王清華 ,劉 燁 ,張桂林 ,李洪芹 ,劉海珊

(1.上海工程技術(shù)大學(xué)電子電氣工程學(xué)院,上海 201620;2.山東科技大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院,山東青島 266590)

1 引言

近年來,輸入時滯的控制問題是時滯系統(tǒng)的基本問題之一,在機器人、電力網(wǎng)絡(luò)和航空航天等控制系統(tǒng)中普遍存在,因此如何處理輸入時滯項引起了廣泛關(guān)注.其中,一個基本思想是預(yù)測反饋[1-2].由于分布特性,傳統(tǒng)的基于預(yù)測的方法在實際應(yīng)用中難以實施.文獻[3-6]則忽略了分布項,在預(yù)測反饋的基礎(chǔ)上提出了截斷預(yù)測反饋控制方案,并避免反饋律無窮維性問題.進一步,對于輸入時滯的研究擴展到了不確定非線性系統(tǒng)里.文獻[7]假設(shè)非線性函數(shù)滿足Lipschitz條件將截斷預(yù)測反饋控制方案擴展到輸入時滯非線性系統(tǒng)中.文獻[8-9]提出了改進的預(yù)測方案解決帶有擾動的非線性系統(tǒng)的輸入時滯問題.針對一類相似的帶有輸入時滯非線性系統(tǒng)[10-13],為消除輸入時滯的影響,設(shè)計了包含過去控制值有限積分的輔助跟蹤誤差時滯補償項.此外,Pade逼近方案[14-19]被廣泛應(yīng)用于帶有輸入時滯的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),因為逼近誤差要求趨于零,所以Pade逼近方案僅能處理較小的時滯系統(tǒng).不僅Pade逼近方案要求輸入時滯較小,以上控制方案對輸入時滯都要求很小,對較大的時滯跟蹤效果不理想,甚至失效.

隨著工業(yè)的迅速發(fā)展,基本的穩(wěn)定性已經(jīng)滿足不了工業(yè)發(fā)展的要求,人們期望設(shè)計的控制方案不僅能滿足系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能,還能保證瞬態(tài)性能.為此文獻[20-21]提出了預(yù)設(shè)性能方案,通過引入嚴(yán)格遞增的誤差轉(zhuǎn)換函數(shù),將對系統(tǒng)誤差的約束轉(zhuǎn)換成無約束的問題,該方法需要對誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)求逆,可能存在奇異性問題,造成系統(tǒng)不穩(wěn)定[22].于是Ilchmann[23]等人提出了Funnel控制,根據(jù)高增益的理念,設(shè)計可調(diào)節(jié)的時變增益控制一類一階或二階系統(tǒng),保證系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能.文獻[24]針對相對度為二的單輸入單輸出最小相位系統(tǒng),設(shè)計了Funnel預(yù)補償器控制方案,保證了系統(tǒng)跟蹤誤差的預(yù)定性能.文獻[25]設(shè)計了一種無模型Funnel控制方案,保證了相對階非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能.然而Funnel控制主要適用于階數(shù)為一或二的系統(tǒng),限制了Funnel控制在實際控制系統(tǒng)的應(yīng)用.此外,在輸入時滯的研究領(lǐng)域,對于保證系統(tǒng)跟蹤誤差瞬態(tài)性能的研究還不太充分.

最近,對于輸入時滯系統(tǒng)的研究主要集中于以下幾個方面: 1) 滿足大時滯要求.在位置誤差中設(shè)計輸入時滯積分輔助項[26-27],通過對輸入時滯的積分消除時滯的影響,但是無法將該方法擴展到時變時滯系統(tǒng).文獻[28-29]設(shè)計了輸入時滯補償系統(tǒng),但在反推設(shè)計中每步都要補償,為保證系統(tǒng)穩(wěn)定,還需要證補償系統(tǒng)有界;2) 采用動態(tài)面方法[8,18,26]解決反推中因重復(fù)微分引起的“微分爆炸”問題.該方法雖然能有效簡化控制器設(shè)計過程,減輕計算負(fù)擔(dān),但是一階低通濾波器存在的邊界層誤差無法消除,使得跟蹤誤差不能漸近收斂到零;3) 提高系統(tǒng)的瞬態(tài)跟蹤性能.由于既要處理輸入時滯,又要保證系統(tǒng)瞬態(tài)性能,給控制設(shè)計帶來了極大挑戰(zhàn),所以目前對該問題的研究不是太充分.文獻[30]應(yīng)用預(yù)設(shè)性能技術(shù)研究了帶有輸入遲滯的大范圍非線性系統(tǒng),提高系統(tǒng)瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)跟蹤性能,但預(yù)設(shè)性能需要對性能函數(shù)求逆,存在奇異性問題.

綜上所述,盡管已經(jīng)取得了關(guān)于輸入時滯非線性系統(tǒng)研究的豐碩成果,但是如何設(shè)計出使得輸入時滯非線性系統(tǒng)跟蹤誤差漸近收斂到零且滿足大時滯需求的控制器是極具挑戰(zhàn)的.其難點在于輸入時滯補償?shù)脑O(shè)計需要滿足大時滯的要求,以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差、模糊逼近誤差和動態(tài)面邊界層誤差等的處理.

本文研究了輸入時滯非線性系統(tǒng)的新型動態(tài)面Funnel控制.其研究動機是對于機器人、電力網(wǎng)絡(luò)和航空航天等控制系統(tǒng),其大多數(shù)情況信號傳輸都存在時滯,在這種情況下仍然保持較高的跟蹤性能.本文通過設(shè)計輸入時滯補償動態(tài)變量,構(gòu)造Funnel函數(shù)結(jié)合非線性濾波器設(shè)計了帶有輸入補償動態(tài)變量的新型動態(tài)面Funnel控制方案.該方案主要貢獻有: 1)設(shè)計了輸入時滯的補償動態(tài)變量,僅需在最后一步補償,從而優(yōu)化了控制器設(shè)計過程,且滿足大時滯要求;2)基于正時變積分函數(shù)設(shè)計的非線性新型濾波器,不僅避免了反推控制“微分爆炸”問題,而且消除了邊界層誤差,并保證了系統(tǒng)的跟蹤誤差漸近收斂到零;3)通過Funnel控制不僅避免了預(yù)設(shè)性能控制中的奇異性問題,而且保證了跟蹤誤差的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能.

2 問題描述及假設(shè)

考慮到如下輸入時滯不確定非線性系統(tǒng):

本文的控制目標(biāo)是使閉環(huán)系統(tǒng)所有信號一致有界,并且使跟蹤誤差e1=y-yr最終漸近收斂到零.為了實現(xiàn)控制目標(biāo),需要一些假設(shè)和引理.

假設(shè)1系統(tǒng)(1)在0 ≤t≤τ0不會趨于無窮,且τ0≥τ(t).

假設(shè)2跟蹤期望軌跡yr和其一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)是已知有界的.

引理1[31]對于任何σ ＞0和μ ∈R有不等式

引理2[28]定義緊集Ωx ?Rq,對于任何未知連續(xù)的函數(shù)f(·)存在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)WTΦ(x)如下:

其中:Φ(x)=[φ1(x)···φl(x)]T∈Rl是基函數(shù)向量,ε(x)為逼近誤差,l ＞1是神經(jīng)元的個數(shù),基函數(shù)選擇高斯徑向基函數(shù)

其中:ui=[ui1···uiq]T為高斯徑向基函數(shù)的中心點坐標(biāo)矢量,η為高斯徑向基函數(shù)的寬度,W=[w1···wl]T是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值,被定義為

引理3[22]Funnel控制是利用時變的控制增益?(·)來控制相對階為一或者二的已知高增益系統(tǒng)S的一種控制方法.控制增益?(·)設(shè)計如下:

但是,以上的Funnel控制方法被限制在相對階數(shù)為一階或者二階的系統(tǒng),因此本文采用改進的誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)?(t)=e(t)/(Fφ-‖e(t)‖)新的變量?(t)不受系統(tǒng)階數(shù)的影響,并結(jié)合新型動態(tài)面控制技術(shù),保證了系統(tǒng)的瞬態(tài)性能且穩(wěn)態(tài)誤差最終收斂到零.

注1假設(shè)1為了保證系統(tǒng)的可控性,為輸入時滯系統(tǒng)中的常用假設(shè)[28],實際中許多工業(yè)系統(tǒng)可以滿足.假設(shè)2為自適應(yīng)動態(tài)面控制方案基本條件要求,存在大量文獻中[8,10-13,15-18,27-30].

3 控制器設(shè)計

設(shè)計如下輸入時滯補償動態(tài)變量:

其中:λ為正的設(shè)計參數(shù),補償動態(tài)變量的初始值h(0)=0.

各位置誤差設(shè)計參考如下:

其中αi為第i步設(shè)計的虛擬控制律.

注2如果系統(tǒng)無時滯,即τ(t)=0,則補償動態(tài)變量h=0,且補償動態(tài)變量(8)的設(shè)計比文獻[28-29]更具有普遍性和應(yīng)用性,因為補償動態(tài)變量僅在最后一步中應(yīng)用,無需在遞歸設(shè)計的每步都補償,所以減輕了計算負(fù)擔(dān),優(yōu)化了控制器的設(shè)計過程.

步驟1根據(jù)引理3,跟蹤誤差e1的Funnel誤差變量為s=e1/(Fφ-|e1|),由引理2和式(9)得

其中β=1/(Fφ-|e1|).

設(shè)計第1個虛擬控制律和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差的自適應(yīng)律為

其中σ1和σ2是正的常數(shù).

步驟i根據(jù)式(9)和引理2,第i個位置跟蹤誤差ei,i=2,···,n-1的導(dǎo)數(shù)為

設(shè)計第i個虛擬控制律和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差自適應(yīng)律為

設(shè)計實際控制律u(t)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差自適應(yīng)律為

注3通過Funnel邊界函數(shù),將系統(tǒng)的跟蹤誤差限制在給定的范圍內(nèi),保證了系統(tǒng)的瞬態(tài)性能,即能夠設(shè)定系統(tǒng)的收斂速度及最大超調(diào)量.同時避免了傳統(tǒng)預(yù)設(shè)性能方法中出現(xiàn)的奇異值現(xiàn)象.

4 穩(wěn)定性分析

對邊界層誤差zi(1 ≤i≤n-1)求導(dǎo)如下:

其中Bi(·)由虛擬控制律求導(dǎo)組成的已知連續(xù)函數(shù).

選擇Lyapunov函數(shù)L如下:

其中γMj,j=1,···,n-1為正的設(shè)計參數(shù).

定理1對由式(1)組成的系統(tǒng),利用新型非線性濾波器(14)和(20),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值自適應(yīng)律(12),(18)和(23)及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差自適應(yīng)律(13),(19)和(24),結(jié)合控制律(22),根據(jù)假設(shè)1-2,當(dāng)L(0)≤L0時,L0為一個正的常數(shù),存在ci,γW i,γεi,i=1,···,n和τj,γMj,j=1,···,n-1,使得閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局一致有界,并且跟蹤誤差e1=y-yr漸近收斂到零.

證定義緊集Ω1和Ω2

5 仿真分析

考慮單力臂機械手控制系統(tǒng)[26]

其中:N表示轉(zhuǎn)動慣量,m為連桿的質(zhì)量,g是重力加速度,l表示連桿的長度,Q表示連桿的角位置,表示連桿的角速度,表示連桿的角加速度,ι是控制量.在單力臂機械系統(tǒng)中,輸入時滯可能是系統(tǒng)設(shè)計結(jié)構(gòu)固有的,也可能是傳輸延時,通信延時和傳感器響應(yīng)延時等.定義x1=Q,x2=,ι=u(t-τ(t)).則式(36)可以表示成如下形式:

其中:f2(x)=1/N(2x2+mglsinx1),取輸入時滯τ=0.01|sint|,期望跟蹤信號為yr=sint.

基于本文的控制方案,Funnel的邊界函數(shù)取為Fφ(t)=e-0.05t+0.002,輸入時滯的補償動態(tài)變量設(shè)計為=-u+u(t-0.01|sin(t)|)-2h,系統(tǒng)參數(shù)為m=1.0 kg,g=9.8 m·s-2,l=0.75 m,N=4/3ml2(kg·m2).系統(tǒng)的初始狀態(tài)為(x1(0),x2(0))=(0,0),其他自適應(yīng)參數(shù)的初始值都為0.選取設(shè)計參數(shù)為c1=25,c2=15,γε1=12,γε2=15,γW1k=0.02,γW2k=0.03(k=1,···,l),非線性濾波器設(shè)計參數(shù)為τ=0.01,γM=2,σ(t)=0.01e-0.01t.

仿真結(jié)果如圖1-4所示.由圖1可知本文的控制方案具有良好的跟蹤性能.圖2中曲線表明跟蹤誤差一直在Funnel邊界內(nèi),保證了跟蹤誤差的瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能,并且最終跟蹤誤差收斂到零.而文獻[29-30]中所設(shè)計的控制方案都只能使跟蹤誤差收斂到一個小鄰域內(nèi),不能保證漸近收斂到零.圖3驗證了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差和的自適應(yīng)律都是有界.圖4曲線表明了控制信號u有界.對于狀態(tài)預(yù)測控制[8]與Pade逼近控制[16],在相同的環(huán)境下,無法控制系統(tǒng)(36).仿真結(jié)果表明本文的控制方案不僅能消除大時滯的影響,還能保證系統(tǒng)的跟蹤誤差漸近收斂到零.

圖1 系統(tǒng)輸出y和期望軌跡yrFig.1 System output y and expected trajectory yr

圖2 跟蹤誤差e1與Funnel邊界函數(shù)Fig.2 Sracking error e1 and Funnel boundary function

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差和自適應(yīng)律Fig.3 Neural network error and adaptive law

圖4 控制信號uFig.4 Control signal u

6 結(jié)論

本文對帶有輸入時滯的不確定非線性系統(tǒng)提出了新型非線性動態(tài)面Funnel控制方案.首先,設(shè)計了輸入時滯補償動態(tài)變量將含有輸入時滯的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為無時滯系統(tǒng),無需在遞歸控制的每步都補償,優(yōu)化了控制器設(shè)計過程,而且滿足大時滯的要求.然后,利用Funnel函數(shù),保證了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)性能,且避免了預(yù)設(shè)性能給定邊界函數(shù)的奇異性問題.最后,設(shè)計了基于正時變積分函數(shù)的非線性新型濾波器,既避免“微分爆炸”,又有效地消除了邊界層誤差,使得系統(tǒng)的跟蹤誤差漸近收斂到零.