龐啟滿，張祖蘭

(南寧市第三中學(xué)，廣西南寧，530021)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，最值是函數(shù)內(nèi)容中重要的性質(zhì)之一，要求學(xué)生能用符號(hào)語(yǔ)言表征函數(shù)的最值，并理解函數(shù)最值在實(shí)際生產(chǎn)與生活中的作用與實(shí)際意義[1].與此同時(shí)，最值也是高考的高頻考點(diǎn).三角函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容都可以聯(lián)合最值加以考察.要想解決最值問(wèn)題，學(xué)生需要充分理解并且綜合地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等多種思想方法.這些思想方法有助于鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，也有利于培養(yǎng)學(xué)生形成問(wèn)題解決的策略.掌握這些思想方法是學(xué)生形成核心素養(yǎng)的重要途徑.

在最值問(wèn)題的教學(xué)中，教師們要以落實(shí)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以避免迷失在偏題、怪題等的教學(xué)與訓(xùn)練中[2].因此，本文以解三角形為研究載體，研究此類問(wèn)題的通法通解.

1 非對(duì)邊對(duì)角中的最值

例1若a,b,c為銳角三角形A,B,C的對(duì)邊，且sin2B+sin2C-sin2(B+C)=sinBsinC.

(1) 求角A；

(2) 若b=2，求△ABC面積的取值范圍.

解：(1) ∵B=π-(A+C)∴sin(B+C)=sinA；

方法一 余弦定理列方程

求邊長(zhǎng)c的范圍，可以借助余弦定理表述出三角形的邊角條件，運(yùn)用方程與不等式的思想求解c的范圍.

由a2=b2+c2-2bc·cosA得，a2=c2-2c+4. ①

在解題后，不僅要檢驗(yàn)過(guò)程與結(jié)果，更要回頭體會(huì)方法一中的函數(shù)與方程思想.解法一是以運(yùn)動(dòng)與變化為出發(fā)點(diǎn)，在動(dòng)態(tài)中抓住不變量，通過(guò)分析將題目條件—銳角三角形轉(zhuǎn)化成不等量關(guān)系，并建立函數(shù)、方程與不等式，從而解決問(wèn)題.解法二中也充分體現(xiàn)出這一思想方法，讀者要注意體會(huì).

方法二 正弦定理邊化角

由于三角形內(nèi)角有限制范圍，因此可以選擇運(yùn)用正弦定理將c邊轉(zhuǎn)化成角C的表達(dá)式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在給定角度范圍內(nèi)三角函數(shù)的最值問(wèn)題，從而再求解.

∵△ABC為銳角三角形，

在方法二中我們一起體會(huì)了轉(zhuǎn)化與化歸的魅力.數(shù)學(xué)教育家布盧姆曾說(shuō)：轉(zhuǎn)化思想就是“把問(wèn)題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力”[3].當(dāng)解決問(wèn)題受阻時(shí)，我們需要觀察問(wèn)題的本質(zhì)，思考分析如何將所學(xué)知識(shí)與能力水平與待解決的問(wèn)題建立聯(lián)系，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將陌生的問(wèn)題熟悉化，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成較易求解的問(wèn)題.在求解新問(wèn)題后，翻譯并得到原問(wèn)題的解答.

方法三 直觀想象探范圍

角C和邊b是固定不變的，因此我們借助圖形觀察點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的軌跡，以動(dòng)態(tài)的思維去找尋銳角的臨界位置.

當(dāng)點(diǎn)B在線段B1B2上從左往右運(yùn)動(dòng)時(shí)，S△ABC越來(lái)越大，

圖1

可以看到，直觀想象是借助數(shù)形結(jié)合進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化的核心素養(yǎng).在解題中，以形助數(shù)，以數(shù)輔形，借助圖形直觀地呈現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)，形象靜態(tài)地呈現(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而達(dá)到優(yōu)化解題之效.

綜上可知，要想突破解三角形中的最值問(wèn)題，需要學(xué)生深刻理解并且綜合地運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角表達(dá)與轉(zhuǎn)化.在上述三種解法中，學(xué)生不僅需要牢固地掌握正余弦定理，也深刻體會(huì)到轉(zhuǎn)化與劃歸、函數(shù)與方程思想，感受到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的緊密聯(lián)系；邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)得以鍛煉而提高，而這也正是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》的要求.

掌握了正余弦定理，就可以解決簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.而在三角形中，除了面積外，邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)以及特殊的線段范圍都是常見(jiàn)的最值問(wèn)題.

變式1在例題的條件下，求△ABC周長(zhǎng)的范圍.

方法一 余弦定理造函數(shù)

由于周長(zhǎng)就是三邊之和，因此可以直接運(yùn)用余弦定理找尋邊長(zhǎng)關(guān)系，運(yùn)用消元的方法構(gòu)造出以邊c為自變量的函數(shù)，從而將三角形周長(zhǎng)的最值轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題.

方法二 正弦定理邊化角

方法三 直觀想象探范圍

我們同樣可以結(jié)合題目條件與數(shù)據(jù)，作圖直觀呈現(xiàn)出點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)中周長(zhǎng)的變化趨勢(shì)，從而獲得周長(zhǎng)的范圍.

我們可以發(fā)現(xiàn)給出的角A與邊b不是對(duì)角與對(duì)邊的關(guān)系時(shí)，可以靈活地選擇正弦定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題；也可以選用余弦定理構(gòu)造出有關(guān)邊長(zhǎng)的函數(shù)，再求解此函數(shù)的單調(diào)性.選用正弦定理或者余弦定理的過(guò)程雖然大不相同，但是思想一致，在解決問(wèn)題的過(guò)程中盡可能根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行消元，構(gòu)造出函數(shù)問(wèn)題，將所求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問(wèn)題.

3 對(duì)邊對(duì)角中的最值

在解決完問(wèn)題之后，一定要及時(shí)地反思與回顧，進(jìn)一步地思考與探究.那么如果給出的是對(duì)邊與對(duì)角的關(guān)系，上述思想方法是否還適用？現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論認(rèn)為有意義的學(xué)習(xí)都是在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上遷移而得的.在經(jīng)歷綜合運(yùn)用正余弦定理綜合解決非對(duì)邊對(duì)角的問(wèn)題之后，學(xué)生不僅要掌握此類問(wèn)題，還要學(xué)會(huì)將解題過(guò)程中的思想方法與部分的解決結(jié)論遷移到對(duì)邊對(duì)角類型中，通過(guò)比較分析不斷同化問(wèn)題，構(gòu)建穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升認(rèn)知水平與邏輯能力.

解：

按照前面的思維過(guò)程，我們先考慮是否可以運(yùn)用余弦定理表示找尋邊長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)而求解.

又由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA，即4=b2+c2-bc.

觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，利用基本不等式進(jìn)行放縮，即可以求出bc的范圍，b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，故bc≤4.

圖2

若是題目對(duì)三角形的形狀有限制，那么面積又在什么范圍呢？

在變式2的解答中，我們運(yùn)用余弦定理，結(jié)合基本不等式的代數(shù)計(jì)算技巧求出面積的最大值，但是無(wú)法以同樣的思想求出最小值.那么現(xiàn)在我們可以結(jié)合圖形分析三角形面積的范圍.

解：方法一 余弦定理求范圍

方法二 正弦定理邊化角

結(jié)合已有的解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，不難想到下一步是要消元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求給定區(qū)間上的三角函數(shù)最值問(wèn)題.

此時(shí)，需要對(duì)式子降冪，

又∵△ABC為銳角三角形，

方法三 直觀想象探范圍

圖3

考慮到銳角△ABC中，角度的范圍任意表示，這里采用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化成角，這樣容易表示變式中的條件與結(jié)論；而角度的限制不容易轉(zhuǎn)化成線段之間的關(guān)系，故在條件變式4中，筆者采用正弦定理示范解答.

解：由正弦定理可以得到，

總結(jié)：當(dāng)所給的邊角關(guān)系不是對(duì)邊與對(duì)角關(guān)系時(shí)，或者給出的銳角三角形，運(yùn)用正弦定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成角度，這樣有利于解決問(wèn)題.如果給的是對(duì)邊與對(duì)角，則可以在余弦定理的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用基本不等式進(jìn)行解答.

如果題目進(jìn)一步限制三角形的形狀時(shí)，由于角度的范圍容易求得，故用正弦定理將邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成角度，更加有利于解決問(wèn)題.

當(dāng)我們能綜合地運(yùn)用正余弦有關(guān)知識(shí)解決三角形面積與周長(zhǎng)的問(wèn)題之后，我們不妨思考：這些方法策略還能解決三角形中的哪些問(wèn)題呢？三角形中還有三條重要的線段：角平分線、中線與高，那么如何刻畫(huà)這些線段的范圍呢？

解：方法一 向量模長(zhǎng)求線段

此式中出現(xiàn)兩個(gè)正數(shù)的和與積的結(jié)構(gòu)，不難想到運(yùn)用余弦定理進(jìn)行消元，基本不等式求范圍.

當(dāng)然，作圖數(shù)形結(jié)合也可以解決.

方法二 直觀想象探范圍

圖4

由于中線位置特殊，此時(shí)我們可以考慮引入向量，借助向量的模長(zhǎng)刻畫(huà)線段的長(zhǎng)度.

由余弦定理得，c2+b2=4+bc≥2bc，解得bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，等號(hào)成立.

圖5

此時(shí)，讀者可以考慮在統(tǒng)一條件下的△ABC中高AD又在何范圍呢？

4 提煉總結(jié)

本文對(duì)高中階段解三角形中常見(jiàn)的最值問(wèn)題按照非對(duì)邊對(duì)角與對(duì)邊對(duì)角兩大類型以豐富的變式對(duì)三角形的性質(zhì)如面積、周長(zhǎng)、重要線段進(jìn)行了全面而深入的解法研究.可以看到，正弦定理與余弦定理是解決三角形最值問(wèn)題的強(qiáng)有力工具，我們需要靈活地運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，將三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)特別是三角函數(shù)的最值問(wèn)題，這既是求解三角形最值的通法；也是復(fù)雜的三角形問(wèn)題如要求三角形為銳角三角形的優(yōu)解.當(dāng)然，通過(guò)作圖表征出三角形特點(diǎn)并直觀想象，探索規(guī)律也是很好用的辦法.在本文中，筆者從余弦定理列方程、正弦定理邊化角、直觀想象探范圍等三個(gè)思想方法一題多解，進(jìn)行解法拓展，目的是使得學(xué)生在掌握每種類型的相應(yīng)解法的同時(shí)又不囿于解題通法，鍛煉學(xué)生的邏輯思維.

5 教學(xué)啟示

在筆者看來(lái)，講授三角形最值最重要的是引導(dǎo)學(xué)生感悟上述的思想方法，剖析清楚上述思想方法在解決此類問(wèn)題中發(fā)揮的作用與意義，這樣學(xué)生才能領(lǐng)悟思想本質(zhì)，形成解三角形的方法策略.當(dāng)然，題目是思想方法的載體，教師要精心挑選典型例題進(jìn)行精講，由淺到深，層層深入歸納出解三角形最值問(wèn)題的通法通解，總結(jié)出解題模型.再輔以適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，努力做到深入淺出.在課上給予學(xué)生充分練習(xí)的時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探究最值問(wèn)題的本質(zhì)，塑造學(xué)生在相應(yīng)題型中實(shí)用高效思維模式，以便學(xué)生能掌握并運(yùn)用有關(guān)知識(shí)；通過(guò)螺旋式教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力，提升學(xué)生的思維水平.