胡景月

(南京市雨花臺(tái)中學(xué)，江蘇南京，210000)

與三角形的“心”有關(guān)的問(wèn)題，是巧妙融合初中與高中知識(shí)的一類(lèi)綜合應(yīng)用問(wèn)題，也是很多同學(xué)處理起來(lái)比較困難的一類(lèi)問(wèn)題．而三角形的外心經(jīng)常與平面向量加以交匯，巧妙融合了平面幾何中的三角形與圓這兩個(gè)基本圖形，同時(shí)隱含著對(duì)應(yīng)的垂直關(guān)系，以平面向量的數(shù)量積的不同形式來(lái)創(chuàng)設(shè)，情境創(chuàng)新，應(yīng)用性強(qiáng)，是平面向量與解三角形問(wèn)題中比較熱點(diǎn)的一類(lèi)題型，倍受各方關(guān)注．

1 數(shù)量積的值

A． 16 B. 8 C. 24 D. 32

分析：根據(jù)題目條件，通過(guò)平面幾何圖形的直觀形象，結(jié)合平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，通過(guò)平面向量的數(shù)量積公式加以展開(kāi)，合理分解與轉(zhuǎn)化，并利用投影的幾何意義加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，進(jìn)而得以確定對(duì)應(yīng)平面向量的數(shù)量積的值．

圖1

解析：如圖所示，取AB的中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)OD，依題意可得OD⊥AB，

故選擇答案：D．

點(diǎn)評(píng)：借助三角形外心的幾何特征與結(jié)構(gòu)性質(zhì)，利用平面幾何中輔助線(xiàn)的構(gòu)建確定對(duì)應(yīng)邊之間的垂直關(guān)系，從而為進(jìn)一步利用平面向量的數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化提供依據(jù)，方便數(shù)量積公式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，特別是投影的幾何意義的應(yīng)用以及兩垂直平面向量的數(shù)量積為零等性質(zhì)，為解決平面向量的數(shù)量積的值指明方向．

2 數(shù)量積的最值

A． 0 B. 1 C. 3 D. 5

分析：根據(jù)題目條件，通過(guò)正弦定理確定三角形的外接圓的半徑，由此確定三角形邊的取值范圍，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，結(jié)合三角形外心的性質(zhì)，利用平面向量中投影的幾何意義以及余弦定理的平面向量公式分別確定對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而確定所求數(shù)量積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)確定最值問(wèn)題．

圖2

結(jié)合三角形的外接圓的幾何性質(zhì)，則有b∈(0，2]，

如圖所示，延長(zhǎng)AO交外接圓O于點(diǎn)D，連接BD，CD，

由于AD是外接圓O的直徑，則有AB⊥BD，AC⊥CD，

點(diǎn)評(píng)：抓住三角形外心的幾何性質(zhì)，從“數(shù)”的視角內(nèi)涵上確定三角形邊長(zhǎng)的取值范圍，又從“形”的視角實(shí)質(zhì)上確定平面幾何中的垂直關(guān)系，兩者綜合應(yīng)用，進(jìn)一步將平面向量中投影的幾何意義、余弦定理的平面向量公式等加以融合，有“數(shù)”的內(nèi)涵，有“形”的特征，創(chuàng)新新穎．

3 代數(shù)式的值

分析：根據(jù)題目條件，利用平面向量的線(xiàn)性關(guān)系，通過(guò)平面向量數(shù)量積公式，結(jié)合三角形外心的性質(zhì)，利用平面向量中投影的幾何意義，從兩個(gè)不同層面構(gòu)建對(duì)應(yīng)的數(shù)量積關(guān)系式，進(jìn)而確定兩個(gè)不同的線(xiàn)性關(guān)系式，結(jié)合線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題來(lái)分析與處理，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的代數(shù)式的取值問(wèn)題．

解析：如圖所示，連接OB，OC，

圖3

點(diǎn)評(píng)：解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是從題中平面向量的線(xiàn)性關(guān)系的“數(shù)”的性質(zhì)，綜合三角形外心的“形”的特征，數(shù)形結(jié)合，利用三角形的外心的性質(zhì)以及投影的幾何意義加以應(yīng)用，合理構(gòu)建滿(mǎn)足條件的關(guān)系式，為進(jìn)一步代數(shù)式的求值提供條件．“數(shù)”與“形”的合理融合與巧妙過(guò)渡，共同實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決與應(yīng)用．

4 綜合問(wèn)題

例4(多選題)已知點(diǎn)O是△ABC的外心，則( ).

分析：根據(jù)題目條件，以點(diǎn)O是△ABC的外心，結(jié)合各選項(xiàng)中不同的條件，借助平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積公式、投影的幾何意義以及平面向量的夾角公式等加以轉(zhuǎn)化與運(yùn)算，從而實(shí)現(xiàn)命題真假的判定．

對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)AB中點(diǎn)為M，則OM⊥AB，如圖所示，

圖4

故選擇答案：BCD．

點(diǎn)評(píng)：借助三角形外心的問(wèn)題背景，可以交匯與融合平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積公式、投影的幾何意義以及平面向量的夾角公式等眾多的平面向量知識(shí)，結(jié)合多選題、命題真假判定等形式來(lái)設(shè)置，實(shí)現(xiàn)綜合問(wèn)題的展示與應(yīng)用．此類(lèi)綜合應(yīng)用問(wèn)題，可以滲透更多的知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)能力等，充分考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．

根據(jù)不同場(chǎng)景下三角形外心問(wèn)題的巧妙創(chuàng)設(shè)，合理將平面向量與解三角形中的相關(guān)知識(shí)加以合理交匯與融合，以平面向量的數(shù)量積的不同形式與場(chǎng)景出現(xiàn)，進(jìn)而解決形式多樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，巧妙挖掘題目條件的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的綜合與應(yīng)用，加強(qiáng)初中與高中相關(guān)數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系與應(yīng)用．