周靖峰,胡滿峰

(江南大學(xué)理學(xué)院,江蘇無錫 214000)

1 引言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(networked control systems,NCSs)是通過帶寬有限的通信網(wǎng)絡(luò)連接各種物理設(shè)備的控制系統(tǒng).近年來,NCSs已廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域,并引起了極大的關(guān)注[1-6].

為了節(jié)省通信資源并保持一定的系統(tǒng)性能,動態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制(event-triggered mechanism,ETM)被用來控制通信網(wǎng)絡(luò)中信號的傳輸.在文獻(xiàn)[7-9]中,使用了固定閾值的靜態(tài)ETM,但是這并不能真正反映系統(tǒng)動態(tài),從而導(dǎo)致一定的保守性.因此,期望能動態(tài)變化自適應(yīng)調(diào)整閾值的觸發(fā)法則來進(jìn)一步降低信號傳輸?shù)念l率.遵循這個想法,通過引入內(nèi)部動態(tài)變量,在文獻(xiàn)[10-13]中設(shè)計(jì)了動態(tài)或自適應(yīng)ETM.然而,一些動態(tài)ETM可能存在奇異問題并會退化為傳統(tǒng)的時間觸發(fā)機(jī)制,這可能會限制其在實(shí)際應(yīng)用中的使用.最近,在文獻(xiàn)[14-15]中,設(shè)計(jì)了有乘法和加法內(nèi)部動態(tài)變量的ETM來避免奇異現(xiàn)象.在文獻(xiàn)[16-17]中,提出了靜態(tài)事件觸發(fā)預(yù)測控制方法,其控制器通過引入預(yù)測器來獲取系統(tǒng)的估計(jì)狀態(tài),這不僅節(jié)省了通信資源,而且有助于獲得良好的系統(tǒng)控制性能.受上述工作的啟發(fā),設(shè)計(jì)一種動態(tài)事件觸發(fā)的預(yù)測控制方案是有意義的.

T-S模糊模型可以用若干IF-Then規(guī)則下的局部線性子系統(tǒng)來表示具有非線性動力學(xué)的系統(tǒng).考慮到采樣的非均勻性,Wang等人[18]提出了一種T-S模糊馬爾可夫跳變系統(tǒng)的模糊事件觸發(fā)異步耗散控制方法.Ma等人[19]研究了一類具有全狀態(tài)約束和執(zhí)行器失效的隨機(jī)非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊輸出反饋控制問題.但由于傳感器和控制器通過通信網(wǎng)絡(luò)傳輸信號,因此假設(shè)模糊系統(tǒng)和模糊控制器具有相同的前提變量是不實(shí)際的.因此,Asalm等人[20]提出了一類具有時變時滯和前提變量不匹配的非線性系統(tǒng)在ETM下的模糊控制器設(shè)計(jì)方法.但傳統(tǒng)的T-S模糊系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中存在著隸屬度函數(shù)難以精確獲得的問題.為了解決這一問題,通過對隸屬函數(shù)進(jìn)行有界化處理,文獻(xiàn)[21]建立了IT2模糊模型.然而,在上述工作中,通信網(wǎng)絡(luò)中的網(wǎng)絡(luò)丟包問題一直沒有得到很好的解決,這對本文的工作有很大的啟發(fā).

本文的目的是針對IT2模糊系統(tǒng)設(shè)計(jì)一種動態(tài)事件觸發(fā)預(yù)測控制器,該控制器具有不同于模糊系統(tǒng)的前提變量并且能夠補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)丟包帶來的負(fù)面影響.首先,提出了一種新的IT2模糊系統(tǒng)模型,該模型包括能減輕通信網(wǎng)絡(luò)負(fù)擔(dān)的動態(tài)ETM和能解決網(wǎng)絡(luò)丟包問題的預(yù)測控制器.然后,利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和前提不匹配方法得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件,并根據(jù)給定的充分條件得到了控制器增益和事件觸發(fā)參數(shù).本文主要貢獻(xiàn)如下:

1) 提出了一種新的IT2模糊模型,該模型將動態(tài)ETM和預(yù)測控制方法相結(jié)合,以補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)丟包帶來的負(fù)面影響.與傳統(tǒng)的T-S模糊模型[22]不同,它不需要獲得精確的隸屬函數(shù).

2) 針對網(wǎng)絡(luò)化IT2 T-S模糊系統(tǒng),提出了一種動態(tài)事件觸發(fā)預(yù)測控制器的設(shè)計(jì)方法.與網(wǎng)絡(luò)化并行分布式補(bǔ)償方法[23]不同,不完全前提匹配方法可以不要求控制器具有與所研究的T-S模糊系統(tǒng)相同的前提變量.

本文的結(jié)構(gòu)如下.第2部分是系統(tǒng)描述,其包括IT2 T-S模糊模型和動態(tài)ETM.第3部分分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件.最后,通過數(shù)值仿真說明了設(shè)計(jì)方法的有效性.

注1在本文中,矩陣中的星號*用來表示對稱項(xiàng).X＞0(X≥0)意思是X是對稱的和正定的(半正定的).I和0分別表示單位矩陣和零矩陣.

2 系統(tǒng)描述

本文考慮的模糊事件觸發(fā)預(yù)測控制結(jié)構(gòu)圖如圖1.模糊事件觸發(fā)預(yù)測控制方法包括傳輸采樣數(shù)據(jù)的ETM1,基于ETM2的模糊事件觸發(fā)預(yù)測控制器和存儲預(yù)測數(shù)據(jù)包的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)丟失補(bǔ)償器(networked data-dropout compensator,NDC).傳感器與控制器通過通信網(wǎng)絡(luò)連接,控制器與執(zhí)行器直接點(diǎn)對點(diǎn)連接.

圖1 IT2 T-S模糊系統(tǒng)框架Fig.1 The framework of IT2 T-S fuzzy system

2.1 IT2 T-S模糊模型

考慮如下的網(wǎng)絡(luò)化IT2 T-S模糊模型:

此時,系統(tǒng)(1)可以表示為

注2不同于傳統(tǒng)的T-S模糊模型(例如文獻(xiàn)[16]),IT2模糊模型的隸屬函數(shù)在一個區(qū)間范圍內(nèi),這意味著實(shí)際應(yīng)用中不再要求獲取精確的隸屬函數(shù).IT2模糊模型不僅擴(kuò)展了傳統(tǒng)的T-S模糊模型,而且有處理不確定性的特點(diǎn).

2.2 動態(tài)ETM

為了節(jié)省有限的通信資源,設(shè)計(jì)了動態(tài)ETM1(見圖1)來釋放采樣信號.假設(shè)e(k)=x(k)-x(kn)是當(dāng)前狀態(tài)x(k)和最新觸發(fā)狀態(tài)x(kn)之間的誤差.然后,下一個事件觸發(fā)時刻由如下ETM1確定:

其中:0＜δ ＜1和ρ ＞0是常數(shù),T是正的常數(shù),它表示事件觸發(fā)間隔的上界.

內(nèi)部動態(tài)變量φ(k)被設(shè)計(jì)為

注3動態(tài)ETM1包含一個內(nèi)部動態(tài)變量φ(k),它可以根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)動態(tài)的調(diào)整ETM1的強(qiáng)度.當(dāng)φ(k)→0時,ETM1將變成靜態(tài)ETM.在文獻(xiàn)[14]中,ETM的內(nèi)部動態(tài)變量是乘性的,而式(3)中的內(nèi)部動態(tài)變量是加性的.一旦乘性動態(tài)變量退化到0,相應(yīng)的動態(tài)ETM就退化為時間觸發(fā)機(jī)制.當(dāng)加性動態(tài)變量退化到0時,相應(yīng)的動態(tài)ETM退化為靜態(tài)ETM[16].

2.3 模糊事件觸發(fā)控制器

由于網(wǎng)絡(luò)資源的有限性和通信網(wǎng)絡(luò)的不可靠性,一些采樣數(shù)據(jù)不會傳輸?shù)娇刂破?因此在控制器中設(shè)置了預(yù)測器.考慮到控制器模型不能與系統(tǒng)模型共享前提變量,因此模糊預(yù)測控制器模型描述為

注意到預(yù)測器和控制器的前提變量是相同的,但他們的前提變量和系統(tǒng)模型的前提變量是不同的.

2.4 T-S模糊模型

這一節(jié),將仔細(xì)分析數(shù)據(jù)在網(wǎng)絡(luò)中的傳輸過程并設(shè)計(jì)事件觸發(fā)預(yù)測器.

假設(shè)(i=1,2,···)是ETM(3)成功觸發(fā)的時間序列,那么閉環(huán)系統(tǒng)(1)可以被預(yù)測為

假設(shè)1在通信網(wǎng)絡(luò)中,存在著網(wǎng)絡(luò)丟包現(xiàn)象,且連續(xù)發(fā)生丟包現(xiàn)象的最大次數(shù)為σ.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)丟包發(fā)生時,觸發(fā)數(shù)據(jù)將不會被成功發(fā)送到控制器中,控制器將繼續(xù)使用預(yù)測狀態(tài).

注4如果沒有ETM(10),那么控制信號序列將表示為

基于以上分析,式(2)和式(7)可以分別表示為閉環(huán)系統(tǒng)

注5本文中的系統(tǒng)(2)和預(yù)測控制器(8)的前提變量是不完全匹配的,具體表示為h?/ηl.完全匹配可以看作本文中的一種特殊情況,這意味著本文中的設(shè)計(jì)方法更具一般性.

3 主要結(jié)果

本節(jié)中,將分析系統(tǒng)(16)在ETM(3)(10)下的穩(wěn)定性準(zhǔn)則.

那么閉環(huán)系統(tǒng)(16)在ETM(3)(10)下是漸近穩(wěn)定的.

證選擇Lyapunov函數(shù)

顯然,存在一個標(biāo)量ι ＞0對所有ξ/=0都滿足ΔV(α(t),φ(t))≤-ι‖ξ2‖.因此,系統(tǒng)(16)是漸近穩(wěn)定的. 證畢.

雖然定理1保證了閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,但是為了能使用LMI尋求控制器增益和ETM的參數(shù),有如下定理2.

那么閉環(huán)系統(tǒng)(16)在ETM(3)(10)下是漸近穩(wěn)定的.其中

將D左乘和右乘在式(17)-(19)上,那么就能得到式(33)-(35). 證畢.

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本部分通過數(shù)值模擬驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的區(qū)間2型模糊系統(tǒng)的事件觸發(fā)預(yù)測控制方案的有效性.給出一個非線性質(zhì)量彈簧系統(tǒng)[16]

其中有?1∈[-1,1].如果非線性質(zhì)量彈簧系統(tǒng)以采樣周期h=0.1 s離散化,則離散模糊系統(tǒng)為

假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為x0=[0.5-0.5]T,采樣間隔為0.1 s,模擬時長為20 s.丟包在通信網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)發(fā)生且連續(xù)丟包的最大次數(shù)為σ=10.圖2展示了系統(tǒng)狀態(tài)的演化.圖3展示了事件觸發(fā)的時刻和間隔.圖4動態(tài)變量φ(k)的演化.圖5展示了網(wǎng)絡(luò)丟包的發(fā)生時刻和間隔.

圖2 例1中的系統(tǒng)狀態(tài)Fig.2 The state of system in case 1

圖3 例1中的事件觸發(fā)時刻和間隔Fig.3 The instant and interval of even-triggered in case 1

圖4 例1中的φ(k)Fig.4 φ(k)in case 1

圖5 例1中的丟包時刻和間隔Fig.5 The instant and interval of packet loss in case 1

假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為x0=[0.5-0.5]T,采樣間隔為0.1 s,模擬時長為20 s.丟包在通信網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)發(fā)生且連續(xù)丟包的最大次數(shù)為σ=10.圖6展示了系統(tǒng)狀態(tài)的演化.圖7展示了事件觸發(fā)的時刻和間隔.圖8動態(tài)變量φ(k)的演化.圖9展示了網(wǎng)絡(luò)丟包的發(fā)生時刻和間隔.

圖6 例2中的系統(tǒng)狀態(tài)Fig.6 The state of system in case 2

圖7 例2中的事件觸發(fā)時刻和間隔Fig.7 The instant and interval of even-triggered in case 2

圖8 例2中的參數(shù)φ(k)Fig.8 φ(k)in case 2

圖9 例2中的丟包時刻和間隔Fig.9 The instant and interval of packet loss in case 2

因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)丟包是隨機(jī)發(fā)生,所以兩種情況的ETM無法進(jìn)行比較.所以,另外設(shè)定丟包狀況相同的兩個例子來進(jìn)行仿真,并且跟靜態(tài)ETM[16]進(jìn)行比較,最終的結(jié)果在表1中展示.可以看到,動態(tài)ETM比靜態(tài)ETM有更低的事件觸發(fā)頻率.

表1 事件觸發(fā)頻率Table 1 The frequency of event-triggered

5 總結(jié)

針對一類NCSs,本文采用IT2模糊模型進(jìn)行建模,提出了一種前提不匹配的事件觸發(fā)預(yù)測控制器的設(shè)計(jì)方法.動態(tài)ETM可以有效節(jié)約有限的通信資源并保持一定的控制性能,并且設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)預(yù)測控制器可以預(yù)測兩次成功傳輸之間的系統(tǒng)狀態(tài).通過選擇Lyapunov函數(shù)和一些不等式,可以得到一些充分條件來保證閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,而且可以獲得控制器的清晰表達(dá).最后,通過數(shù)值模擬來說明設(shè)計(jì)方法的有效性.本文不考慮網(wǎng)絡(luò)時延,未來的工作將研究具有網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延的NCSs的穩(wěn)定性.此外,還有更多實(shí)際因素需要考慮,例如物理設(shè)備的故障以及網(wǎng)絡(luò)信號的量化等.這些都是本文未來的研究方向.