)構(gòu)參數(shù)

對(duì)Tang機(jī)翼進(jìn)行固有特性分析,結(jié)果如表2所示,計(jì)算結(jié)果與Arena理論和試驗(yàn)結(jié)果[7]相對(duì)誤差都在5%以內(nèi),說(shuō)明本文結(jié)構(gòu)理論模型是正確的。

表2 Tang機(jī)翼帶和不帶配重固有頻率對(duì)比 Hz

接下來(lái)驗(yàn)證氣彈模型,采用本文分析方法對(duì)Tang機(jī)翼進(jìn)行氣彈分析,同時(shí)考慮機(jī)翼和吊艙重力及慣性的影響。利用牛頓-拉斐遜方法,分別對(duì)1°和2.2°攻角不同飛行速度下機(jī)翼平衡位置的氣彈響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算,其求解結(jié)果如圖2所示。

圖2 翼尖響應(yīng)與飛行速度的關(guān)系

由圖2可知,本文計(jì)算的翼尖法向和扭轉(zhuǎn)響應(yīng)隨飛行速度的變化曲線與Tang和Arena的理論及試驗(yàn)結(jié)果基本一致,僅在2.2°攻角且高速飛行(大于30 m/s)時(shí),翼尖扭轉(zhuǎn)角與Tang的理論和試驗(yàn)結(jié)果略有誤差,Tang理論和試驗(yàn)結(jié)果大于本文和Arena計(jì)算的結(jié)果。但本文和Arena結(jié)果是吻合的,說(shuō)明本文氣動(dòng)模型在中低速下與試驗(yàn)結(jié)果更符合。

在圖2中機(jī)翼平衡位置對(duì)(14)式求解其特征值,得到此處機(jī)翼的模態(tài)阻尼和模態(tài)頻率,便可分析機(jī)翼氣彈穩(wěn)定性。計(jì)算出1°攻角下機(jī)翼隨來(lái)流的阻尼和根軌跡如圖3所示。

圖3 1°攻角下機(jī)翼模態(tài)阻尼和根軌跡圖

從圖3可以看出,1°攻角下計(jì)算顫振速度Vf為34.2 m/s,顫振頻率為21.6 Hz,與試驗(yàn)結(jié)果接近。

圖4～5為T(mén)ang機(jī)翼在1°攻角、34.2m/s飛行速度下翼尖時(shí)域響應(yīng)。在顫振速度下,法向和扭轉(zhuǎn)響應(yīng)均發(fā)生簡(jiǎn)諧振動(dòng),且其振動(dòng)頻率一樣,說(shuō)明Tang機(jī)翼顫振為面內(nèi)外彎曲和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)耦合的極限環(huán)振動(dòng)形式。

圖4 翼尖響應(yīng)(34.2 m/s,1°攻角)

圖5 翼尖響應(yīng)極限環(huán)(34.2 m/s,1°攻角)

為了更為廣泛地比較,分別對(duì)初始攻角為0.25°,0.5°,0.7°,1.0°,1.2°,1.5°,1.7°狀態(tài)下的機(jī)翼開(kāi)展顫振分析,結(jié)果如圖6所示。

圖6 機(jī)翼攻角對(duì)顫振速度和頻率的影響

從圖6可以看出,機(jī)翼顫振速度隨攻角變大有先變小后變大的規(guī)律,在攻角為1°處顫振速度最小;顫振頻率在小于1.5°時(shí)變化不大,后隨攻角變大而逐漸變大;本文計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)相吻合,說(shuō)明本文氣動(dòng)模型和氣彈計(jì)算方法是可靠準(zhǔn)確的。

2.3 分布式吊艙機(jī)翼

Tang機(jī)翼僅在翼尖重心處施加配重吊艙,可用于傾轉(zhuǎn)旋翼構(gòu)型的機(jī)翼仿真分析,但對(duì)于近年來(lái)發(fā)展的電動(dòng)多槳機(jī)翼、分布式多槳機(jī)翼、分布式推進(jìn)垂直起降飛行器等構(gòu)型就不再適用。因此為研究分布式吊艙機(jī)翼的氣彈問(wèn)題,本文在Tang機(jī)翼的基礎(chǔ)上再添加1個(gè)或2個(gè)吊艙配重(P2和P3),其中P1始終在翼尖處,P2和P3沿機(jī)翼展向分布,考慮吊艙的個(gè)數(shù)(nr)、質(zhì)量(mp)、展向站位(y)、弦向(x)和法向(z)偏置等參數(shù)對(duì)機(jī)翼結(jié)構(gòu)和氣動(dòng)的影響,分析研究分布式吊艙機(jī)翼氣彈動(dòng)特性。分布式吊艙機(jī)翼結(jié)構(gòu)如圖7所示。

圖7 分布式吊艙機(jī)翼結(jié)構(gòu)示意圖

吊艙質(zhì)量范圍為(0.2mp,1.5mp),展向分布范圍為(0.3R,0.85R),重心弦向和法向坐標(biāo)分別在(-1c,0c)和(-0.8c,0c)之間;忽略吊艙氣動(dòng)力的影響,研究分布式吊艙機(jī)翼準(zhǔn)定常狀態(tài)下的氣動(dòng)彈性問(wèn)題。

分布式吊艙機(jī)翼的固有頻率計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3,表中nr=2時(shí)，短艙分布在0.5R處，nr=3時(shí)，短艙分別分布在0.4R和0.7R處?？梢?jiàn)隨吊艙個(gè)數(shù)增加,機(jī)翼固有頻率都有所降低,說(shuō)明機(jī)翼上的外掛對(duì)固有特性有很大影響,尤其是對(duì)于分布式多旋翼飛行器,需要重點(diǎn)關(guān)注機(jī)翼與旋翼短艙耦合后可能發(fā)生的結(jié)構(gòu)和氣彈動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

表3 分布式吊艙機(jī)翼和Tang機(jī)翼固有頻率對(duì)比

2.2°攻角不同吊艙質(zhì)量下機(jī)翼顫振速度和頻率如圖8所示。吊艙無(wú)法向和弦向偏置,從結(jié)果可以看出:①隨著吊艙的質(zhì)量增大,nr=1時(shí)顫振速度先減小后變大,變大是由于吊艙慣性及其產(chǎn)生的低頭力矩影響變大。②nr=2時(shí)若P1和P2質(zhì)量同時(shí)改變,顫振速度一直減小; 若只有P2質(zhì)量變化時(shí), 顫振速度卻逐漸變大,這是因?yàn)榈跖搼T性及低頭力矩和P2使得機(jī)翼整體質(zhì)量分布更均勻的影響。③對(duì)于機(jī)翼顫振頻率,隨著吊艙的質(zhì)量增大機(jī)翼顫振頻率都逐漸減小。

圖8 吊艙質(zhì)量對(duì)顫振速度和頻率的影響(2.2°攻角)

nr=2時(shí),2.2°攻角下P2不同展向站位和弦向偏置下機(jī)翼顫振速度如圖9所示。此時(shí)P2質(zhì)量為0.02 kg,無(wú)法向偏置,從結(jié)果可以看出:①P2在0.5R處時(shí)機(jī)翼顫振速度是最大的,而越處于兩端特別是靠近翼根時(shí)顫振速度反而是減小的,說(shuō)明機(jī)翼集中質(zhì)量和載荷的分布不均會(huì)使系統(tǒng)穩(wěn)定性下降;②隨著弦向偏置增大,即吊艙向前緣方向偏置增大時(shí),P2在0.5R處時(shí),顫振速度也隨之增大,說(shuō)明此時(shí)吊艙的低頭力矩會(huì)提高機(jī)翼的穩(wěn)定性;P2在靠近翼根時(shí)顫振速度是先變小后變大的,但是在靠近翼尖時(shí)是一直變小的,說(shuō)明此時(shí)質(zhì)量分布的不均勻性對(duì)穩(wěn)定性的影響大于吊艙的低頭力矩。

圖9 展向站位和弦向偏置對(duì)顫振速度的影響 (nr=2,2.2°攻角)

2.2°攻角下,nr=3時(shí)不同弦向偏置(無(wú)法向偏置)下機(jī)翼顫振速度如圖10a)所示,不同法向偏置(無(wú)弦向偏置)下機(jī)翼顫振速度如圖10b)所示。其中P1質(zhì)量為0.041 7 kg、P2和P3質(zhì)量為0.02 kg,從結(jié)果可以看出:①隨著弦向偏置增大,顫振速度也增大;②P2和P3越靠近0.5R處機(jī)翼顫振速度越大,而越處于兩端顫振速度反而是減小的;③隨著法向偏置增大,即吊艙向機(jī)翼下方偏置增大時(shí),顫振速度也隨之增大,說(shuō)明吊艙對(duì)機(jī)翼產(chǎn)生的慣性矩會(huì)提高機(jī)翼穩(wěn)定性。

圖10 2.2°攻角下機(jī)翼顫振速度

以nr=3,P2和P3分別在機(jī)翼0.4R和0.7R處,P1質(zhì)量為0.041 7 kg,P2和P3質(zhì)量為0.02 kg,吊艙無(wú)法向和弦向偏置的分布式吊艙機(jī)翼為標(biāo)準(zhǔn)模型。計(jì)算1°攻角飛行速度小于30 m/s、等于36.2 m/s、略大于38 m/s和大于45 m/s，臨界顫振速度Vf(36.2 m/s)情況下的分布式吊艙機(jī)翼氣彈響應(yīng)時(shí)域響應(yīng),計(jì)算結(jié)果如圖11～15所示。

圖11 翼尖響應(yīng)(30 m/s,1°攻角) 圖12 翼尖響應(yīng)(36.2 m/s,1°攻角)

圖13 翼尖響應(yīng)(38 m/s,1°攻角) 圖14 翼尖響應(yīng)(45 m/s,1°攻角)

圖15 翼尖振動(dòng)極限環(huán)

從響應(yīng)時(shí)域曲線可以發(fā)現(xiàn)：隨飛行速度逐漸變大，分布式吊艙機(jī)翼的法向和扭轉(zhuǎn)變形也逐漸變大，其模態(tài)頻率漸漸靠近，直到發(fā)生顫振，此時(shí)法向和扭轉(zhuǎn)響應(yīng)都產(chǎn)生簡(jiǎn)諧振動(dòng)。說(shuō)明分布式吊艙機(jī)翼顫振為面內(nèi)外彎曲和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)耦合形式。

隨飛行速度逐漸變大，在小于顫振速度時(shí)，機(jī)翼響應(yīng)經(jīng)歷了振動(dòng)收斂形式；在等于顫振速度時(shí)，機(jī)翼響應(yīng)振幅較小，機(jī)翼呈現(xiàn)了小幅單頻振動(dòng)形式；在略大于顫振速度時(shí)，機(jī)翼響應(yīng)振幅變大，機(jī)翼呈現(xiàn)大幅單頻振動(dòng)形式；在飛行速度大于顫振速度(45 m/s)時(shí)，機(jī)翼二階法向彎曲模態(tài)頻率(21.7 Hz)正好為一階法向彎曲模態(tài)頻率(10.8 Hz)的2倍，同時(shí)由于面內(nèi)外彎曲和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)發(fā)生了耦合，使得機(jī)翼極限環(huán)出現(xiàn)分岔，翼尖響應(yīng)相圖呈現(xiàn)出2個(gè)極限環(huán)，此時(shí)機(jī)翼出現(xiàn)倍頻簡(jiǎn)諧振動(dòng)形式。當(dāng)飛行速度進(jìn)一步增大時(shí)，機(jī)翼極限環(huán)將會(huì)出現(xiàn)更多倍頻或多頻簡(jiǎn)諧振動(dòng)直至發(fā)生機(jī)翼顫振發(fā)散現(xiàn)象。

分布式吊艙機(jī)翼的顫振模式表現(xiàn)為面內(nèi)外彎曲和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)耦合振動(dòng)，三維效應(yīng)明顯。這正是大展弦比柔性機(jī)翼氣彈動(dòng)特性的特點(diǎn)。

3 結(jié) 論

本文基于準(zhǔn)線性化隱式建模方法，采用中等變形梁模型和準(zhǔn)定常理論，利用小擾動(dòng)和有限差分法，建立大展弦比機(jī)翼的動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)對(duì)Tang機(jī)翼和分布式吊艙機(jī)翼的氣彈動(dòng)特性開(kāi)展分析計(jì)算，得到以下結(jié)論：

1) 對(duì)懸臂梁模型，靜變形計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)相吻合，驗(yàn)證結(jié)構(gòu)模型的準(zhǔn)確性。

2) 計(jì)算Tang機(jī)翼氣彈動(dòng)特性，表明本文氣彈模型是準(zhǔn)確有效的；Tang機(jī)翼的顫振為面內(nèi)外彎曲和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)耦合形式；隨機(jī)翼攻角變化，顫振速度先變小后變大，且在1°攻角處最小，而顫振頻率變化不大。

3) 對(duì)分布式吊艙機(jī)翼，隨吊艙質(zhì)量增大顫振速度和顫振頻率都減小，而只改變P2(或P2/P3)質(zhì)量時(shí)，顫振速度反而略有變大；吊艙P(yáng)2(或P2/P3)越靠近0.5R處顫振速度越大，在此條件下一定范圍內(nèi)弦向和法向偏置越大顫振速度也越大；機(jī)翼集中質(zhì)量和載荷的分布不均會(huì)使系統(tǒng)穩(wěn)定性下降。

4) 分析分布式吊艙機(jī)翼氣彈時(shí)域響應(yīng)計(jì)算結(jié)果可得，隨飛行速度逐漸變大，分布式吊艙機(jī)翼經(jīng)歷了振動(dòng)收斂、小幅單頻振動(dòng)、大幅單頻振動(dòng)、倍頻簡(jiǎn)諧振動(dòng)形式；分布式吊艙機(jī)翼的顫振形式一樣是面內(nèi)外彎曲和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)耦合，三維效應(yīng)顯著。