宋 波

(華南師范大學(xué)附屬北滘?qū)W校中學(xué)部，廣東佛山，528311)

數(shù)學(xué)問(wèn)題可分為結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題和結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，前者是初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和解決問(wèn)題的方法與途徑都很明確的問(wèn)題，而后者是這三者中至少有一個(gè)沒(méi)有明確界定的問(wèn)題.結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題并不是這個(gè)問(wèn)題本身有什么錯(cuò)誤或是不恰當(dāng)，而是指它沒(méi)有明確的結(jié)構(gòu)或解決的途徑.本文對(duì)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題作些探索.

1 對(duì)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的主要特征有：(1) 問(wèn)題條件或數(shù)據(jù)部分缺失或冗余；(2) 問(wèn)題目標(biāo)界定不明確；(3) 具有多種解決方法、途徑；(4) 具有多種評(píng)價(jià)解決方法的標(biāo)準(zhǔn)；(5) 所涉及的概念、規(guī)則和原理等不確定.

學(xué)生學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的試題一般都是結(jié)構(gòu)良好的試題，條件不多不少，需要解決的問(wèn)題目標(biāo)明確，有規(guī)范的思路和解法.然而現(xiàn)實(shí)生活和職業(yè)生涯中的問(wèn)題多是結(jié)構(gòu)不良型，解決結(jié)構(gòu)良好與不良這兩類(lèi)問(wèn)題所需要的技巧和能力有所不同，也就是說(shuō)可以出色地解決課堂上的結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題并不能保證可以成功地解決現(xiàn)實(shí)生活中的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題.結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題具有條件模糊、解決方案多樣、 結(jié)果開(kāi)放等特點(diǎn)，其解決過(guò)程能有效激發(fā)學(xué)生求知欲、幫助學(xué)生多角度把握問(wèn)題本質(zhì)、追尋知識(shí)背后的價(jià)值、形成跨學(xué)科綜合解決問(wèn)題的關(guān)鍵能力.因此，解決結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題對(duì)考查學(xué)生的素養(yǎng)和能力，發(fā)揮考試的選拔功能、促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的養(yǎng)成和能力的提升具有深遠(yuǎn)意義.

2019年12月由教育部考試中心發(fā)布的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中明確指出：高考要在考查《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上重點(diǎn)檢測(cè)學(xué)生的理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索以及數(shù)學(xué)文化的發(fā)展水平.要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性的考查要求，就需要借助問(wèn)題情境作為考查載體，尤其對(duì)應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查往往需要借助開(kāi)放性的生活實(shí)踐問(wèn)題情境或?qū)W習(xí)探索問(wèn)題情境，要求學(xué)生在正確思想觀念的引領(lǐng)下、在開(kāi)放性的綜合情境中創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，進(jìn)而形成創(chuàng)造性的結(jié)果或者結(jié)論.因此，選取實(shí)際生活中的問(wèn)題，通過(guò)提供多種形式的素材，命制結(jié)論開(kāi)放、解法多樣、甚至答案不唯一的試題是滿足考查學(xué)生學(xué)以致用、應(yīng)對(duì)生活實(shí)踐問(wèn)題情境所具備的學(xué)科核心素養(yǎng)的需要.當(dāng)前，結(jié)構(gòu)不良試題在高考中占據(jù)的比例越來(lái)越高，出現(xiàn)的頻次也越來(lái)越多，符合新高考改革的教育發(fā)展要求.

2 結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的類(lèi)型和解題策略

在問(wèn)題初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和問(wèn)題解決模式這三個(gè)要素中，局部加入不確定性，使問(wèn)題呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良的屬性，以滿足在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)水平進(jìn)行考查的要求，故高考試題中結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題有以下四種常見(jiàn)類(lèi)型.

2.1 已知條件不明確的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題

例1(2020年高考北京卷第17題)在△ABC中，a+b=11，再?gòu)臈l件①與條件②中選擇一個(gè)作為已知條件，求：

(1)a的值；

(2) sinC和△ABC的面積.

圖1

例2(2022年高考北京卷第17題)在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分別為A1B1，AC的中點(diǎn).

(Ⅰ) 求證：MN∥平面BCC1B1；

(Ⅱ) 再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.

條件①：AB⊥MN；

條件②：BM=MN.

解題分析：試題以直三棱柱為背景考查線面關(guān)系，第Ⅱ問(wèn)給出了兩個(gè)等價(jià)條件，讓學(xué)生從位置和度量?jī)蓚€(gè)方面進(jìn)行選擇，已知條件不明確，但目標(biāo)結(jié)論明確唯一，增強(qiáng)了試題的靈活性，重點(diǎn)考查空間線面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化和向量坐標(biāo)運(yùn)算的優(yōu)勢(shì).不論選擇哪一個(gè)條件作為已知，都需要先通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评磉M(jìn)行空間線面位置的轉(zhuǎn)化，才能推出AB、BC、BB1兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算使問(wèn)題得以解決.相比較條件②，選擇條件①作為已知，推理轉(zhuǎn)化會(huì)比較容易.

解題策略：已知條件不明確的結(jié)構(gòu)不良試題多以問(wèn)題的條件缺失和條件冗余兩種方式呈現(xiàn)，需要學(xué)生結(jié)合問(wèn)題情境補(bǔ)充或者選擇合理的條件甚至需要對(duì)條件信息進(jìn)行加工處理才能完成對(duì)既定問(wèn)題的解答.

2.2 目標(biāo)不明確的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題

例3(2021年高考全國(guó)乙卷理科第16題)以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為(寫(xiě)出符合要求的一組答案即可).

解題分析：試題以圖①為正視圖，條件明確，答案為②⑤或③④，目標(biāo)不明確.從三棱錐的幾何性質(zhì)分析來(lái)看，發(fā)現(xiàn)按照“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的原則尋找三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖，側(cè)視圖只能是②或③.

假設(shè)側(cè)視圖為②，圖形中的長(zhǎng)度為圖中標(biāo)注，平面PAC⊥平面ABC，AC=2，

圖2

圖3

圖4

例4(2022年高考新課程Ⅰ卷第14題)寫(xiě)出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程.

解題策略：對(duì)于已知條件明確目標(biāo)不明確的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，需要學(xué)生以明確的條件為依據(jù)，在分類(lèi)討論的基礎(chǔ)上綜合研判問(wèn)題結(jié)果的所有情況，根據(jù)自己的能力水平選擇思路簡(jiǎn)單、運(yùn)算量小、易得分的某一種結(jié)論解答即可.

2.3 已知條件和目標(biāo)都不明確的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題

(Ⅰ) 求C的方程；

①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|.

解題分析：試題以雙曲線為背景，考查解析幾何的思想和方法，理性思維突出，對(duì)邏輯思維能力和運(yùn)算能力要求較高，難度較大.第Ⅱ問(wèn)給出三個(gè)條件，要求從中選取兩個(gè)作為已知條件，證明另一個(gè)條件成立，故共有三種選法，有效增強(qiáng)了試題的開(kāi)放性，給學(xué)生提供了選擇的自由度和發(fā)揮空間，有利于對(duì)學(xué)生思維水平和創(chuàng)新能力的考查.

解題策略：已知條件和目標(biāo)都不明確的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題可以采取條件開(kāi)放和結(jié)論開(kāi)放的形式構(gòu)建，從而使問(wèn)題的初始狀態(tài)和最終狀態(tài)呈現(xiàn)不確定性.因?yàn)檫@類(lèi)問(wèn)題的條件、結(jié)論都不確定或不太明確，由學(xué)生根據(jù)要求作出條件和結(jié)論的選擇，確定條件和結(jié)論后進(jìn)行作答即可.這類(lèi)問(wèn)題入口寬闊，但對(duì)考生快速判斷、識(shí)別和選擇能力要求較高.問(wèn)題解決的難度較大，更能反映學(xué)生靈活應(yīng)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)在新的問(wèn)題情境中解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力.

2.4 問(wèn)題解決模式不明確的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題

例7(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則

( )

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

試題評(píng)析：試題的條件中只給了一個(gè)等式，結(jié)論中需要判斷4個(gè)不等式是否成立，這類(lèi)問(wèn)題的呈現(xiàn)方式較為新穎，學(xué)生沒(méi)有熟悉的問(wèn)題解決模式而且缺乏此類(lèi)問(wèn)題的解決經(jīng)驗(yàn).需要在觀察式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上對(duì)等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃翁幚?，得?a+log2a=22b+log22b-1，從而借助符合條件的函數(shù)f(x)=2x+log2x的基本性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.因?yàn)閒(2b)-f(a)=1>0，即f(2b)>f(a)，且函數(shù)f(x)=2x+log2x是(0，+∞)上的增函數(shù)，所以2b>a>0，故選B.

解題策略：?jiǎn)栴}解決模式不明確指的是由于問(wèn)題中所給的信息較多，而且對(duì)即將解決的問(wèn)題沒(méi)有熟悉的或可供參考的解決方案，需要學(xué)生結(jié)合具體問(wèn)題篩選有用的信息擬定問(wèn)題解決路徑，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的解答.此類(lèi)高考試題在創(chuàng)制時(shí)，問(wèn)題的初始狀態(tài)往往以學(xué)生熟悉的內(nèi)容為基礎(chǔ)，但常立足于知識(shí)交匯，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新性，由于問(wèn)題的呈現(xiàn)方式較為新穎，難度處于中等偏上.當(dāng)知識(shí)的聯(lián)結(jié)和解題模式超出學(xué)生既有的經(jīng)驗(yàn)時(shí)，解決問(wèn)題的操作模式就會(huì)變得模糊和不確定，需要學(xué)生創(chuàng)造性地建構(gòu)解題路徑，探尋解題的方法.

3 教學(xué)啟示

對(duì)于解決結(jié)構(gòu)不良的數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要重構(gòu)問(wèn)題給出的信息，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行充分的表征和分析，探尋問(wèn)題解決的路徑，樹(shù)立評(píng)價(jià)意識(shí)，要隨時(shí)對(duì)解題路徑的設(shè)計(jì)規(guī)劃、解題操作、最終效果進(jìn)行評(píng)估.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生既是一名問(wèn)題解決方案的設(shè)計(jì)者，也是一個(gè)問(wèn)題解決的操作者.應(yīng)用場(chǎng)景多元、思考方式多元、解決方法多元、結(jié)論多元、評(píng)價(jià)多元，決定了合理運(yùn)用結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決模式的學(xué)習(xí)、認(rèn)知與元認(rèn)知能力提升、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升、創(chuàng)造性才能的培養(yǎng)都是十分有利的.特別是在大規(guī)模數(shù)學(xué)考試中運(yùn)用的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，能發(fā)揮出許多結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題所不具備的優(yōu)勢(shì)，更為深入地評(píng)價(jià)學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中的判斷能力、思辨能力、創(chuàng)新能力、探究能力，促進(jìn)學(xué)生形成應(yīng)對(duì)未來(lái)的生活和挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

數(shù)學(xué)是形式化的科學(xué)，不同的數(shù)學(xué)形式有不同的結(jié)構(gòu)特征，不同的結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)著不同的解題思想方法.數(shù)學(xué)解題中，不論結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題還是結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，都應(yīng)立足于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，利用結(jié)構(gòu)所呈現(xiàn)的形式、特征與功能，通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)的感知、識(shí)別、聯(lián)想、歸納、類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、建構(gòu)等認(rèn)知方式實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決.教學(xué)中，重視問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從形式和結(jié)構(gòu)著手，選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法，強(qiáng)化通性通法，淡化技巧，旨在優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì).