孟祥碩， 肖玲斐， 王國強(qiáng)， 朱曉倩

(南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引 言

多相永磁同步電機(jī)(PMSM)憑借結(jié)構(gòu)簡單、運行可靠以及功率密度高等優(yōu)點在電動汽車[1-2]、船舶推進(jìn)[3]和航空航天[4-5]等大功率、高精度領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。其中，雙三相PMSM是由2套中性點相互連接或隔離、相位差30°的繞組組成的，在輸出相同功率的條件下，其供電電壓僅需三相PMSM的一半，成為了低壓大功率場合的主流設(shè)備。

考慮到雙三相PMSM工作環(huán)境的特殊性以及電機(jī)相數(shù)的增加，繞組發(fā)生開路故障的可能性會增大。當(dāng)多相電機(jī)的一相或者幾相出現(xiàn)故障時，可以采取適當(dāng)?shù)牟呗?，使電機(jī)在斷相的情況下繼續(xù)運行，無需重新啟動或停機(jī)。因此，多相PMSM的容錯控制方法成為研究的熱點[6-9]。其中，文獻(xiàn)[6]基于保持故障后基波磁動勢和永磁體基波磁鏈?zhǔn)噶吭诳臻g上圓形旋轉(zhuǎn)的原則，構(gòu)造了五相PMSM在一相開路時同步坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)[8]構(gòu)建了一種基于正常解耦變換陣的缺相容錯控制策略，分別對定子銅耗最小和轉(zhuǎn)矩輸出最大兩種優(yōu)化電流工作方式進(jìn)行分析。

目前多相PMSM的斷相故障容錯控制方法大致可分為降維解耦矢量控制和最優(yōu)電流給定控制兩類。前者通過建立故障狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型，重構(gòu)控制策略實現(xiàn)容錯控制，但缺乏統(tǒng)一的故障模型，同時也會改變原本的控制結(jié)構(gòu)；后者根據(jù)定子銅耗最小原則或者轉(zhuǎn)矩輸出最大原則求解各相繞組最優(yōu)容錯電流的相參考值，但無法提供平滑的轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速切換，平均轉(zhuǎn)矩可能會降低。

隨著現(xiàn)代控制理論的不斷發(fā)展，智能優(yōu)化算法在多相PMSM的容錯控制領(lǐng)域也逐漸開始得到應(yīng)用，文獻(xiàn)[10]提出了一種具有非對稱隸屬函數(shù)的Takagi-Sugeno-Kang型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，用于六相PMSM驅(qū)動系統(tǒng)的容錯控制?？紤]到開路故障造成的轉(zhuǎn)矩脈動是周期性的，文獻(xiàn)[11]將迭代學(xué)習(xí)控制作為一種電流控制技術(shù)，用于恢復(fù)故障條件下多相PMSM驅(qū)動器的性能。文獻(xiàn)[12]考慮斷相故障下的永磁轉(zhuǎn)矩和磁阻轉(zhuǎn)矩，建立了一種綜合模型，并采用遺傳算法優(yōu)化定子電流。灰狼優(yōu)化(GWO)[13]算法是受到自然界中灰狼群體狩獵行為的啟發(fā)而提出的一種群智能優(yōu)化算法。其憑借結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)較少、兼顧尋優(yōu)階段的探索與開發(fā)過程等優(yōu)點得到了廣泛的應(yīng)用[14-16]。

傳統(tǒng)GWO算法中的收斂因子線性遞減，以此來模擬狼群從包圍到捕食獵物的行為。這種機(jī)制導(dǎo)致前期所有個體都進(jìn)行大范圍搜索，局部探索能力差，收斂速度慢，因此初始種群的生成對后續(xù)的尋優(yōu)效率起著關(guān)鍵作用；后期所有個體在局部進(jìn)行小范圍搜索，忽略了周圍可能存在的全局最優(yōu)解，所以后期需要兼顧算法的局部與全局尋優(yōu)能力，盡量避免陷入局部最優(yōu)。

綜上所述，針對雙三相PMSM一相開路故障中傳統(tǒng)容錯控制方法控制結(jié)構(gòu)復(fù)雜的缺點，本文提出一種基于電流優(yōu)化的容錯控制方案。從傳統(tǒng)的坐標(biāo)變換矩陣出發(fā)，推導(dǎo)出一種解耦的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換矩陣，建立故障模型，分析造成平均轉(zhuǎn)矩下降以及轉(zhuǎn)矩脈動的原因，將開路故障下的容錯控制問題轉(zhuǎn)換為d、q軸參考電流優(yōu)化問題。針對傳統(tǒng)GWO算法初始種群分布不均勻、易陷入局部最優(yōu)的缺點，本文提出一種Kent映射-粒子群-GWO(KPGWO)算法優(yōu)化d、q軸參考電流，保證獲得最大平均轉(zhuǎn)矩的同時，轉(zhuǎn)矩脈動最小。所提控制方案不會改變原本的控制結(jié)構(gòu)，可以實現(xiàn)正常狀態(tài)與故障狀態(tài)之間的平滑切換。

1 解耦同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下雙三相PMSM故障模型

雙三相PMSM在傳統(tǒng)的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換矩陣下的電感矩陣存在耦合。本節(jié)從雙三相PMSM的定子電感矩陣出發(fā)，利用Park變換推導(dǎo)出一種可使其解耦的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)矩陣，為后續(xù)故障狀態(tài)下參考電流的求解提供便利，最后給出該坐標(biāo)變換矩陣下雙三相PMSM的數(shù)學(xué)模型與一相開路故障模型，分析了造成轉(zhuǎn)矩脈動的原因。

1.1 定子電感矩陣

雙三相PMSM在自然坐標(biāo)系下的電壓方程為

(1)

磁鏈方程為

ψ6s=L6si6s+λ6sψf

(2)

式中：λ6s為磁鏈系數(shù)；ψf為永磁體磁鏈。

定子電感矩陣為

(3)

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

(4)

式中：p為電機(jī)的極對數(shù)；θm為轉(zhuǎn)子位置機(jī)械角度。

在轉(zhuǎn)子磁結(jié)構(gòu)各向異性的假設(shè)下，定子自感和互感是轉(zhuǎn)子位置電角度θe的函數(shù)。此外，假設(shè)三相繞組的幾何和電磁不對稱性以及飽和效應(yīng)可以忽略不計，那么每相繞組的自感可以表示為

Lii=LAAl+Ls0+Ls2cos 2θei

(5)

式中：i=A,B,C或i=U,V,W；LAAl為漏自感；Ls0=(LAAd+LAAq)/2為主自感平均值；Ls2=(LAAd-LAAq)/2為二次諧波幅值；LAAd和LAAq為繞組d、q軸主自感；θei為i相繞組相對于d軸的電角度。

類似于式(5)，同一套繞組不同相之間的互感可以表示為

Mij=Ms0+Ms2cos(θei+θej)

(6)

式中：i,j=A,B,C或i,j=U,V,W，i≠j；Ms0=-Ls0/2；Ms2=Ls2；θej為j相繞組相對于d軸的電角度。

除了同一套繞組的每相自感和不同相之間的互感外，還必須考慮兩套繞組不同相之間的互感。兩套繞組之間的互感為

Mij=Mm0cos(θei-θej)+Mm2cosγij

(7)

式中：i=A,B,C;j=U,V,W；Mm0=Ls0；Mm2=Ls2。

其中，

(8)

因此，雙三相PMSM的定子電感矩陣為

(9)

1.2 矩陣變換

對于三相PMSM，利用Park變換可以將各物理量從自然坐標(biāo)系A(chǔ)-B-C變換到同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d-q下，變換矩陣：

P(θe)=

(10)

對于雙三相PMSM，則可以利用兩個Park變換矩陣，將各物理量從自然坐標(biāo)系A(chǔ)-B-C-U-V-W變換到同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d-q1和d-q2下，具體的變換矩陣為

(11)

對定子電感矩陣式(9)進(jìn)行變換，可以得到

(12)

從式(12)可以看出，電感系數(shù)矩陣并不是對角矩陣，兩套繞組的d軸和q軸電感之間仍有耦合，這種耦合關(guān)系通過耦合電感Md和Mq表現(xiàn)出來。

為了進(jìn)一步消除這種耦合關(guān)系，下面引入變換矩陣T2：

(13)

對電感矩陣LT1做進(jìn)一步的變換，可以得到：

(14)

式中：Ld1=Ld+Md=3LAAd+LAAl為電感的d1軸分量；Lq1=Lq+Mq=3LAAq+LAAl為電感的q1軸分量；Ld2=Ld-Md=LAAl為電感的d2軸分量；Lq2=Lq-Mq=LAAl為電感的q2軸分量。

最終的坐標(biāo)變換矩陣為

Tdq=T2T1=

(15)

在坐標(biāo)變換矩陣式(15)下，雙三相PMSM在d1-q1子空間的電壓方程為

(16)

式中：ud1和uq1分別為定子電壓的d1、q1軸分量；id1和iq1分別為定子電流的d1、q1軸分量。

d1-q2子空間的電壓方程為

(17)

式中：ud2和uq2分別為定子電壓的d2、q2軸分量;id2和iq2分別為定子電流的d2、q2軸分量。

電磁轉(zhuǎn)矩方程：

Te=3p[ψfiq1+(Ld1-Lq1)id1iq1]

(18)

特別地，本文分析的是表貼式PMSM，其滿足Ld1=Lq1，因此，id1的參考電流通常被設(shè)置為0。此外，id2和iq2對電磁轉(zhuǎn)矩的產(chǎn)生沒有任何貢獻(xiàn)，反而會增加定子銅耗，為了提高電流利用效率，id2和iq2的參考電流也被設(shè)置為0。

1.3 故障模型

假設(shè)第二套繞組的W相發(fā)生開路故障，記故障狀態(tài)下的電流向量為

(19)

d-q子空間的電流為

(20)

在故障情況下，雙三相PMSM第二套繞組的各相電流應(yīng)滿足：

(21)

同時，剩余健康相的電流應(yīng)盡量控制為正弦波形，從而減小其中的諧波含量，以降低諧波損失。因此，對第一套繞組的各相電流施加約束，使其與正常狀態(tài)下的相電流相等：

(22)

利用坐標(biāo)變換矩陣式(15)對故障狀態(tài)下電流式(19)進(jìn)行坐標(biāo)變換，根據(jù)約束條件式(21)和式(22)，可以得到：

(23)

類似于式(22)，控制U相的幅值IU和相位φU，使其滿足：

iUf=IUcos(θe-φU)

(24)

那么故障狀態(tài)下的電磁轉(zhuǎn)矩：

(25)

定義

Tef=Te0+Te2

(26)

從式(26)可以看出，與正常狀態(tài)下的電磁轉(zhuǎn)矩相比，故障狀態(tài)下電磁轉(zhuǎn)矩減小，同時相電流中二次諧波的存在會造成轉(zhuǎn)矩脈動。

2 基于一種改進(jìn)GWO算法的電流優(yōu)化容錯控制

基于故障模型，推導(dǎo)出了故障狀態(tài)下的d、q軸參考電流，將開路故障的容錯控制問題轉(zhuǎn)換為參考電流的優(yōu)化問題。為了在獲得最大平均轉(zhuǎn)矩的同時，能夠保證轉(zhuǎn)矩脈動最小，采用一種改進(jìn)GWO算法進(jìn)行參考電流的多目標(biāo)尋優(yōu)。

2.1 問題描述

假設(shè)d-q子空間電流和故障狀態(tài)下的U相電流滿足：

(27)

式中：Id1,0和Iq1,0為基波幅值；Id1,2、Iq1,2為二次諧波分量的幅值；φd和φq為二次諧波分量的相位角。

代入式(23)，可以得到：

(28)

容錯控制方案是通過優(yōu)化故障狀態(tài)下d-q子空間的電流，使電磁轉(zhuǎn)矩的平均值最大，同時脈動最小。表貼式PMSM通常采用Id1,0=0的矢量控制方法，Iq1,0可以通過負(fù)載轉(zhuǎn)矩的大小來確定。因此，可以通過優(yōu)化二次諧波分量的幅值Id1,2、Iq1,2和相角φd、φq，以及U相電流的幅值IU和相位φU，獲得最大平均轉(zhuǎn)矩，同時使轉(zhuǎn)矩脈動最小。

至此，將雙三相PMSM在一相開路故障狀態(tài)下的容錯控制問題轉(zhuǎn)化為了d、q軸參考電流的多目標(biāo)優(yōu)化問題。下面提出一種KPGWO算法解決該多目標(biāo)優(yōu)化問題。

2.2 基于KPGWO算法的電流優(yōu)化

2.2.1 KPGWO算法

傳統(tǒng)的GWO算法模擬狼群的狩獵行為，主要分為包圍、逼近和捕食3個環(huán)節(jié)。

首先，狼群包圍獵物這一過程的數(shù)學(xué)描述為

D=|C·Xp(t)-X(t)|

(29)

X(t+1)=Xp(t)-A·D

(30)

式中：D為個體與獵物間的距離向量；X為灰狼的位置更新向量；t為目前的迭代代數(shù)；Xp為獵物的位置向量；A=2a·r1-a和C=2·r2為系數(shù)向量；a為收斂因子；r1和r2的模取[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

其次，狼群逼近獵物這一過程的數(shù)學(xué)描述為

(31)

式中：Dα、Dβ和Dδ分別表示3只頭狼α、β和δ與其他個體間的距離；Xα、Xβ和Xδ則表示其當(dāng)前的位置；C1、C2和C3表示隨機(jī)向量；X為當(dāng)前灰狼的位置。

(32)

(33)

式(32)分別定義了狼群中ω灰狼個體朝向α、β和δ前進(jìn)的步長和方向，式(33)定義了ω個體的最終位置。

最后，狼群進(jìn)行捕食的行為數(shù)學(xué)描述為隨著迭代次數(shù)的增加，a從2減小到0。當(dāng)|A|>1時，狼群比較分散，算法開始進(jìn)行全局搜索；當(dāng)|A|≤1時，狼群集中對獵物進(jìn)行攻擊，即算法進(jìn)行局部尋優(yōu)。

針對傳統(tǒng)的GWO算法隨機(jī)初始種群分布不均勻、易陷入局部最優(yōu)等缺點，做出以下改進(jìn)。

(1) 引入Kent混沌映射?；煦缬成湓谝粋€區(qū)間內(nèi)往往能夠遍歷但不重復(fù)地包含所有點，因此在智能優(yōu)化算法中得到了廣泛的應(yīng)用。相比于傳統(tǒng)的Logistic混沌映射，Kent混沌映射具有更加良好的遍歷均勻性，所以利用Kent混沌映射產(chǎn)生的初始灰狼種群分布更加均勻，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

xi(t+1)=

(34)

式中：xi(t)表示第i個個體在第t代的位置；α為控制參數(shù)，α∈(0,1)，當(dāng)α=0.4時，其概率密度函數(shù)在(0,1)內(nèi)均勻分布。

(2) 融合粒子群算法個體保留機(jī)制。傳統(tǒng)GWO算法只考慮了種群中適應(yīng)度最好的3只頭狼的引導(dǎo)作用，忽略了其他灰狼個體本身的搜索能力，容易導(dǎo)致算法沿著某個方向陷入局部最優(yōu)，降低尋優(yōu)效率。除3只頭狼以外，ω灰狼個體在歷次迭代過程中必然存在一個最優(yōu)值，因此可以通過這個最優(yōu)值來指導(dǎo)灰狼個體進(jìn)行自我搜索。受到粒子群算法的啟示，可以通過保留最優(yōu)個體來保證其他灰狼個體的搜索能力，從而降低算法陷入局部最優(yōu)的概率。

在式(33)位置更新的基礎(chǔ)上，再引入粒子群算法的種群個體位置更新公式：

X′i(t+1)=Xi(t+1)+r·[Xibest-Xi(t+1)]

(35)

式中：r為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)；Xibest為第i個體在t代內(nèi)的最優(yōu)位置。

(3) 引入局部收斂破壞機(jī)制。在GWO算法迭代尋優(yōu)過程中，當(dāng)最優(yōu)解在連續(xù)多次迭代都沒有更新的情況下，可以認(rèn)為算法存在停滯收斂的可能，或者說目前取得的最優(yōu)解是一個局部最優(yōu)解。具體實現(xiàn)過程中，可以通過停滯更新疊加環(huán)節(jié)來記錄這一過程。一次迭代結(jié)束之后，如果最優(yōu)解沒有更新，停滯更新次數(shù)加一，反之清零，繼續(xù)迭代尋優(yōu)，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)。當(dāng)停滯更新次數(shù)達(dá)到閾值時，說明現(xiàn)在獲得的解可能是全局最優(yōu)解，但更有可能是現(xiàn)有個體不具備繼續(xù)尋優(yōu)的能力，即算法陷入了局部收斂的情況。

綜上，所提KPGWO算法流程圖如圖1所示。

2.2.2 基于KPGWO算法的多目標(biāo)優(yōu)化

式(28)中，待優(yōu)化的參數(shù)記為

(36)

兩個優(yōu)化目標(biāo)可表示為

(37)

適應(yīng)度函數(shù)選擇為

(38)

式中：α1和α2為大于0的加權(quán)因子，其值越大表明對相應(yīng)的性能指標(biāo)越重視。

為了保證故障狀態(tài)下電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩也能匹配負(fù)載轉(zhuǎn)矩的需求，容錯控制的目標(biāo)是在獲得最大平均轉(zhuǎn)矩的前提下，轉(zhuǎn)矩脈動最小，因此α1需要比α2大，最終F的值越小，說明當(dāng)前個體的適應(yīng)度越好。本文所提控制方法的控制框圖如圖2所示。由圖2可以看出，該方法不涉及對原本的磁場定向控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的任何更改，在原有控制結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，當(dāng)發(fā)生開路故障時，只需切換d、q軸參考電流即可實現(xiàn)故障狀態(tài)下的容錯控制。

3 仿真驗證與分析

3.1 KPGWO算法驗證

為了驗證KPGWO算法所采用的Kent混沌映射相較于隨機(jī)初始化以及Logistic混沌映射所得到的初始種群分布更為均勻，首先利用rand函數(shù)直接隨機(jī)生成一個50×50的隨機(jī)種群。然后取隨機(jī)種群矩陣的第一行作為混沌種群的初始值，按照Kent映射公式迭代1 000次，取最后50行得到一個50×50的混沌種群，并采用同樣的方式生成一個Logistic映射種群。最后利用一種有限集點分布均勻性度量方法[17]分別計算3種種群的分布均勻度值。為了減小結(jié)果的偶然性，3種方法按照上述步驟分別生成4組種群，計算結(jié)果如表1所示。

表1 種群分布均勻度值

表1的結(jié)果表明Kent混沌映射所得到的初始種群的均勻度指標(biāo)更小，說明其比隨機(jī)初始化種群與Logistic混沌映射種群的分布更加均勻。

此外，為了驗證KPGWO算法的迭代速度與收斂精度，采用一個最小值為0的二階經(jīng)典多峰函數(shù)Rastrigin作為目標(biāo)函數(shù)，取值范圍為[-5,5]，迭代次數(shù)為50次，測試其迭代尋優(yōu)速度。同時，對比經(jīng)典的遺傳算法(GA)和傳統(tǒng)的GWO算法，迭代尋優(yōu)過程如圖3所示。

由圖3可以看出，所提KPGWO算法的迭代收斂速度明顯快于其他2種方法，同時收斂精度高，沒有陷入局部最優(yōu)的情況。

3.2 一相開路故障下容錯控制驗證

在MATLAB/Simulink中搭建仿真模型，雙三相PMSM采用的參數(shù)如表2所示。

表2 雙三相PMSM參數(shù)

設(shè)定電機(jī)目標(biāo)轉(zhuǎn)速為6 000 r/min，負(fù)載轉(zhuǎn)矩為15.9 N·m，直流側(cè)電壓為380 V，開關(guān)頻率為20 kHz。轉(zhuǎn)速環(huán)的PI參數(shù)為0.04和0.58，d1-q1子空間電流環(huán)PI參數(shù)為20和10，d2-q2子空間電流環(huán)的PI參數(shù)為10和5。仿真時間為1 s，其中0～0.4 s為正常狀態(tài)，0.4 s時W相發(fā)生開路故障，0.8 s切換到容錯控制方案下運行。

正常狀態(tài)下電機(jī)d-q子空間電流與各相電流的變化情況如圖4所示，可以看出，定子電流的大小與參考值相符；各相電流不存在明顯的諧波畸變，2套繞組各相電流幅值之間的相位差符合實際情況。

電機(jī)轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩變化情況如圖5所示。電機(jī)轉(zhuǎn)速達(dá)到了目標(biāo)轉(zhuǎn)速，響應(yīng)速度快，沒有出現(xiàn)超調(diào)；轉(zhuǎn)矩變化平穩(wěn)，沒有出現(xiàn)較大幅度的轉(zhuǎn)矩脈動。

0.4 s時發(fā)生開路故障，從圖6可以看出W相電流變?yōu)?，轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩出現(xiàn)了明顯的突變，穩(wěn)定后轉(zhuǎn)速在5 993～6 008 r/min-1之間波動，轉(zhuǎn)矩在10.42～21.55 N·m之間波動。

0.8 s時切換到容錯控制，KPGWO算法選取的種群數(shù)量為50，迭代次數(shù)為300，停滯更新閾值為10，Id1,2、Iq1,2和IU的尋優(yōu)范圍分別為[0,10]、[0,50]和[0,60]，Iq1,0的值為34.25 A。取適應(yīng)度函數(shù)的參數(shù)α1為100，取參數(shù)α2為1，迭代結(jié)束后得到其適應(yīng)度函數(shù)變化情況如圖7所示。

最終得到的最優(yōu)參數(shù)值為

此時，d、q軸電流的參考值與各相電流的變化情況如圖8所示。

容錯運行狀態(tài)下電機(jī)轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩變化情況如圖9所示，同時與傳統(tǒng)的降維矢量容錯控制方法[18]相比，可以看出本文所提出的方法在轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩變化過程中的波動明顯更小。

4 結(jié) 語

本文針對雙三相PMSM一相開路故障，提出了一種基于電流優(yōu)化的容錯控制方案，主要結(jié)論如下。

(1) 針對雙三相PMSM的數(shù)學(xué)模型在傳統(tǒng)同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下存在交叉耦合的問題，推導(dǎo)出一種解耦的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換矩陣，并建立一相開路故障模型。經(jīng)分析，d、q軸電流以及相電流中的諧波分量是造成轉(zhuǎn)矩脈動的原因，在此基礎(chǔ)上將容錯控制問題轉(zhuǎn)換為參考電流的優(yōu)化問題。

(2) 針對傳統(tǒng)灰狼優(yōu)化算法初始種群不均勻、易陷入局部最優(yōu)的情況，提出了一種KPGWO算法，用于d、q軸參考電流參數(shù)的尋優(yōu)，算例與仿真的結(jié)果證明了該方法的優(yōu)越性。

(3) 本文所提方法不會改變系統(tǒng)原本的控制結(jié)構(gòu)，可以實現(xiàn)正常狀態(tài)與故障狀態(tài)之間的平滑切換，與傳統(tǒng)方法的對比證明了該方法的有效性。