黃水華

(江蘇省江陰市祝塘中學,江蘇江陰，214415)

1 問題呈現(xiàn)

此題以三角形為問題背景，結合三角形的兩邊與夾角的已知條件合理創(chuàng)設情境，通過相應邊上的動點與對應三角形的兩頂點所對應的向量的數(shù)量積的構建，來確定對應的最值問題．問題比較常規(guī)，難度中等，巧妙設置“動點”，通過動靜結合，“動”中取“靜”，合理求解對應數(shù)量積的最值．

2 解題思維

思維視角一：基底思維

方法1：(數(shù)量積法)

解析：設MC=t∈[0，3]，

解后反思：隨著線段長度的變化引入對應的參數(shù)，結合平面向量的相關知識轉化為含參的二次函數(shù)的最值或取值范圍問題，借助配方處理并利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定數(shù)量積的取值范圍．抓住平面向量的基底思維，結合平面向量的線性運算是解決平面向量問題中最常用的基本思維．

思維視角二：幾何思維

方法2：(相交弦定理法)

解析：如圖所示，過點B作BD⊥AC，垂足為D，可得AD=ABcos 60°=1，則有DC=2，

過點C作CE⊥BM，垂足為E，則知B、C、E、D四點共圓，結合圓的相交弦定理，可得MB×ME=MD×MC，

解后反思：根據(jù)題目條件合理構建平面幾何圖形，結合所求結論確定動點的位置，通過垂直的構建，結合四點共圓合理構建圓，利用圓的相交弦定理以及平面向量的投影加以轉化與應用，利用基本不等式的應用來確定對應的最值問題．抓住平面向量的幾何思維，利用三角形、圓以及投影等幾何要素來合理轉化與巧妙應用．

方法3：(極化恒等式法)

解析：由AB=2，AC=3，∠BAC=60°，

如圖所示，取BC的中點D，連接MD，過點D作DE⊥AC，垂足為E，

解后反思：根據(jù)題目條件加以合理構建平面幾何圖形，借助平面幾何的直觀，通過解三角形思維的應用以及直角三角形的性質(zhì)特征，利用極化恒等式加以轉化，數(shù)形結合來確定對應數(shù)量積的最小值，實現(xiàn)問題的直觀轉化與數(shù)形結合．抓住平面向量的幾何思維，結合平面幾何圖形的直觀形象來數(shù)形結合，合理推理與巧妙應用．

思維視角三：解三角形思維

方法4：(解三角形法)

解析：設MC=t∈[0，3]，

由AB=2，AC=3，∠BAC=60°，

解后反思：隨著線段長度的變化引入對應的參數(shù)，結合解三角形中的余弦定理的應用求解對應的邊長與角的余弦值，進而確定對應邊的表達式，綜合余弦定理的向量式加以轉化，構建含參的二次函數(shù)的最值或取值范圍問題，結合配方處理并利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定取值范圍．抓住平面向量的解三角形思維，從三角形視角切入來分析與求解，回歸平面向量相關概念的幾何意義來轉化與應用．

思維視角四：坐標思維

方法5：(坐標法)

解析：以頂點A為坐標原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標系xAy，

解后反思：將對應的三角形放入平面直角坐標系中去，結合對應點坐標的確定與設置，將幾何問題代數(shù)化，借助平面向量的坐標性質(zhì)與運算加以轉化，進而確定一個含參的二次函數(shù)問題，借助配方法的巧妙處理，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來轉化與應用．抓住平面向量的坐標思維，結合平面向量的坐標表示與坐標運算，是代數(shù)法解決平面向量問題中一種基本技巧策略．

3 變式拓展

探究1：保持題目條件，改變所求平面向量的數(shù)量積的最值為取值范圍，使得問題更加全面，實現(xiàn)問題的進一步拓展與提升．

探究2：保持題目條件，進一步加以拓展，求解動點到三角形的三個頂點中任意兩個頂點所對應的向量的數(shù)量積之和的取值范圍問題，使得問題變得更加復雜多樣．

點評：這里也可以設置求解對應平面向量的數(shù)量積和式的最小值(或最大值)問題．通過坐標法處理最為合理有效，也是坐標思維的進一步綜合應用．

探究3：在變式2的基礎上，將動點M在規(guī)定的邊上運動，拓展到在三角形所在的平面上運動，進而得到以下對應的變式問題．

解析：以頂點A為坐標原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標系xAy，

點評：對動點不加以限制.改變其他的限制變化情況，都可以合理創(chuàng)設新的變式問題.解決此問題可以巧妙借助坐標思維加以分析與處理．也可以嘗試其他思維方法.

4 教學啟示

4.1 思維視角總結，方法技巧歸納

解決平面向量時，經(jīng)常利用基底、幾何與坐標這幾個常見的思維方式進行切入，有時還有解三角形思維、三角函數(shù)思維以及特殊思維等，從平面向量的線性運算、坐標運算或三角函數(shù)運算等來進行數(shù)學運算，或從平面幾何圖象的直觀形象來數(shù)形結合，充分展示平面向量同時兼?zhèn)洹皵?shù)”的性質(zhì)與“形”的特征這一雙重性質(zhì)．

4.2 “一題多解”發(fā)散，“一題多變”升華

對平面向量問題的“一題多解”，進一步發(fā)散思維，融合數(shù)學基礎知識與基本技能，形成穩(wěn)定的知識架構；而借助“一題多變”，進一步升華能力，真正達到會解、會用、會拓展等．在此層面上，進一步實現(xiàn)“一題多得”的良好效果．