賀豐源，周 桐，王錦輝

(上海交通大學 物理與天文學院，上海 200240)

耦合擺作為經典力學中非常有趣的物理現(xiàn)象，在教學中占據重要的地位。通常采用兩個輕質剛性桿，一端固定可自由轉動，另一端固定一擺錘，兩個剛性桿之間由彈簧或彈性片耦合[1]。利用智能手機的傳感器搭建的各種居家實驗近年來得到廣泛開展。例如利用手機和小磁鐵可以測量重力加速度[2]，利用手機和蒸籠組成的三線擺可以測量轉動慣量[3]。但利用手機傳感器來研究耦合擺，尚未見文獻報道。

1 原理簡述

1.1 小角度無阻尼耦合雙擺運動方程

耦合擺示意圖如圖1所示。

圖1 耦合擺示意圖

兩相同的剛性無阻尼振動擺，中間通過一彈簧相連形成耦合擺，由于中央彈簧的作用，耦合擺平衡位置并不是豎直位置，可能位于內側，也可能位于外側，這取決于彈簧的情況。

圖1中的φ1,φ2表示擺相對于平衡位置的角位移，下面列出耦合擺的運動方程：

記兩相同單擺的轉動慣量J，質心位置與棒頂端距離為L，彈簧勁度系數為k，耦合點與頂端距離為l，總質量均為m，忽略摩擦，在小角度擺動下，sinφ1≈φ1，sinφ2≈φ2，所以考慮P2不動，對P1有：重力矩：M=mgLsinφ1≈mgLφ1；彈簧力矩：M′=klΔx=kl×lφ1=kl2φ1。

那么，在擺P2偏離φ2的情況下，如果擺P1向左偏轉φ1，這時，作用在擺P1的總力矩為：

(1)

(2)

(3)

(4)

求解(3)、(4)得到：

(5)

(6)

根據(5)、(6)兩式，可得到下面三種情況的耦合擺運動：

φ1(t)=φ2(t)=φacosω0t

(7)

得：

φ1(t)=φacosω1t

(8)

φ2(t)=-φacosω1t

(9)

(10)

(11)

(12)

1.2 耦合彈簧的改進

鉤碼等效替代彈簧示意圖見圖2。

圖2 鉤碼等效替代彈簧示意圖

1.3 擺角的測量

Sebastian Staacks等人利用手機傳感器設計開發(fā)了手機物理實驗軟件Phyphox[5](Physical phone experiments縮寫)。利用Phyphox手機APP的磁力計可以間接測量擺角的大小，擺角大小與磁感應強度在x方向的分量Bx成正比[6]。因此，在該耦合擺研究實驗中，讀取磁力計x方向的數據，通過磁力計顯示的磁感應強度分量來研究耦合擺隨時間的變化規(guī)律。

2 實驗裝置

如圖3所示，為耦合擺的實驗裝置。裝置主體部分由水平支架，長直木棒，鋼針以及重物組成。在燒烤木棒靠近一端處打一小孔，將鋼針穿過小孔作為旋轉支點，再將鋼針固定在水平支架上，在木棒的另一端綁上不銹鋼塊，在不銹塊正下方粘上一塊廢舊耳機中的小磁鐵，這樣就形成了一個單擺。相同的方法制作兩個單擺，控制兩不銹鋼針保持合適距離，將尼龍線綁在兩木棒的相同位置處，再將鉤碼掛在尼龍線的中點，即得到一組耦合擺。

圖3 耦合擺實驗裝置

此外要保持智能手機磁傳感器位于木棒旋轉支點的正下方。在每根木棒上進行距離標定，在距離旋轉支點5～60 cm處每隔5 cm做一個標記，方便實驗的進行。每根不銹鋼針與水平支架邊緣垂直，控制長直木棒的擺動方向盡量在與鋼針垂直的同一平面內。

3 實驗內容

3.1 單擺周期測定

取一個單擺，轉動一個小角度(1°左右)[6]，在保持穩(wěn)定的情況下釋放利用記錄的磁感應強度x軸曲線圖讀取10個周期的時間長度10T0。同時測定單擺的參數，計算單擺周期的理論值。

如圖4所示為測定單擺時Bx隨時間的變化，可得T0為1.931 s。單擺轉動慣量由木棒與不銹鋼塊組成，轉動慣量J與D=mgL計算公式為：

圖4 單擺測量的Bx圖像

(13)

(14)

代入參數值，得到J=0.084 kg m2，D=0.918 kg m，可算出周期理論值T=1.901 s,實驗值相對誤差為1.6%。

3.2 研究耦合強度對耦合擺周期的影響

1.改變耦合點位置

選取質量為50 g的鉤碼固定于細線中央，將細線懸掛點分別固定于15、20、25、30、35、40 cm，分別研究同相位與反相位振動。

對同相位振動，如圖5所示，線性擬合斜率絕對值小于0.01，顯示周期與耦合點位置基本無關，也就是與耦合強度基本無關。T平均值為1.83 s即可得到ω0=3.43 s-1。

I/cm

可導出耦合擺反相位擺動周期與耦合距離l的關系：

(15)

l2/m2

根據圖6，可得截距為0.297 s-2，根據(15)式，可得ω0=3.43 s-1，與同相位擺動實驗中得到的ω0=3.43 s-1一致。

2.改變鉤碼質量

表1 不同鉤碼質量耦合下的周期 m0/g

3.3 耦合擺簡正振動

如圖7所示，可觀察到在簡正振動的初始條件下，兩擺的振幅呈現(xiàn)出“此消彼長”的現(xiàn)象，當擺P1振幅最大時，P2振幅最小，反之亦然。圖中可以非常清楚地體現(xiàn)出能量在兩擺之間的轉移。

t/s

測得的拍周期Tp如表2所示。

表2 不同耦合點位置的“拍”周期

根據測定的數值ω0與Ω2在同一個數量級，根據(12)式，可導出:

(16)

在改變l的過程中，k，ω0，J，均看成不變。圖8為利用式16對表2中的數據進行擬合的結果。

1/Tp/s-1

4 結 語

利用智能手機搭建簡易耦合擺裝置，定量研究了耦合擺的物理規(guī)律。在同相振動，反相振動，簡正振動這三種初始條件下，可以得到耦合擺運動方程的解析解。通過改變耦合點位置來改變耦合強度，研究了同相位振動與反相位振動頻率與耦合點位置的關系，其次對簡正振動“拍”現(xiàn)象進行研究，實驗結果與推導的理論公式基本一致。

本實驗裝置簡單并且成本很低。與通常只能用于演示的耦合擺實驗裝置相比，能進行定量測量。實驗結果與理論值相對誤差較小，可用于疫情期間的居家物理實驗。