高 藝，郭志榮，侯 娟，史 芹

(石河子大學(xué) 理學(xué)院物理系，新疆 石河子 832003)

國(guó)際青年物理學(xué)家競(jìng)標(biāo)賽(IYPT)第35屆(2022年)賽題[1]第七題“Three-Sided Dice：To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence.What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?”(三面骰子：在拋硬幣時(shí)，硬幣能夠豎著立起來(lái)的情況是罕見(jiàn)的。如果一個(gè)圓柱狀骰子側(cè)面立地和兩底面立地的概率相等，那么這個(gè)骰子應(yīng)當(dāng)具備什么樣的物理和幾何特征？)。

骰子是具有某種“對(duì)稱性”的物體，有質(zhì)量分布和幾何形狀兩個(gè)要素。最簡(jiǎn)單的是兩要素非耦合的骰子，即質(zhì)量分布均勻的規(guī)則體。另外，投擲過(guò)程中受作用(如落地撞擊等)而變形也會(huì)影響某種概率。本文不討論變形情況，即質(zhì)量分布均勻剛體圓柱狀骰子。

1 幾何特征

滿足賽題要求的圓柱狀骰子的幾何特征主要是高H和底面半徑R的關(guān)系決定。聯(lián)想到投擲球狀物體時(shí)，球面上任意點(diǎn)立地的概率相等，設(shè)想在柱體外接一球面，如圖1所示，側(cè)面和兩底映射到球面上面積相等時(shí)，可確定骰子的幾何特征。不難得到

圖1

(1)

這與文獻(xiàn)[2]用計(jì)算機(jī)模擬得到結(jié)果有甚微相差，這個(gè)差異是由棱先著地，然后翻向底面或側(cè)面的概率不同引起的。

接下來(lái)圓柱狀骰子棱上某點(diǎn)觸地會(huì)導(dǎo)致概率不均，這也是下文運(yùn)動(dòng)特征討論的重點(diǎn)。

2 運(yùn)動(dòng)特征

棱觸地后，骰子最終哪面立地，是由觸地初態(tài)和環(huán)境(重力、阻尼)作用下的動(dòng)力學(xué)過(guò)程決定，討論簡(jiǎn)單，下面在不考慮阻力的情況下，分析柱體狀骰子的穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)，然后由轉(zhuǎn)速與章動(dòng)角的函數(shù)單調(diào)性定性地給出因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致的概率差異。

2.1 繞體對(duì)角線自旋

2.1.1 動(dòng)力學(xué)方程

如圖2所示，建立固定坐標(biāo)系O-XYZ和本體坐標(biāo)系o-xyz。觸地點(diǎn)為O點(diǎn)，O與o重合，旋轉(zhuǎn)軸作為oz。不計(jì)阻力，并且節(jié)線與X軸重合時(shí)計(jì)時(shí)，柱體狀骰子的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為[3]。

圖2 繞對(duì)角線自旋

(2)

2.1.2 自旋與進(jìn)動(dòng)

采用前文的幾何特征，設(shè)柱體繞x，y，z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別是Ix，Iy，Iz。柱體平動(dòng)動(dòng)能T1和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能T2分別為

(3)

(4)

取XOY面為零勢(shì)面，系勢(shì)能為

V=mgHcosθ.

(5)

則圓柱狀骰子運(yùn)動(dòng)的拉格朗日方程[4]為

(6)

其中

f(θ)=(mH2+Iy-Iz)cosθ.

(7)

拉氏函數(shù)中不顯含φ和ψ，由φ和ψ循環(huán)坐標(biāo)可以得到兩個(gè)初值決定的積分常數(shù)如下。

(8)

(9)

式(7)可求得進(jìn)動(dòng)角速度

(10)

2.1.3 章動(dòng)

設(shè)體系總能量E(初始條件確定)。定義新的能量和有效勢(shì)能[5]并對(duì)能量式簡(jiǎn)化。

(11)

其中

(12)

(13)

由(11)式知V′≤E′，如圖3所示，可得θ1<θ<θ2，這里

圖3 章動(dòng)角范圍

(14)

2.1.4 概率分析

2.2 繞柱對(duì)稱軸自旋

(15)

3 結(jié) 語(yǔ)

本文討論了國(guó)際青年物理學(xué)家競(jìng)標(biāo)賽(IYPT)第35屆(2022年)賽題的第七題，圓柱形骰子的幾何參數(shù)和運(yùn)動(dòng)特征。在均質(zhì)剛體圓柱形骰子的假設(shè)下，本文認(rèn)為骰子立地概率主要由幾何特征決定，而運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致概率變化主要是柱體棱邊著地的時(shí)候才出現(xiàn)，因此在不考慮阻力的情況下，就柱棱觸地時(shí)能穩(wěn)定不倒的情況進(jìn)行了轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的分析。結(jié)果顯示，棱點(diǎn)觸地后且要滿足很嚴(yán)格的運(yùn)動(dòng)(轉(zhuǎn)動(dòng))狀態(tài)才能保持穩(wěn)定不倒。在對(duì)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)由角速度與章動(dòng)角的函數(shù)關(guān)系的單調(diào)性分析，能獲得轉(zhuǎn)動(dòng)角速度小時(shí)章動(dòng)角的變化趨勢(shì)可定性地得出立地面的概率差異。當(dāng)然，更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠懻搼?yīng)該是直接在建模時(shí)就考慮阻力的情況下進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)分析，理論分析會(huì)復(fù)雜很多。