孟非凡，郭秀秀,2，史慶軒,2,3

(1. 西安建筑科技大學土木工程學院，陜西，西安 710055；2. 西安建筑科技大學結構工程與抗震教育部重點實驗室，陜西，西安 710055；3. 西安建筑科技大學西部綠色建筑國家重點實驗室，陜西，西安 710055)

2002 年，SMITH[1]根據機電相似理論，提出了慣容器(Inerter)的概念，并設計了齒輪齒條式與滾珠絲杠式兩種慣容器，由此開啟了慣容器理論與應用的相關研究。慣容器的原理即施加在該元件兩個端點的力等大反向，且與兩自由端的相對加速度成正比，其比值b為慣質系數(shù)?；谫|量更輕、性能更優(yōu)的設計思想，近年來很多學者設計和研究了各種不同類型的慣容器并不斷優(yōu)化[2-4]。由于慣容器優(yōu)異的減振效果，它被廣泛應用到工程實踐中，如車輛懸架[5]，目前在該領域的研究與應用逐漸成熟。除此之外，慣容器還應用于飛機起落架[6]及渦輪機[7]等機械裝置中，近年來在建筑[8-9]中也得到了一些應用。

在實際使用過程中，由于預緊力的喪失、多次裝卸磨損、絲杠滑絲等，慣容器將產生間隙，系統(tǒng)表現(xiàn)出非線性特征。盡管一般情況下可以忽略間隙的影響，但仍有研究表明，強間隙非線性對系統(tǒng)響應會產生較大的影響[10]。目前對間隙非線性的研究不足，大多數(shù)文獻都是忽略間隙對系統(tǒng)的影響，或者通過參數(shù)辨識將間隙的影響附加至其他系統(tǒng)參數(shù)中[11]，或者直接通過試驗研究[12]。李陽等[13]建立了含間隙非線性的隔振系統(tǒng)模型并研究了在簡諧激勵下系統(tǒng)的響應特征。然而，系統(tǒng)在自然界中通常受到隨機激勵的作用，如汽車在不平坦的公路上行駛受到豎向隨機激勵的作用，建筑在地震激勵下產生水平位移等等，確定性的動力分析有可能偏離系統(tǒng)實際的受力情況，因此，還應當分析系統(tǒng)在隨機激勵下的響應統(tǒng)計特征。

系統(tǒng)在隨機激勵下將產生隨機響應。這些響應樣本無法用一個確定性的函數(shù)描述，但是由這些樣本組成的集合具有一定統(tǒng)計規(guī)律，因此，很多國內外學者提出了各種求解隨機激勵下系統(tǒng)響應統(tǒng)計特征的方法。采用時域分析法[14]與頻域分析法[15-16]可以得到線性系統(tǒng)響應的統(tǒng)計矩。潘超等基于頻域分析法研究了地震激勵下慣容系統(tǒng)響應的統(tǒng)計特征[17]，但是并未考慮間隙非線性對系統(tǒng)響應的影響。隨機等價線性方法[18-22]是一種將非線性系統(tǒng)通過等效系統(tǒng)與其誤差的期望最小原則等效成一個線性系統(tǒng)近似求解系統(tǒng)響應的一種方法。由于該方法不僅適用于弱非線性體系，還適用于強非線性體系，因此，它是目前在工程中使用最為廣泛的一種方法。

本文首先建立了含間隙的滾珠絲杠慣容橡膠復合隔振系統(tǒng)的隨機微分方程，然后，基于隨機非線性分析方法，推導了系統(tǒng)在隨機激勵下響應的統(tǒng)計矩，計算了響應的概率密度函數(shù)(PDF)，基于首超破壞準則求解了系統(tǒng)的動力可靠性及失效概率，并與模擬解對比驗證結果的適用性，最后，通過一些算例分析間隙對系統(tǒng)響應統(tǒng)計特征及可靠性的影響。

1 含間隙非線性的并聯(lián)式ISD 隔振系統(tǒng)的隨機微分方程

本文參考了文獻[23]中設計的一種慣容-橡膠復合隔振器，如圖1 所示。其中，主要組件有：1-絲杠；2-飛輪及絲杠螺母；3-頂蓋；4-金屬橡膠組件；5-底座；6-軸承；7-限位塊。其中，金屬橡膠組件提供剛度和阻尼，絲杠與金屬橡膠組件的協(xié)同工作可以抽象成慣容元件與彈簧元件和阻尼元件并聯(lián)的ISD 系統(tǒng)。慣容器在實際服役中，可能由于預緊力喪失、絲杠發(fā)生扭轉變形、磨損等現(xiàn)象，將直接導致間隙產生。當位移處于間隙內時，絲杠不能帶動飛輪旋轉，慣容器“失效”，僅金屬橡膠組件工作，體系退化成普通的質量-剛度-阻尼線性系統(tǒng)。文獻[13]將間隙從慣容器中獨立出來，忽略其他因素的影響，將間隙看作一個元件與慣容器串聯(lián)研究，結果表明，由于間隙的存在，高頻率激勵下慣容器內部撞擊劇烈，這種撞擊會破壞慣容器的內部結構，影響系統(tǒng)的隔振性能。

為了便于分析，將間隙模型考慮為對稱模型，如圖2 所示。該間隙元件與慣容器串聯(lián)，然后與金屬橡膠組件提供的彈簧元件和阻尼元件并聯(lián)，組成含間隙的非線性并聯(lián)式Ⅱ型ISD 隔振系統(tǒng)，如圖3 所示。其中：I為慣容元件；S為彈簧元件；D為阻尼元件；P為間隙元件； ξ 為 1/2的間隙值。

如圖2 和圖3 所示，系統(tǒng)受到外部隨機激勵作用，產生的位移響應若大于 ξ，該間隙元件P閉合，系統(tǒng)與慣容器協(xié)同工作，反之，若響應小于 ξ，該間隙元件P開合，慣容器暫時“失效”。因此，可分析該對稱間隙的慣容器慣性力表達公式為：

式中：m、c、k分別為系統(tǒng)的質量、阻尼和剛度；W(t) 為 均值為零、激勵強度為D0=πS0的平穩(wěn)高斯白噪聲，S0為其功率譜密度；h(t)為一個時間調制函數(shù)。 ε(y)為階躍函數(shù)，定義：

2 系統(tǒng)響應的統(tǒng)計特性及可靠性分析

系統(tǒng)響應的統(tǒng)計特性對結構動力可靠性分析有著重要的作用，首先基于隨機非線性分析方法推導了系統(tǒng)響應的統(tǒng)計矩與概率密度函數(shù)，然后利用概率密度函數(shù)計算了系統(tǒng)響應的動力可靠性和失效概率。

隨機等價線性化方法的基本思想是將非線性系統(tǒng)用近似的線性系統(tǒng)替代，通過等效系統(tǒng)與原非線性系統(tǒng)的誤差過程期望最小原則以確定等效系統(tǒng)的參數(shù)。

將式(2)整理，有：

式(13)是一個常微分方程組，通過數(shù)值微分可以求得系統(tǒng)瞬態(tài)響應統(tǒng)計矩。

系統(tǒng)響應的概率密度函數(shù)可由下式近似求解：

目前首超破壞準則下系統(tǒng)的動力可靠性的計算仍然較為困難，僅能在一些假設下得到相應的近似解。當系統(tǒng)反應的安全界限較大時，反應大于界限的概率很小，一般認為反應與界限交差是獨立發(fā)生的，即假設這些交差的次數(shù)近似服從Poisson 過程。本文基于Poisson 假定，推導了慣容橡膠復合隔振系統(tǒng)的動力可靠性近似解。

首超破壞準則假定結構動力響應首次超越安全界限時就發(fā)生破壞?；谠摷俣蕜t的結構動力可靠性，稱為首超可靠性。系統(tǒng)動力響應具有雙側安全界限，假定安全范圍是 (-b0,b0)，則認為系統(tǒng)位移響應在時段T=[t0,te]內不超過這個安全范圍，系統(tǒng)就是安全的。該安全準則可以寫成：

首超可靠性用概率度量滿足上述安全準則的程度，記為：

3 數(shù)值計算與分析

3.1 平穩(wěn)激勵下系統(tǒng)響應的近似解

為了研究間隙對系統(tǒng)響應的影響，以文獻[13]設計的慣容-橡膠隔振器樣品為例，其慣質系數(shù)b=780 kg ， 試驗中被隔振對象質量m=1000 kg，該復合隔振器的動剛度是k=3.8×106N/m，阻尼比 0.03?？紤]外部激勵為平穩(wěn)高斯白噪聲，參考相關文獻，激勵強度的取值范圍較大，本文取S0=0.5/π t2·m2/s3，其中 1 t=103kg，平穩(wěn)激勵的均勻調制函數(shù)為：

間隙由試驗樣品人為設計，滾珠與滾道之間預留較大空隙，通過測量連續(xù)兩次發(fā)生碰撞前后絲杠的位移，得 ξ=0.11 mm。經計算，系統(tǒng)響應統(tǒng)計矩隨時間的演化曲線如圖4 所示，其中EQL是本文采用的方法計算的結果，MCS 是蒙特卡洛模擬方法得到的結果。其中，響應的單位采用：位移/m，速度/(m/s)。

由圖4 可知，計算結果與模擬解吻合很好。隨著時間演化，位移和速度響應的二階統(tǒng)計矩逐漸增大，并在t=2.0 s左右達到平穩(wěn)狀態(tài)，選取3 個瞬態(tài)時刻t=0.5 s、t=1.0 s和t=2.0 s計算系統(tǒng)位移響應的概率密度函數(shù)，結果如圖5 所示。從圖可知，運用該非線性分析方法計算得到的瞬態(tài)解無論是在概率密度函數(shù)曲線尾部還是在響應均值附近均與模擬解吻合良好，表明該分析方法得到的結果精度較高。另外，從圖5(e)～圖5(f)可知，隨著時間演化，系統(tǒng)響應的概率密度函數(shù)曲線逐漸發(fā)散，在達至穩(wěn)態(tài)時的概率密度函數(shù)發(fā)散程度最大。

在求得系統(tǒng)響應的概率密度函數(shù)后，系統(tǒng)動力可靠性可由首超可靠性分析理論計算得到。隔振系統(tǒng)的安全界限取決于多個因素，如滾珠絲杠、金屬橡膠組件、被隔振對象等，任意部件發(fā)生破壞就認為系統(tǒng)失效。通常失效時系統(tǒng)位移較大，為方便研究，考察在不同的安全界限b0=27 mm和b0=31 mm下系統(tǒng)的失效概率，結果如圖6 所示。由圖可知，隨時間演化系統(tǒng)的失效概率增大，在t=2.0 s時系統(tǒng)響應達至穩(wěn)態(tài)，且計算結果表明隨后失效概率呈線性增大。另外，由圖可知安全界限越大，系統(tǒng)的失效概率越小。

就不同間隙值系統(tǒng)位移響應的統(tǒng)計特征進行分 析，分 別 取 ξ=0.0 mm 、 ξ=0.11 mm 、 ξ=0.5 mm、ξ=1.0 mm 和ξ=2.5 mm，不同時刻的間隙值對系統(tǒng)響應矩和概率密度函數(shù)的影響分別如圖7 和圖8所示。由圖7 可知，系統(tǒng)產生的間隙值較小時，位移與速度響應的二階矩接近于無間隙非線性的結果，表明輕微的間隙產生不影響隔振系統(tǒng)的位移響應。然而，隨著間隙值的增大，該系統(tǒng)位移與速度響應的二階統(tǒng)計矩迅速增加。當ξ=0.5 mm時，穩(wěn)態(tài)位移響應的方差與無間隙的情況相差達到了9.1%，而在 ξ=1.0 mm時二者相差達到了16.6%。穩(wěn)態(tài)位移響應的概率密度函數(shù)尾部與無間隙隔振系統(tǒng)的差異也隨著間隙的增大而增加，如當ξ=0.5 mm 和ξ=1.0 mm 時，概率密度在 10-5處截斷，二者在尾部的數(shù)值解相差分別達到4.2%和7.5%。更直觀地，在響應達至平穩(wěn)狀態(tài)時(取T=2.0 s)系統(tǒng)的失效概率與間隙的關系如圖9 所示。從圖可知，隨間隙的增大，系統(tǒng)的失效概率增加，如當 ξ=1.0 mm 時 ，在超越界限b0=27 mm和b0=31 mm下系統(tǒng)失效概率分別由原來無間隙情況下 10-3.5和 10-5增加至 10-2.7和 10-4左右，增加幅度明顯。當間隙增大時，相同激勵強度下被隔振對象的位移在間隙內的概率增大，此時絲杠“失效”，僅金屬橡膠組件參與工作，系統(tǒng)退化成普通的質量-剛度-阻尼線性系統(tǒng)，也就是說，系統(tǒng)隔振的效果降低了。因此，樣本中較大位移的樣本數(shù)量變多，從而導致響應的方差變大，響應的概率密度函數(shù)在尾部發(fā)散。系統(tǒng)響應樣本中接近安全界限的樣本數(shù)量變多，因此系統(tǒng)的失效概率增加。與以上隨機振動分析結果不同，在確定性分析中，當 ξ=2.59 mm時位移響應幅值僅相差5%。以上結果表明，系統(tǒng)間隙對動力可靠性的影響較大。

3.2 非平穩(wěn)激勵下系統(tǒng)響應的近似解

通常一個完整的地面運動包含激勵強度的上升段、峰值段與下降段，如果峰值段持時較短，則隨機激勵不能用平穩(wěn)激勵模型表示。由于可利用平穩(wěn)激勵模型的諸多定性結論及計算處理上的便利，強度非平穩(wěn)地震模型受到了廣泛應用。本文采用該模型即均勻調制函數(shù)與平穩(wěn)激勵模型相乘的形式來模擬地面運動。地面運動的均勻調制函數(shù)采用IYENGAR 等[24]提出的指數(shù)型函數(shù)：

其中，參數(shù)取值參考了文獻[25]中的數(shù)值并在其附近取值。

系統(tǒng)響應的統(tǒng)計矩計算結果如圖10 所示，由圖可知數(shù)值結果與模擬結果吻合很好，位移和速度的二階統(tǒng)計矩都是隨著時間的演化呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢，并且在第 3 s達到峰值。位移響應在不同時刻的概率密度函數(shù)如圖11 所示，數(shù)值方法得到的概率密度函數(shù)與模擬解吻合很好，尤其是尾部部分相差較小。另外，概率密度函數(shù)曲線隨時間演化先出現(xiàn)發(fā)散，且在t=3 s時發(fā)散程度最大，隨后迅速收縮。

系統(tǒng)的失效概率如圖12 所示。由圖可知，系統(tǒng)的失效概率隨時間演化逐漸增加，并在t=4.0 s時達到平穩(wěn)狀態(tài)。另外，隨著超越界限的增大，系統(tǒng)的失效概率變大。

不同間隙值對系統(tǒng)響應的影響如圖13 和圖14所示。其中圖14 表示的是系統(tǒng)響應的統(tǒng)計矩達到最大值時的位移對數(shù)概率密度函數(shù)。從圖13 和圖14 可知，隨著間隙值的增大，系統(tǒng)位移響應的統(tǒng)計矩變大，概率密度函數(shù)曲線呈發(fā)散趨勢，表明隔振器隨著間隙的增大其隔振效果逐漸降低。在ξ=0.5 mm和ξ=1.0 mm，位移統(tǒng)計矩在達到幅值時與無間隙情況下的統(tǒng)計矩相差分別達到了8.9%和16.4%，概率密度函數(shù)尾部相差分別達到4.1%和7.6%。間隙值對系統(tǒng)動力可靠性(取T=4 s)的影響如圖15 所示。從圖可知，隨著間隙增大，系統(tǒng)的失效概率增加，如在超越界限b0=27 mm和b0=31 mm下，在 ξ=1.0 mm時系統(tǒng)的失效概率分別由原來無間 隙 情 況 的 10-3.0和 10-4.4增 大 至 10-2.4和 10-3.6左右，增加幅度明顯。另外，與模擬解相比，該方法得到的失效概率趨于保守，且間隙非線性越大，趨勢越明顯。上述結果表明，無論是在平穩(wěn)還是非平穩(wěn)隨機激勵下，間隙對系統(tǒng)的動力可靠性影響較大，在設計慣容器時應予以考慮間隙非線性對系統(tǒng)的影響。

4 結論

本文研究了含有間隙非線性的慣容橡膠復合隔振器在隨機激勵下響應的統(tǒng)計特性及系統(tǒng)的可靠性分析。首先，建立了含間隙非線性慣容橡膠復合隔振系統(tǒng)的隨機動力學模型，通過隨機非線性分析方法推導了含間隙非線性的隔振系統(tǒng)響應的統(tǒng)計矩和概率密度函數(shù)，利用雙側Poisson 假定理論求解了系統(tǒng)的失效概率，并進一步研究了平穩(wěn)激勵和非平穩(wěn)激勵下間隙非線性對系統(tǒng)統(tǒng)計特性與動力可靠性的影響。

通過以上算例，可知：

(1)本文采用的計算方法得到的系統(tǒng)響應統(tǒng)計矩和概率密度函數(shù)與模擬解吻合很好。

(2)輕微的間隙(半間隙值在0 mm～0.11mm)產生對系統(tǒng)響應的統(tǒng)計特征影響較小，可以按照之前慣容器間隙的簡化建模。

(3)當半間隙值大于 0.5 mm 時，系統(tǒng)位移響應的統(tǒng)計矩和概率密度函數(shù)與無間隙的結果相比差異較大，系統(tǒng)失效概率大幅度增大。這與在確定性系統(tǒng)分析中的結論有所不同，因此，在設計隔振器時應當予以考慮間隙對動力可靠性的影響。