侯祥林,成永剛,趙曉旭,張嘯塵，殷曉薇

(1.沈陽建筑大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110168;2.中車長(zhǎng)春軌道客車股份有限公司，吉林 長(zhǎng)春 130062)

非線性材料在工程上的應(yīng)用越來越廣泛，近年來進(jìn)行了大量對(duì)材料力學(xué)性能參數(shù)測(cè)定的試驗(yàn)。非線性材料的本構(gòu)關(guān)系是在胡克定律的基礎(chǔ)上表現(xiàn)出不同形式的應(yīng)力-應(yīng)變特性，K.Singh[1]和G.Samuel等[2]介紹了幾種常見的非線性本構(gòu)關(guān)系。G.Lewis等[3]對(duì)兩種Ludwick型材料的大變形進(jìn)行了研究，推導(dǎo)出懸臂梁在自由一端受橫向集中載荷發(fā)生大變形時(shí)的控制方程。無量綱橫向集中載荷的形式參照了S.P.Timoshenko等[4]對(duì)線性材料懸臂梁大撓度計(jì)算時(shí)所采用的橫向集中力的無量綱化，不同之處在于非線性材料橫向集中力的無量綱形式更加復(fù)雜。計(jì)算組合載荷作用下Ludwick型材料懸臂梁大撓度的控制方程由K.Lee[5]提出，并以積分的形式給出了懸臂梁上任意點(diǎn)處彎矩的表達(dá)式。在不施加均布載荷的情況下，與G.Lewis等[3]的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，得到的結(jié)果幾乎一致。L.Chen[6]得出了直角坐標(biāo)系中懸臂梁大變形的計(jì)算公式，并將均布載荷所產(chǎn)生的彎矩進(jìn)行了離散化，有利于編寫程序。I.Eren[7]利用直角坐標(biāo)系中的曲率表達(dá)式計(jì)算了不同弧長(zhǎng)下無量綱的水平和垂直撓度值，但直角坐標(biāo)系中曲率公式不含參數(shù)θ，因此無法得到端部轉(zhuǎn)角。A.Borboni等[8]討論了懸臂梁在自由一端水平力、豎向力和彎矩共同作用下的大撓度問題，并給出了數(shù)值算法和算例。H.Liu等[9]提出了用打靶法求解撓度曲線二階微分方程的方法，并繪制了大撓度下懸臂梁和簡(jiǎn)支梁的變形曲線。

線性材料后屈曲問題由S.P.Timoshenko等[10]提出，利用橢圓積分得到屈曲載荷的求解公式。Ludwick型本構(gòu)關(guān)系的表達(dá)式有一個(gè)缺點(diǎn)，當(dāng)應(yīng)變?yōu)榱銜r(shí)，應(yīng)力梯度會(huì)趨于無窮大。H.Jung等[11]給出了不同載荷組合作用下懸臂柱變形和后屈曲的彎矩表達(dá)式，針對(duì)其中一種組合載荷情況進(jìn)行分析，建立了微分控制方程，得到了不同端部角度所對(duì)應(yīng)的無量綱屈曲載荷及水平位移和垂直位移。針對(duì)Ludwick型本構(gòu)關(guān)系和含修正項(xiàng)的Ludwick型本構(gòu)關(guān)系，M.Brojan等[12]得出了受不同約束的彈性柱屈曲載荷的計(jì)算公式。J.K.Lee等[13]對(duì)Ludwick型材料正多邊形截面的廣義面積二階矩(GSMA)及其在懸臂柱屈曲問題中的應(yīng)用進(jìn)行了研究。侯祥林等[14-15]提出了變截面剛架臨界載荷的優(yōu)化算法，并對(duì)截面變化的簡(jiǎn)支梁后屈曲載荷進(jìn)行了計(jì)算[16]。

基于上述分析，筆者針對(duì)滿足Ludwick型本構(gòu)關(guān)系的非線性材料，通過局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系之間的變換式，得出整體坐標(biāo)系下子段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系；再利用VB編程軟件實(shí)現(xiàn)了懸臂柱兩端點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系，并以無量綱屈曲載荷為設(shè)計(jì)變量，以固定一端轉(zhuǎn)角形成目標(biāo)函數(shù)，建立用于求解屈曲載荷的優(yōu)化算法；最后將算法結(jié)果與文獻(xiàn)[11]中數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了筆者所提優(yōu)化算法的合理性和精確性，可知硬化指數(shù)是影響后屈曲平衡路徑是否穩(wěn)定的決定性因素。

1 理論分析

1.1 應(yīng)力-應(yīng)變特性

Ludwick型材料的應(yīng)力應(yīng)變特性服從冪律關(guān)系，其本構(gòu)模型可表述為

(1)

式中：σ為應(yīng)力；ε為應(yīng)變；E為彈性模量；n為硬化指數(shù)，是由材料決定的常數(shù)。

1.2 彎矩-曲率關(guān)系

組合載荷作用下懸臂柱的后屈曲平衡狀態(tài)如圖1所示。在載荷作用下懸臂柱由自由一端由O′點(diǎn)偏轉(zhuǎn)到O″點(diǎn)。

圖1 懸臂柱后屈曲平衡狀態(tài)Fig.1 Post-buckling equilibrium state of a cantilever column

為了便于結(jié)果對(duì)比，以O(shè)″為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xO″y。圖1中，P為屈曲載荷，q為均布載荷，L為懸臂柱的長(zhǎng)度，δh和δv分別表示O點(diǎn)的水平位移和垂直位移，α為O″點(diǎn)切線方向與x軸正方向的夾角，簡(jiǎn)稱端部角度。

懸臂柱上任一點(diǎn)處橫截面上的彎矩可表示為

(2)

通過幾何圖形導(dǎo)出的應(yīng)變與曲率的關(guān)系式:

ε=yk.

(3)

以矩形截面懸臂柱為例，將式(1)和式(3)分別代入到式(2)中:

(4)

式中：sgn(k)表示符號(hào)函數(shù)，當(dāng)k<0時(shí)，返回sgn(k)=-1。

令

(5)

則式(4)可簡(jiǎn)化為

M=EIn/(sgn(k)×k)1/n.

(6)

式(6)為矩形截面Ludwick型材料懸臂柱彎矩-曲率的關(guān)系式。整理得：

(7)

式中：ρ為曲率k所對(duì)應(yīng)的曲率半徑。懸臂柱上s點(diǎn)處的彎矩由兩部分組成，一部分為屈曲載荷對(duì)s點(diǎn)產(chǎn)生的彎矩，另一部分為均布載荷對(duì)s點(diǎn)產(chǎn)生的彎矩：

M=Py+Mq.

(8)

將式(8)中均布載荷產(chǎn)生的彎矩改寫成：

(9)

將離散形式的彎矩代入到式(8)中，則i點(diǎn)處的曲率半徑為

(10)

1.3 任意子段坐標(biāo)關(guān)系

從懸臂柱上截取無限小段AB，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立局部坐標(biāo)系x′Ay′，如圖2所示。θi-1和θi分別為A點(diǎn)和B點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角，Δθi為B點(diǎn)相對(duì)于A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角，Δsi為Δθi對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，Δxi和Δyi分別表示局部坐標(biāo)系系x′Ay′中B點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

圖2 任意子段兩端點(diǎn)坐標(biāo)Fig.2 Coordinates between two endpoints of any sub-segment

局部坐標(biāo)系x′Ay′中，B點(diǎn)相對(duì)于A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角Δθi以及B點(diǎn)的橫坐標(biāo)Δxi和縱坐標(biāo)Δyi可由曲率半徑建立關(guān)系式:

(11)

A點(diǎn)在xO″y坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xi-1,yi-1)，根據(jù)局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系關(guān)系，B點(diǎn)在xO″y坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(xi,yi)可用A點(diǎn)坐標(biāo)(xi-1,yi-1)進(jìn)行表示:

(12)

2 求解屈曲載荷的優(yōu)化算法

2.1 無量綱化

考慮q=0以及q=P/L兩種情況，式(10)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化，對(duì)簡(jiǎn)化后的式(10)進(jìn)行無量綱化：

(13)

(14)

將用其來形成目標(biāo)函數(shù)。

2.2 優(yōu)化模型

2.3 目標(biāo)函數(shù)形成過程

將圖1屈曲后的懸臂柱等分成N段，如圖3所示。si表示第i等分點(diǎn)距O″點(diǎn)的弧長(zhǎng)，直角坐標(biāo)為(xi,yi)；sN表示固支端距O″點(diǎn)的弧長(zhǎng)，直角坐標(biāo)為(xN,yN)。

圖3 懸臂柱等分為N段Fig.3 The cantilever column divided equally into N sections

3 算例分析

表1 端部角度為60°時(shí)屈曲載荷的優(yōu)化計(jì)算過程Table 1 The optimization calculation process of the buckling load at an end angle of 60°

為了驗(yàn)證筆者優(yōu)化算法的合理性，與文獻(xiàn)[11]在n=1/0.9時(shí)得到的q=0和q=P/L兩種不同載荷作用下懸臂柱的屈曲載荷的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，所采用的截面形狀如圖4所示。

圖4 懸臂柱截面形狀Fig.4 Section shape of a cantilever column

(15)

其中，I0=4bh3/3，I1/0.9可通過式(5)進(jìn)行計(jì)算。

表2 q=0時(shí)無量綱屈曲載荷算法結(jié)果和文獻(xiàn)[11]對(duì)比Table 2 Comparison between the results of dimensionless buckling load algorithm and reference[11] when q=0

表3 q=P/L時(shí)無量綱屈曲載荷算法結(jié)果和文獻(xiàn)[11]對(duì)比Table 3 Comparison between the results of dimensionless buckling load algorithm and reference[11] when q=P/L

圖5 q=0和q=P/L時(shí)不同端部角度下屈曲載荷的變化曲線Fig.5 The variation curve of buckling load under different end angles when q=0 and q=P/L

為了更直觀地體現(xiàn)懸臂柱在兩種不同受力情況下的變形，將表2和表3中無量綱水平位移δh/L和垂直位移δv/L轉(zhuǎn)換到圖1中以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，分別繪制了q=0和q=P/L時(shí)不同端部角度下懸臂柱的變形曲線，如圖6所示。

圖6 不同端部角度下懸臂柱的變形曲線Fig.6 The deformation curve of cantilever column at different end angles

4 結(jié) 論

(2)繪制了q=0和q=P/L兩種不同情況下不同端部角度時(shí)懸臂柱的變形曲線，通過對(duì)懸臂柱上10個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)當(dāng)α相等時(shí)，組合載荷作用下各點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于單一載荷作用時(shí)各點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而縱坐標(biāo)則是前者大于后者。

(3)端部角度α由10°增加到40°時(shí)，屈曲載荷逐漸變小，而在40°之后屈曲載荷逐漸增加，說明這種Ludwick型材料的后屈曲平衡路徑并不穩(wěn)定。