劉 建，喬 蘭?，李慶文，趙國(guó)彥

1) 北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京 100083 2) 中南大學(xué)資源與安全工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083

中心直裂紋巴西圓盤(Centrally cracked Brazilian disc,簡(jiǎn)稱CCBD)的斷裂參數(shù)包括I 型、II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子及T應(yīng)力[1-5].T應(yīng)力為裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)William 展開式中的常數(shù)項(xiàng)，大量研究表明，由于巖石類脆性材料的斷裂過(guò)程區(qū)尺寸相對(duì)較大，因此T應(yīng)力的影響不可忽略[6-8].

由于在對(duì)徑壓縮下CCBD 試樣能發(fā)生任意I/II 復(fù)合型斷裂且其斷裂參數(shù)存在解析解，因此其被廣泛應(yīng)用于諸如玻璃[9]、陶瓷[10]、巖石[11-13]等脆性及準(zhǔn)脆性材料的I/II 復(fù)合型斷裂研究.Awaji 與Sato[14]最早提出運(yùn)用CCBD 試樣測(cè)量巖石的I 型及II 型斷裂韌度.Atkinson 等[1]運(yùn)用邊界積分方程率先推導(dǎo)出CCBD 試樣的I、II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子級(jí)數(shù)形式的解析解，但Atkinson 等[1]僅給出相對(duì)裂紋長(zhǎng)度β=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5 及0.6 這6 種情況下應(yīng)力強(qiáng)度因子級(jí)數(shù)解析解前5 項(xiàng)的計(jì)算系數(shù)，其它情況的未知系數(shù)需通過(guò)數(shù)值積分獲得，應(yīng)用不便.Fett[2-3]提出了與CCBD 試樣I、II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子及T應(yīng)力相關(guān)的權(quán)函數(shù)，而后Dong 等[4]運(yùn)用權(quán)函數(shù)方法推導(dǎo)出集中載荷與均布載荷作用下CCBD 試樣I、II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子的全顯式級(jí)數(shù)解析解，并探究均布載荷分布角度對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響.Dorogoy 與Banks-Sills[15]采用一種有限差分模型研究中心裂紋接觸摩擦對(duì)I、II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響.Ayatollahi 與Aliha[16]運(yùn)用有限元法計(jì)算了集中載荷作用下CCBD 試樣的I、II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子及T應(yīng)力.考慮到實(shí)際工程材料多處于圍壓作用下，徐積剛等[17]及Hua 等[18-19]運(yùn)用權(quán)函數(shù)法及疊加原理推導(dǎo)了徑向集中載荷與圍壓共同作用下CCBD 試樣斷裂參數(shù)的解析解，并基于該解析解探討了圍壓對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子及T應(yīng)力的影響.Hou 等[20]運(yùn)用基于擴(kuò)展有限元的相互作用積分法求解CCBD 試樣的I、II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子及T應(yīng)力.李一凡等[21]運(yùn)用權(quán)函數(shù)法提出了均布載荷加載下CCBD 試樣T應(yīng)力的解析解.Hou 等[22]采用相互作用積分法研究了圍壓對(duì)CCBD 試樣應(yīng)力強(qiáng)度因子及T應(yīng)力的影響，結(jié)果顯示相互作用積分法的計(jì)算結(jié)果與權(quán)函數(shù)法的結(jié)果十分吻合.Tang[23]運(yùn)用權(quán)函數(shù)法推導(dǎo)了徑向集中載荷及均布載荷加載下考慮裂紋面摩擦的CCBD 試樣應(yīng)力強(qiáng)度因子解析解，并分析了裂紋面摩擦對(duì)CCBD 應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響.董卓與唐世斌[24]運(yùn)用權(quán)函數(shù)法提出了圍壓與徑向集中載荷共同作用下考慮裂紋面摩擦的CCBD 試樣的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算公式，并從理論上分析了圍壓、徑向載荷和裂紋面摩擦對(duì)CCBD 應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響.

在CCBD 斷裂試驗(yàn)中，除運(yùn)用平板壓頭加載外，弧形壓頭加載也是一種常用的外部載荷施加手段.Dong 等[4]、李一凡等[21]、Tang[23]及Markides等[25]均考慮了均布載荷加載，這種應(yīng)力邊界是對(duì)弧形壓頭加載的簡(jiǎn)化.但是，一方面試樣與弧形壓頭之間接觸力的實(shí)際分布形式未知，前人多把接觸力的分布形式假設(shè)為均勻分布[26-28]、橢圓分布[29-31]、余弦分布[31-32]、二次函數(shù)分布[31-33]及四次函數(shù)分布[31]，相對(duì)于均勻分布，Japaridze[30]指出接觸力的分布形式更可能是非均勻的；另一方面，鮮少有學(xué)者考慮弧形壓頭與試樣之間的摩擦作用并且探究端部摩擦對(duì)斷裂參數(shù)的影響.近來(lái)，Yu 與Shang[34]借助復(fù)變函數(shù)理論及權(quán)函數(shù)法推導(dǎo)了考慮加載端摩擦的CCBD 試樣在純I 型加載下I 型應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析解，但是其未關(guān)注CCBD 試樣在I/II 復(fù)合型加載條件下斷裂參數(shù)的解析解.鑒于此，本文首先運(yùn)用權(quán)函數(shù)法推導(dǎo)出考慮端部摩擦的4 種形式分布載荷（均勻函數(shù)、橢圓函數(shù)、二次函數(shù)及四次函數(shù)，因余弦函數(shù)與二次函數(shù)類似，所以本文沒有考慮）加載下CCBD 試樣在任意I/II 復(fù)合型斷裂模式下斷裂參數(shù)的解析解，然后基于該解析解探討端部摩擦及接觸載荷分布角度對(duì)斷裂參數(shù)的影響，以期能進(jìn)一步完善關(guān)于CCBD 試樣斷裂參數(shù)的研究.

1 斷裂參數(shù)解析解

運(yùn)用權(quán)函數(shù)法求解CCBD 試樣的斷裂參數(shù).如圖1(a)所示，CCBD 試樣半徑為R，厚度為B，中心直裂紋長(zhǎng)度為2a，承受分布載荷q(θ)作用，載荷分布角度為2α，μ·q(θ)為弧形壓頭與試樣之間的摩擦力，其中μ為摩擦系數(shù).則CCBD 試樣的I 型、II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子（KI、KII）及T應(yīng)力為[2-3,19]：

圖1 CCBD 試樣與BD 試樣示意圖.(a) CCBD 試樣；(b) BD 試樣Fig.1 Schematic of (a) centrally cracked Brazilian disk and (b)Brazilian disk specimens

其中，r,θ為極坐標(biāo)；hI,hII及hT分別為與I 型、II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子及T應(yīng)力對(duì)應(yīng)的權(quán)函數(shù)，具體形式如下[2-3,19]：

其中，ρ=r/a，M1,M2,N1,N2,G1,G2均為與中心直裂紋相對(duì)長(zhǎng)度β=a/R相關(guān)的參數(shù)，即[2-3,19]：

此外，σr,σθ,τrθ為相同外部載荷加載下與CCBD 試樣對(duì)應(yīng)的巴西圓盤(Brazilian disc,簡(jiǎn)稱BD)試樣的應(yīng)力分布，如圖1(b)所示.近來(lái)，Yu 等[31]運(yùn)用復(fù)變函數(shù)理論推導(dǎo)了考慮端部摩擦的分布載荷加載下巴西圓盤試樣的應(yīng)力分布解析解

其中，q0=P/(RB)，P為壓力機(jī)施加的外部載荷，Cn(n=0,±1,±2,···)與q(θ)的分布形式、分布角度及摩擦系數(shù)有關(guān)，具體形式參見表1.表1 中f(θ)=q(θ)/q0，qmax為q(θ)/q0的最大值，J1為一階Bessel函數(shù)，H1為一階Struve 函數(shù).圖2 為α=15°且μ=0.4 時(shí)圓盤邊界上(r=R)公式(13)的計(jì)算結(jié)果與法向載荷q(θ)的對(duì)比，公式(13)中級(jí)數(shù)求和項(xiàng)數(shù)取前200 項(xiàng)，由圖可知兩者具有較好的一致性.因此，以下在求解斷裂參數(shù)時(shí)級(jí)數(shù)求和項(xiàng)數(shù)均取前200 項(xiàng).

圖2 圓盤邊界上(r=R)式(13)計(jì)算結(jié)果與q(θ)的對(duì)比Fig.2 Comparison between the calculated results based on Eq.(13) and the applied normal pressures q(θ)

表1 分布載荷加載下巴西圓盤應(yīng)力解析解的系數(shù)Table 1 Series coefficients Cn of the stress analytical solutions for the Brazilian disk subjected to distributed pressures

將公式(4)～(15)代入公式(1)～(3)得到：

其 中，YI(β),YII(β),T*(β)分別為量綱為一的I 型、II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子及T應(yīng)力，或者稱上述三個(gè)參數(shù)為對(duì)應(yīng)的幾何參數(shù)，具體形式為

其中，Γ(x)為Gamma 函數(shù)，其余參數(shù)如下

公式(16)～(33)即為最終結(jié)果.表1 中，若令摩擦系數(shù)μ=0，則上述解析解退化為不考慮端部摩擦的形式.Dong 等[4]與李一凡等[21]運(yùn)用線彈性斷裂力學(xué)的疊加原理分別求解了均布載荷（q(θ)為常數(shù)函數(shù)）加載下CCBD 試樣I、II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子及T應(yīng)力的解析解，圖3 為α=10°時(shí)本文計(jì)算結(jié)果與Dong 等[4]及李一凡等[21]所得結(jié)果的對(duì)比，由圖可知上述結(jié)果具有較好的一致性.

圖3 均布載荷加載下本文結(jié)果與Dong 等[4]及李一凡等[21]結(jié)果的對(duì)比.（a）YI；（b）YII；（c）T*Fig.3 Comparison between the results of this study and the results of Dong et al.[4] and Li et al.[21] under uniformly distributed pressure: (a) YI;(b) YII;and (c) T*

2 摩擦系數(shù)及載荷分布角度影響分析

圖4 為純I 型及純II 型斷裂的幾何參數(shù)YI、YII及T*隨摩擦系數(shù)的變化特征，其中圖4(a)～(d)為α=5°及15°且β=0.2 的情況，圖4(e)～(h)為α=15°且β=0.8 的情況.由圖4(a)～(d)可知，當(dāng)中心裂紋相對(duì)長(zhǎng)度較小時(shí)，純I 型及純II 型斷裂的幾何參數(shù)均隨摩擦系數(shù)的增大而近似于線性減小（對(duì)T*而言均指其絕對(duì)值）.當(dāng)α=5°時(shí)，4 種形式的分布載荷加載下，純I 型及純II 型斷裂的幾何參數(shù)隨摩擦系數(shù)的平均變化率分別為0.9%（純I 型YI）、5.0%（純I 型T*）、1.5%（純II 型YII）、1.9%（純II 型T*）；而當(dāng)α=15°時(shí)，上述幾何參數(shù)的平均變化率為2.4%、14.0%、4.2%、5.6%.因此，當(dāng)載荷分布角度較大時(shí)，摩擦系數(shù)對(duì)斷裂參數(shù)的影響更顯著.此外，由圖4(e)～(h)可知，當(dāng)β較大時(shí)，純I 型斷裂的幾何參數(shù)YI隨摩擦系數(shù)的增大而增大，其他幾何參數(shù)依舊隨摩擦系數(shù)的增大而近似線性減小.

圖4 純I 型及純II 型斷裂的幾何參數(shù)隨摩擦系數(shù)的變化特征.（a）β=0.2：純I 型YI；（b）β=0.2：純I 型T*；（c）β=0.2：純II 型YII；（d）β=0.2：純II 型T*；（e）β=0.8：純I 型YI；（f）β=0.8：純I 型T*；（g）β=0.8：純II 型YII；（h）β=0.8：純II 型T*Fig.4 Variations in the YI,YII and T* of pure mode I and II fractures versus friction coefficient μ: (a) β=0.2: pure mode-I YI;(b) β=0.2: pure mode-I T*;(c) β=0.2: pure mode-II YII;(d) β=0.2: pure mode-II T*;(e) β=0.8: pure mode-I YI;(f) β=0.8: pure mode-I T*;(g) β=0.8: pure mode-II YII;(h) β=0.8: pure mode-II T*

圖5 為μ=0.4 時(shí)純I 型及純II 型斷裂的幾何參數(shù)隨載荷分布角度的變化特征，其中圖5(a)～(d)為β=0.2 時(shí)的情況，圖5(e)～(h)為β=0.8 時(shí)的情況.由圖5 可知，純I 型斷裂的幾何參數(shù)YI、T*及純II 型斷裂的幾何參數(shù)YII均隨α的增大而減?。坏?，對(duì)于純II 型斷裂的幾何參數(shù)T*而言，當(dāng)β較小時(shí)，其隨α的增大仍然減小，并且減小的速率逐漸減慢；而當(dāng)β較大時(shí)，其隨α的增大逐漸增大.此外，當(dāng)β較大時(shí)，載荷分布角度對(duì)幾何參數(shù)的影響更顯著.以均布載荷作用下純I 型斷裂的幾何參數(shù)YI為例，當(dāng)β=0.2 時(shí)，相對(duì)于α=0°的情況，α=15°時(shí)YI減小了13%；而當(dāng)β=0.8 時(shí)，YI則減小了46%.從不同的接觸載荷分布形式來(lái)看，當(dāng)載荷分布角度α趨近于0°時(shí)，純I 型及純II 型斷裂模式下的幾何參數(shù)均趨近于集中載荷情況下的值，而當(dāng)α逐漸增大時(shí)，不同形式q(θ)下的YI、YII及T*之間的差距逐漸增大.同時(shí)，還可注意到當(dāng)q(θ)為常數(shù)函數(shù)時(shí)，載荷分布角度對(duì)YI、YII及T*的影響最顯著，其次是橢圓函數(shù)、二次函數(shù)，而四次函數(shù)下載荷分布角度對(duì)幾何參數(shù)的影響相對(duì)最小.在α及μ相同的情況下，整體上f(θ)為四次函數(shù)時(shí)載荷分布更集中，即相對(duì)更接近于集中載荷情況，如圖2所示，其次是二次函數(shù)、橢圓函數(shù)，最后是常數(shù)函數(shù).因此，當(dāng)q(θ)為四次函數(shù)形式時(shí)，α對(duì)幾何參數(shù)的影響最小，而常數(shù)函數(shù)下則最顯著.

圖5 純I 型及純II 型斷裂的幾何參數(shù)隨載荷分布角度的變化特征.（a）β=0.2：純I 型YI；（b）β=0.2：純I 型T*；（c）β=0.2：純II 型YII；（d）β=0.2：純II 型T*；（e）β=0.8: 純I 型YI；（f）β=0.8：純I 型T*；（g）β=0.8：純II 型YII；（h）β=0.8：純II 型T*Fig.5 Variations in the YI,YII,and T* of pure mode I and II fractures versus the load distribution angle α: (a) β=0.2: pure mode-I YI;(b) β=0.2: pure mode-I T*;(c) β=0.2: pure mode-II YII;(d) β=0.2: pure mode-II T*;(e) β=0.8: pure mode-I YI;(f) β=0.8: pure mode-I T*;(g) β=0.8: pure mode-II YII;(h) β=0.8: pure mode-II T*

圖6 為β=0.2 及0.8 時(shí)，不同摩擦系數(shù)條件下，接觸載荷分布角度α對(duì)純II 型斷裂加載角度θ0的影響.由圖6(a)可知，當(dāng)β較小時(shí)，總體上純II 型加載角度θ0隨α的增大而逐漸減小，并且當(dāng)q(θ)為常數(shù)函數(shù)時(shí)尤其明顯.當(dāng)α保持一定時(shí)，隨摩擦系數(shù)增大，θ0受α的影響程度在減弱，也即相對(duì)于μ=0 時(shí)的情況，θ0隨μ的增大而增大.由圖6(b)可知，當(dāng)β較大時(shí)，純II 型加載角度θ0隨α增大而逐漸增大，這與β較小時(shí)的情況正好相反，并且隨著摩擦系數(shù)的增大，θ0的增大速度也越快，也即在α一定時(shí)，θ0隨μ的增大也在增大.此外，總體來(lái)看，當(dāng)β較小時(shí)，載荷分布角度及摩擦系數(shù)對(duì)θ0的影響程度相對(duì)較??；而當(dāng)β較大時(shí)，α及μ對(duì)θ0的影響程度相對(duì)較大.以q(θ)為常數(shù)函數(shù)且μ=0 為例，當(dāng)β=0.2 時(shí)，相對(duì)于集中載荷情況下的純II 型加載角度 (θ0=28.7°)，α=15°時(shí)θ0減小了3%；而 當(dāng)β=0.8 時(shí)，相對(duì)于集中載荷情況(θ0=13.1°)，α=15°時(shí)θ0增大了13%.

圖6 載荷分布角度對(duì)純II 型加載角度的影響.（a）β=0.2；（b）β=0.8Fig.6 Effect of the load distribution angle on the critical loading angle for pure mode II fractures: (a) β=0.2;(b) β=0.8

3 結(jié)論

基于斷裂力學(xué)的權(quán)函數(shù)法推導(dǎo)出分布載荷為均勻函數(shù)、橢圓函數(shù)、二次函數(shù)及四次函數(shù)形式時(shí)考慮端部摩擦的CCBD 試樣I、II 型應(yīng)力強(qiáng)度因子及T應(yīng)力的級(jí)數(shù)形式解析解，并在此基礎(chǔ)上探究了接觸載荷分布角度及摩擦系數(shù)對(duì)斷裂參數(shù)的影響.具體結(jié)論如下：

(1) 當(dāng)中心裂紋相對(duì)長(zhǎng)度β較小時(shí)，純I 型、純II 型斷裂的幾何參數(shù)隨摩擦系數(shù)增大而近似線性減?。▽?duì)T*而言指其絕對(duì)值）；當(dāng)β較大時(shí)，摩擦系數(shù)增大可使純I 型YI近似線性增大，其他幾何參數(shù)依舊減小.

(2) 當(dāng)β較小時(shí)，接觸載荷分布角度增大可使純I 型、純II 型斷裂的幾何參數(shù)減??；而當(dāng)β較大時(shí)，載荷分布角度增大可使純II 型T*增大.

(3) 接觸載荷分布形式為常數(shù)函數(shù)時(shí)，載荷分布角度對(duì)幾何參數(shù)YI、YII及T*的影響最顯著，其次是橢圓函數(shù)、二次函數(shù)，而四次函數(shù)下載荷分布角度對(duì)幾何參數(shù)的影響相對(duì)最小.

(4) 當(dāng)β較小時(shí)，純II 型加載角度隨載荷分布角度增大而減??；但是，當(dāng)β較大時(shí)，其隨載荷分布角度的增大而增大.當(dāng)載荷分布角度一定時(shí)，摩擦系數(shù)增大可使純II 型加載角度增大.