祁 志 君，蔡 德 所，陳 聲 震，散 劍 娣

(三峽大學 水利與環(huán)境學院，湖北 宜昌 443002)

0 引 言

大壩變形監(jiān)測是了解大壩運行狀況的重要措施，壩體變形的準確數(shù)據(jù)需要依賴高精度的監(jiān)測儀器。傳統(tǒng)的大壩變形監(jiān)測常使用固定式斜側(cè)儀及水管式沉降儀，但是其“以點代面”的監(jiān)測方式已不能滿足現(xiàn)代監(jiān)測要求[1-3]。新型監(jiān)測手段有：基于光纖陀螺儀的監(jiān)測系統(tǒng)和基于三軸MEMS加速度計的磁慣導監(jiān)測系統(tǒng)[4]。這兩套系統(tǒng)均為全分布式監(jiān)測，能得到連續(xù)的壩體面板撓度曲線，已在水布埡、江坪河等水電站高面板堆石壩中成功應用。

磁慣導監(jiān)測系統(tǒng)的核心部件——三軸MEMS加速度計的性能指標與其誤差源相關(guān)[5-6]，而誤差源系數(shù)受MEMS加速度計的使用次數(shù)、存放時間影響。因此使用前或放置一段時間后需對MEMS加速度計進行標定[7-8]。為了使標定效果更好，本文基于粒子群優(yōu)化算法，改進算法中的慣性權(quán)重后用于加速度計標定，并與迭代最小二乘法標定結(jié)果對比，將標定后的監(jiān)測系統(tǒng)應用到江坪河大壩面板撓度變形監(jiān)測。

1 加速度計快速標定原理

若將三軸MEMS加速度計的模型合在一起寫成矢量的形式，得：

(1)

(2)

(3)

fb=KANA-f0-δa

(4)

而根據(jù)模觀測標定原理可知：

(5)

式(5)表明，靜態(tài)條件下，無論慣測組合處于什么姿態(tài)，加速度的測量模都是已知的(等于當?shù)刂亓铀俣萭的大小)。

將加速度計標定參數(shù)模型(4)代入式(5)得：

|fb|=|KANA-f0-δa|=|-g|=g

(6)

兩邊平方，整理得：

g2=|fb|2=(KANA-f0-δa)T(KANA-f0-δa)

(7)

式(7)是單個關(guān)于加速度計待標定參數(shù)的非線性方程，多個靜態(tài)位置的觀測可以組成非線性方程組，利用非線性方程組構(gòu)造目標函數(shù)：

(8)

式中：θa為待標定參數(shù)，θa=[KAf0]；J為標定時靜態(tài)測試的位置數(shù)。此時非線性方程組的求解問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為一個全局優(yōu)化問題[9]，通過最小化目標函數(shù)即可得到待標定參數(shù)。

2 PSO算法描述及計算流程

粒子群優(yōu)化(PSO)算法是由肯尼迪(Kennedy)與埃伯·哈特(Eberhart)兩位學者提出的一種智能群體進化算法[10-11]。粒子群算法通過個體間的協(xié)作與競爭，實現(xiàn)復雜空間中最優(yōu)解的搜索。該算法中，粒子在解空間中運動，所有粒子不斷調(diào)整自己的速度和位置[12]。每一次迭代過程中，粒子跟蹤兩個“極值”來更新自己的速度和位置：一個是粒子本身找到的最優(yōu)解；另一個是整個種群的全局最優(yōu)解，粒子速度和位置更新方程如下[13]。

(9)

(10)

粒子群優(yōu)化算法的原理簡單、編程容易實現(xiàn)，因此自提出以來，國內(nèi)外很多學者都對其非常關(guān)注，并致力于其算法的研究和應用。但該算法本身也具有局限性：對于復雜的高維多峰函數(shù)或參數(shù)選擇不合適時，局部搜索能力有限，搜索步幅過大，導致算法的收斂精度不髙等。針對以上幾種缺點，學者們從多方面對粒子群優(yōu)化算法提出了改進[14-16]，但多數(shù)改進都只停留在算法測試階段，并未真正應用到實際工程。本文針對該算法的慣性權(quán)重進行改進，并應用于江平河大壩面板撓度測量。PSO算法的流程如圖1所示，直到結(jié)果達到最小誤差要求或最大迭代次數(shù)時，結(jié)束循環(huán)并輸出最優(yōu)值。

3 慣性權(quán)重測試分析

3.1 慣性因子設計

慣性因子w是PSO優(yōu)化算法中的重要參數(shù)，其作用為控制搜索范圍，通過設置慣性因子可平衡全局搜索與局部開發(fā)的關(guān)系。一般慣性權(quán)重的范圍在0.4～0.9之間。w越大，算法的搜索范圍越大，提高全局搜索能力，但損失局部搜索能力；w越小，搜索速度越慢，但搜索細致，容易陷入局部最優(yōu)。因此，為了在粒子群全局內(nèi)尋找最優(yōu)解，很多學者對慣性因子w的選取進行了改進，本文的慣性權(quán)重選取策略如下。

(1) 固定常數(shù)：

w1=0.4

(11)

(2) 線性遞減策略：

w2=wmax-(wmax-wmin)t/T

(12)

(3) 非線性遞減策略：

w3=wmin+(wmax-wmin)·rand()

(13)

(4) 帶控制因子的非線性策略：

w4=(wmax-wmin-d1)exp{1/[1+d2(t/T)]}

(14)

在這4種慣性權(quán)重的函數(shù)表達式中：wmax=0.9，wmin=0.4，最大迭代次數(shù)T= 100，rand()為[0，1]均勻分布隨機數(shù)。

3.2 測試與分析

為尋找最適合加速度計待標定參數(shù)的非線性方程的慣性權(quán)重方法，選用3個典型的標準測試函數(shù)對算法進行仿真測試，用來測試算法的收斂速度和得到最優(yōu)值的精度。

(1) Sphere函數(shù)，該函數(shù)是非線性、對稱、平滑的單峰函數(shù)，可以找到一個全局最優(yōu)解，結(jié)構(gòu)簡單易于求解。其表達式為

(15)

式中：xi∈(-100，100)；f(x)min=f(0，0，…0)=0。

(2) Schwefel函數(shù)，此函數(shù)是一個單峰函數(shù)，但函數(shù)中存在累乘項，尋求最優(yōu)值較難。其表達式為

(16)

式中：xi∈(-10，10)；f(x)min=f(0，0，…0)=0。

(3) Rosenbrock函數(shù)，此函數(shù)是非對稱、很難極小化的典型病態(tài)二次函數(shù)，找到全局最優(yōu)的機會很小。其表達式為

(17)

式中：xi∈(-40，40)；f(x)min=f(1，1，…1)=0。

其他參數(shù)不變，改變不同慣性權(quán)重w，獨立運行3個測試函數(shù)，得到算法尋優(yōu)的最優(yōu)值見表1，平均最優(yōu)值見表2，方差見表3，運行時間見表4，其運行過程見圖2～4。

表1 不同慣性權(quán)重情況下不同測試函數(shù)輸出最優(yōu)值Tab.1 Optimal output values of dfferent testing functions under different inertia weights

表2 不同慣性權(quán)重情況下不同測試函數(shù)輸出平均最優(yōu)值Tab.2 Average output optimal values of different testing functions under different inertia weights

表3 不同慣性權(quán)重情況下不同測試函數(shù)輸出方差Tab.3 Variance of different testing functions with different inertia weights

表4 不同慣性權(quán)重情況下不同測試函數(shù)運行時間Tab.4 Running time of different testing functions with different inertia weights s

由圖2～4和表1～4可得：3種測試函數(shù)下，線性遞減權(quán)重策略前期快速搜索，后期精細搜索，其收斂精度優(yōu)于其他慣性權(quán)重方法。因此，用該策略對PSO算法的固定權(quán)重w進行改進。其計算公式即公式(12)。

通過不斷地迭代和更新，當滿足迭代終止條件或達到最大迭代次數(shù)時各粒子收斂于最優(yōu)值附近，即增益因子系數(shù)獲得了最優(yōu)解。

4 加速度計標定結(jié)果分析

加速度計有12個待標定參數(shù)，分別為加速度計的標度因數(shù)K11，K22，K33，加速度計等效安裝誤差系數(shù)K12，K13，K21，K23，K31，K32和加速度計常值零偏Dax，Day，Daz。要完全激勵出所有參數(shù)至少在12個不相關(guān)的位置進行觀測[17]，位置編排如表5所列，其中X，Y，Z為加速度計的3個測量軸。

表5 加速度計12個位置編排方案Tab.5 Twelve-position layout scheme of accelerometer

在加速度計的標定優(yōu)化中，算法的參數(shù)設置為：粒子種群規(guī)模N=500；粒子維數(shù)D=12；學習因子c1=c2=2；迭代步數(shù)100步。

按照標定方案進行加速度計標定，為了驗證改進慣性權(quán)重的PSO算法(NPSO)對加速度計標定的優(yōu)越性，將標定結(jié)果與迭代的最小二乘法標定結(jié)果進行對比，結(jié)果如表6所列，標定前后加速度計三軸的輸出對比如表7所列。

表6 兩種算法標定結(jié)果對比Tab.6 Comparison of calibration results of two algorithms

表7 標定前后的加速度計三軸輸出對比Tab.7 Comparison of the three-axis output of the accelerometer before and after calibration mg

由表7可知，經(jīng)過迭代最小二乘法標定后，輸出值分別為998.128，-0.042 3，0.035 8 mg；而粒子群優(yōu)化算法標定后輸出值為999.876，0.01，0.012 mg；與真值1 000，0，0 mg更加接近。相對于迭代最小二乘法，粒子群優(yōu)化算法標定后的加速度計三軸的誤差分別降低了93.4%，76.4%和66.5%。說明使用粒子群優(yōu)化算法后，可以有效提高三軸MEMS加速度計的精度。

5 工程應用結(jié)果分析

5.1 工程概況

江坪河水電站位于湖北省恩施土家族苗族自治州鶴峰縣走馬鎮(zhèn)，是溇水干流規(guī)劃建設5個梯級電站中的龍頭電站。電站大壩為高219 m的面板堆石壩，壩體上游面板鋪設有2條特殊管道，分別布設在L0+005.0斷面和L0+062.6斷面。

2021年07月22日，用磁慣導監(jiān)測系統(tǒng)對L0+062.6面板進行了第18次全程監(jiān)測。管道全長266.8 m，監(jiān)測當天壩前蓄水高程458.84 m。

5.2 結(jié)果分析

現(xiàn)場監(jiān)測數(shù)據(jù)采集時，為了進一步驗證PSO算法對加速度計標定在工程實踐中的可行性和優(yōu)越性，使用未標定組和標定組的磁慣導監(jiān)測系統(tǒng)對同一管道進行監(jiān)測，每組運行兩次。兩次監(jiān)測關(guān)鍵節(jié)點撓度差值對比見表8，未標定組兩次監(jiān)測撓度曲線對比見圖5，標定組兩次監(jiān)測撓度曲線對比見圖6。

表8 兩組關(guān)鍵節(jié)點撓度差值對比Tab.8 Comparison of the deflection difference between the two key nodes

從圖5～6可知，用PSO算法進行加速度計標定后的磁慣導監(jiān)測系統(tǒng)輸出更加穩(wěn)定，數(shù)據(jù)波動更小。從表8可知標定組平均差值明顯小于未標定組平均差值。如關(guān)鍵節(jié)點160 m處未標定組兩次監(jiān)測差值為-12.6 mm，標定組兩次監(jiān)測差值僅為-0.4 mm。為進一步驗證標定效果，課題組使用高精度的光纖陀螺監(jiān)測系統(tǒng)(FOG)在同一管道進行測量，將FOG監(jiān)測結(jié)果與標定組監(jiān)測結(jié)果進行對比，各組監(jiān)測關(guān)鍵節(jié)點對比見表9，面板撓度曲線對比見圖7。

表9 L0+062.6關(guān)鍵節(jié)點撓度差值Tab.9 Deflection difference at key node L0+062.6

從圖7可知，兩組系統(tǒng)的面板撓度曲線一致性較好，最大面板撓度值均出現(xiàn)在面板1/3至1/2處，符合一般面板變形規(guī)律，標定組的最大面板撓度值(314.2 mm)與光纖組的最大面板撓度值(318.8 mm)相差僅4.6 mm。由于兩組系統(tǒng)運行軌跡不可能完全一樣，以及各系統(tǒng)本身存在一定誤差，此精度完全滿足監(jiān)測要求。從表9可知兩組的關(guān)鍵節(jié)點面板撓度絕對差值都不超過10 mm，說明基于PSO算法的加速度計標定對磁慣導監(jiān)測系統(tǒng)的優(yōu)化效果明顯，監(jiān)測數(shù)據(jù)可靠，輸出更加穩(wěn)定。

6 結(jié) 語

本文從工程實際需要的角度出發(fā)，基于粒子群優(yōu)化算法，進行慣性權(quán)重測試分析，有效避免了算法本身的不足。并基于該算法進行了加速度計標定對比實驗，結(jié)果表明：基于PSO算法的加速度計標定輸出效果更好，更加接近真實值。在實際工程應用中，將標定的磁慣導監(jiān)測系統(tǒng)與未標定的磁慣導監(jiān)測系統(tǒng)、FOG監(jiān)測系統(tǒng)測量結(jié)果對比，結(jié)果表明標定的監(jiān)測系統(tǒng)數(shù)據(jù)可靠、輸出更加穩(wěn)定、精度滿足工程測量需求，拓展了PSO算法的應用領(lǐng)域，驗證了PSO算法應用于實際工程的可行性和優(yōu)越性。隨著PSO算法的不斷優(yōu)化，憑借算法本身的普適性，未來必定會在更多的領(lǐng)域得以應用。