朱加義

(寧波市甬江職業(yè)高級中學(xué),浙江寧波，315000)

解析幾何在高中階段是一個非常重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容,其特點(diǎn)在于運(yùn)用代數(shù)的方法研究幾何圖形的幾何性質(zhì),可以滲透豐富的數(shù)學(xué)思想方法,可與代數(shù)、三角、向量等知識相聯(lián)系,同時也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容.解析幾何大題中,主要考查一定點(diǎn)、兩直線、斜率和與積、相切等內(nèi)容.當(dāng)這些命題元素以不同的形式組合時,就成就了現(xiàn)代高考,高考題不能不計算,合理的計算有著某種次序和某種安排.在本文中,筆者要揭開的這序就是同構(gòu)式.

1 熟悉知識背景 了解方法本質(zhì)

2 探究典型例題 把握解題方法

題型一 雙切圓同構(gòu)

例1(2011·浙江理)已知拋物線C1:x2=y,圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為M,P是C1上一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),過點(diǎn)P做圓C2的兩條切線,交C1于A、B兩點(diǎn),若MP⊥AB,求PM的方程.

分析：本題涉及到圓的兩條切線，如果嘗試去求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再算出kAB,那么將會涉及到非常大的計算量.進(jìn)一步分析，可以考慮利用切線與圓相切,圓心到直線距離等于半徑之一隱含條件來構(gòu)造同構(gòu)式,但如何合理表示出切線方程是關(guān)鍵.實(shí)際上,往往可以利用韋達(dá)定理，反向表示出兩條切線的方程.

點(diǎn)評：反向表示PA、PB方程是關(guān)鍵.實(shí)際上,拋物線x2=2py與直線l交于A、B兩點(diǎn),為了得到同構(gòu)方程,把AB方程表示(xA+xB)x-2py-xAxB=0是解題的關(guān)鍵.

題型二 平行弦的點(diǎn)式同構(gòu)

分析：本題欲求直線AB在y軸上的截距，可以嘗試先寫出直線AB的方程.事實(shí)上,設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),利用向量之間的關(guān)系,表示出C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程,不難構(gòu)造出同構(gòu)式.

點(diǎn)評：本題同構(gòu)式,設(shè)A解C,設(shè)B解D.由于比值相同,交于同一點(diǎn),同構(gòu)關(guān)系非常明顯,最后由A、B滿足同一個同構(gòu)式,直接求出AB方程.

題型三 切線同構(gòu)

例3設(shè)點(diǎn)P為直線y=x-3上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線x2=2y的兩條切線,切點(diǎn)為A、B,證明:直線AB過定點(diǎn).

分析：本題實(shí)際上是考察阿基米德三角形中切點(diǎn)弦的過定點(diǎn)問題.題目同樣涉及到拋物線的兩條切線,我們同樣構(gòu)造同構(gòu)式,表示出切點(diǎn)弦的直線方程.這里實(shí)際并不需要聯(lián)立直線和曲線方程來構(gòu)造同構(gòu)式,因?yàn)閽佄锞€任一點(diǎn)的切線斜率和該點(diǎn)坐標(biāo)是有關(guān)的.

點(diǎn)評：本題巧設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo),構(gòu)造同構(gòu)式,寫出切點(diǎn)弦的直線方程,又設(shè)而不求,方法巧妙,計算量小.

題型四 斜率同構(gòu)

分析：首先易得雙曲線的方程,接下來考慮設(shè)直線方程,兩次聯(lián)立直線與曲線,利用點(diǎn)在直線上,構(gòu)造關(guān)于kAM,kAN的同構(gòu)式，利用kAM+kAN=0求解.

點(diǎn)評：如果通過直線曲線聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理設(shè)線特點(diǎn),直接帶點(diǎn)進(jìn)行計算,其計算量是相當(dāng)驚人的,在這里,我們直接構(gòu)造關(guān)于k1、k2的同構(gòu)式,整體運(yùn)用k1+k2,k1·k2,使得計算邏輯清晰且計算量大大降低.

題型五 同解同構(gòu)

分析：實(shí)際上題目中包含兩條二次曲線,分別是橢圓和三角形得外接圓.它們的特點(diǎn)是都過A、B兩點(diǎn),故可以考慮利用方程同解來解決.

點(diǎn)評：如果兩個同類型的方程同解,那么對比系數(shù),一定有對應(yīng)系數(shù)成比例.利用這一特點(diǎn)，我們設(shè)法構(gòu)造同解方程，從而大大減少了計算量.實(shí)際上,這種同構(gòu)方式對外接圓問題尤為有效.

3 學(xué)會借力打力 提升綜合素養(yǎng)

通過以上實(shí)例,我們能夠切實(shí)的感受到同構(gòu)式在求解解析幾何試題的過程中所帶來的便捷性,構(gòu)造合適的同構(gòu)式,寫出同構(gòu)方程,往往能夠有出其不意的效果.實(shí)際上,解析幾何中所涉及的同構(gòu)類型不僅僅包括雙切圓同構(gòu)、平行弦的點(diǎn)式同構(gòu)、切線同構(gòu)、斜率同構(gòu)和同解同構(gòu),例如在同構(gòu)同解類型中,不單單可以是坐標(biāo)點(diǎn)的同構(gòu)同解,還可以是斜率的同構(gòu)同解.同構(gòu)式類型多樣,不同的題型需構(gòu)造不同的同構(gòu)式,但萬變不離其宗.正如前面所說的,同構(gòu)式就是一把解題“利器”,我們要學(xué)會借力打力,巧用同構(gòu)式擊破解析幾何試題.我們將這種構(gòu)造同構(gòu)式的方法總結(jié)為:一生二,二生三,三生萬物!一生二,就是點(diǎn)M(x1,y1)滿足方程x0x1+y0y1+c=0,則會存在第二個點(diǎn)N(x2,y2)滿足方程x0x2+y0y2+c=0;二生三,那么根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線,由M，N兩點(diǎn)確定的直線方程為:x0x+y0y+c=0;至于三生萬物,有了一輪同構(gòu),那么還可以來第二輪同構(gòu).

在這樣一個探究學(xué)習(xí)過程中,讓學(xué)生能深刻地看待問題,不僅可以促進(jìn)學(xué)生對知識的深入理解,又能開發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路和解題方法,進(jìn)一步提高學(xué)生的綜合素養(yǎng).