賀豐源，周 桐，王錦輝

(上海交通大學(xué) 物理與天文學(xué)院，上海 200240)

耦合擺作為經(jīng)典力學(xué)中非常有趣的物理現(xiàn)象，在教學(xué)中占據(jù)重要的地位。通常采用兩個(gè)輕質(zhì)剛性桿，一端固定可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端固定一擺錘，兩個(gè)剛性桿之間由彈簧或彈性片耦合[1]。利用智能手機(jī)的傳感器搭建的各種居家實(shí)驗(yàn)近年來(lái)得到廣泛開(kāi)展。例如利用手機(jī)和小磁鐵可以測(cè)量重力加速度[2]，利用手機(jī)和蒸籠組成的三線擺可以測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[3]。但利用手機(jī)傳感器來(lái)研究耦合擺，尚未見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道。

1 原理簡(jiǎn)述

1.1 小角度無(wú)阻尼耦合雙擺運(yùn)動(dòng)方程

耦合擺示意圖如圖1所示。

圖1 耦合擺示意圖

兩相同的剛性無(wú)阻尼振動(dòng)擺，中間通過(guò)一彈簧相連形成耦合擺，由于中央彈簧的作用，耦合擺平衡位置并不是豎直位置，可能位于內(nèi)側(cè)，也可能位于外側(cè)，這取決于彈簧的情況。

圖1中的φ1,φ2表示擺相對(duì)于平衡位置的角位移，下面列出耦合擺的運(yùn)動(dòng)方程：

記兩相同單擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，質(zhì)心位置與棒頂端距離為L(zhǎng)，彈簧勁度系數(shù)為k，耦合點(diǎn)與頂端距離為l，總質(zhì)量均為m，忽略摩擦，在小角度擺動(dòng)下，sinφ1≈φ1，sinφ2≈φ2，所以考慮P2不動(dòng)，對(duì)P1有：重力矩：M=mgLsinφ1≈mgLφ1；彈簧力矩：M′=klΔx=kl×lφ1=kl2φ1。

那么，在擺P2偏離φ2的情況下，如果擺P1向左偏轉(zhuǎn)φ1，這時(shí)，作用在擺P1的總力矩為：

(1)

(2)

(3)

(4)

求解(3)、(4)得到：

(5)

(6)

根據(jù)(5)、(6)兩式，可得到下面三種情況的耦合擺運(yùn)動(dòng)：

φ1(t)=φ2(t)=φacosω0t

(7)

得：

φ1(t)=φacosω1t

(8)

φ2(t)=-φacosω1t

(9)

(10)

(11)

(12)

1.2 耦合彈簧的改進(jìn)

鉤碼等效替代彈簧示意圖見(jiàn)圖2。

圖2 鉤碼等效替代彈簧示意圖

1.3 擺角的測(cè)量

Sebastian Staacks等人利用手機(jī)傳感器設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)了手機(jī)物理實(shí)驗(yàn)軟件Phyphox[5](Physical phone experiments縮寫(xiě))。利用Phyphox手機(jī)APP的磁力計(jì)可以間接測(cè)量擺角的大小，擺角大小與磁感應(yīng)強(qiáng)度在x方向的分量Bx成正比[6]。因此，在該耦合擺研究實(shí)驗(yàn)中，讀取磁力計(jì)x方向的數(shù)據(jù)，通過(guò)磁力計(jì)顯示的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量來(lái)研究耦合擺隨時(shí)間的變化規(guī)律。

2 實(shí)驗(yàn)裝置

如圖3所示，為耦合擺的實(shí)驗(yàn)裝置。裝置主體部分由水平支架，長(zhǎng)直木棒，鋼針以及重物組成。在燒烤木棒靠近一端處打一小孔，將鋼針穿過(guò)小孔作為旋轉(zhuǎn)支點(diǎn)，再將鋼針固定在水平支架上，在木棒的另一端綁上不銹鋼塊，在不銹塊正下方粘上一塊廢舊耳機(jī)中的小磁鐵，這樣就形成了一個(gè)單擺。相同的方法制作兩個(gè)單擺，控制兩不銹鋼針保持合適距離，將尼龍線綁在兩木棒的相同位置處，再將鉤碼掛在尼龍線的中點(diǎn)，即得到一組耦合擺。

圖3 耦合擺實(shí)驗(yàn)裝置

此外要保持智能手機(jī)磁傳感器位于木棒旋轉(zhuǎn)支點(diǎn)的正下方。在每根木棒上進(jìn)行距離標(biāo)定，在距離旋轉(zhuǎn)支點(diǎn)5～60 cm處每隔5 cm做一個(gè)標(biāo)記，方便實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行。每根不銹鋼針與水平支架邊緣垂直，控制長(zhǎng)直木棒的擺動(dòng)方向盡量在與鋼針垂直的同一平面內(nèi)。

3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

3.1 單擺周期測(cè)定

取一個(gè)單擺，轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度(1°左右)[6]，在保持穩(wěn)定的情況下釋放利用記錄的磁感應(yīng)強(qiáng)度x軸曲線圖讀取10個(gè)周期的時(shí)間長(zhǎng)度10T0。同時(shí)測(cè)定單擺的參數(shù)，計(jì)算單擺周期的理論值。

如圖4所示為測(cè)定單擺時(shí)Bx隨時(shí)間的變化，可得T0為1.931 s。單擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由木棒與不銹鋼塊組成，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J與D=mgL計(jì)算公式為：

圖4 單擺測(cè)量的Bx圖像

(13)

(14)

代入?yún)?shù)值，得到J=0.084 kg m2，D=0.918 kg m，可算出周期理論值T=1.901 s,實(shí)驗(yàn)值相對(duì)誤差為1.6%。

3.2 研究耦合強(qiáng)度對(duì)耦合擺周期的影響

1.改變耦合點(diǎn)位置

選取質(zhì)量為50 g的鉤碼固定于細(xì)線中央，將細(xì)線懸掛點(diǎn)分別固定于15、20、25、30、35、40 cm，分別研究同相位與反相位振動(dòng)。

對(duì)同相位振動(dòng)，如圖5所示，線性擬合斜率絕對(duì)值小于0.01，顯示周期與耦合點(diǎn)位置基本無(wú)關(guān)，也就是與耦合強(qiáng)度基本無(wú)關(guān)。T平均值為1.83 s即可得到ω0=3.43 s-1。

I/cm

可導(dǎo)出耦合擺反相位擺動(dòng)周期與耦合距離l的關(guān)系：

(15)

l2/m2

根據(jù)圖6，可得截距為0.297 s-2，根據(jù)(15)式，可得ω0=3.43 s-1，與同相位擺動(dòng)實(shí)驗(yàn)中得到的ω0=3.43 s-1一致。

2.改變鉤碼質(zhì)量

表1 不同鉤碼質(zhì)量耦合下的周期 m0/g

3.3 耦合擺簡(jiǎn)正振動(dòng)

如圖7所示，可觀察到在簡(jiǎn)正振動(dòng)的初始條件下，兩擺的振幅呈現(xiàn)出“此消彼長(zhǎng)”的現(xiàn)象，當(dāng)擺P1振幅最大時(shí)，P2振幅最小，反之亦然。圖中可以非常清楚地體現(xiàn)出能量在兩擺之間的轉(zhuǎn)移。

t/s

測(cè)得的拍周期Tp如表2所示。

表2 不同耦合點(diǎn)位置的“拍”周期

根據(jù)測(cè)定的數(shù)值ω0與Ω2在同一個(gè)數(shù)量級(jí)，根據(jù)(12)式，可導(dǎo)出:

(16)

在改變l的過(guò)程中，k，ω0，J，均看成不變。圖8為利用式16對(duì)表2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的結(jié)果。

1/Tp/s-1

4 結(jié) 語(yǔ)

利用智能手機(jī)搭建簡(jiǎn)易耦合擺裝置，定量研究了耦合擺的物理規(guī)律。在同相振動(dòng)，反相振動(dòng)，簡(jiǎn)正振動(dòng)這三種初始條件下，可以得到耦合擺運(yùn)動(dòng)方程的解析解。通過(guò)改變耦合點(diǎn)位置來(lái)改變耦合強(qiáng)度，研究了同相位振動(dòng)與反相位振動(dòng)頻率與耦合點(diǎn)位置的關(guān)系，其次對(duì)簡(jiǎn)正振動(dòng)“拍”現(xiàn)象進(jìn)行研究，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與推導(dǎo)的理論公式基本一致。

本實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)單并且成本很低。與通常只能用于演示的耦合擺實(shí)驗(yàn)裝置相比，能進(jìn)行定量測(cè)量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值相對(duì)誤差較小，可用于疫情期間的居家物理實(shí)驗(yàn)。