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        基于RLM-MC的高速鐵路橋墩沉降曲線預測方法

        2022-11-08 12:45:16龔循強汪宏宇魯鐵定
        鐵道學報 2022年10期
        關鍵詞:參數(shù)估計橋墩預測值

        龔循強,汪宏宇,魯鐵定,游 為

        (1.東華理工大學 測繪工程學院,江西 南昌 330013;2.自然資源部 環(huán)鄱陽湖區(qū)域礦山環(huán)境監(jiān)測與治理重點實驗室,江西 南昌 330013;3.西南交通大學 地球科學與環(huán)境工程學院, 四川 成都 611756)

        高速鐵路橋墩施工過程中非均勻荷載,以及高速鐵路運行后線路周邊的環(huán)境惡化,都有可能引起高速鐵路橋墩發(fā)生不均勻沉降,這勢必導致軌道幾何狀態(tài)惡化,從而對高速鐵路安全運營造成威脅[1-2]。因此,對高速鐵路橋墩沉降進行嚴格把控,是高速鐵路平穩(wěn)、安全和高速運行的重要保障[3]。對于無砟軌道沉降變形監(jiān)測工程,橋墩在施工后的沉降量不大于20 mm,同時應確保相鄰橋墩沉降量相差不超過5 mm[4]。在高速鐵路施工及運營時期進行高速鐵路橋墩沉降變形監(jiān)測,根據(jù)監(jiān)測所得高速鐵路橋墩沉降觀測值,對橋墩未來沉降量進行預測,判斷高速鐵路橋墩是否滿足規(guī)劃和運營要求,為高速鐵路的安全運營提供指導。

        目前,沉降數(shù)據(jù)預測主要方法有曲線預測方法、灰色模型預測方法、人工神經網絡預測方法等[5-6]??紤]建模復雜度以及高速鐵路橋墩實際沉降規(guī)律,實際工程中主要采用曲線預測方法。其中,曲線為S形的Logistic模型能較好地反映高速鐵路橋墩沉降的全過程[4,7]。Logistic模型參數(shù)估計中,通常會根據(jù)經驗確定增長極限,將Logistic模型轉換為線性方程求出參數(shù)的最小二乘估計。顯然,這種線性化方法缺乏足夠的客觀性[8]。因此,可將Logistic模型參數(shù)估計看作非線性最小二乘問題,求解參數(shù)的非線性最小二乘估計,以減少主觀影響。高速鐵路橋墩沉降數(shù)據(jù)中異常值不可避免,而非線性最小二乘方法沒有考慮觀測值中所包含的異常值。因此,減弱異常值在參數(shù)估計中帶來的負面影響,是提高模型預測精度的關鍵因素之一。

        單一Logistic模型雖然能夠較好地在整體上反映高速鐵路橋墩沉降數(shù)據(jù)趨勢,卻不能在細節(jié)上反映數(shù)據(jù)波動性。

        為此,采用非線性最小二乘方法中Levenberg-Marquardt(LM)法,通過引入穩(wěn)健估計,建立穩(wěn)健的LM(Robust LM,RLM)法,從而優(yōu)化曲線模型參數(shù)和削弱異常值擾動。在此基礎上,利用馬爾可夫鏈(Markov Chain,MC),構建馬爾可夫模型,改善單一曲線模型無法有效反映高速鐵路橋墩沉降數(shù)據(jù)存在隨機波動的問題,從而提高預測精度。本文通過組合RLM方法和馬爾可夫鏈,提出一種基于穩(wěn)健Levenberg-Marquardt和馬爾可夫鏈(RLM-MC)的曲線預測方法,并根據(jù)高速鐵路橋墩沉降實際觀測值,將本文方法與最小二乘(Least Squares,LS)法、穩(wěn)健最小二乘(Robust Least Squares,RLS)法、LM法和RLM法進行比較分析,驗證方法的有效性。

        1 基于穩(wěn)健Levenberg-Marquardt和馬爾可夫鏈的曲線預測方法

        基于穩(wěn)健Levenberg-Marquardt和馬爾可夫鏈的曲線預測方法是在曲線預測方法的基礎上發(fā)展而成的。

        1.1 曲線預測方法

        曲線預測方法是建立在根據(jù)某種曲線函數(shù)建立模型,對預測對象歷史觀測數(shù)據(jù)進行擬合,從而使得模型能夠描述該對象在時間推移下的變化過程。因此,選取符合高速鐵路橋墩沉降規(guī)律的曲線模型和合理的擬合手段是曲線預測方法的關鍵。

        曲線預測方法在沉降預測問題中常用的模型包括指數(shù)曲線模型、雙曲線模型、Logistic模型等[9]。其中,Logistic模型又稱為生長曲線模型,常用于描述事物的發(fā)生、發(fā)展和成熟三個階段[10-11],這種S形型的生長曲線能夠較好地反映高速鐵路橋墩沉降整個過程。Logistic模型計算式為

        ( 1 )

        式中:a、b、c為待解算參數(shù);x、y分別為觀測時間、觀測值。

        線性化是曲線擬合的重要手段之一。通過變量代換將曲線方程線性化,依據(jù)最小二乘原理求解變換后的線性方程,再將所得線性方程轉換為原曲線方程。

        1.2 基于穩(wěn)健Levenberg-Marquardt的參數(shù)估計

        為使參數(shù)估計結果更具客觀性,本文將Logistic模型參數(shù)估計作為一個非線性最小二乘問題。常用的非線性最小二乘方法有最速下降法、高斯-牛頓法、LM法等[12-13]。

        LM法是非線性最小二乘問題廣泛應用的一種算法,其結合最速下降法與高斯-牛頓法的優(yōu)勢,優(yōu)化了迭代效率,有效解決矩陣奇異和非正定問題[14-16]。

        設曲線模型f(x)的參數(shù)向量為β,則存在非線性誤差方程

        V=f(β)-Z

        ( 2 )

        式中:V為殘差向量;f(β)為參數(shù)β的擬合結果;Z為實際觀測值組成的向量。

        設βk為第k次迭代參數(shù)向量,則LM方法第k+1次迭代的參數(shù)向量βk+1為

        βk+1=βk-(JTJ+uI)-1JTV

        ( 3 )

        式中:J為V的雅可比矩陣;u為懲罰因子;I為單位矩陣。

        當殘差向量V中含有異常值時,會導致參數(shù)β偏離預期值。為抵抗異常值影響,本文引入穩(wěn)健估計[17],則相應的抗差解為

        βk+1=βk-(JTPJ+uI)-1JTPV

        ( 4 )

        式中:權陣P選擇IGG權函數(shù)進行計算,IGG權因子計算式為[18]

        ( 5 )

        1.3 馬爾可夫模型

        若存在一個離散的隨機過程,其時間參數(shù)是離散的集合T={0,1,2,…,t},所對應的狀態(tài)空間E=(E0,E1,E2,…,Et),對任意時刻t(t∈T)滿足:pb={pbn+1=En+1|pbn=En},即未來n+1時刻的狀態(tài)En+1僅與當前n時刻的狀態(tài)En相關,而與過去的狀態(tài)無關,這稱為馬爾可夫鏈的“無后效性”[19-20]。

        時間序列統(tǒng)計量多數(shù)都具備馬爾可夫性質,利用這一性質可有效提高模型的預測精度[21]。馬爾可夫模型修正預測值主要過程如下所述。

        (1)狀態(tài)劃分

        根據(jù)曲線模型模擬值的相對誤差大小,采用聚類方法并結合IGG權因子結果剔除異常期數(shù),將相對誤差區(qū)間分為d個狀態(tài)。其中,d的計算式為

        ( 6 )

        (2)狀態(tài)轉移概率

        狀態(tài)Si經一步狀態(tài)轉移到狀態(tài)Sj的概率pbij為

        ( 7 )

        式中:Mij為狀態(tài)Si經一步轉移到狀態(tài)Sj的次數(shù);Mi為Si發(fā)生一步轉移的次數(shù)。

        計算所有狀態(tài)的狀態(tài)轉移概率,則其構成的矩陣為

        ( 8 )

        式中:矩陣PB稱為狀態(tài)轉移概率矩陣。最后根據(jù)矩陣PB和當前時刻狀態(tài)Si,則可得下一時刻最可能所處的狀態(tài)Sj。

        (3)預測值修正

        ( 9 )

        式中:δs為預測值所處狀態(tài)對應的相對誤差;x為觀測時間;f(x)為原始預測值。

        1.4 本文提出方法

        基于RLM-MC的曲線預測方法具體流程見圖1,主要步驟為:首先,使用嘗試法結合黃金分割法確定參數(shù)a的估值[8],即可利用LS方法估計曲線模型參數(shù),再將參數(shù)的LS估值作為RLS方法迭代的初值;然后,將參數(shù)的RLS估值作為RLM方法迭代的初值,完成Logistic曲線擬合;最后,結合馬爾可夫模型修正Logistic模型預測值。

        圖1 本文方法流程

        本文方法具體計算步驟如下:

        Step2計算權陣P=pW,再利用式( 2 )計算觀測值殘差向量。

        Step3取k0=1.5、k1=2.5,根據(jù)式( 5 )確定一組新的權因子,可得權因子矩陣,進而得到新的權陣P。

        Step4利用式( 4 )計算參數(shù)的穩(wěn)健LM估值。

        Step5重復Step2~Step4,直至JTPV≤10-10或迭代次數(shù)k大于最大迭代次數(shù)kmax(kmax通常在20~50之間選取[22-23],本文令kmax=30)。滿足條件后退出迭代,則獲取參數(shù)RLM估值及曲線模型預測值。

        Step6計算曲線模型模擬值相對誤差,根據(jù)式(6)計算狀態(tài)區(qū)間個數(shù),通過k-means聚類并結合IGG權因子計算結果剔除異常期數(shù),從而確定每個模擬值所處狀態(tài)。

        Step7以式( 7 )計算狀態(tài)轉移概率矩陣,預測后續(xù)狀態(tài)。

        Step8根據(jù)預測狀態(tài),利用式( 9 )修正曲線模型預測值,得到最終預測值。

        2 試驗設計

        以上闡述了基于RLM-MC的曲線預測方法,為驗證本文方法的有效性,采用兩組高速鐵路橋墩沉降觀測數(shù)據(jù)進行試驗,將所得結果與LS法、RLS法、LM法和RLM法的預測結果進行比較分析。

        2.1 試驗數(shù)據(jù)

        試驗使用的兩組高速鐵路橋墩沉降觀測數(shù)據(jù)來自西安—成都某高速鐵路,每組沉降觀測數(shù)據(jù)包含2014—2015年20個定期沉降觀測值[24],見表1、表2。兩組數(shù)據(jù)均設置1~17期為模擬區(qū)間,18~20期為預測區(qū)間。

        表1 第一組觀測數(shù)據(jù) mm

        表2 第二組觀測數(shù)據(jù) mm

        2.2 評定指標

        對于LS、RLS、LM和RLM法的參數(shù)估計結果,使用單位權方差進行定量評估,單位權方差能反映模擬值與實際值的離散程度,從而體現(xiàn)參數(shù)估計結果的優(yōu)劣。單位權方差越小,離散程度越小,則參數(shù)估計精度越高,單位權方差σ02計算式為

        (10)

        式中:n為模擬期數(shù)。

        預測精度采用以下三個精度指標定量評估。平均絕對誤差MAE為最基本的評定指標,概念簡單易于解釋,只衡量預測值誤差的平均模長,直接反映預測值與真實值之間的誤差情況。均方根誤差RMSE相對MAE,易受偏差較大的預測值影響,導致放大RMSE的結果,因此可比較不同模型的穩(wěn)定性。平均絕對百分比誤差MAPE考慮了誤差與真實值之間的比例,可以比較不同尺度下預測結果的好壞。

        MAE、RMSE和MAPE越小,則預測結果準確度越高,其定義分別為

        (11)

        式中:[n+1,N]為預測區(qū)間范圍;i為預測期數(shù);zi、f(i)分別為相對應的實際觀測值和預測值。

        3 結果與分析

        采用兩組高速鐵路橋墩沉降觀測數(shù)據(jù)進行試驗,分別利用LS、RLS、LM和RLM法進行參數(shù)估計,并通過馬爾可夫模型修正RLM法預測結果。模型參數(shù)估計結果,從各方法的模型和單位權方差等方面進行比較分析,并采用MAE、RMSE和MAPE等評定指標對預測結果進行評估。

        3.1 第一組試驗

        根據(jù)表1數(shù)據(jù),分別利用LS、RLS、LM和RLM法對曲線預測模型進行參數(shù)估計。結合嘗試法和黃金分割法計算參數(shù)a粗略估值,由于試驗數(shù)據(jù)沒有明顯地放緩趨勢,黃金分割區(qū)間的選取可略微偏大[8],本文選取模擬區(qū)間最后一期數(shù)據(jù)設為黃金分割區(qū)間下限,并將下限值的5倍設為黃金分割區(qū)間上限,則該區(qū)間為[1.740, 8.700]。對該區(qū)間進行一次搜索的結果作為參數(shù)a的粗略估值,即a=1.74+(8.70-1.74)×0.618 ,即得到參數(shù)a的粗略估值為6.041,接著進行LS、RLS、LM和RLM法的參數(shù)估計。參數(shù)a、b、c和單位權方差σ02見表3。

        表3 第一組試驗各方法估計結果比較

        LS與RLS法的參數(shù)a并未參與迭代運算,LS方法在不能迭代調整參數(shù)的情況下,參數(shù)a在一定程度上直接決定了參數(shù)b、c,這導致LS法b、c參數(shù)估計結果相對其他方法偏大,其單位權方差也大于其他方法。RLS法雖然不能調整參數(shù)a,但引入穩(wěn)健估計后能動態(tài)調整參數(shù)b、c,單位權方差低于LS法,顯然減少了參數(shù)a帶來的主觀影響。RLM法所得單位權方差相對LS法減少了54.545%,而RLS和LM法相對LS法僅分別減少了13.636%與6.818%。RLM法單位權方差遠小于LS、RLS和LM法,在所有方法中表現(xiàn)最優(yōu),說明在第一組觀測數(shù)據(jù)中采用RLM法進行參數(shù)估計精度更高。

        得到參數(shù)a、b和c的RLM估值后,即可根據(jù)式( 1 )計算模擬值,并計算模擬值的相對誤差。由于第一期沉降值為0無法計算相對誤差,所以相對誤差和狀態(tài)劃分均從第2期開始計算。

        根據(jù)式( 6 )計算得出,相對誤差需劃分為4個狀態(tài),使用k-means聚類將相對誤差分為4類(4個狀態(tài)),即可確定每期模擬值相對誤差的所處狀態(tài),再結合RLM計算的權因子剔除可疑期的相對誤差對聚類質心結果的影響,將每個狀態(tài)的聚類質心作為其對應的相對誤差。最后,得到的4個狀態(tài)以及所對應的相對誤差為δS1=-6.171%,δS2=14.422%,δS3=-43.387%,δS4=1.927%。每期數(shù)據(jù)的具體模擬值、權因子w和狀態(tài)S劃分見表4。

        表4 RLM方法模擬值、權因子和狀態(tài)劃分

        根據(jù)表4及狀態(tài)轉移概率矩陣可知,17期所處狀態(tài)為S1,在狀態(tài)轉移概率矩陣中S1最有可能一步轉移到S1,其概率為0.75,則可認為第18期預測值所處狀態(tài)最有可能為S1。根據(jù)式( 9 )通過狀態(tài)S1所對應的相對誤差修正第18期預測值,同理依次可得后續(xù)預測值。各方法模擬值的殘差絕對值見圖2,各方法預測結果見表5。

        表5 第一組試驗各方法預測值 mm

        圖2 第一組試驗各方法模擬值的殘差絕對值

        由圖2、表5可以看出,LS法相對其他方法在單位權方差偏大的情況下,預測結果整體變差,預測精度相對較低。RLS法因引入穩(wěn)健估計,參數(shù)b、c的結果不會完全取決于參數(shù)a的估值,減少了人為主觀因素影響,提高了參數(shù)估計精度,因此,預測精度相比LS方法略微提高。LM法預測結果與RLS法相近,引入穩(wěn)健估計后得到的RLM法預測結果比LS法、RLS法和LM法都更接近實際觀測值,并在使用馬爾可夫模型修正預測值后,精度得到了進一步提高。為更直觀地體現(xiàn)不同方法的精度變化,根據(jù)式(11)計算預測值的三個精度指標,結果見表6。

        表6 第一組試驗各方法預測精度指標

        從表6可以看出,每種方法所得的MAE和RMSE均十分接近,這表明在第一組觀測數(shù)據(jù)的試驗中,沒有出現(xiàn)相對偏差較大的預測。進一步分析可以得到,LM法比LS法的RMSE減少了37.309%,RLM法比LM法的RMSE減少了37.073%,RLM法經過馬爾可夫模型進一步修正后,RLM-MC法比RLM法的RMSE減少了76.744%。本文方法相對最小二乘方法的RMSE減少了90.826%,MAPE由16.548%下降到1.339%,預測精度得到顯著提高。因此,在第一組觀測數(shù)據(jù)的試驗中,RLM方法參數(shù)估計精度最優(yōu),并在結合馬爾可夫模型后,RLM-MC法預測結果遠好于其他方法,說明采用RLM-MC法進行預測更加合理。

        3.2 第二組試驗

        根據(jù)表2數(shù)據(jù),同樣使用嘗試法結合黃金分割法,確定黃金分割區(qū)間[1.550,7.750],即得參數(shù)a=5.382。分別利用LS、RLS、LM和RLM方法對曲線預測模型進行參數(shù)估計,求出參數(shù)a、b、c和單位權方差σ02,其結果見表7。

        表7 第二組試驗各方法的估計結果比較

        在第二組觀測數(shù)據(jù)中,RLS法相對LS法,RLM法相對LM方法,穩(wěn)健估計均有效削弱了異常值擾動對參數(shù)估計帶來的影響,其單位權方差分別減少了30.233%和40.000%。同時,比較LM法與LS、RLS法的單位權方差可以看出,LM方法單位權方差小于LS法,接近RLS法,相比LS法單位權方差減少了18.605%,說明即使未引入穩(wěn)健估計,非線性最小二乘在參數(shù)估計中,仍具有一定的優(yōu)越性。

        同樣根據(jù)式( 6 )計算得出,相對誤差需劃分為4個狀態(tài),使用k-means聚類將相對誤差分為4類(4個狀態(tài)),則得到的4個狀態(tài)以及所對應的相對誤差為S1=-28.287%,S2=12.127%,S3=-2.663%,S4=78.883%。每期數(shù)據(jù)的具體模擬值、權因子和狀態(tài)劃分見表8。

        表8 RLM方法模擬值、權因子和狀態(tài)劃分

        根據(jù)表8及狀態(tài)轉移概率矩陣可知,17期所處狀態(tài)為S3,在狀態(tài)轉移概率矩陣中S3最有可能一步轉移到S3,其概率為1。根據(jù)式( 9 )通過狀態(tài)S3所對應的相對誤差修正第18期預測值,同理依次可得后續(xù)預測值,各方法模擬值的殘差絕對值見圖3。接著對預測值狀態(tài)進行預測,并修正預測值,各方法的預測結果見表9,預測精度指標見表10。

        圖3 第二組試驗各方法模擬值殘差絕對值

        表9 第二組試驗各方法預測值 mm

        表10 第二組試驗各方法預測精度指標

        從圖3、表9、表10可知,LS法在第二組試驗中預測結果偏離實際觀測值,且預測時間越長誤差越大,第20期預測值誤差最為嚴重,其相對誤差為32.626%。而在引入穩(wěn)健估計后,RLS法的預測精度得到了較為明顯的提高,其第20期預測值相對誤差下降到18.994%。LM法與RLS法預測結果相近,精度略優(yōu)于RLS法,在引入穩(wěn)健估計和馬爾可夫模型修正預測值后,RLM-MC法第20期預測值相對誤差為11.173%,本文所提方法在第二組觀測數(shù)據(jù)中同樣體現(xiàn)出顯著的穩(wěn)健性與準確性。

        分析表6、表10可得,在第二組觀測數(shù)據(jù)中,各方法的MAPE均大于表6中相應的值。顯然,由于異常值的擾動,各方法的預測準確性都相對有所降低,體現(xiàn)出引入穩(wěn)健估計的必要性。RLS法引入穩(wěn)健估計后,精度得到顯著提升,RMSE減少了44.902%,證明RLS法有效削弱了異常值對預測結果的負面影響。LM法預測精度略好于RLS方法,進一步表明采用非線性最小二乘參數(shù)估計的合理性,且LM法在引入穩(wěn)健估計與馬爾可夫模型后,RLM-MC法的RMSE相對LS法減少了71.150%,證明本文所提方法在高速鐵路橋墩沉降預測中的有效性和準確性。

        4 結論

        本文在分析高速鐵路橋墩沉降規(guī)律以及實際工程需求后,提出了一種基于RLM-MC的高速鐵路橋墩沉降曲線預測方法,并對該方法的預測效果進行了工程實例分析和評估,主要結論如下:

        (1)RLM法在兩組試驗中均能有效提升曲線擬合精度。在第一組試驗中RLM法單位權方差相對LS法、RLS法和LM方法分別減少了54.545%、47.368%和51.220%。在第二組試驗中,RLM方法單位權方差相對LS法、RLS法和LM法分別減少了51.163%、30.000%和40.000%。這一結果表明RLM方法的參數(shù)估計精度明顯優(yōu)于其他三種方法。

        (2)結合馬爾可夫模型能夠更加準確地描述高速鐵路橋墩沉降規(guī)律,提高預測精度。在兩組試驗中,RLM-MC方法的MAE、RMSE和MAPE均明顯小于其他四種方法,表明本文提出方法在高速鐵路橋墩沉降預測中更為準確。

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