陳雅宜，陳云云，張靜云，楊翠紅

（1.南京信息工程大學(xué)江蘇省大氣海洋光電探測重點實驗室，江蘇南京210044；2.南京信息工程大學(xué)江蘇省氣象光子學(xué)與光電探測國際合作聯(lián)合實驗室，江蘇南京210044）

引言

莫爾測量法因其實時、穩(wěn)定、非接觸等特點，自1980年O.Kafri 將其用于測量相位物體之后[1]，已被廣泛用于各類火焰溫度場[2]、跨音速和超音速風(fēng)洞密度場[3]、稀釋蔗糖溶液和常壓空氣的折射率測量[4]等研究中。最值得一提的是，自J.Stricker首次從偏折層析的逆Radon 變換公式出發(fā)，對2 個被加熱的銅柱產(chǎn)生的非對稱溫度場進(jìn)行了重建[5]，使得莫爾層析技術(shù)成為光學(xué)測量的重要手段之一。事實上，莫爾層析技術(shù)就是將莫爾測量法原理與光學(xué)計算層析技術(shù)相結(jié)合，在保留了實時、穩(wěn)定、非接觸優(yōu)點的基礎(chǔ)上，同時還具備層析技術(shù)可以獲取被測流場關(guān)鍵參量的3-D 分布的優(yōu)勢。在此之后，關(guān)于莫爾層析技術(shù)的應(yīng)用研究日益深入，主要包括：條紋形成機理[6-8]、條紋信息提取方法[9-15]以及折射率重建算法[16-19]等。到目前為止，莫爾層析技術(shù)已被廣泛用于各類流場的結(jié)構(gòu)顯示和關(guān)鍵參量測量中，其中還包括一些高溫復(fù)雜流場[20-22]。然而，調(diào)研結(jié)果表明，在莫爾測量法的應(yīng)用中，有部分研究將待測量物體放置于2 個光柵中間[23-25]，但更多的是將被測相位物體放在2 個光柵前面[26-30]。

為了確定相位物體放置位置對結(jié)果的影響，本文將從理論和實驗2 個方面著手進(jìn)行研究。我們將基于標(biāo)量衍射理論下的莫爾條紋方程進(jìn)行推導(dǎo)，并最終進(jìn)行實驗驗證，相關(guān)研究結(jié)果將為更好地應(yīng)用莫爾測量法進(jìn)行流場檢測提供一定的參考和指導(dǎo)。

1 基本原理

為了便于問題的討論，相關(guān)理論推導(dǎo)將在一級濾波下的莫爾條紋方程的基礎(chǔ)上進(jìn)行展開。此外，當(dāng)莫爾層析技術(shù)用于流場診斷時，通常以偏折角作為投影數(shù)據(jù)，而偏折角是折射率的一階導(dǎo)數(shù)沿射線路徑上的積分[31]。而且，一般被測流場的折射率分布都是基于相位信息所獲的偏折角數(shù)據(jù)進(jìn)行重建的。因此，本文的理論分析將主要圍繞相位物體放置位置對相位和偏折角的影響展開。

1.1 相位物體置于兩光柵前

相位物體置于2 個光柵前的莫爾測量光路如圖1所示。

圖1 莫爾測量法光路圖（相位物體置于2 個光柵前）Fig.1 Optical path diagram of Moire deflectometry (phase object placed in front of 2 gratings)

當(dāng)相位物體放置于光柵G1之前時，一級濾波下的莫爾條紋方程為[7]

式中：φ(x,y)表示的是光柵G1前表面的光波相位；Δ表示的是2 個光柵之間的間距；α表示2 個光柵之間的夾角；d是光柵常數(shù)；Q為任意整數(shù)。

因此，一級濾波下，莫爾條紋偏移量q1和由被測場擾動引起的相位 φ1可分別表示為

考慮到莫爾層析的偏折角投影 φd(x,y)與相位層析投影 φ(x,y)的關(guān)系，偏折角與由被測場擾動引起的相位之間的關(guān)系可表示為[32]

式中：n0表示實際實驗測量中的環(huán)境折射率。

1.2 相位物體置于光柵之間

相位物體放置于2 個光柵之間情況下的莫爾測量光路如圖2所示。此外，其他參量設(shè)置均與圖1 中相同。由文獻(xiàn)[33]可知，當(dāng)準(zhǔn)直光路(M=1)且相位物體放在2 個光柵之間時，一級濾波下的莫爾條紋方程可寫為

圖2 莫爾測量法光路圖（相位物體置于光柵中間）Fig.2 Optical path diagram of Moire deflectometry (phase object placed in middle of gratings)

式中：Δ1和Δ2分別表示待測相位物體O距離光柵G1和G2的距離。

考慮到 Δ =Δ1+Δ2，則公式(5)可表示為

對比(1)式和(6)式可知，在同樣的準(zhǔn)直光路下改變待測相位物體位置時，一級濾波下莫爾條紋方程唯一的區(qū)別在于最后一項，即條紋的偏移量。此外，由公式(6)可知，當(dāng)光束通過相位物體后，相位物體放在光柵中間時的莫爾條紋偏移量q2和由被測場擾動引起的相位 φ2(x,y)可分別表示為

理論上來說，Δ2<Δ，所以待測物放在光柵之間的偏移量和相位將會小于將其置于2 個光柵前時的偏移量和相位。

偏折角與相位之間的關(guān)系可描述為

1.3 理論分析

比較偏移量公式(2)和(7)可以發(fā)現(xiàn)，在其他相關(guān)參量都保持一致的情況下，被測物體放置于2 個光柵前時的偏移量q1正 比于 Δ，而被測物體放置于光柵中間時的偏移量q2則 正比于 Δ2。不難發(fā)現(xiàn)，2 種情況下偏移量關(guān)系滿足：

此外，通過比較偏折角公式(4)和(9)可知，在其他相關(guān)參量都一樣的情況下，被測物體放置于2 個光柵前面時的偏折角φ1d(x,y)主要取決于。而當(dāng)被測物體放置于光柵中間時，偏折角φ2d(x,y)主要取決于。因此，如果那么理論上來說相位物體的放置位置并不會影響偏折角，即不會影響最終被測場的折射率分布結(jié)果。

因此，下文將從相位和偏折角2 個參量角度來驗證理論推導(dǎo)的正確性和合理性，以及討論相位物體位置對實驗結(jié)果的影響。為了證明推導(dǎo)和分析是合理的，我們將進(jìn)行幾組實驗。

2 實驗和結(jié)果

搭建如圖1 和圖2 描述的實驗裝置進(jìn)行實驗，所用激光器的波長為532 nm，透鏡2 和透鏡3 組成一個擴束準(zhǔn)直系統(tǒng)，它們的焦距分別為3 mm 和30 cm，2 個朗奇光柵5 和6 的有效尺寸為50 mm×50 mm，光柵常數(shù)d為0.02 mm。本實驗中，始終保持2 個光柵間距 Δ為10 cm。

實驗選取蠟燭火焰作為被測相位物體。考慮到實驗結(jié)果的普適性和說服力，在被測對象放置于光柵中間的情況下，待測物體距離光柵G2的距離 Δ2為4 cm、5 cm 和6 cm 下的莫爾條紋結(jié)果分別被拍攝并記錄。此外，為了方便莫爾條紋信息提取，實驗記錄了蠟燭未燃燒和燃燒狀態(tài)下的莫爾條紋結(jié)果。然后，對所有實驗結(jié)果圖進(jìn)行了統(tǒng)一區(qū)域截取的預(yù)處理，區(qū)域尺寸均為320×320 像素，相關(guān)結(jié)果如圖3 和圖4所示。

圖3 待測物體不同位置下所獲莫爾條紋圖（未點燃）Fig.3 Moire fringes with object to be measured placed on different positions (unburned)

圖4 待測物體不同位置下所獲莫爾條紋圖（點燃）Fig.4 Moire fringes with object to be measured placed on different positions (burning)

如圖3 和4所示，圖中所標(biāo)記的是我們選取的進(jìn)行具體分析和討論的截面。

3 分析與討論

3.1 相位

利用傅里葉變換方法提取上述截面的相位信息，并且運用多重網(wǎng)格法進(jìn)行相位信息的解包裹[32]，最終相位分布結(jié)果如圖5所示。

圖5 相位分布Fig.5 Curves of phase distribution

根據(jù)公式(3)和(8)，在其他相關(guān)參量均保持一致的情況下，相位物體放置于2 個光柵前和2 個光柵中間時的相位大小會分別正比于對應(yīng)情況下2 個光柵的間距 Δ和相位物體距離光柵G2的距離Δ2。根據(jù)圖5 實驗獲得的相位結(jié)果可以看出，相位大小基本符合上述與距離的變化規(guī)律。為了更加清晰地驗證結(jié)果，相關(guān)理論和實驗結(jié)果在表1 中給出。

表1 理論和實驗結(jié)果對比Table 1 Comparison of theoretical and experimental results

為了方便討論，上述表格中相位的比較主要選取了實驗得到的最大值進(jìn)行了比較。表1 通過比較光柵間距的理論值比值 Δ/Δ2與所獲得相位的實驗值比值 φΔ(max)/φΔ2(max)，說明2 種情況下的相位大小確實分別正比于對應(yīng)情況下2 個光柵的間距Δ和相位物體距離光柵G2的距離 Δ2，即實驗結(jié)果可以證明。

3.2 偏折角

圖6 偏折角分布Fig.6 Curves of deflective angle distribution

從圖6 不難看出，在相位物體放置于不同位置時，偏折角的大小及其分布基本一致。這就證明了之前的推論，在其他相關(guān)參量均保持一樣的情況下，相位物體放置位置對最終的偏折角結(jié)果沒有影響。此外，根據(jù)現(xiàn)有報道可知，實際測量中是在實驗獲得的偏折角數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上進(jìn)行折射率重建的，因此只要偏折角基本一致，則后期重建出來的被測流場的折射率就基本一致。

事實上，導(dǎo)致圖6 中幾種情況下偏折角分布的實驗結(jié)果不完全一樣的原因可能有：

a)在實驗過程中，蠟燭燃燒狀態(tài)基本是穩(wěn)定的，但可能略有變化；

b)在前后幾次實驗中，截圖可能略有一點點偏差，導(dǎo)致所示結(jié)果不完全是同一個截面的結(jié)果。

但是，通過圖6 可以看出，相位物體放在光柵中間時的偏折角的曲線分布不如放置于2 個光柵前面時的光滑，這點也能說明為什么到目前為止大多數(shù)實際測量都是將待測對象放在2 個光柵之前。

3.3 折射率分布

基于上述偏折角數(shù)據(jù)計算折射率分布，圖7 給出了上述幾組實驗中相同截面的折射率分布結(jié)果。

圖7 3-D 折射率分布Fig.7 Diagram of 3-D refractive index distribution

為了更清晰地看出它們的區(qū)別，圖8 中給出其徑向分布。

圖8 折射率徑向分布Fig.8 Curves of radial refractive index distribution

折射率結(jié)果表明，它們基本一致，只有在中心區(qū)域稍有區(qū)別。此外，上述實驗結(jié)果還表明，相位物體放在光柵中間且 Δ2=5 cm 時的折射率分布基本和放在前面的折射率分布吻合，而在 Δ2=4 cm和 Δ2=6 cm 情況下的折射率分布規(guī)律更相似。

4 結(jié)論

本文主要從理論和實驗2 方面研究了相位物體位置對莫爾層析測量結(jié)果的影響，且實驗和理論結(jié)果吻合很好。結(jié)果證明，無論相位物體放在2 個光柵前面還是中間，只要在從相位獲取偏折角時，選對合適的間距 Δ 或 者 Δ2，就不會對最終折射率重建結(jié)果造成影響。換句話說，也就不會對最終流場的參量重建產(chǎn)生影響。總之，相關(guān)研究將為更好、更廣地應(yīng)用莫爾測量法進(jìn)行流場的診斷提供重要的參考。