王帥坤，吉曉瑞，呂柳杏，?？∠?，王興云，祁遇時

(1.沈陽工程學(xué)院 自動化學(xué)院，遼寧 沈陽 110136；2.沈陽工程學(xué)院 基礎(chǔ)部/美育中心，遼寧 沈陽 110136；3.沈陽工程學(xué)院 電力學(xué)院，遼寧 沈陽 110136)

三線擺測剛體的轉(zhuǎn)動慣量是大學(xué)物理實驗室常見的力學(xué)實驗，啟動盤與懸盤之間用三根擺線連接，旋轉(zhuǎn)啟動盤，由擺線帶動懸盤做周期性的小角度擺動。三線擺實驗儀有不同的型號和樣式，周期測量方式用多功能毫秒儀，起初為霍爾效應(yīng)方式記周期，后來換成光感方式記周期。就儀器本身而言，無論哪種型號，機械和電子設(shè)備精度都很高，物體的質(zhì)量和相關(guān)長度的測量誤差也非常小。誤差產(chǎn)生的主要原因是操作方法和擺線問題而引起的。擺角的大小[1,2]、擺線的長度[3,4]、懸盤半徑與擺線長度比等問題[5,6]，都會引起實驗誤差。為三線擺儀器加裝角度控制裝置，會減小實驗誤差[7]，擺線的材質(zhì)和伸長也會對實驗誤差產(chǎn)生影響。用魚線和尼龍線作為擺線，測量不同物體在質(zhì)量不斷增加過程中擺線的拉伸情況和結(jié)果誤差的大小。

1 實驗公式

實驗原理、操作過程及儀器如文獻(xiàn)[7]所示，懸盤擺角控制在15°～20°之間，懸盤的轉(zhuǎn)動慣量公式為

(1)

懸盤上放置物體后，物體轉(zhuǎn)動慣量為

(2)

式中H為啟動盤到懸盤的垂直距離，J0為懸盤的轉(zhuǎn)動慣量，J物為物體的轉(zhuǎn)動慣量，m0為懸盤的質(zhì)量，m物為物體的質(zhì)量，g為重力加速度，r0為懸盤懸線到盤中心的距離，r0為啟動盤懸線到盤中心的距離，T0為懸盤的空載振動周期平均值，T物為物體的振動周期平均值。公式中周期T的測量誤差對實驗結(jié)果的影響最大。百分誤差計算公式為

(3)

2 實驗數(shù)據(jù)測量及作圖

2.1 實驗數(shù)據(jù)測量與計算

分別用魚線和尼龍線作為擺線進(jìn)行對比實驗。圖1為被測懸盤、圓環(huán)和電木盤，用測直徑D代替測半徑對上述物體各項數(shù)據(jù)進(jìn)行測量，列在表1中。用多功能毫秒儀時間累積法測周期，表2為懸盤周期的5次測量值，每次測量20個周期算出平均值，根據(jù)(1)和(3)式以及懸盤轉(zhuǎn)動慣量理論值計算公式算出懸盤的百分誤差。

圖1 被測懸盤、圓環(huán)和電木盤

表1 各物體幾何參數(shù)測量

表2 魚線擺懸盤的周期測量和百分誤差

按照表2的方式以及(2)式，測量和計算圓環(huán)和電木盤從1個增加到6個時的周期，忽略擺線伸長，計算ERA。魚線擺增加到6個物體時，用游標(biāo)卡尺量出放置圓環(huán)，懸盤共下降2.40 mm，設(shè)懸盤均勻下降，即放置1個圓環(huán)懸盤下降0.40 mm，放置電木盤，懸盤下降1.80 mm，即放置1個電木盤懸盤下降0.30 mm。尼龍擺懸盤放置6個圓環(huán)下降1 140.00 mm，平均放置1個下降1.90 mm，放置6個電木盤下降100.00 mm，平均放置1個下降1.67 mm，再次計算ERB，將上述結(jié)果列于表3中。

表3 圓環(huán)和電木盤質(zhì)量增加過程周期平均值及百分誤差

2.2 繪制圖形

分別繪制出魚線擺線和尼龍擺線的物體數(shù)量增加與周期和百分誤差之間的關(guān)系曲線，如圖2和圖3所示。

物體數(shù)量/個

物體數(shù)量/個

3 結(jié)果分析

從剛體轉(zhuǎn)動慣量實驗公式可知，周期的測量對實驗結(jié)果的影響最為明顯[8]。從圖2可見，無論是那種擺線，隨著圓環(huán)數(shù)量的增加，擺動周期逐漸增大，隨著電木盤數(shù)量的增加，擺動周期逐漸減小。這是因為根據(jù)物體的質(zhì)量分布情況，可以將任何物體都等效成一個細(xì)棒繞一端軸轉(zhuǎn)動，細(xì)棒的等效質(zhì)心距離轉(zhuǎn)軸的距離即為回轉(zhuǎn)半徑。圓環(huán)的回轉(zhuǎn)半徑大于懸盤的回轉(zhuǎn)半徑，所以擺動周期T環(huán)>T0，電木盤的回轉(zhuǎn)半徑小于懸盤的回轉(zhuǎn)半徑，所以擺動周期T木

從圖3(a)中可見，尼龍擺的誤差要遠(yuǎn)大于魚線擺的誤差，原因是魚線的楊氏模量大于尼龍線的樣式模量，也就是魚線更硬一些，張力傳遞更好[12]。尼龍擺放置1個圓環(huán)擺線就已經(jīng)被拉緊，周期測量此時最準(zhǔn)確，但放置2個圓環(huán)，擺線迅速失去彈性，測量誤差迅速增加。魚線擺放置3個圓環(huán)時，誤差在不加絕對值時出現(xiàn)了負(fù)值，這并不是實驗誤差在減小。只要操作規(guī)范儀器測量的周期一定要比理論周期大，實測轉(zhuǎn)動慣量一定比理論值大，誤差不應(yīng)該出現(xiàn)負(fù)數(shù)值。出現(xiàn)負(fù)值的原因是懸盤在多次上下運動過程中出現(xiàn)了擺線共振[13,14]，在懸盤改變運動方向時擺線恢復(fù)力較大，加速了懸盤的運動，致使周期明顯變小，結(jié)果出現(xiàn)錯誤。圖3(b)中魚線擺在放2個電木盤時也出現(xiàn)了此種情況。隨著電木盤質(zhì)量都增加，誤差迅速增大，表現(xiàn)為曲線下降，魚線擺后半段曲線表現(xiàn)明顯。尼龍擺曲線如果繼續(xù)延長，趨勢會和魚線走勢相似。整體而言，楊氏模量大的擺線可以保持在更大的被測質(zhì)量范圍內(nèi)有較小的誤差。

4 結(jié) 語

擺線的材質(zhì)對測量結(jié)果影響非常明顯，選擇楊氏模量較大的擺線實驗結(jié)果更準(zhǔn)確。在擺線伸長較小的情況下，可以忽略擺線伸長，但擺線伸長超過2 mm后，會引入較大的實驗誤差。擺線在拉緊狀態(tài)下，由于張力傳遞順暢，實驗誤差小。在物體質(zhì)量增加時，會出現(xiàn)擺線共振情況，致使周期測量偏小，誤差增大。回轉(zhuǎn)半徑越大的物體，周期越大。