李 實,向崢嶸

(1.南京師范大學電氣與自動化工程學院,江蘇南京 210023;2.南京理工大學自動化學院,江蘇南京 210094)

1 引言

在實際應用中,許多控制系統(tǒng)的通信帶寬和計算資源通常都是有限的.此外,隨著節(jié)能減排的思想及走可持續(xù)發(fā)展路線的提出,尋求低能耗的控制系統(tǒng)已經(jīng)成為了社會各界的共識.因此,如何有效地節(jié)約通信資源成為了研究熱點.為了降低通信資源的利用,TABUADA在文獻[1]提出了事件觸發(fā)控制策略.目前,該控制策略已經(jīng)引起了很多研究學者的廣泛關(guān)注.文獻[2]針對一類不確定非線性系統(tǒng)提出了一種輸出反饋事件觸發(fā)控制策略,保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻[3-4]研究了不確定非線性系統(tǒng)的自適應事件觸發(fā)控制問題,給出了有效的自適應控制方案.文獻[5]針對一類具有輸入飽和的非線性系統(tǒng),設(shè)計了一種事件觸發(fā)飽和控制器并分析了系統(tǒng)的半全局魯棒鎮(zhèn)定性.通過引入內(nèi)部動態(tài)變量方法,文獻[6]討論了一類隨機非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問題.文獻[7]研究了有向拓撲下,一類非線性多智能體系統(tǒng)的固定時間一致性問題,通過引入事件觸發(fā)控制策略,給出了一致性方案.文獻[8-9]將事件觸發(fā)控制策略應用到不確定非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題中,所設(shè)計的方案可以實現(xiàn)有效地跟蹤.文獻[10]結(jié)合了有限時間控制以及事件觸發(fā)控制方法,針對一類不確定非線性系統(tǒng)提出了一種全局事件觸發(fā)有限時間控制策略.文獻[11]研究了一類互聯(lián)非線性系統(tǒng)的輸出反饋事件觸發(fā)控制問題,提出了一種模糊自適應分散事件觸發(fā)控制策略.眾所周知,受自身因素和外部環(huán)境的影響,許多實際控制系統(tǒng)呈現(xiàn)出切換的特性,如機械控制系統(tǒng)、機器人控制系統(tǒng)、電力控制系統(tǒng)及交通控制系統(tǒng)等.切換系統(tǒng)是一類由一系列連續(xù)時間或離散時間的子系統(tǒng)以及切換的規(guī)則組成的混雜系統(tǒng)[12].切換系統(tǒng)的概念的出現(xiàn)為具有切換特性的系統(tǒng)提供了一種統(tǒng)一的數(shù)學建?？蚣躘13].換言之,切換系統(tǒng)可以描述上述實際控制系統(tǒng).近年來針對切換系統(tǒng)的控制問題的研究,尤其是切換非線性系統(tǒng)的控制問題受到了廣泛地關(guān)注[14-15].對于切換非線性控制系統(tǒng)同樣可能存在通信帶寬和計算資源有限的問題.因此,如何將事件觸發(fā)控制策略應用到切換非線性系統(tǒng)的控制問題中是一個值得討論的問題.針對這一問題,許多學者開展了研究.通過結(jié)合公共Lyapunov函數(shù)方法與事件觸發(fā)控制方法,文獻[16-17]分別針對帶有輸入飽和的切換非線性系統(tǒng)以及一類純反饋形式的不確定切換非線性系統(tǒng)展開研究,提供了可行的事件觸發(fā)控制方案.文獻[18-20]研究了基于駐留時間條件的切換非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問題,所提出的方案在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時排除了可能發(fā)生的Zeno 現(xiàn)象.文獻[21-23]針對幾類帶有平均駐留時間約束的切換非線性系統(tǒng),設(shè)計了事件觸發(fā)控制器并導出了系統(tǒng)穩(wěn)定所需要滿足的平均駐留時間條件.

注意到,上述結(jié)果皆是基于連續(xù)時間框架下的.然而,在實際生產(chǎn)生活中,隨著數(shù)字計算機技術(shù)的飛速發(fā)展與全面普及,對于實際系統(tǒng)的控制往往通過計算機實現(xiàn),即控制器的形式大多以采樣控制器的形式出現(xiàn).對于許多采樣控制系統(tǒng)而言,同樣存在通信帶寬和計算資源受限的問題.這給研究者帶來了一個新的研究課題,能否在計算機采樣控制的基礎(chǔ)上結(jié)合事件觸發(fā)控制實現(xiàn)進一步減少通信資源的利用? 針對這一問題,文獻[24-25]中提出了周期事件觸發(fā)控制方法.周期事件觸發(fā)控制策略有效地結(jié)合了事件觸發(fā)控制及采樣控制的優(yōu)點,其特點是觸發(fā)機制僅在采樣時刻間斷監(jiān)測,這使得周期事件觸發(fā)控制策略可以在周期性采樣控制的基礎(chǔ)上進一步減少通信資源的利用并且可以避免Zeno現(xiàn)象.因此,周期事件觸發(fā)控制方法在非線性控制系統(tǒng)中得到了廣泛地應用.針對一類非線性系統(tǒng),文獻[26]通過結(jié)合過近似方法和周期事件觸發(fā)控制策略,設(shè)計了可以使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的周期事件觸發(fā)控制器.在文獻[27]中,研究了一類含有時變擾動的非線性系統(tǒng)的輸出反饋周期事件觸發(fā)魯棒控制問題,通過引入反饋控制和干擾補償技術(shù),設(shè)計了可以保證系統(tǒng)有界的輸出反饋周期事件觸發(fā)控制方案.文獻[28]考慮了一類增量二次非線性系統(tǒng)的全局周期事件觸發(fā)控制問題,分別設(shè)計了狀態(tài)反饋和輸出反饋周期事件觸發(fā)控制器并導出了閉環(huán)系統(tǒng)的輸入狀態(tài)穩(wěn)定的條件.文獻[29]針對一類非線性網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),設(shè)計了周期事件觸發(fā)控制器,有效地實現(xiàn)了控制目標.針對一類非線性Lipschitz系統(tǒng),文獻[30]利用脈沖觀測器來估計系統(tǒng)狀態(tài),進而構(gòu)造輸出反饋周期事件觸發(fā)控制器和觸發(fā)機制,在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時實現(xiàn)了節(jié)約系統(tǒng)通信資源.文獻[31]研究了一類隨機非線性系統(tǒng)的輸出反饋周期事件觸發(fā)控制問題,設(shè)計了基于補償器的周期事件觸發(fā)控制策略,實現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)在均方意義下全局漸近穩(wěn)定.在文獻[32]中,針對一類非線性時滯系統(tǒng)設(shè)計了周期事件觸發(fā)控制方案,并將該方案成功地應用到了一類人工胰腺系統(tǒng)中,進一步說明了周期事件觸發(fā)策略的實用性.

根據(jù)上述討論可知,針對非切換系統(tǒng)的周期事件觸發(fā)控制的研究取得了較為豐碩的成果.然而,對于切換系統(tǒng),即使所有子系統(tǒng)均穩(wěn)定,不受約束的切換信號仍然可以使得整體系統(tǒng)不穩(wěn)定.相反,即使所有子系統(tǒng)均不穩(wěn)定,通過選取合適的切換信號仍可以保證整體切換系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定.因此,針對非切換系統(tǒng)設(shè)計的周期事件觸發(fā)控制方案不能直接應用于切換系統(tǒng).尤其是對于切換非線性系統(tǒng),非線性項的存在給周期事件觸發(fā)控制器設(shè)計增加了難度,這導致目前針對切換系統(tǒng)的周期事件觸發(fā)控制問題的研究主要集中于切換線性系統(tǒng)[33-34],而針對切換非線性系統(tǒng)的周期事件觸發(fā)控制研究成果還鮮見報道.本文作者在文獻[35]中針對一類切換非線性的周期事件觸發(fā)控制展開了研究,給出了輸出反饋周期事件觸發(fā)控制方案保證了系統(tǒng)在任意切換下的穩(wěn)定性.但是需要指出的是,該文獻所研究的系統(tǒng)為一類嚴格反饋系統(tǒng)且要求系統(tǒng)非線性函數(shù)為光滑函數(shù),這在一定程度上限制了方案的應用范圍.因此,可以提出如下有趣且富有挑戰(zhàn)的問題:1)能否將周期事件觸發(fā)控制策略引入到一類更加一般的切換非嚴格反饋非線性控制系統(tǒng),進而實現(xiàn)節(jié)約該系統(tǒng)的通信資源? 2)如果所考慮的系統(tǒng)含有未知控制系數(shù)且僅考慮利用系統(tǒng)輸出在采樣時刻的信息進行設(shè)計,如何設(shè)計有效的狀態(tài)觀測器估計系統(tǒng)不可量測的狀態(tài)? 3)如何設(shè)計周期事件觸發(fā)控制器和觸發(fā)機制來保證閉環(huán)系統(tǒng)在任意切換下全局漸近穩(wěn)定? 下文將針對這些問題展開研究.本文的主要貢獻如下:

1) 不同于已有文獻[26-35],本文針對一類切換非線性系統(tǒng),提出了一種新穎的輸出反饋周期事件觸發(fā)控制方案,該方案包括基于觀測器的事件觸發(fā)控制器和一種新型可調(diào)節(jié)離散傳輸機制.該方案可以有效節(jié)約所考慮的控制系統(tǒng)的通信資源.

2) 與一些已有文獻[35]相比,本文所考慮的系統(tǒng)為非嚴格反饋系統(tǒng)、含有未知控制系數(shù)且不要求系統(tǒng)的非線性函數(shù)為光滑函數(shù).因此,本文所研究的系統(tǒng)更加一般,所設(shè)計的方案擁有更廣的應用范圍.

3) 與一些已有文獻[27,35]所設(shè)計的狀態(tài)觀測器不同,本文僅利用采樣時刻的系統(tǒng)輸出為所有的子系統(tǒng)構(gòu)造了公共的降維觀測器,避免了對已知的系統(tǒng)輸出的重復估計.

本文的其余部分安排如下:第2節(jié)給出了系統(tǒng)描述以及將要用到的假設(shè)條件;第3節(jié)為本文主要內(nèi)容,包括觀測器與控制器設(shè)計和穩(wěn)定性分析;在第4節(jié)中,進行了仿真研究;最后,本文在第5節(jié)進行了總結(jié).

符號說明|·|為標量的絕對值;‖·‖為向量的歐式范數(shù)或矩陣的2范數(shù);?表示包含于;A∪B表示集合A與集合B的并集;In-1為n-1維單位矩陣;λmax(*)/λmin(*)分別表示矩陣*的最大/最小特征值.

2 問題描述

考慮如下切換非線性系統(tǒng):

其中:x=[x1··· xn]T為系統(tǒng)狀態(tài),u為系統(tǒng)輸入,y為系統(tǒng)輸出,hi(t),i=1,···,n為未知控制系數(shù),σ(t):[0,∞)→M={1,2,···,M}為切換信號,M為子系統(tǒng)個數(shù),fi,s(x),s ∈M為未知連續(xù)非線性函數(shù)且滿足fi,s(0)=0.在系統(tǒng)(1)中,考慮狀態(tài)在切換時刻不發(fā)生跳變且僅利用系統(tǒng)輸出y在采樣時刻的信息.為了研究系統(tǒng)(1)的輸出反饋周期事件觸發(fā)控制問題,定義采樣的系統(tǒng)輸出為y(kT),k=0,1,···,其中T ＞0為采樣周期.令本文中采樣序列為Ω1={0,T,2T,···},其中kT為第k+1次采樣時刻,定義事件觸發(fā)序列為Ω2={t0,t1,t2,···}?Ω1,其中tk為第k+1次事件觸發(fā)時刻.由文獻[27]易知,存在非負整數(shù)ik滿足tk=ikT,ik ＜ik+1.令ik,m=ik+m,m=0,1,···,ik+1-ik-1,可得

在本文中,通過零階保持器的作用,考慮u(t)=u(tk),?t ∈[tk,tk+1).

注1本文僅考慮利用系統(tǒng)輸出在采樣時刻的信息,并且通過設(shè)計僅在采樣時刻間歇性監(jiān)測的事件觸發(fā)機制判斷是否更新控制器.由此可知,事件觸發(fā)區(qū)間長度為一個采樣周期或多個采樣周期,換言之事件觸發(fā)區(qū)間為一個或者多個采樣區(qū)間的并集,即在本方案中,直接對事件觸發(fā)區(qū)間[tk,tk+1)進行穩(wěn)定性分析是較為復雜的.通過上述劃分,可以從采樣區(qū)間[ik,mT,ik,m+1T)著手進行討論,使得本文的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析更加簡明.

假設(shè)1時變控制系數(shù)h1(t),···,hn-1(t)是可導的且滿足下列不等式:

其中ci,s≥0為已知常數(shù).

注2需要指出的是,系統(tǒng)(1)可以描述很多實際系統(tǒng),如雙模進料連續(xù)攪拌釜式反應器系統(tǒng)[36]及切換RLC電路系統(tǒng)[37].為了實現(xiàn)在周期采樣控制的基礎(chǔ)上進一步節(jié)約這些實際控制系統(tǒng)通信資源,有必要將周期事件觸發(fā)控制策略引入到系統(tǒng)(1)中.此外注意到本文所考慮的系統(tǒng)是一類非嚴格反饋切換系統(tǒng)且含有未知控制系數(shù).因此,與一些文獻[35]中針對切換系統(tǒng)提出的周期事件觸發(fā)控制相比,本文給出的方案將擁有更廣的應用范圍.

注3假設(shè)1是對系統(tǒng)中未知的控制系數(shù)的常見限制條件,可見于許多已有文獻[38-39].假設(shè)2在一些文獻[38,40]中又稱為線性增長條件,是用來約束系統(tǒng)中非線性項的常見條件.在線性條件限制下,系統(tǒng)(1)僅要求未知非線性函數(shù)fi,s(x)是連續(xù)的.因此,文獻[35]中提出的方案不能用來解決系統(tǒng)(1)的控制問題.

本文的控制目標是為系統(tǒng)(1)設(shè)計輸出反饋周期事件觸發(fā)控制器,保證其對應的閉環(huán)系統(tǒng)的在任意切換下全局漸近穩(wěn)定.

3 主要結(jié)果

3.1 觀測器與控制器設(shè)計

首先,引入如下坐標變換:

其中L≥1為設(shè)計參數(shù).

注4本文引入了降維觀測器(7).一方面,因為系統(tǒng)(1)中含有未知時變控制系數(shù)hi(t),構(gòu)造全維觀測器來估計系統(tǒng)不可量測狀態(tài)存在一定難度;另一方面,相較于全維觀測器,文中的降維觀測器不需要對系統(tǒng)輸出進行重復估計,在一定程度上降低了控制系統(tǒng)的成本.

3.2 穩(wěn)定性分析

定理1考慮系統(tǒng)(1)滿足假設(shè)1與假設(shè)2,如果選取采樣周期滿足式(35),那么帶有事件觸發(fā)機制(13)的輸出反饋控制器(11)以及狀態(tài)觀測器(7)可以保證相應的閉環(huán)系統(tǒng)的所有狀態(tài)在任意切換下全局漸近穩(wěn)定.

注5本文所設(shè)計的控制方案主要節(jié)約了觸發(fā)機制的檢測次數(shù)和控制器的更新頻率等控制系統(tǒng)的通信資源.文中所提出的周期事件觸發(fā)控制策略與已有文獻中(見[16-23])基于連續(xù)時間的事件觸發(fā)控制策略相比,給出了僅在采樣時刻間歇檢測的離散觸發(fā)機制(13),不需要對觸發(fā)機制進行實時監(jiān)測,減少了觸發(fā)機制的檢測次數(shù).另外,與已有文獻中(見[38-40,43-44])提出的采樣控制方案不同,本文僅在觸發(fā)時刻更新控制器且tk+1-tk≥T(可以表明本文給出的周期事件觸發(fā)控制方案不存在Zeno現(xiàn)象),與需要在采樣時刻更新控制器的采樣控制方案相比降低了控制器的更新頻率.由此可以得出,本文所設(shè)計的控制方案可以在一定程度上降低控制系統(tǒng)的通信資源的利用.

注6因為系統(tǒng)(1)中含有未知非線性函數(shù)fi,s(x),為了可以選取合適的參數(shù)設(shè)計出控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,類似于已有文獻[27,38-40,43],本文引入了設(shè)計參數(shù)L.需要說明的是,選取不同的L會對系統(tǒng)性能以及系統(tǒng)的通訊量產(chǎn)生影響.增大設(shè)計參數(shù)L會使得系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度加快,但可能會導致采樣周期的減小,進而增加了系統(tǒng)的通信量;盡可能選擇小的設(shè)計參數(shù)L會在一定程度上使得采樣周期盡可能地大,進而會進一步節(jié)約通信資源,但可能會降低系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度.因此,在實際應用中,需要根據(jù)系統(tǒng)的實際情況在系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度以及通信資源利用量之間進行權(quán)衡,進而選擇合適的設(shè)計參數(shù)L.

4 仿真算例

在本節(jié)中,將通過仿真算例來驗證所提出方案的有效性.

例1考慮如下切換非線性系統(tǒng):

圖1顯示了系統(tǒng)狀態(tài)x1,x2的軌跡,圖2顯示了的軌跡,系統(tǒng)的控制信號以及事件觸發(fā)時刻分別顯示在圖3和圖4中.從仿真結(jié)果可以看出,閉環(huán)系統(tǒng)在圖5所示的切換信號下漸近穩(wěn)定.換言之,本文所給出的設(shè)計方案是有效的.與此同時,在本例中控制器的更新次數(shù)為50次,而對于固定周期采樣控制方案,需要采樣300次,即更新控制器300次.因此,可以看出本文所設(shè)計的方案可以在采樣控制的基礎(chǔ)上進一步節(jié)約通信資源.

圖1 狀態(tài)x1,x2的軌跡Fig.1 Trajectories for x1 and x2

圖2 的軌跡Fig.2 Trajectory for

圖3 控制信號uFig.3 Control signal u

圖4 事件觸發(fā)時刻Fig.4 Event-triggered instants

圖5 切換信號Fig.5 Switching signals

5 結(jié)論

本文針對一類含有未知控制系數(shù)的切換非線性非嚴格反饋系統(tǒng)提出了一種新穎的輸出反饋周期事件觸發(fā)控制方案.本文為所有子系統(tǒng)構(gòu)造了公共的降維觀測器估計了系統(tǒng)的不可量測狀態(tài);設(shè)計了帶有離散事件觸發(fā)機制的輸出反饋周期事件觸發(fā)控制器,有效地降低了通信資源的利用.通過引入公共Lyapunov函數(shù)方法并選取可容許的采樣周期,證明了所設(shè)計的方案可以保證閉環(huán)系統(tǒng)在任意切換下全局漸近穩(wěn)定.需要指出的是,本文的研究對象中僅包含與切換信號無關(guān)的未知時變控制系數(shù),具有一定局限性,未來將進一步考慮包含與切換信號有關(guān)的未知時變控制系數(shù)的切換非線性系統(tǒng)的周期事件觸發(fā)控制問題.