邱偉文,賴冠宇,章 云

(廣東工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院,廣東廣州 510006)

1 引言

近年來,隨著智能材料的迅速發(fā)展,大量的智能材料被廣泛應(yīng)用于光學(xué)工程、航空航天、生物工程、微電子工程等領(lǐng)域,比如:人造肌肉、形狀記憶合金、電流變液等[1-3].其中,磁致伸縮材料、壓電材料和形狀記憶合金等智能材料,除了其具有的內(nèi)置感知、驅(qū)動等能力外,材料自身存在的磁滯現(xiàn)象嚴重阻礙著它們在傳感器和執(zhí)行器中的有效應(yīng)用,給許多不具備磁滯容納能力的非線性受控系統(tǒng)在性能上帶來極大影響[4-5].磁滯非線性是一種包含歷史輸入信息的非線性特性,即系統(tǒng)的輸出不僅取決于當(dāng)前的輸入,還與歷史輸入信息有關(guān).而對于超精密定位系統(tǒng)而言,磁滯非線性不僅降低了其控制精度,在不具備復(fù)雜磁滯處理能力的情況下甚至?xí)霈F(xiàn)與輸入信號幅度相關(guān)的相位移和諧波失真問題,導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定,因此,智能材料的磁滯特性是控制系統(tǒng)研究的重要領(lǐng)域.

目前,對磁滯的處理首先是使用一個能夠描述磁滯非線性行為的模型并且能用于磁滯補償控制設(shè)計.其中,Jiles-Atherton模型[6]是一種基于物理機理的模型,認為磁滯現(xiàn)象來源于材料缺陷位置疇壁之間的相互作用;Bouc和Wen提出的Bouc-Wen磁滯模型[7]是一種微分模型,也是廣泛接受的現(xiàn)象學(xué)模型之一,但在求解磁滯的逆上十分困難,只能表示單環(huán)磁滯,無法用來表示多環(huán)磁滯;Preisach模型[8]最初是由德國物理學(xué)家Preisach于1935年提出的物理模型,后經(jīng)數(shù)學(xué)家Krasnosel’skii擴展為純數(shù)學(xué)模型,擴大了Preisach模型的應(yīng)用范圍;Ge等人[9]基于經(jīng)典Preisach模型提出了一種廣義Preisach模型;Prandtl-Ishlinskii(PI)模型是一種基于play算子與stop算子疊加的現(xiàn)象學(xué)模型,其數(shù)學(xué)描述上是由閾值變量參數(shù)化后的算子加權(quán)的單積分形式,在一定程度上可以認為PI模型是Preisach模型的一種特殊形式[10];Krasnoselskii-Pokrovskii(KP)模型[11]與Preisach模型相似,是許多KP磁滯單元通過加權(quán)重疊組成的;類Backlash模型[12]結(jié)構(gòu)簡單,但僅適用于磁滯形狀一定的情況.經(jīng)過各種模型綜合比較,考慮Preisach模型有著充分的數(shù)學(xué)特性研究[13]和適應(yīng)范圍廣等優(yōu)點,具有Preisach類型磁滯輸入約束與不確定非線性系統(tǒng)結(jié)合的控制器設(shè)計問題具備十分重要的研究價值.

對磁滯非線性的逆補償研究中,通常的方法是在反饋控制器設(shè)計中引入磁滯逆模型以減少磁滯影響,但由于輸入信號隱式包含在模型中,關(guān)于模型逆結(jié)構(gòu)的研究引起了廣泛關(guān)注,同時,在Preisach逆模型的存在性的合理假設(shè)下,出現(xiàn)了查表程序法、定點迭代方法、二等分法、最匹配算法等Preisach的逆方法[14-17].但是,由于Preisach逆模型的存在性與系統(tǒng)的不確定性問題,在系統(tǒng)設(shè)計中結(jié)合逆模型作為前饋補償器的方案難以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.另一類方法是通過自適應(yīng)控制設(shè)計方法,構(gòu)建多個參數(shù)進行估計,同時利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明其穩(wěn)定性,一般證明得其Lyapunov函數(shù)具有(t)≤-aV(t)+b的不等式形式,其中a,b是正常數(shù),而放縮遺留項b的存在一般來源于控制器設(shè)計中采用楊氏不等式放縮,對控制性能仍帶來誤差影響[18].此外,過多的參數(shù)估計也會帶來巨大的計算負擔(dān).因此,保證采用Preisach磁滯表示的非線性閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器設(shè)計問題仍然是文獻中具有挑戰(zhàn)性的問題.

本文針對一類具有Preisach類型磁滯輸入的不確定非線性系統(tǒng),提出采用Preisach 算子分解方法與Backstepping控制方式進行自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的方法.所設(shè)計的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)在有限時間內(nèi)準確跟蹤受磁滯影響的期待信號,保證了閉環(huán)系統(tǒng)信號的有界性.與其他文獻相比,本文的創(chuàng)新點在于:

1) 相較Bouc-Wen、類Backlash 等模型,Preisach模型在磁滯表示上更具靈活性,過去對磁滯的研究主要通過構(gòu)建磁滯逆模型的方法對磁滯進行抑制和補償,但由于磁滯與系統(tǒng)非線性動態(tài)之間的耦合,逆的存在性及Preisach算子的復(fù)雜性等問題,構(gòu)建磁滯逆模型的方法十分困難.因此,為了避免構(gòu)造Preisach模型的逆,本文考慮采用磁滯模型的非線性分解,新公式中明確表示輸入信號,并將其與Backstepping迭代控制設(shè)計相融合,為嚴格反饋不確定非線性系統(tǒng)設(shè)計了一種自適應(yīng)的執(zhí)行器磁滯補償控制方案,能夠保證閉環(huán)控制系統(tǒng)信號的有界性,使得輸出跟蹤誤差漸近收斂到用戶預(yù)設(shè)范圍內(nèi);

2) 使用一類降階光滑函數(shù)用于控制器設(shè)計,其不僅能夠解決控制器由于信號不連續(xù)或者對跟蹤誤差符號變化敏感而帶來的抖動問題,而且用戶能夠根據(jù)預(yù)設(shè)控制參數(shù)實現(xiàn)預(yù)設(shè)性能的有效跟蹤;

3) 采用Lyapunov函數(shù)的時間導(dǎo)數(shù)是負定的,在控制器設(shè)計中引入徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似方法,抵消系統(tǒng)中的部分非線性及由Preisach模型離散化程度等帶來的干擾影響,所設(shè)計控制器包含的自適應(yīng)估計參數(shù)只有一個,其不僅降低了控制系統(tǒng)計算復(fù)雜度,并且避免了由于控制參數(shù)過多所帶來的耦合問題,從而大幅度擴大了方案的應(yīng)用范圍.

本文剩余部分安排如下:第2部分闡述具有磁滯非線性的嚴格反饋非線性系統(tǒng)與預(yù)備知識;第3部分是對具有磁滯約束的非線性系統(tǒng)進行Backstepping自適應(yīng)控制設(shè)計及穩(wěn)定性分析;第4部分是通過仿真與實驗研究驗證所提方法的有效性;第5部分是本文的結(jié)論部分.

2 被控對象描述與預(yù)備知識

本節(jié)作者將給出所研究被控對象的狀態(tài)空間描述,以及關(guān)于Preisach磁滯算子與徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)備知識.

2.1 被控對象的數(shù)學(xué)模型

考慮具有如下嚴格反饋形式的不確定非線性系統(tǒng):

控制目標:針對具有未知Preisach磁滯輸入的非線性系統(tǒng)(1),尋求一種合適的控制策略v(t),使得閉環(huán)控制系統(tǒng)具備如下性能:

1) 閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號均有界;

2) 系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差z1(t)=y(t)-yd(t)漸近收斂至預(yù)設(shè)區(qū)間[-δ1,δ1],即當(dāng)時間t趨于無窮,有-δ1≤z1(t)≤δ1,其中yd(t)表示期望跟蹤信號,δ1＞0為用戶預(yù)設(shè)的常值參數(shù).

針對上述控制目標,本文給出如下常用假設(shè)條件.

假設(shè)1參考信號yd(t)∈R及其各高階時間導(dǎo)數(shù)y(i)d(t),i=1,···,n均為已知的有界函數(shù),且定義其中y0為有界的正常數(shù).

假設(shè)2系統(tǒng)控制增益的符號已知,且滿足條件0＜bm≤sgnbb≤bM＜∞,其中bm,bM為未知的正常數(shù).

2.2 Preisach磁滯模型

根據(jù)文獻[19],經(jīng)典Preisach模型可視為由無數(shù)個繼電器算子的權(quán)重疊加所構(gòu)成,即

μ(α,β)為密度函數(shù)(亦稱Preisach函數(shù)或權(quán)重函數(shù)),為對應(yīng)于Preisach平面上(α,β)點的繼電器算子,其表達式如下:

其中:β和α是Preisach平面上決定遲滯算子繼電器開關(guān)的閾值,t-=代表t時刻前一瞬間.圖1為Preisach算子的幾何解釋,能動態(tài)表示Preisach平面上多值繼電器滯后核的分布,α-β平面三角形區(qū)域內(nèi)非陰影部分為=-1的分布,陰影部分為=+1的分布.

圖1 Preisach算子的幾何解釋Fig.1 Geometric interpretation of the Preisach operator

受文獻[20]對Preisach模型分解的啟發(fā),將u(t)表示為以下的一般模型:

在上式中v(t)為實際控制輸入,μ0(t)為大小未知的控制增益,d(t)作為附加項,同時μ0(t)與d(t)滿足如下特點:

注1采用式(2)的Preisach算子可精確描述磁滯環(huán)非線性約束,但真實控制信號v(t)將被隱含在繼電器算子之中,給控制器設(shè)計造成極大困難.為解決此問題,與文獻[20]方法類似,本文考慮對Preisach模型進行非線性分解,成功將控制信號提取并建立其顯式表達式,如式(4)所示,其中控制增益μ0(t)和類擾動項d(t)均有界,為后續(xù)控制設(shè)計及穩(wěn)定性分析奠定了重要基礎(chǔ).

2.3 基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近

其中1 ≤j≤Ni,Ni為隱含層節(jié)點數(shù),ηij是高斯基函數(shù)的寬度參數(shù),控制了函數(shù)的徑向作用范圍.

3 針對磁滯約束的自適應(yīng)控制設(shè)計

在本節(jié)中,首先引入降解的光滑函數(shù)以處理誤差變量符號變化帶來的抖動問題,并定義下文控制器設(shè)計過程所涉及的部分參數(shù)及變量,控制器設(shè)計部分使用時間導(dǎo)數(shù)具有半負定性質(zhì)的Lyapunov 函數(shù)進行Backstepping自適應(yīng)控制設(shè)計,最后證明所提控制方案的穩(wěn)定性.

定義以下誤差變量:

其中αi-1(t)為待設(shè)計的虛擬控制器,其具體表達式將在Backstepping遞歸設(shè)計的每一步依次給出(見式(30)(37)).對上述誤差變量zi(t),i=1,2,···,n進行求導(dǎo),可得

3.1 一類降階光滑函數(shù)

在文獻[22]中,一種基于Backstepping迭代設(shè)計的預(yù)定性能控制方案被提出,涉及一類高階光滑函數(shù)

其中δi,i=1,2,···,n為用戶預(yù)設(shè)的正常數(shù).

注2文獻[22]控制設(shè)計成功將上述光滑函數(shù)與自適應(yīng)模糊控制方法融合,實現(xiàn)了不確定非線性系統(tǒng)的預(yù)定性能控制,即但其形成的控制策略需要計算這類高階光滑函數(shù)對zi直至n階的導(dǎo)數(shù),給控制器實際運行造成了計算復(fù)雜性.為了克服這一缺陷,本文將采用一類降階光滑函數(shù)開展非線性控制設(shè)計.

本文引入以下降階光滑函數(shù):

以下性質(zhì)將用于后續(xù)控制設(shè)計:

注3本文將充分利用直接自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制策略的優(yōu)勢,針對具有不可參數(shù)化不確定動態(tài)的非線性系統(tǒng)(1)實現(xiàn)上述降階光滑函數(shù)與Bacstepping遞歸設(shè)計的融合,解決文獻[22]由高階導(dǎo)數(shù)帶來的復(fù)雜性,提高在實際工程中的應(yīng)用價值.

為減少自適應(yīng)估計參數(shù)數(shù)目,定義正值常數(shù)

上述符號Z1,Z2,···,Zn為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量,其具體表達式如下:

其中W為待設(shè)計自適應(yīng)估計參數(shù).同時,為后續(xù)式(26)和式(36)中定義擴展向量φi(Zi)

3.2 控制器設(shè)計

考慮到非線性系統(tǒng)(1)具有下三角架構(gòu)的形式,本文將采用Bacstepping遞歸方法設(shè)計控制器,詳細設(shè)計過程如下:

步驟1第1個子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)選取為

3.3 穩(wěn)定性證明

本部分將給出主要的研究結(jié)果,并證明閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性.

定理1考慮具有Preisach類型磁滯輸入的非線性系統(tǒng)(1).若假設(shè)1和2成立,則采用控制策略(45b)與自適應(yīng)律(45a)可保證閉環(huán)系統(tǒng)具有如下性能:

注5跟蹤誤差的大小取決于式(45)設(shè)計參數(shù)的選擇.適當(dāng)減少參數(shù)δi以及選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)γ能夠使得系統(tǒng)的收斂速度得到較大的提升,使得跟蹤誤差收斂至預(yù)定區(qū)間內(nèi),但并非參數(shù)選擇越大或越小,需要根據(jù)實際環(huán)境以及跟蹤精度要求適當(dāng)調(diào)整.

4 仿真與實驗研究

為驗證本文所提控制方案的有效性,本節(jié)將從以下3個階段進行:第1階段,首先對實際壓電執(zhí)行器未知參數(shù)進行辨識,以保證辨識結(jié)果與實際結(jié)果的可靠性,該階段作為2,3階段的基礎(chǔ);第2階段為數(shù)值仿真階段,通過階段1所得參數(shù)構(gòu)建Preisach模型,保證控制方案在閉環(huán)控制系統(tǒng)(如圖2)下跟蹤性能;第3階段為驗證本文方法在硬件系統(tǒng)平臺(如圖3)及在半物理仿真實驗系統(tǒng)(如圖4)下的性能效果.

圖2 閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Diagram of the closed-loop control system

圖3 硬件系統(tǒng)平臺Fig.3 Hardware system platform

圖4 半物理仿真實驗系統(tǒng)Fig.4 Semi-physical simulation experiment system

4.1 基于Preisach算子的磁滯辨識

因不同的設(shè)備存在眾多復(fù)雜的非線性關(guān)系,且各設(shè)備之間存在差異性,如式(2)中Preisach磁滯算子的密度函數(shù)μ(α,β)為未知項且與歷史輸入信息之間存在耦合性(記憶性),因此需針對圖3實際壓電執(zhí)行器進行密度函數(shù)辨識.考慮到實際執(zhí)行器的輸入電壓與標準輸出行程均為正變量,以及傳統(tǒng)Preisach模型的對稱性等特點,對壓電執(zhí)行器采用式(2)形式描述其Preisach算子的磁滯非線性特性,并有式(49)-(50)映射轉(zhuǎn)換

其中r,s為新的Preisach平面,與原平面作用等價.在此基礎(chǔ)上,Preisach模型經(jīng)典形式轉(zhuǎn)換下輸出曲線有如下坐標轉(zhuǎn)換:

其中:vr(t),ur(t)分別為實際壓電執(zhí)行器的控制輸入與系統(tǒng)輸入,v(t),u(t)分別為變換后數(shù)字模型中的虛擬控制輸入與虛擬系統(tǒng)輸入.密度函數(shù)辨識結(jié)果如圖5.圖6為基于Preisach算子的磁滯環(huán)辨識結(jié)果,對所得辨識模型與圖3 實際執(zhí)行器在采樣頻率為5 Hz,20 Hz,50 Hz的三角波/正弦波電壓輸入下,其中圖6(a),(c),(e)分別為在采樣頻率f=5 Hz,20 Hz,50 Hz下最大值為115 V,最小值0 V的三角波輸入信號的磁滯輸出信號,圖6(b),(d),(f)分別為在采樣頻率f=5 Hz,20 Hz,50 Hz 下的正弦波波輸入信號vr(t)=55 sin(2πft)+55的磁滯輸出信號,對應(yīng)的位移輸出分別如圖中虛線所示,辨識結(jié)果與實際軌跡之間的近似誤差可保證在百分位內(nèi),可用于仿真實驗中磁滯部分建模.根據(jù)對實際壓電執(zhí)行器磁滯的辨識結(jié)果,具備實驗驗證條件,可將其應(yīng)用于下文仿真驗證中,進一步為后文實驗部分提供充分準備.

圖5 Preisach算子密度函數(shù)Fig.5 Density function of the Preisach operator

圖6 基于Preisach算子的磁滯環(huán)辨識結(jié)果Fig.6 Hysteresis loop identification results based on the Preisach operator

4.2 仿真結(jié)果

結(jié)合上一部分的模型辨識結(jié)果,考慮執(zhí)行器受Preisach類型磁滯約束的非線性系統(tǒng)(1)

采用式(37)(45)自適應(yīng)律,控制方案流程如圖2,其中期待跟蹤軌跡為yd(t)=0.5 sin(πt),控制參數(shù)選擇為:c1=40,c2=55,δ1=0.05,δ2=0.025,γ=0.05.系統(tǒng)初始值設(shè)置為x1(0)=0.85,x2(0)=0,W(0)=0.02.仿真結(jié)果如圖7-9所示.圖7為系統(tǒng)輸出在本文控制方案下的軌跡跟蹤結(jié)果,能夠較為快速地跟蹤上期待信號,且系統(tǒng)輸出信號能夠在有限時間內(nèi)被約束至[yd(t)-δ1,yd(t)+δ1];圖8為本文控制方案與PID控制方案跟蹤誤差曲線及性能對比圖,均能在有限時間范圍內(nèi)跟蹤上期望信號,其中采用PID控制方案能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,但實際輸出在有限時間內(nèi)只能大概跟蹤上期望信號,其系統(tǒng)輸出偏差在磁滯約束影響下的可達13%,這意味著采用PID方案的跟蹤精度無法達到預(yù)設(shè)要求,而本文所提出的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方案能在保證穩(wěn)定性的前提下,進一步提高跟蹤精度,使得跟蹤誤差約束在預(yù)設(shè)范圍[-δ1,δ1];自適應(yīng)參數(shù)的快速收斂性也能得到保證,如圖9所示,而自適應(yīng)更新參數(shù)數(shù)量的減少,能夠減少計算負擔(dān)以及參數(shù)過多帶來的調(diào)整問題.

圖7 軌跡跟蹤性能結(jié)果Fig.7 Performance result on trajectory tracking

圖8 跟蹤誤差曲線及性能對比Fig.8 Tracking error curve and performance comparison

圖9 自適應(yīng)參數(shù)W(t)Fig.9 Adaptive parameter W(t)

4.3 實驗結(jié)果

為了驗證該控制方案的性能,本文搭建一個硬件系統(tǒng)平臺(見圖3),并進行半物理仿真實驗(見圖4).實驗設(shè)備包含如下:

1) 壓電位移臺:為芯明天公司壓電納米產(chǎn)品P66.X30S,其標稱行程為24 μm(0～120 V),行程范圍為30 μm(0～150 V),開閉環(huán)分辨率為1.5/0.7 nm,推/拉力為120/15 N.

2) 功率放大模塊: 型號E 05.00.14,平均功率35 W,主要功能是將微弱的外部模擬輸入信號或計算機經(jīng)過D/A的模擬信號放大輸出.

3) 顯式與通信模塊:型號E18.i3,具有測量和顯示輸出電壓和PZT傳感器控制模塊的當(dāng)前位移值,具備控制命令、鍵盤和軟件進行人機交互操作數(shù)字閉環(huán)控制等功能.

4) PZT傳感模塊:型號E09.S1的PZT傳感控制模塊負責(zé)檢測和處理PZT或微動工作臺等納米定位機構(gòu)中的傳感器信號,電壓輸出范圍為0～10 V.

該系統(tǒng)具有式(1)的模型形式,期待位移輸出設(shè)定為yd=0.5 sin(πt).按照式(37)(45)設(shè)計該系統(tǒng)系統(tǒng)的控制器,與仿真部分使用相同參數(shù),控制過程如圖2,4所示,執(zhí)行器相關(guān)部分采用式(50)變換.實驗結(jié)果如圖10所示,半物理系統(tǒng)在受到實際壓電執(zhí)行器中存在的磁滯非線性影響下,本文所提控制方案能夠保證系統(tǒng)輸出對期望信號漸近跟蹤,并且確保跟蹤誤差漸近收斂至用戶預(yù)設(shè)區(qū)間[-δ1,δ1].仿真中采用式(2)雙積分形式對Preisach類型磁滯部分建模,而實際壓電執(zhí)行器直接根據(jù)輸入電壓獲取輸出位移,其響應(yīng)速度與通過計算得到位移的仿真方式相比要快上許多,因此實驗部分結(jié)果較仿真部分有一定的提升,仿真結(jié)果與實驗結(jié)果均驗證了本文方法的快速性及實用性.

圖10 實際跟蹤曲線及跟蹤誤差曲線Fig.10 Actual tracking curve and tracking error curve

5 結(jié)論

本文研究一類執(zhí)行器具有多環(huán)磁滯的嚴格反饋不確定非線性系統(tǒng)跟蹤控制問題,通過對傳統(tǒng)Preisach模型經(jīng)典形式的分解,使得控制輸入能夠被顯式表示,采用Backstepping迭代設(shè)計方法,并考慮具有更加一般性的系統(tǒng)非線性,引入了降階光滑函數(shù)與自適應(yīng)徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法設(shè)計控制器,提出一種具有預(yù)定性能的控制策略.本文所提方法估計參數(shù)只有一個,避免了多參數(shù)估計帶來的計算負擔(dān)及參數(shù)耦合問題;所設(shè)計控制器不僅能夠保證狀態(tài)漸近跟蹤,也保證了系統(tǒng)的預(yù)設(shè)暫態(tài)性能,閉環(huán)系統(tǒng)所有信號的半全局一致有界性及參數(shù)的有界性均得到證明.仿真與實驗結(jié)果也驗證了所提控制策略的性能效果及先進性.