胡景森，黃 旻，高 寒

（1.中國(guó)科學(xué)院 空天信息創(chuàng)新研究院 計(jì)算光學(xué)成像技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 光電學(xué)院，北京 101408）

引言

光譜儀是獲取物質(zhì)光譜的儀器，可以對(duì)物質(zhì)結(jié)構(gòu)和組分進(jìn)行高精度分析，是目前科學(xué)研究中重要的檢測(cè)和分析手段。光譜儀以其分析精度高、測(cè)試速度快、無(wú)損檢測(cè)等優(yōu)點(diǎn)，在化工、環(huán)境、食品、遙測(cè)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-4]。其中，時(shí)間調(diào)制型傅里葉變換紅外光譜儀(Fourier transform infrared spectrometer，F(xiàn)TIRS)，因其光譜分辨率高、光通量大等顯著優(yōu)點(diǎn)[5]，逐漸成為目前光譜分析的主流儀器。傳統(tǒng)的時(shí)間調(diào)制型FTIRS 中干涉儀部分采用經(jīng)典的邁克爾遜干涉儀結(jié)構(gòu)，由平面動(dòng)鏡、定鏡和分束器等部分構(gòu)成。在實(shí)際應(yīng)用中，由于裝調(diào)誤差，可能會(huì)導(dǎo)致平面動(dòng)鏡或平面定鏡傾斜，使光束偏轉(zhuǎn)，影響光譜復(fù)原質(zhì)量[6-8]。常用解決辦法是使用動(dòng)態(tài)準(zhǔn)直系統(tǒng)[9-10]，但是動(dòng)態(tài)準(zhǔn)直系統(tǒng)必須先檢測(cè)到誤差，再進(jìn)行校準(zhǔn)，導(dǎo)致調(diào)整過(guò)程總是滯后。雖然可用角反射鏡[11-12]和貓眼反射鏡[13]代替平面定鏡和平面動(dòng)鏡來(lái)解決光束偏轉(zhuǎn)問(wèn)題，但是這兩類(lèi)光譜儀動(dòng)鏡安裝的位置可能發(fā)生橫移，或在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可能偏離理想的運(yùn)動(dòng)方向，對(duì)干涉質(zhì)量造成影響[14-15]。目前，主流的高性能時(shí)間調(diào)制型FTIRS 多采用旋轉(zhuǎn)方式產(chǎn)生光程差，角鏡擺臂型FTIRS[16]即為其中一種。相較于其他類(lèi)型光譜儀，角鏡擺臂型FTIRS 消除了剪切問(wèn)題[17]，具有結(jié)構(gòu)緊湊、對(duì)元件傾斜不敏感等特點(diǎn)[18]，現(xiàn)已廣泛用于光譜儀設(shè)計(jì)中[19-20]。

由于存在裝調(diào)誤差，角鏡擺臂型FTIRS 中角反射鏡的3 個(gè)反射面之間不一定嚴(yán)格垂直。角反射鏡的二面角裝調(diào)精度將影響光線(xiàn)的準(zhǔn)直情況，最終影響光譜質(zhì)量。為實(shí)現(xiàn)FTIRS 具有較高的分辨率，討論角反射鏡的二面角公差很有必要。本文將結(jié)合理論推導(dǎo)和光學(xué)軟件模擬的方法來(lái)探討角反射鏡的二面角公差，為后續(xù)光譜儀設(shè)計(jì)和裝調(diào)提供參考。

1 基本理論

角鏡擺臂型FTIRS 結(jié)構(gòu)如圖1所示。光源射出的光經(jīng)過(guò)分束器被分為透射光和反射光，o1、o2分別為分束器和轉(zhuǎn)動(dòng)平面的中心，在零光程差位置時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)平面垂直于分束器平面。根據(jù)圖1所示，分別建立全局坐標(biāo)系x1y1z1、轉(zhuǎn)動(dòng)平面坐標(biāo)系x2y2z2和角反射鏡坐標(biāo)系x3y3z3。根據(jù)三者之間的空間位置關(guān)系，利用坐標(biāo)變換矩陣和光線(xiàn)追跡方法可以求得相干光束之間的夾角，進(jìn)而求出干涉強(qiáng)度的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

圖1 角鏡擺臂傅里葉變換光譜儀原理Fig.1 Oscillating Fourier transform spectrometer with corner-cube reflectors

1.1 坐標(biāo)系變換

角反射鏡坐標(biāo)系的具體示意圖如圖2所示。其中坐標(biāo)原點(diǎn)o3為反射鏡M1 的一個(gè)頂點(diǎn)，反射鏡M1 與M3 相交的棱邊為x3軸，反射鏡M1 與M2 相交的棱邊為y3軸，反射鏡M1 的法線(xiàn)方向?yàn)閦3軸，為角反射鏡的光軸方向。當(dāng)角反射鏡不存在二面角誤差時(shí)，出射光與入射光平行。如果角反射鏡存在二面角誤差，則出射光線(xiàn)與入射光線(xiàn)不再平行，將產(chǎn)生夾角[21]，引入額外光程差，使調(diào)制度下降。

圖2 角反射鏡坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate system of corner-cube reflectors

根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知，在光束不超出角反射鏡有效反射面的情況下，角反射鏡繞光軸的偏轉(zhuǎn)不會(huì)影響干涉質(zhì)量。因此，角反射鏡和轉(zhuǎn)動(dòng)平面的空間位置關(guān)系有很多種。假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)平面坐標(biāo)系可由角反射鏡坐標(biāo)系繞過(guò)原點(diǎn)o3，單位方向向量為的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) θ得到，那么，由角反射鏡坐標(biāo)系變換至轉(zhuǎn)動(dòng)平面坐標(biāo)系的變換矩陣Tcp可以表示為

為了計(jì)算和建模方便，選取其中一種情況進(jìn)行討論。令：

在這種情況下，角反射鏡的光軸方向noc垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)平面。雖然變換后的角反射鏡坐標(biāo)系與轉(zhuǎn)動(dòng)平面坐標(biāo)系的原點(diǎn)不重合，但是并不影響變換后向量的方向。

由于轉(zhuǎn)動(dòng)平面在零光程差位置時(shí)與分束器平面垂直，為了將轉(zhuǎn)動(dòng)平面坐標(biāo)系變換到全局坐標(biāo)系，需要知道分束器平面與x1o1y1平面的夾角。假設(shè)分束器平面與x1o1y1平面的夾角為α，轉(zhuǎn)動(dòng)平面繞x2軸正方向順時(shí)針擺動(dòng)β度，則全局坐標(biāo)系可以看作是轉(zhuǎn)動(dòng)平面坐標(biāo)系繞x2軸正方向順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)γ=90°-α+β。坐標(biāo)系變換矩陣Tpg為

同理，雖然變換后的坐標(biāo)系原點(diǎn)不重合，但是并不影響變換后向量的方向和后續(xù)光線(xiàn)偏轉(zhuǎn)角的求解。

1.2 干涉強(qiáng)度與調(diào)制度推導(dǎo)

首先對(duì)角反射鏡坐標(biāo)系進(jìn)行分析。假設(shè)反射鏡M1 與M2之間的二面角誤差為 δa，反 射鏡M1 與M3 的二面角誤差為 δb，反射鏡M2 與M3 的二面角誤差為 δc，那么M1 與M2、M1 與M3、M2 與M3 之間的夾角可以分別表示為 π/2+δa，π/2+δb，π/2+δc。根據(jù)所建立的坐標(biāo)系，可以令反射面M1、M2 和M3 的單位法線(xiàn)向量為

又有：

由于 δa，δb，δc均為很小的值，所以有 c os(δk)=1，sin(δk)=δk。聯(lián)立(4)式～(6)式可得：

那么，全局坐標(biāo)系下反射鏡面的法線(xiàn)向量為

式中，i=1、2、3，分別表示反射面1、反射面2、反射面3。后文出現(xiàn)i表示的意義相同。

根據(jù)矩陣形式的反射定律，全局坐標(biāo)系下3 個(gè)反射面的反射矩陣可以寫(xiě)成：

根據(jù)入射光方向，存在6 種反射情況[21]，6 種情況相似，選取其中一種分析即可。假定全局坐標(biāo)系下，透射光路射入角反射鏡的單位方向向量為分別經(jīng)反射面1、反射面2 和反射面3 反射，那么出射光線(xiàn)可表示為

同理，可以求得反射光路中出射光線(xiàn)的方向向量O′，那么兩束光之間的夾角為

根據(jù)上述推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn)，相干光束間夾角不僅受到二面角誤差的影響，還受到擺角的影響，因此需要確定擺角的范圍。當(dāng)選擇了矩形窗切趾函數(shù)時(shí)，角鏡擺臂型FTIRS 擺角與光譜分辨率的關(guān)系為[22]

式中：R為擺臂長(zhǎng)；Δσ為光譜分辨率。根據(jù)光譜分辨率即可確定擺角范圍。

將光路展開(kāi)后，等效光路如圖3所示。干涉坐標(biāo)系x4y4z4以探測(cè)器中心o4為坐標(biāo)原點(diǎn)，且探測(cè)器足夠大，能接收所有光束。圖3 中CCR1 和CCR2分別對(duì)應(yīng)2 個(gè)角反射鏡，L表示零光程差位置時(shí)角反射鏡與探測(cè)器間的距離，l表示角反射鏡擺動(dòng)的機(jī)械距離，φ表示相干光束的夾角，D表示入射光線(xiàn)的孔徑大小。在分析角反射鏡誤差導(dǎo)致的光束偏轉(zhuǎn)時(shí)，可以將角反射鏡視為傾斜平面鏡，使用傾斜平面動(dòng)鏡的誤差分析方法，計(jì)算額外光程差[23]。2 個(gè)角反射鏡均可視為繞自身幾何中心發(fā)生偏轉(zhuǎn)的平面鏡，并且導(dǎo)致相干光束產(chǎn)生的夾角為 φ。

圖3 等效光路圖Fig.3 Equivalent optical path diagram

實(shí)際情況下夾角 φ很小，兩路相干光束均不會(huì)偏離正常光束位置太遠(yuǎn)。因此，光路可以近似為圖3（b）的情況，這種情況下，假設(shè)其中一路光束是無(wú)誤差的正常光束，另一路光束是有誤差的偏轉(zhuǎn)光束，兩束光的夾角仍為 φ。那么角反射鏡二面角誤差引入的額外光程差可以分為以下2 個(gè)部分：

1）光束偏轉(zhuǎn)導(dǎo)致的恒定光程差，可表示為

2）沿y4軸不同位置的入射光線(xiàn)導(dǎo)致的偏移光程差，可表示為

當(dāng)入射光束為D×D的正方形孔徑光束時(shí)，由于光線(xiàn)偏轉(zhuǎn)，探測(cè)器接收的正方形孔徑光束被拉伸成矩形孔徑。同理，由于偏轉(zhuǎn)角通常較小，探測(cè)器接收到的光束孔徑仍然可以看作D×D的正方形孔徑。探測(cè)器平面接收干涉光束示意圖如圖4所示。圖4 中d為兩束干涉光中心的偏離量，d的值取決于兩束光的夾角 φ以及2 個(gè)角反射鏡到探測(cè)器平面的距離L+l和L-l。當(dāng)L+l和L-l不是非常大時(shí)，干涉區(qū)域可以近似看成D×D的正方形孔徑光束，如圖4（b）所示。此時(shí)干涉強(qiáng)度值在探測(cè)器平面上是變化的，需要對(duì)整個(gè)干涉區(qū)域求積分。那么干涉函數(shù)可以寫(xiě)為

圖4 干涉光束積分區(qū)域Fig.4 Integral region of interference beams

化簡(jiǎn)后可得：

式中 σ表示入射光的波數(shù)。從（15）式可以得到干涉圖的調(diào)制度為

2 仿真與分析

利用Zemax 的非序列功能建立角鏡擺臂型FTIRS，如圖5所示。其中入射光波長(zhǎng) λ=632.8 nm，光束孔徑D=2 mm，擺臂長(zhǎng)R=45 mm，擺臂平面中心距離分束器平面中心d1=70 mm,平面反射鏡中心距離分束器平面中心d2=52 mm，探測(cè)器平面中心點(diǎn)o4到分束器平面的距離d3=10 mm。分束器平面繞x1軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，那么γ=60°+β，平面反射鏡與分束器的夾角為60°。根據(jù)幾何關(guān)系，可以得到零光程差位置時(shí)角反射鏡到探測(cè)器平面的距離L≈140 mm。分束器A 面和D 面分別鍍半透半反膜，B 面和C 面分別鍍?cè)鐾改ぃ摻Y(jié)構(gòu)的光譜儀不需要補(bǔ)償器。當(dāng)光譜分辨率 Δσ=0.25 cm-1時(shí)，由(12)式求得擺角范圍為 γ ∈[0,6.379°]。

圖5 Zemax 非序列建立的角鏡擺臂型FTIRS 示意圖Fig.5 Schematic diagram of Zemax no-sequential mode

2.1 理論模型合理性驗(yàn)證

為了給后續(xù)多個(gè)二面角誤差分析打下基礎(chǔ)，先分析一個(gè)二面角誤差，對(duì)所建立的模型是否合理進(jìn)行驗(yàn)證。假設(shè)只有透射光路角反射鏡存在二面角誤差，且 δb= δc=0 時(shí)，（7）式可簡(jiǎn)化為

圖6 調(diào)制度函數(shù)圖像Fig.6 Diagram of modulation depth function

再利用Zemax 進(jìn)行模擬，擺角由0°擺動(dòng)至0.000 35°。根據(jù)調(diào)制度定義，求出不同誤差角下干涉信號(hào)的調(diào)制度，并進(jìn)行擬合，擬合得到的調(diào)制度函數(shù)如圖7所示。當(dāng)調(diào)制度M=0.9 時(shí)，得到二面角公差為 δa=0.002 58°=9.288″，與理論值相比，誤差為0.792″。

圖7 Zeamx 模擬得到的調(diào)制度函數(shù)Fig.7 Modulation depth function simulated by Zemax

圖8 為擺角在0°附近時(shí)根據(jù)理論數(shù)值計(jì)算得到的調(diào)制度曲線(xiàn)和Zemax 模擬得到的調(diào)制度曲線(xiàn)。從圖8 可以看出，兩者在主峰匹配較好，證明本文理論模型是合理的。

圖8 擺角為0 時(shí)理論曲線(xiàn)與模擬曲線(xiàn)對(duì)比Fig.8 Comparison of theoretical curve and simulated curve with oscillating angle of 0

2.2 角反射鏡二面角公差分析

為探究角反射鏡二面角公差，需要分析不同二面角誤差對(duì)調(diào)制度的影響。上述2.1 節(jié)證明了本文所提出理論模型的合理性，因此使用該模型進(jìn)行分析。根據(jù)該模型，分別繪制調(diào)制度隨 δa、δb和δc的變化曲線(xiàn)，如圖9所示。從圖9 可以看出，3 個(gè)曲線(xiàn)完全重合，可以證明同一個(gè)角反射鏡的3 個(gè)二面角誤差對(duì)調(diào)制度的影響是相同的。

圖9 同一角反射鏡中不同二面角誤差對(duì)調(diào)制度的影響Fig.9 Effects of different dihedral angle errors on modulation depth in same corner-cube reflector

根據(jù)上述分析，假設(shè)同一個(gè)角反射鏡中3 個(gè)二面角產(chǎn)生的誤差是相同的，那么其中一個(gè)二面角到達(dá)允許的最大誤差角時(shí)，另外2 個(gè)二面角也到達(dá)了允許的最大誤差角。因此，透射光路角反射鏡產(chǎn)生的二面角誤差為 δa=δb=δc=δ。由于透射光路和反射光路在理想情況下是完全對(duì)稱(chēng)的，當(dāng)反射光路的角反射鏡二面角誤差為δ′a=δ′b=δ′c=-δ時(shí)，相干光束O與O′間夾角是最大的，此時(shí)干涉圖調(diào)制度受到的影響最大。當(dāng)誤差角 δ的變化范圍為[-0.005 °,0.005 °]時(shí)，繪制得到的理論曲線(xiàn)和模擬曲線(xiàn)如圖10所示。由圖10 可知，為滿(mǎn)足調(diào)制度判據(jù)，得到的理論二面角公差為2.52″，模擬得到的二面角公差為2.38″，兩者誤差為0.14″，屬于可接受范圍。

圖10 理論曲線(xiàn)與模擬曲線(xiàn)對(duì)比Fig.10 Comparison of theoretical curve and simulated curve

3 結(jié)論

本文根據(jù)光線(xiàn)追跡理論和平面鏡傾斜誤差分析方法，討論了角鏡擺臂傅里葉變換光譜儀中角反射鏡二面角的裝調(diào)誤差。將有誤差的角反射鏡視為傾斜平面鏡，計(jì)算額外光程差，并根據(jù)雙光束干涉理論求出干涉強(qiáng)度和調(diào)制度函數(shù)。根據(jù)理論推導(dǎo)，得到的角反射鏡二面角公差為2.52″，利用Zemax 模擬得到的反射鏡二面角公差為2.38″，兩者誤差為0.14″，符合較好。模擬結(jié)果表明，該理論可用于分析擺臂角鏡FTIRS 的角反射鏡二面角誤差。以目前的工藝水平，角反射鏡的綜合角偏差通?？梢钥刂圃?″以?xún)?nèi)[25]，因此本文求出的二面角公差在實(shí)際的裝調(diào)中是可以實(shí)現(xiàn)的，為后續(xù)的生產(chǎn)和設(shè)計(jì)提供了參考。